第二讲数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本步骤及方法
数学建模的基本步骤及方法数学建模是一种应用数学的方法，通过对实际问题进行抽象和建立数学模型，以求解问题或进行预测和模拟。
它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍数学建模的基本步骤及方法。
一、问题理解与建模目标确定在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的理解，并明确建模的目标。
了解问题的背景、限制条件和需求，明确要解决的主要问题。
确定建模目标是指明建模的最终目的，如是否需要进行预测，求解最优解或模拟系统行为等。
二、问题假设与参数设定在建立数学模型时，为了简化问题和计算，我们常常需要进行一些假设。
假设可以是对某些变量的约束条件，或对系统行为的特定假设。
另外，还需要确定模型中的参数，即直接影响模型行为和计算结果的变量值。
三、模型构建与分析模型构建是指根据问题的特性和建模目标，选择适当的数学方法和公式，将问题转化为数学表达式。
常用的数学方法包括微积分、线性代数、随机过程等。
模型构建后，需要对模型进行分析，检验模型的可行性和有效性，评估模型与实际问题的拟合程度。
四、模型求解与结果验证模型的求解是指通过计算或优化方法，求得模型的解析解或数值解。
求解的方法多种多样，如数值计算、优化算法、模拟仿真等。
求解后，需要对结果进行验证，比较模型求解的结果与实际情况的差异，并分析产生差异的原因。
五、结果分析与报告撰写对模型的结果进行分析是数学建模的重要环节。
通过对结果的解释和分析，了解模型对问题的预测、优化或模拟效果。
在分析过程中，需要注意结果的合理性和稳定性，以及对结果的可靠性和可解释性进行评估。
最后，撰写模型报告，将整个建模过程和结果进行系统化的呈现和总结，并提出进一步改进的建议。
六、模型验证与应用模型验证是指将建立好的数学模型应用于实际问题，并进行实验验证和应用效果评估。
通过与实际数据和实验结果进行比较，验证模型的有效性和适用性。
若模型符合实际要求，则可以将其应用于类似问题的求解和预测。
数学建模的基本步骤与方法
数学建模的基本步骤与方法数学建模是利用数学方法和技巧对实际问题进行数学化描述和分析的一门学科。
它在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本步骤与方法。
一、问题的分析与理解在进行数学建模之前，首先要对问题进行充分的分析与理解。
这包括对问题的背景、目标和约束条件的明确，以及对问题所涉及的各个因素和变量的了解。
只有充分理解问题，才能设计合理的数学模型。
二、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤。
模型是对实际问题的一种抽象和简化，通过数学表达来描述问题的关系和规律。
建立数学模型的关键是要确定问题的输入、输出和中间变量，以及它们之间的函数关系或约束条件。
在建立数学模型时，可以使用各种数学方法和技巧。
例如，可以利用微分方程描述物理过程的变化，利用优化方法求解最优化问题，利用概率统计模型描述随机现象的规律等。
根据具体问题的特点和要求，选择合适的数学方法是十分重要的。
三、模型的求解与分析建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。
这包括利用数值方法或解析方法求解模型，得到问题的解析解或近似解。
在模型求解的过程中，可能需要编写计算程序、进行数值计算和统计分析等。
模型求解过程中，还需要对模型的解进行评估和分析。
例如，可以对模型的稳定性、收敛性、误差估计等进行分析，以确定模型的可行性和有效性。
四、模型的验证与应用在对模型进行求解和分析之后，需要对模型进行验证和应用。
验证是指将模型的结果与实际数据进行比较，以检验模型的准确性和可靠性。
如果模型的结果与实际数据吻合较好，说明模型是可信的。
模型的应用是指将模型的结果用于解决实际问题或做出决策。
根据模型的目标和应用场景，可以对模型的结果进行解释和解读，提出合理的建议和决策。
五、模型的改进与扩展建立数学模型是一个动态的过程，模型的改进与扩展是不可缺少的环节。
通过对模型的不断改进和扩展，可以提高模型的准确性和适用性，更好地描述和解决实际问题。
模型的改进与扩展可以从多个方面入手。
数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法和步骤
数学建模是一种应用数学方法解决实际问题的研究方法,其基本方法和步骤如下:
1. 确定问题:明确要解决的问题,包括问题的描述、背景、目的和限制等。
2. 收集数据:收集与问题相关的数据,可以通过调查、实验、案例分析等方式获取。
3. 建立模型:基于问题的特点,选择合适的数学模型来描述问题,包括线性、非线性、概率等模型。
4. 分析模型:对建立的数学模型进行分析,确定模型的参数和假设,并进行模型的检验和优化。
5. 求解模型:根据建立的数学模型,求解出问题的答案,可以使用数值方法、统计分析等方法进行求解。
6. 验证和评估:对求解出的答案进行验证和评估,检查答案的准确性和可靠性,并根据需要进行模型的优化和改进。
数学建模的基本方法和步骤需要注重问题分析、模型建立、数据分析和模型求解等环节,其中数据分析是非常重要的一环,需要注重数据的收集、处理和分析,以获取准确和可靠的信息。
同时,数学建模需要注重实践,需要结合实际情况,不断优化和改进模型,以达到更好的解决实际问题的效果。
数学建模是一种重要的研究方法,可以帮助我们更好地理解和解决现实世界中的各种问题,具有广泛的应用前景和发展趋势。
数学建模的基本步骤(精)
数学建模的基本步骤一、数学建模题目1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。
2）给出若干假设条件：1. 只有过程、规则等定性假设；2. 给出若干实测或统计数据；3. 给出若干参数或图形等。
