二次根式的综合运用.doc-教师版
八年级数学下册第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时教案新新人教
16.3二次根式的加减第1课时【教学目标】知识与技能:1.理解二次根式合并的原理,能进行二次根式的合并.2.掌握二次根式加减的法则,会运用法则进行二次根式的加减.过程与方法:先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导二次根式的计算和化简.培养学生较熟练的运算能力.情感态度与价值观:帮助学生正确对待学习,养成良好的学习习惯,寻找有效的学习方法.【重点难点】重点:理解二次根式合并的原理,掌握二次根式加减的法则,会运用法则进行二次根式的加减.难点:掌握二次根式加减的法则,能熟练运用法则进行二次根式的加减.【教学过程】一、创设情境,导入新课:[问题情境]如图,面积为48 cm2的正方形四个角是面积为3 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体的底面边长和高分别是多少?解:原大正方形边长为=4(cm),小正方形边长为 cm.长方体的底面的边长为4-2.接下来怎样计算呢?这就是这节课我们要学习的二次根式的加减.二、探究归纳活动1:二次根式的合并的条件1.(1)什么是最简二次根式?(2)化简二次根式并找出被开方数相同的二次根式:①②③④⑤⑥⑦(3)上面二次根式哪些能合并?答案:①与⑥③与⑤④与⑦.2.归纳:二次根式的合并的条件把二次根式化成最简二次根式,被开方数相同的二次根式能合并.活动2:探索二次根式加减的法则1.填空:3+2=(3+2),其运算根据是______答案:分配律2.+=4+3①=(4+3)②=7.问题:(1)其中第①步是怎样运算的?______ ;答案:化成最简二次根式(2)第②步运算根据是________.答案:分配律3.思考:同类项可以合并,被开方数相同的最简二次根式能合并吗?提示:能.4.归纳:二次根式加减的法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.活动3:例题讲解【例1】确定下列哪组二次根式能合并.(1),(2),(3),(4),分析:化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式可以合并.解:(1)=3与不能合并;(2)=与能合并;(3)=5,=10,5与10不能合并;(4)与不能合并.点拨:二次根式合并的方法1.将二次根式都化为最简二次根式;2.把被开方数相同的二次根式合并.【例2】计算:(1)+2+-.(2)a+-.分析:先把各二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.解:(1)+2+-=++2-=++2-=+.(2)a+-=+2-+=+(2+1)=+3.总结:二次根式加减的步骤:1.化简:将每一个二次根式都化为最简二次根式.2.判断:判断哪些二次根式的被开方数相同,把被开方数相同的二次根式结合在一起.3.合并:合并被开方数相同的二次根式,将二次根式的系数相加,被开方数不变.三、交流反思这节课我们学习了二次根式的加减运算,在运算时要注意按照:“一化二找三合并”的步骤进行,细心运算.四、检测反馈1.计算:-=________.A.B.2 C.D.2+2.化简-(-1)的结果是()A.2-1B.2-C.1D.2+3.下列根式中,不能与合并的是()A.B.C.D.4.计算-9的结果是()A.-B.C.-D.5.下列计算正确的是()A.4-3=1B.+=C.2=D.3+2=56.已知最简二次根式与能合并,则a的值可以是()A.5B.3C.7D.87.请确定下列二次根式是否能合并,说明理由.(1)和;(2)和;(3)和.8.计算:(1)-(2)+6-3x五、布置作业教科书第15页习题16.3第1,2,3题六、板书设计七、教学反思本节课学习了二次根式加减,关键是掌握二次根式加减的步骤:(1)化:将每一个二次根式都化为最简二次根式;(2)找:找出被开方数相同的二次根式,把被开方数相同的二次根式结合在一起;(3)合并:将被开方数相同的二次根式的系数相加,被开方数不变.并能运用步骤进行计算.。
二次根式教师版
二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.二次根式的乘除二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a·b= ab a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．3. 计算：23369__________=⨯=。
二次根式的定义和性质1C(教师版)
学科教师辅导讲义【解析】a -18．把式子()10a a a--p 根号外面的式子适当的改变后移到根号内 【解析】a -题型三：最简二次根式 同类二次根式【例7】下列根式中，最简二次根式的是（ ）(A)3.0 (B)52 (C)c ab 22 (D)92+a 【解题思路】利用定义解决问题【解析】D【方法总结】先看被开方数中是否有分母；再看被开方数中各因数的指数是否为1.【例8】在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2a a 和 ③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm n m n m n m 和，是同类二次根式的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①④【解题思路】利用定义解决问题.【解析】D【方法总结】同类二次根式的判断必须先把非最简二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同则是同类二次根式，否则不是.【例9】已知最简二次根式3243a a b ++与()4126b b a b ++-+是同类二次根式，求a 和b 的值.【解题思路】利用定义解决问题.【解析】1,1a b ==.【方法总结】利用同类二次根式的条件（1）根指数相同（2）被开方数相同列出方程组求出a 和b 的值，但必须在最简根式的基础上【练习】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【解析】D2．（2007上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】C3．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A ．33x B. 2a C. 2ab D. 2ab 【解析】D4．最简二次根式32153a a +-与是同类二次根式，求a 的值【解析】42153,5a a a +=-=. 5．已知最简根式32x y x y +-与642y x y ++-是同次根式，且y 是偶数。
求y 的值。
