浙江省苍南县姜立夫杯2015年高一上学期数学竞赛试卷

2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知a 为给定的实数，那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．不确定 2．函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),3(+∞ 3．函数221)(xx x f x --=（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数 4．设3log 2=a ，ln 2=b ，125-=c ，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．<<c a bD ．<<c b a5．设函数()()2log 2x f x m =+,则满足函数f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（ ）A ．{}0m m =B ．{}0m m ≤C ．{}0m m ≥D ．{}1m m =6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,7)-∞B ．(],7-∞C ．(,5)-∞D ．(],5-∞ 8．已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知点在幂函数()yf x 的图象上，则4f ▲ ．10．设,a b 为不相等的两个实数，若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =，则()2f 的值为 ▲ ． 11．已知函数315(1)()(1)xa x x f x ax 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为▲ ．12．已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数，且()2(2)20-+-<f x x f x ，则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数，且对任意∈x R ，都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ，则(2)f 的值等于▲14．已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤，则当b da c e++取最小值时，a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2) 若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．16．已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-， 求m 的值．17．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： ①当R x ∈时，(1)(3)-=-f x f x ；②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()()0+--=f x f m x n 恰有四个不同的实根，且四个实根之和为2，求实数n 的范围．2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）9. 2 10. 4 11. (]1,3 12. (]2,3 13. 10 14. 132三、 解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程）15．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2) 若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．解：]1,2[--=A ，),1()2,(+∞---∞= A C R ，设b ax x x f ++=2)(． （1） 由R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(可得]2,2[-=B ，∴0,4.a b =⎧⎨=-⎩（2）∵A B A = ，B A ∴⊆．∴当Φ=B 时，由0<∆得22<<-a ．当Φ≠B 时，若0=∆，则2±=a ，当2a =-时，{1}B =，不合题意；当2a =时，{1}B =-，符合题意．若 0>∆，则0,(1)0,.(2)0,12 1.f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪⇒∈Φ-≥⎨⎪⎪-≤-≤-⎪⎩综上，22≤<-a ．16．已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g xx ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-， 求m 的值．解：（1）由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， 即x x x xa k a a k a---+-=--)1()1(，即0)())(1(=+-+---x x xxa a aa k ， 0))(2(=+--xxaa k ，因为x 为任意实数，所以2=k ． （2）由（1）xxa a x f --=)(，因为23)1(=f ，所以231=-a a ，解得2=a ． x xx f --=22)(，)22(222)(22x x x xm x g ----+=，令x x t --=22，则222222+=+-t x x ，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t ，所以2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t 当23<m 时， )(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数，则223-=⎪⎭⎫⎝⎛h ，22349-=+-m ， 解得1225=m （舍去）． 当23≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）． 综上，m 的值是2．17．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： ①当R x ∈时，(1)(3)-=-f x f x ；②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()()0+--=f x f m x n 恰有四个不同的实根，且四个实根之和为2，求实数n 的范围．解：（1）由(1)(3)-=-f x f x 得()=y f x 的对称轴为1=x ，即2=-b a ，在241()21--≤≤+x f x x 中令1=-x 得3(1)3≤-≤f ，所以(1)3-=f ，即3-+=a b c ，结合2=-b a 得33=-c a ，所以2()233=-+-f x ax ax a ，由()41≥--f x x 恒成立，得()222430--+-≥ax a x a 恒成立，所以有0>a 及()()2424430∆=---≤a a a ，得()210-≤a ，所以1=a ，2()2=-f x x x ，经验证也满足2()21≤+f x x 恒成立，故2()2=-f x x x（2）由()()0+--=f x f m x n 得()()+-=f x f m x n令()()()=+-g x f x f m x ，则()()-=g m x g x ，得()g x 关于2=mx 对称， 故()=g x n 的四个实根之和为42•m ，故422•=m得1=m 。

故()()()22121=+-=-+-g x f x f x x x x ，由于()g x 关于12=x 对称，所以只需要 研究函数()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图象，()2212211*********⎧-++≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪--≥⎪⎩， ， ， x x x g x x x x x x ，得312<<ny。