根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。
根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。
二、建模思路方法1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。
2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有：1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。
2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。
3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。
3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。
三、模型求解：模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。
Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。
常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。
数学建模的方法和步骤
数学建模的方法和步骤数学建模（Mathematical modeling）是指运用数学方法及理论来描述某一实际问题，并在此基础上构建数学模型，进而对问题进行分析和求解的过程。
数学建模是一个综合应用学科，它将数学、物理、化学、工程、统计学、计算机科学等学科有机结合起来，用数学语言对现实世界进行描述，可用于各种领域的问题求解，如经济、金融、环境、医学等多个领域。
下面我将从数学建模的方法和步骤两方面来探讨这一学科。
一、数学建模的方法数学建模方法是指解决某一具体问题时所采用的数学建模策略和概念。
数学建模方法可分为以下几类：1.现象模型法：这种方法总是从某一实际问题的具体现象入手，把事物之间的关系量化为一种数学模型。
2.实验模型法：这种方法通过一些特定的实验，首先收集实验数据，然后通过分析数据建立一种数学模型，模型中考虑实验误差的影响。
3.参数优化法：这种方法通常是指通过找到最优参数的一种方法建立一个数学模型。
4.时间序列模型法：这种方法主要是通过观察时间内某一变量的变化，构建该变量的时间序列特征，从而建立一个时间序列模型。
二、数学建模的步骤数学建模步骤是指解决一个实际问题时所采用的数学建模过程，根据一些经验和规律推导出一个可行的模型。
数学建模步骤通常分为以下几步：1.钟情问题的主要方面并进行分析：首先要分析问题的背景和主要的影响因素，以便制定一个可行的局部策略。
2.建立初步模型：通过向原问题中引入某些常数或替换一些符号为某一特定变量，以使模型更方便或更加精确地描述问题。
3.策略选择和评估：要选择一个最优的策略，需要在模型的基础上进行评估，包括确定哪个方案更优等。
4.内容不断完善：在初步模型的基础上，不断加深对问题的理解，以逐步提高模型描述问题的准确度和逼真度。
5.模型的验证和验证：要验证模型，需要将模型应用到一些简单问题中，如比较不同方案的结果，并比较模型结果与实际情况。
总之，数学建模是一种复杂的、长期的、有启发性的过程，它要求从一个模糊的、自由的问题开始，通过有计划、有方法的工作，构建出一个能够解决实际问题的数学模型。
数学建模课教案数学建模的基本步骤与方法
数学建模课教案数学建模的基本步骤与方法一、教学内容本节课我们将学习《数学建模》的第一章“数学建模的基本步骤与方法”。
具体内容包括数学模型的构建、数学模型的求解、数学模型的检验和优化等。
二、教学目标1. 理解数学建模的基本概念，掌握数学建模的基本步骤。
2. 学会运用数学方法解决实际问题，培养解决问题的能力。
3. 培养学生的团队协作能力和创新精神。
三、教学难点与重点教学难点：数学模型的构建和求解。
教学重点：数学建模的基本步骤及方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：数学建模教材、计算器、草稿纸。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的数学问题，激发学生的兴趣，引入数学建模的概念。
2. 理论讲解（15分钟）讲解数学建模的基本步骤：问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验和优化。
3. 例题讲解（20分钟）以一个简单的实际问题为例，带领学生逐步完成数学建模的过程。
4. 随堂练习（15分钟）学生分组讨论，针对给定的问题，完成数学建模的练习。
5. 小组展示与讨论（15分钟）6. 知识巩固（10分钟）六、板书设计1. 数学建模的基本步骤1.1 问题分析1.2 模型假设1.3 模型建立1.4 模型求解1.5 模型检验和优化2. 例题及解答七、作业设计1.1 问题：某城市现有两个供水厂，如何合理调配水源，使得居民用水成本最低？1.2 作业要求：列出模型的假设、建立模型、求解模型并检验。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学建模的基本步骤和方法掌握程度如何？哪些环节需要加强？2. 拓展延伸：引导学生关注社会热点问题，尝试用数学建模的方法解决实际问题。
重点和难点解析1. 实践情景引入2. 例题讲解3. 教学难点：数学模型的构建和求解4. 作业设计一、实践情景引入情景：某城市准备举办一场盛大的音乐会，门票分为三个档次：VIP、一等座和二等座。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
第二讲 数学建模的基本方法和步骤数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。