【解析】36x y y +=+，2x =.64y -≤≤,∴6,4,2,0,2,4y =---.题型四:【例10】用“<”连接32-和65-.【解题思路】本题涉及分子有理化相关.【解析】65-<32-【方法总结】∵13232-=+15．当ab ＜0时，化简b a 2的结果是（ ）A.b a -B.b a -C.b a --D.b a【解析】A16.如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A.1≤x ≤2 B.1＜x ≤2 C.x ≥2 D.x ＞2【解析】D17.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.a 16B.b 3C.a b D.45 【解析】B18.在根式2、75、501、271、15中与3是同类二次根式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】B19.实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）A.b-aB.2-a-bC.a-bD.2+a-b【解析】C20.化简2)21(-的结果是（ ）A.21-B.12-C.)12(-±D.)21(-± 【解析】B21.已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式（,a b 均为正整数），则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D. 0b ,2a ==【解析】C22.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．a a a 321与 B ．232a a 与 C ．3233a a 与 D ．2a a a a 12与 【解析】D23．（2007江苏扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）· · · · a b 0 1A ．B ．C ．D ．【解析】B.24.m 为何值时，最简二次根式25m -与2m 84+是同类二次根式？【解析】1m =-25.m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-（其中126m -，23m -均为最简二次根式）是同类二次根式？ 【解析】158m = 26.化简：a 31)3a (-- 【解析】3a --27．求当二次根式24x 的值等于4时x 的值．【解析】2x =±28．若二次根式26x -+有意义，化简│x-4│-│7-x │．【解析】-329．设19的整数部分为m ，小数部分为n,求32m n -的值 【解析】31914-30. 化简计算 已知：11881,222x y x y y x x y x y x =-+-+++-+-求代数式的值。
二次根式的运算与应用
二次根式的运算与应用二次根式是代数学中的一个重要概念，它在数学和现实生活中都有着广泛的运用。
本文将详细介绍二次根式的运算方法以及它在实际问题中的应用。
一、二次根式的运算方法二次根式是形如√a的一种数学表达式，其中a为非负实数。
在二次根式的运算中，我们常常需要进行加减乘除等操作。
1. 加法和减法运算对于相同根号下的二次根式，可以将它们的系数相加或相减，并保持根号下的数值不变。
例如√5 + √3 = √5 + √3。
对于不同根号下的二次根式，我们无法简单相加减，需要通过合并二次根式的形式进行化简。
例如，√2 + √3 的化简过程如下：√2 + √3 = (√2 + √3) * 1 = (√2 + √3) * (√2 - √3) / (√2 - √3)= (√2)^2 - (√3)^2 / (√2 - √3)= 2 - 3√6 + 3√6 - 3= -1因此，√2 + √3 = -1。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将根号下的数值相乘，并将根号下的根式进行合并来简化。
例如，√2 * √3 = √6。
另外，当根号下的数值相同，但是系数不同时，也可以进行乘法运算。
例如，2√2 * 3√2 = 6 * 2 = 12。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过将根号下的数值相除，并将根号下的根式进行合并来简化。
例如，√6 / √2 = √(6/2) = √3。
另外，当根号下的数值相同，但是系数不同时，也可以进行除法运算。
例如，6√2 / 2√2 = 6 / 2 = 3。
二、二次根式的应用1. 几何应用二次根式在几何学中有广泛的应用。
例如，当计算一个正方形的对角线长度时，可以利用二次根式来求解。
设正方形的边长为a，则对角线的长度d可表示为d = √2 * a。
另外，当计算一个圆的周长或面积时，也需要使用二次根式。
例如，一个半径为r的圆的周长C等于2πr，面积A等于πr^2，其中π为圆周率。
2. 物理应用在物理学中，二次根式也有着重要的应用。
提高版5.二次根式性质和运算复习专题(教师版)
课题：二次根式的性质和运算专题个性化教学辅导教案 组长签名：________学生姓名年 级 初二 学 科 数学 上课时间 年 月 日教师姓名课 题二次根式的性质和运算专题教学目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.3、了解最简二次根式的概念和性质，能运用二次根式的有关性质进行化简.4、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；5、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.教学过程 教师活动学生活动1.把多项式x 2﹣8x +16分解因式，结果正确的是（ ） A ．（x ﹣4）2B ．（x ﹣8）2C ．（x +4）（x ﹣4）D ．（x +8）（x ﹣8）【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【解答】解：x 2﹣8x +16=（x ﹣4）2． 故选：A ．2.某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240x−20﹣120x=4 B ．240x+20﹣120x=4 C ．120x﹣240x−20=4D ．120x﹣240x+20=4【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程．【解答】解：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x +20）本， 根据题意得：120x﹣240x+20=4．故选D ．3.约分：①5ab20a 2b = ，②x 2−9x 2−6x+9= ． 【考点】66：约分．【解答】解：①5ab20a 2b = 14a ； ②x 2−9x 2−6x+9 = (x+3)(x−3)(x−3)2=x+3x−3．4.已知x ﹣y =﹣1，xy =3，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【解答】解：原式=xy （x 2﹣2xy +y 2） =xy （x ﹣y ）2，把x ﹣y =﹣1，xy =3代入得：原式=3．5.先化简，再求值：x 2+2x+1x 3−x÷（1+1x），其中x =3．【考点】6D ：分式的化简求值． 【解答】解：原式=(x+1)2x(x+1)(x−1)•xx+1 =1x−1 当x =3时， 原式=216.解方程：1x−2+3=1−x2−x ．【考点】B 3：解分式方程．【解答】解：两边乘x ﹣2得到，1+3（x ﹣2）=x ﹣1， 1+3x ﹣6=x ﹣1， x =2，∵x =2时，x ﹣2=0，∴x =2是分式方程的增根，原方程无解．问题1二次根式的性质1．若√2x −1+√1−2x +1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x =12 D ．x ≠12 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【解答】解：由题意可知：{2x −1≥01−2x ≥0解得：x =12 ，故选（C ）【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．问题2二次根式的运算法则2.已知（4+√7）•a =b ，若b 是整数，则a 的值可能是（ ） A ．√7 B ．4+√7C ．8﹣2√7D ．2﹣√7【考点】76：分母有理化．【解答】解：因为（4+√7）•a =b ，b 是整数， 可得：a =8﹣2√7， 故选C【点评】此题考查分母有理化问题，关键是根据分母有理化的法则进行解答．3.计算：√8÷√2+（2﹣√2014）0﹣（﹣1）2014+|√2﹣2|+（﹣12）﹣2．【考点】79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂． 【解答】解：原式=√8÷2+1﹣1+2﹣√2+4 =2+1﹣1+2﹣√2+4 =8﹣√2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．问题1 二次根式的性质对应知识点：（1）二次根式的概念；（2）二次根式的性质问题2 二次根式的运算对应知识点： （1）分母有理化；（2）二次根式的混合运算；【基础知识重温】（一）二次根式概念和性质（1）概念：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（2）二次根式的性质① 非负性：a a ()≥0是一个非负数． ②()()a aa 20=≥．③ a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()（二）二次根式的乘除法运算法则 （1）乘法法则：（a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. （2）除法法则：b a ba =（a≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.（3）最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.（4）同类二次根式的概念几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.（5）二次根式的加减法二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.【精准突破1】二次根式的性质【例题精讲】【例题1-1】要使二次根式√2x +6在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【考点】72：二次根式有意义的条件；C 4：在数轴上表示不等式的解集． 【解答】解：由题意得，2x +6≥0， 解得，x ≥﹣3， 故选：C ．【例题1-2】己知x ，y 为实数，且y =12+√6x −1+√1−6x ，则x •y 的值为（ ）A ．3B ．13C ．16D ．112【考点】72：二次根式有意义的条件． 【解答】解：∵y =12+√6x −1+√1−6x ，∴6x ﹣1=0，解得：x =16，则y =12， 故xy =16×12=112．故选：D ．【例题1-3】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+√(a −b)2的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴． 【解答】解：由图可知：a ＜0，a ﹣b ＜0，则|a |+√(a −b)2 =﹣a ﹣（a ﹣b ） =﹣2a +b ． 故选：A ．【精准突破2】二次根式的运算法则【例题精讲】【例题2-1】下列化简错误的是（ ） A ．√1625=45B ．√1916=134C ．√2764=38√3D ．﹣√715=﹣65√5【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：A 、√1625=45，故原题计算正确； B 、√1916=√2516=54，故原题计算错误； C 、√2764=3√38，故原题计算正确； D 、﹣√715=﹣√365=﹣65√5，故原题计算正确； 故选：B ．【例题2-2】下列二次根式中，与√2之积为有理数的是（ ） A ．√18 B ．√34 C ．√12 D ．﹣√27【考点】76：分母有理化．【解答】解：A 、√18=3√2，3√2×√2=6，符合题意； B 、原式=√32，√32×√2=√62，不符合题意； C 、原式=2√3，2√3×√2=2√6，不符合题意； D 、原式=﹣3√3，﹣3√3×√2=﹣3√6，不符合题意， 故选A【例题2-3】若最简二次根式√a +23b−1与√4b −a 是同类二次根式，则（a ﹣2b ）2017= ．【考点】77：同类二次根式；74：最简二次根式．【解答】解：由题意可知：{3b −1=2a +2=4b −a，解得：{a =1b =1，∴（a﹣2b）2017=（﹣1）2017=﹣1，故答案为：﹣1．+√48）÷2√3．【例题2-4】化简：（3√12﹣2√13【考点】79：二次根式的混合运算．+4√3）÷2√3【解答】解：原式=（6√3﹣2√33=28√3÷2√33．=143【巩固一】二次根式的性质1.下列各式中一定是二次根式的是（）A．√x+2B．√x C．√x2+2D．√a2b【考点】71：二次根式的定义．【解答】解：（A）当x+2＜0时，原式无意义，故A不一定是二次根式；（B）当x＜0时，原式无意义，故B不一定是二次根式；（C）∵x2≥0，∴x2+1≥1，故C一定是二次根式；＜0时，原式无意义，故D不一定是二次根式，（D）当a2b故选（C）2.若代数式√x+1有意义，则实数x的取值范围是（）(x−2)2A．x＞1B．x≠2C．x≥1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意得，x+1≥0且（x﹣2）2≠0，解得x≥﹣1且x≠2．故选D．3.若√(2a+4)2=2a+4，则a的取值范围为（）A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥﹣2D ．a ≤﹣2 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：∵√(2a +4)2=|2a +4|=2a +4， ∴2a +4≥0， ∴a ≥﹣2 故选（C ）4.当1＜P ＜2时，代数式√(1−p)2+（√2−p ）2的值为 ． 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【解答】解：∵1＜P ＜2， ∴1﹣p ＜0，2﹣p ＞0，∴√(1−p)2+（√2−p ）2=p ﹣1+2﹣p =1， 故答案为：1．【巩固二】二次根式的运算法则1. 计算√24﹣9√23的结果是（ ） A ．√6 B ．﹣√6C ．﹣43√6 D ．43√6【考点】78：二次根式的加减法．【解答】解：√24﹣9√23=2√6﹣9×√63=2√6﹣3√6=﹣√6．故选：B ．2.等式√x +1•√x −1=√x 2−1成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥﹣1C ．﹣1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≥﹣1 【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：∵√x +1•√x −1=√x 2−1成立， ∴x +1≥0，x ﹣1≥0． 解得：x ≥1． 故选：A ．3.下列二次根式，不能与√12合并的是 （填写序号即可）．①√48； ②−√125； ③√113； ④√32； ⑤√18．【考点】77：同类二次根式．【解答】解：√12=2√3，①√48=4√3，②﹣√125=﹣5√5；③√113=2√33，④√32，⑤√18=3√2． 