下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。
（注：用最初等的方法解决，越受人尊重）一 数学建模的基本方法一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。
建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清 楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。
面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。
如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。
而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。
对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。
二 数学建模的一般步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。
下面给出建模的一般步骤，如图1.2所示。
⑴ 模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”（即问题的提出）。
情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。
对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。
假设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。
常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。
数学建模的基本步骤及方法
数学建模的基本步骤及方法数学建模是一种应用数学的方法，通过数学模型来描述、解释和预测现实世界中的问题。
它在科学研究、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本步骤及方法，以帮助读者更好地理解和应用数学建模。
一、问题定义数学建模的第一步是明确问题，并对问题进行定义、限定和分析。
要做到具体明确，确保问题的可行性和实际性。
同时，在问题定义阶段，需要理解问题所处的背景和条件，收集所需的数据和信息。
二、建立数学模型在问题定义的基础上，需要选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。
数学模型是通过数学符号和方程来描述问题的规律和关系。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、动态模型等。
根据实际情况，选择适合的模型形式，并进行相关的假设和简化。
三、模型求解通过数学方法，对建立的数学模型进行求解。
求解的过程中，可以运用数值计算、优化算法、数值逼近等方法。
根据问题的具体要求，选择合适的求解方法，并编写相应的程序进行计算。
四、模型验证模型求解完成后，需要对求解结果进行验证。
验证的目的是检验模型的有效性和准确性。
可以通过与实际数据的对比，对模型的预测能力进行评估。
如果模型与实际结果相符合，说明模型具有较好的预测能力。
五、结果分析与应用在模型验证的基础上，对求解结果进行分析和解释。
通过对结果的分析，可以得到对于问题本质的深刻理解。
同时，根据分析结果，可以制定相应的决策和策略，在实际问题中得到应用和推广。
六、模型优化和调整数学建模是一个循环迭代的过程，在实际应用中，可能会遇到新的情况和问题。
为了提高模型的稳定性和预测能力，需要对模型进行优化和调整。
可以通过改变模型的参数、调整模型的结构、增加新的变量等方式来优化模型。
七、模型评价对建立的数学模型进行评价是数学建模的重要环节。
评价的指标包括模型的准确性、稳定性、可靠性等。
通过评价，可以发现模型的不足和改进的空间，并为进一步应用提供指导和参考。
综上所述，数学建模是一个系统而复杂的过程，需要综合运用数学、计算机、统计学、优化算法等多个学科的知识和方法。
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第二讲 数学建模的基本方法与步骤
数学建模面临的实际问题就是多种多样的,建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同,我们不能指望归纳出若干条准则,适用于一切实际问题的数学建模方法。
下面所谓基本方法不就是针对具体问题而就是从方法论的意义上讲的。
(注:用最初等的方法解决,越受人尊重)
一 数学建模的基本方法
一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析与测试分析两种。
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。
建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清
楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。
面对于一个实际问题用哪一种方法建模,主要取决于人们对研究对象的了解程度与建模目的。
如果掌握了一些内部机理的知识,模型也要求具有反映内部特征的物理意义,建模就应以机理分析为主。
而如果对象的内部机理规律基本上不清楚,模型也不需要反映内部特征,那么可以用测试分析。
对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型的参数。
二 数学建模的一般步骤
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与问题性质与建模的目的等有关。