不能与√12合并的是﹣√125和√18．故答案为：②⑤．4.计算：（1）3√223×(−18√15)÷12√25． （2）√12+√27+14√48−15√13．（3）（2√5﹣√2）0+|2﹣√5|+（﹣1）2017﹣13×√45．【考点】75：二次根式的乘除法；78：二次根式的加减法．79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂．【解答】（1）解：原式=3√83×（﹣18√15）×2√52=﹣3×18×2×√83×15×52 =﹣34√100=﹣34×10 =﹣152．（2）解：原式=2√3+3√3+14×4√3﹣15×√33 =2√3+3√3+√3﹣5√3=√3．（3）解：原式=1+√5﹣2﹣1﹣√5【查漏补缺】1.使代数式1√x+3+√4−3x 有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意，得x +3＞0且4﹣3x ≥0，解得﹣3＜x ≤43，整数有﹣2，﹣1，0，1，故选：B．2.若3，m，5为三角形三边，化简：√(2−m)2﹣√(m−8)2得（）A．﹣10B．﹣2m+6C．﹣2m﹣6D．2m﹣10【考点】73：二次根式的性质与化简；K6：三角形三边关系．【解答】解：由三角形三边关系可知：2＜m＜8∴2﹣m＜0，m﹣8＜0∴原式=﹣（2﹣m）+（m﹣8）=﹣2+m+m﹣8=2m﹣10故选（D）【举一反三】1．若最简二次根式√2x+y−53x−10和√x−3y+11是同类二次根式．（1）求x、y的值．（2）求√x2+y2的值．【考点】77：同类二次根式．【解答】解：（1）由题意得，3x﹣10=2，2x+y﹣5=x﹣3y+11，解得x=4，y=3；（2）当x=4，y=3时，√x2+y2=√42+32=5．2.计算：2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷（13√yx）．【考点】75：二次根式的乘除法．（2）2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷（13√yx）=﹣2y ×32×3√xy5×x3y×xy=﹣9y√x5y5=﹣9x2y√xy．【方法总结】1.二次乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）.2.在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意， a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.3.运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.1．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．√x5 B ．√8 C ．√3x 2y D ．√x 2−9 【考点】74：最简二次根式．【解答】解：A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意；C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意； 故选：D ．2.已知y =√4−x +√x −4+3，则yx 的值为（ ） A ．43 B ．﹣43 C ．34 D ．﹣34 【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意得，4﹣x ≥0，x ﹣4≥0，解得x =4，则y =3，则y x =34，故选：C ．3.下列变形正确的是（ ）A ．√(−4)(−9)=√−4×√−9B ．√1614=√16×√14=4×12=2 C ．√(a +b)2=|a +b | D ．√252−242=25﹣24=1【考点】75：二次根式的乘除法；73：二次根式的性质与化简．【解答】解：A 、√(−4)(−9)=√4×√9，故A 选项错误；B 、√1614=√65×√14=√65×12=√652，故B 选项错误；C 、√(a +b)2=|a +b |，故C 选项正确；D 、√252−242=√(25+24)(25−24)=7，故D 选项错误．故选：C ．4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简√(a −1)2﹣√(a −b)2+b 的结果是（ ）A ．1B ．b +1C ．2aD ．1﹣2a【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【解答】解：由数轴可得：a ﹣1＜0，a ﹣b ＜0，则原式=1﹣a +a ﹣b +b =1．故选：A ．5.计算：（1）4√12÷（﹣√6）×13√12． （2）√48﹣2×√274+（12）﹣1+（π﹣2017）0．【考点】75：二次根式的乘除法．79：二次根式的混合运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂．（1）解：原式=﹣2√2÷√6×2√33 =﹣2√3×2√33 =﹣43． （2）解：原式=4√3﹣2×3√32+2+1=√3+3．【第1，2天】当周完成一.选择题1．下列各式中①√3；②√−5； ③√a 2； ④√x −1（x ≥1）； ⑤√83； ⑥√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．6 【考点】71：二次根式的定义．【解答】解：①√3符合二次根式的定义，故正确．②√−5无意义，故错误．③√a 2中的a 2≥0，符合二次根式的定义，故正确．④√x −1（x ≥1）中的x ﹣1≥0，符合二次根式的定义，故正确．⑤√83是开3次方，故错误．⑥√x 2+2x +1中的x 2+2x +1=（x +1）2≥0，符合二次根式的定义，故正确． 故选：B ．2.实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简√a 2﹣√b 2+√(a −b)2的结果是（ ）A ．2a ﹣2bB ．0C ．﹣2aD ．2b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【解答】解：由数轴可得：∵﹣1＜a ＜0，0＜b ＜1，∴a ﹣b ＜0，∴√a 2﹣√b 2+√(a −b)2=﹣a ﹣b ﹣（a ﹣b ）=﹣2a ．故选：C ．3.计算2√12×√34÷√3的结果是（ ） A ．√32 B ．√34 C ．√3 D ．2√3【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：原式=12√36÷√3 =3÷√3 =√3 故选（C ）4.下列各式中计算正确的是（ ）A ．3√2﹣√2=2√2B ．2+√2=2√2C ．√12−√102=√6−√5 D ．√2+√3=√5 【考点】78：二次根式的加减法．【解答】解：3√2﹣√2=2√2，A 正确；2与√2不能合并，B 错误；√12−√102=2√3−√102=√3−√102，C 错误；√2与√3不是同类二次根式，不能合并，D 错误，故选：A ．5.若y =√x −12+√12−x ﹣6，则xy = ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：由题意可知：{x −12≥012−x ≥0，解得：x =12，∴y=0+0﹣6=﹣6，∴xy=﹣3，故答案为：﹣36.计算：（2√3﹣√6）2+（√54+2√6）÷√3．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=12﹣12√2+6+√54÷3+2√6÷3=18﹣12√2+3√2+2√2=18﹣7√2．7.一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式m﹣√2n−12+√12−2n=8，求第三条边上的高的长度．【考点】7B：二次根式的应用．【解答】解：∵m﹣√2n−12+√12−2n=8，∴2n﹣12=0，∴n=6，m=8，则①当m、n为直角三角形时，第三条边长为√62+82=10，所以第三条边上的高的长度为：6×8=4.8；10②当m为斜边、n为直角边时，所以第三条边上的高的长度为：6．答：第三条边上的高的长度为4.8或6．【第7天】（同时放在下一讲的复习检查）1.式子√a+1有意义，则实数a的取值范围是（）a−2A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞2【考点】72：二次根式有意义的条件．【解答】解：式子√a+1有意义，a−2则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选：C．2.计算：（5√48﹣6√27+4√15）÷√3﹣4√5．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=5√48÷3﹣6√27÷3+4√15÷3﹣4√5=20﹣18+4√5﹣4√5=2．【第15天】（同时放在下下讲的复习检查）1.计算3√45÷√15×23√223．【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：原式=3×3√5÷√55×23×√83 =9√5÷√55×23×2√63=45×4√69 =20√6．2.计算：√48﹣6√13+（√3+2）（√3﹣2） 【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=4√3﹣2√3+3﹣4 =2√3﹣1．【第28天】（同时放在下下下一讲的复习检查）1.下列各等式成立的是（ ）A ．4√5×2√5=8√5B ．5√3×4√2=20√5C ．4√3×3√2=7√5D ．5√3×4√2=20√6【考点】75：二次根式的乘除法．【解答】解：A 、4√5×2√5=8×5=40，故选项错误；B 、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项错误；C 、4√3×3√2=12√3×2=12√6，故选项错误；D 、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项正确．故选D ．2.计算：（2√32﹣√12）×（12√8+√23）﹣（√3﹣2）2．【考点】79：二次根式的混合运算．【解答】解：原式=（√6﹣√22）（√2+√63）﹣（3﹣4√3+4）=2√3+2﹣1﹣√3﹣7+4√33﹣6．=17√33教学反思。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)二次根式计算专题——30题(教师版含答案)在代数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
二次根式的计算是代数学的重要组成部分，对于学生来说也是一项基本技能。
本文将介绍30道关于二次根式的计算题，并附上教师版含答案，供教师参考。
题目1: 计算√9的值。
解答: 由于9是一个完全平方数，所以√9=3。
题目2: 计算√25的值。
解答: 由于25是一个完全平方数，所以√25=5。
题目3: 计算√2的值。
解答: √2是一个无理数，无法精确计算，可以使用近似值1.414进行计算。
题目4: 计算√32的值。
解答: 首先将32分解为16×2，再将16分解为4×4，可以得到√32=√(4×4×2)=4√2。
题目5: 计算√(3×5)的值。
解答: √(3×5)=√15。
题目6: 计算√(8×12)的值。
解答: 首先将8和12分别分解为2×2×2和2×2×3，可以得到√(8×12)=√(2×2×2×2×2×3)=4√6。
题目7: 计算√(a^2×b^2)的值。
解答: √(a^2×b^2)=√(a^2)×√(b^2)=|a|×|b|。
题目8: 计算√(16÷4)的值。
解答: 首先计算16÷4=4，然后√4=2，所以√(16÷4)=2。
题目9: 计算√(x^2÷y^2)的值。
解答: √(x^2÷y^2)=√(x^2)÷√(y^2)=|x|÷|y|。
题目10: 计算√(4^2÷2^2)的值。
解答: 首先计算4^2=16和2^2=4，然后16÷4=4，所以√(4^2÷2^2)=√4=2。
八年级数学下册-第16章 二次根式(教师版)
2023-2024学年人教版数学八年级下册章节知识讲练1.理解二次根式的意义。
2.掌握二次根式的几个运算性质。
重点：掌握二次根式的运算性质难点：掌握运算性质的推导过程知识点01：二次根式的定义【高频考点精讲】形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式（1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性知识点02：二次根式的主要性质【高频考点精讲】（1）())0(2≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a （3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）)0,0(≥>=b a ab a b 二次根式的性质是根式化简的依据。
知识点03：最简二次根式【高频考点精讲】被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.53一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•崂山区期末）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．＝4C．（）2＝2D．＝﹣2解：A 、，故A 不符合题意；B 、，故B 不符合题意；C、，故C 符合题意；D、，故D 不符合题意；故选：C ．2．（2分）（2023秋•梅县区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：不能合并，故选项A 错误，不符合题意；，故选项B 错误，不符合题意；÷3＝＝，故选项C 错误，不符合题意；，故选项D正确，符合题意；故选：D．3．（2分）（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（）A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故选：A．4．（2分）（2023秋•平阴县期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A．＝3，不符合题意；B．＝2，不符合题意；C．是最简二次根式，符合题意；D．＝，不符合题意；故选：C．5．（2分）（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．6．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．6﹣＝5，所以B选项不符合题意；C．×＝＝，所以C选项符合题意；D．＝|﹣2|＝2，所以D选项不符合题意．故选：C．7．（2分）（2023春•铁西区期中）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（）A．6.5B．3C．2D．4解：＝2，而与最简二次根式能合并成一项，所以2t﹣1＝3，解得t＝2，故选：C．8．（2分）（2023春•沂南县期中）下列运算中，结果正确的是（）A．B．2×＝3C．÷＝D．解：A．＝2，所以A选项不符合题意；B．2×＝2×3＝6，所以B选项不符合题意；C．÷＝＝，所以C选项符合题意；D．3﹣＝2，所以D选项不符合题意；故选：C．9．（2分）（2023春•涵江区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（）A．0B．2C．3D．7解：∵，且是整数，∴7n是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整式的平方的数）∴n的最小值是7．故选：D．10．（2分）（2023春•雄县期中）已知，，求a2﹣b2的值．嘉琪同学的解题步骤如下：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）…①＝…②＝…③＝0…④其中，首先出错的步骤是（）A．①B．②C．③D．④解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝＝．首先出错的步骤是②．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•成华区期末）计算：＝1．解：＝2024﹣2023＝1，故答案为：1．12．（2分）（2023秋•绥化期末）若，那么x+y＝2．解：∵+y2＝0，∴2﹣x＝0，y＝0，∴x＝2，y＝0；故x+y＝2．故答案为：2．13．（2分）（2022秋•思明区校级期末）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝8．解：由题意，得：解得：，∴a +b ＝8．14．（2分）（2023•安徽二模）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≤3．解：由题意得，3﹣x ≥0，解得，x ≤3，故答案为：x ≤3．15．（2分）（2023•洪泽区二模）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x ≥﹣3．解：根据题意得：x +3≥0，解得x ≥﹣3．故答案为：x ≥﹣3．16．（2分）（2023秋•简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为，．解：＝10，＝2，＝，故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．故答案为：，．17．（2分）（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：第1个等式：a 1＝＝﹣1，第2个等式：a 2＝＝，第3个等式：a 3＝＝2﹣，第4个等式：a 4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a 1+a 2+a 3+…+a n ＝﹣1．解：第1个等式：a 1＝＝﹣1，第2个等式：a 2＝＝，第3个等式：a 3＝＝2﹣，第4个等式：a 4＝＝﹣2，…a 1+a 2+a 3+…+a n＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．18．（2分）（2023•南岗区校级模拟）计算的结果为．解：原式＝3﹣2＝．故答案为：．19．（2分）（2022秋•临猗县期末）已知y ＝﹣﹣1，求x +y ＝2．解：由题意得：，解得：x ＝3，则y ＝﹣1，x +y ＝3﹣1＝2，故答案为：2．20．（2分）（2023春•璧山区校级期中）已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点，如图所示，化简＝﹣b．解：∵a ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0，∴原式＝|a |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝﹣a ﹣c +a +c ﹣b ＝﹣b ．故答案为：﹣b ．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•沙坪坝区校级开学）解不等式组或化简计算．（1）；（2）．解：（1），解①得：x＞1，解②得：x≤2，所以不等式组的解集为：1＜x≤2；（2）原式＝＝﹣122．（6分）（2023秋•凌海市期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．23．（8分）（2022秋•永兴县期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD 和正方形ECFG 的边长；（2）求阴影部分的面积．解：（1）正方形ABCD 的边长为：BC ＝，正方形ECFG 的边长为：CF ＝；（2）∵BF ＝BC +CF ，BC ＝2，CF ＝4，∴BF ＝6；∴S △BFG ＝GF •BF ＝24；又S △ABD ＝AB •AD ＝4，∴S 阴影＝S 正方形ABCD +S 正方形ECFG ﹣S △BFG ﹣S △ABD ＝8+32﹣24﹣4，＝12．24．（8分）（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝﹣；②＝+．（2）应用：化简．（3）拓展：＝．（用含n 的式子表示，n 为正整数）解：（1）①＝＝﹣；②＝＝+；故答案为：①；②+；（2）＝+++...+＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣；（3）＝+++...+＝+++...+＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）＝，故答案为：．25．（8分）（2023春•黔东南州期中）先阅读，后解答：，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）将下列式子进行分母有理化：①＝；②＝；③＝2﹣；④＝﹣1．（3）类比（2）中④的计算结果，计算：．解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是．故答案为：，．（2）①；②；③；②．故答案为：、、、．（3）＝＝＝．26．（8分）（2023春•亭湖区校级期末）阅读材料已知下面一列等式：；；；（1）请用含n的等式表示你发现的规律；（2）利用等式计算：；（3）计算：．解：（1）根据题意，由规律可得：它的一般性等式为，故答案为：；（2）＝＝＝＝；（3）＝＝＝．27．（8分）（2022秋•市中区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．28．（8分）（2022春•定州市期中）阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．解：（1）原式＝＝+；（2）归纳总结得：＝﹣（n≥1）；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9。
《二次根式》word教案 (公开课)2022年北师大版 (5)
2.7二次根式〔第3课时〕教学设计一、学生情况分析前面学习了实数，实数的运算法那么，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四那么运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比拟生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．二、教学任务分析二次根式〔第3课时〕是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章?实数?第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续稳固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算根本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。
假设能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题根本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。
因此本节课的目标定为：1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．4.在运算过程中稳固知识，通过与人交流总结方法．根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识稳固；第三环节：问题解决；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.第一环节：复习引入内容：〔1〕最简二次根式的概念；〔2〕二次根式化简过程中，你有哪些体会？〔3〕上节课课后作业：假设414.12≈，732.13≈，449.26≈，求23．你是怎样解决的？ 意图：借助复习，在稳固旧知的同时，导入新课． 第二环节：知识稳固例4 计算：〔1〕3223-；〔2〕81818+-；〔3〕3)6124(÷-． 解：〔1〕3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； 〔2〕81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； 〔3〕3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611． 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．收集第〔3〕小题有多少种解决方法．让学生说说想法．以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？化简：〔1〕10152-；〔2〕31312+-；〔3〕8)2118(⨯-．第三环节：问题解决如以下图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．让学生充分发表意见．〔1〕直接求法．过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形AB CD 的面积是23)225(21⨯+＝18. 〔2〕间接求法．将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是11212421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18． 第四环节：知识提升问题：2a 〔0>a 〕等于多少？根据算术平方根的定义，可知a a =2〔0>a 〕．例5 化简：〔1〕3325b a 〔0>a ，0>b 〕；〔2〕3)(y x +〔0≥+y x 〕；〔3〕a b b a 〔0>a ，0>b 〕． 解：〔1〕3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5；〔2〕3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(；〔3〕a b b a ＝2a ab b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1． 0>a ，0>b 时化简：〔1〕)(a b b a ab +；〔2〕324b a ；〔3〕ab b a⨯-)1(； 〔4〕b a a b ab a 155102÷⋅． 解：〔1〕)(a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝ab ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；〔2〕324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2；〔3〕ab b a⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2 ＝a b b -；〔4〕b a a b ab a 155102÷⋅＝ba ab ab a ÷⋅÷⨯)15510(2＝a b a 32310⋅ ＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310aab b a ⋅⋅＝ab a b a ⋅⋅2310 ＝ab ab 310． 2. 求代数式ab b a ⨯-)1(的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ．ab b a ⨯-)1(＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a⨯-⨯1＝2ab b - ＝a b b -．当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-．第五环节：课堂小结〔1〕二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．〔2〕利用式子a a =2〔0>a 〕可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．第六环节：课后作业习题 2．11 1， 3补充作业：化简：〔1〕)263)(232(+-； 〔2〕)483814122(23+-； 〔3〕)0,0()2(≥≥⋅+-y x xy yx x y xy ； 〔4〕)0,0()(33≥≥⋅-+b a ab ab ab b a ；〔5〕)0(4322763232≥+-a a ab a b ab a ． 答案：〔1〕64216-；〔2〕6648-；〔3〕x y xy +-2；〔4〕ab ab ab b a -+22；〔5〕a ab 325． 五、教学反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
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第一期课题：二次根式的综合运用一、知识解析1、二次根式的主要性质：（1）、)0(0≥≥a a ； （2）、()()02≥=a a a ；（3）、()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ；（4）、积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；（5）、商的算术平方根的性质：()0,0>≥=b a bab a ； （6）、若0≥>b a ，则b a >。
例1、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x x 232--+； (2)11+--x x ； (3) 242-+x x 。
思路点拨：本题考查二次根式的意义.解：(1) 要使x x 232--+在实数范围内有意义，则必有⎩⎨⎧≥-≥+02302x x ，∴232≤≤-x ∴当232≤≤-x 时，x x 232--+在实数范围内有意义；(2) 要使11+--x x 在实数范围内有意义，则必有⎩⎨⎧≠+≥-010x x ， ∴10-≠≤x x 且∴当10-≠≤x x 且时，11+--x x 在实数范围内有意义； (3) 要使242-+x x 在实数范围内有意义，则必有⎩⎨⎧≠-≥+02042x x ，∴22≠->x x 且∴当22≠->x x 且时，242-+x x 在实数范围内有意义.小结：这道题目要求的是二次根式有意义时，未知数的取值范围。
假如未知数是在二次根号中，则需要利用算术平方根的非负性进行说明，若刚好未知数存在于分式的分母部分，则需要使分母不等于0，例如（2）、（3）中的情况讨论。
例2、根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)x x x -=+-1122； (2)()()13222=-+-x x 。
思路点拨：二次根式重要性质()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a 的运用。
解：(1)()x x x x x -=-=-=+-1111222，01≤-∴x ，∴1≤x 。
(2)()()1323222=-+-=-+-x x x x ，⎩⎨⎧≤-≥-0302x x ，∴32≤≤x小结：解答这两道题目，要求理解二次根式有意义的条件，并且要理解绝对值符号的去除方法。
例3、当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．提示：注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）．解：原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-＝)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1． 当x ＝1－2时， 原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221ax +＝x1．2、二次根式的运算（1）二次根式的乘除运算Ⅰ 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
Ⅱ 注意知道每一步运算的算理； Ⅲ 乘法公式的推广：（要注意括号内的限制条件）（2）、二次根式的加减运算（注意最简二次根式的理解）先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； （3）、二次根式的混合运算Ⅰ、对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；Ⅱ、 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例4、计算：(1)、x x xx 31246÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-； (2)、a ab a b ab a 3132763532+- (b≥0) 思路点拨：(1)计算时首先把各个二次根式化为最简二次根式，再用整式的运算法则运算；(2)如果可以约分化简或者乘方化为有理数，那么可以先运算再化简；(3)除法不能直接约分化简的，应将除法转化为乘法； (4)适当可以借用乘法公式化简运算过程。
解：(1)原式=xx x x 311246⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-(2) ）∵成立且a b 31,0≥， ∴0≥a，∴ 原式a ab a a b a ab 331333635⋅+⋅-=a ab aab ab ab 32113215=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=小结：计算过程中，如果二次根式可以化为最简二次根式，那么必须先化简，这样可以让计算根简便；化简二次根式的时候必须注意准确性；二次根式的混合运算要注意运算顺序，运算法则的使用及注意结果要化成最简形式。
例5、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简()()()()2222b ac c b a c b a c b a --+--+-++++。
思路点拨：利用三角形任意两边之和大于第三边和a a =2进行化简。
解：∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴原式b a c c b a c b a c b a --+--+-++++=小结：这道题目涉及到实际运用，那么，解答这道题目，必须先掌握好三角形三边大小关系和如何去掉绝对值符号的方法。
三角形两边和大于第三边、两边差小于第三边，这个定理可以确定原式中绝对值号里面数的符号。
去掉绝对值符号，还要理解，如果绝对值符号里面的数据为非负数，则绝对值符号可以直接去掉；若绝对值符号里面的数据为负数，则去掉绝对值号后，必须化为相反数。
例6、已知01064422=+--+y x y x ，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y x x x y x y x x 51932232的值。
思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即21=x ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=0()()3,21312096144010644222222==∴=-+-∴=+-++-=+--+y x y x y y x x y x y xx y xx x y x y x x 51932232+-+=∴原式xyx x xy x x xy x x 652+=+-+=当x=21，y=3时，原式63422362121+=+⨯= 例7、已知：如图，每个小方格的边长都为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离等于多少？解：连接AC 、BC ，AB 的长为103122=+，设AB 边上的高为h ，则41021=⋅h ，1054108==∴h 。
即点C 到线段AB 所在直线的距离等于1054。
总结升华：对于此类问题，要注意勾股定理的应用.注意结合图形发现解决问题的办法，即利用数形结合的思想.二、课堂练习1、若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21，求x y y x ++2－x y y x +-2的值。
2、8、已知m 22212m m +-3、化简()2232144--+-x x x 得( )A.2B.-4x-4C.-2D.4x-4 4、计算()128122----5、m 、n ，使22m n a +=且mn =a ±将变成222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得化简。
例如，()()()22223322236223625+=++=++=±=请仿照上例解下列问题：（1 （26、已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 提示：先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +- ＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．。