下面给出建模的一般步骤,如图1、2所示。
⑴ 模型准备:了解实际背景,明确建模目的,搜索必要信息,弄清对象的主要特征,形成一个比较清晰的“问题”(即问题的提出)。
情况明才能方法对,在这个阶段要深入调查研究,虚心向实际工作者请教,尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设:根据对象的特征与建模目的,抓住问题的本质,忽略次要因素,作出必要的、合理的简化假设。
对于建模的成败这就是非常重要与困难的一步。
假设不合理或太简单,会导致错误的或无用的模型;假设作得过分详细,试图把复杂对象的众多因素都考虑进去,会使您很难或无法继续下一步的工作。
常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷,要不段积累经验,并注意培养与充分发挥对事物的洞察力与判断力。
⑶模型的建立:根据假设,用数学的语言、符号描述对象的内在规律,得到一个数学结构。
这里除了需要一些相关的专门知识外,还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识,要善于发挥想象力,注意使用类比法,分析对象与熟悉的其她对象的共性,借用已有的数学模型。
建模时还应遵循的一个原则就是尽量采用简单数学工具,因为您的模型总希望更多的人了解与使用,而不就是只供少数专家欣赏。
⑷模型求解:使用各种数学方法、数学软件与计算机技术对模型求解。
⑸模型分析:对求解结果进行数学上的分析,如对结果进行误差分析,分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。
⑹模型检验:把求解与分析结果翻译回到实际问题,与实际现象、数据进行比较,检验模型的合理性与适用性。
如果结果与实际不符,问题常常出现在模型假设上,应该修改或补充假设,重新建模。
这一步对于模型就是否真的有用就是非常关键的,要以严肃认真的态度对待。
⑺模型应用:这与问题的性质、建模的目的以及最终结果有关,一般不属于本书讨论的范围。
应该指出,并不就是所有问题的建模都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限也不那么分明,建模时不要拘泥于形式上的按部就班。
三数学建模的全过程
数学建模的全过程可分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环,如图1、3所示。
表述就是根据建模目的与信息将实际问题“翻译”成数学问题,即将现实问题“翻译”成抽象的数学问题,属于归纳法。
数学模型的求解选择适当的数学方
法求得数学模型的解答,则属于演绎法。
解释就是将数学语言表述的数学模型的解答“翻译”回实际对象,给出分析、预报、决策或者控制的结果。
最后,作为这个过程的最重要一环——检验,就是用现实对象的信息检验得到的解答。
图1、2也揭示了现实对象与数学模型的关系。
一方面,数学模型就是将现象加以归纳、抽象的产物,它来源于现实,又高于现实。
另一方面,只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时,才可以用来指导实际,完成实践——理论——实践这一循环。
四数学建模能力的培养
建模可以瞧成一门艺术。
艺术在某种意义下就是无法归纳出几条准则或方法的。
要进行数学建模,建模能力的培养就是非常重要的,对于能力的培养不应该有统一的模式与方法。
这里我们提出以下几点建模对学生能力的培养:
1、数学知识的积累。
由于各门数学知识在数学建模过程中都可能用到,所以
掌握数学知识自然越多越好。
但掌握的数学知识不多,也可以进行数学建
模。
有很多数学模型就是仅用初等数学理论建立的,而且我们提倡尽量用
较简单的数学知识建模。
在能达到建模目的的前提下,模型越简单越好。
2、学好数学模型课,多瞧数学建模案例自然就是不可少的
3、留心各样的事物,培养自己随时随地主动站在数学的角度瞧问题,特别要
将自己始终置身于数学世界之中,用数学的思想审视一切。
4、数学建模过程就是创造性思维的过程,需要丰富的想象力与敏锐、深刻的
洞察力。
所谓想象力就就是能对不同现象通过联想找出它们的联系与共
同点而加以类比。
所谓洞察力就就是针对某一现象时,能很快地抓住现象
的本质。
分清层次,抓住其主要方面,并对解决问题的方法做出选择。
5、兴趣就是学习的动力,要努力培养自己对数学建模浓厚的兴趣。
数学建模
就是一门实践性极强的课程,所以,在实践中学习数学建模就是最好的学
习方法。
6、由于数学建模与计算机联系非常紧密。
所以在实践中学习数学建模就是
最好的学习方法。
7、培养自己向别人学习的习惯与协同作战的团队精神。
想象力的应用:想象力就是我们人类持有的一种思维能力。
就是我们原有知识的基础上,将新感知的形象与记忆中的形象互相比较、重新组合,加工处理,创造新形象的能力。
例1 某人平时下班总在固定时间到达某处,然后由她的妻子开车接她回家。
有一天,她比平时提早了30分钟到达该处。
于就是此人就沿着妻子来接她的方向步行回去,并在途中遇到了妻子。
这一天她比平时提前10分钟回到家。
问此人总共步行了多长时间？
解:这就是一个测试想象能力的简单题目。
根本不必作太多的计算。
粗粗一瞧,似乎会感到条件不够,无法解答。
但您只要换一种想法,问题就会迎刃而解。
假如她的妻子遇到她以后在这她仍旧开往会合地点,那么她就不会提前回家了。
提前到十分钟时间从何而来？显然就是由于节省了她妻子接她的时间,她妻子少开了十分钟的车。
因为她妻子开车就是往返走的路程相同,那么在遇到她后往返路程中各节省5分钟。
她提前30分钟开始走,那则此人在遇到她妻子时她步行了25分钟。
由图一可清晰得出结果,
例2 学校组织乒乓球比赛,共有100名学生报名参加,比赛规则为淘汰制,最后产生出一名冠军。
问:最后产生冠军,总共需要举行多少场比赛？
解:第一轮进行50场比赛,剩下50名学生。
第二轮进行25场比赛,剩下25名学生。
第三轮进行12场比赛,1位同学进入下一轮,剩下13名学生。
第四轮进行6场比赛,1位同学进入下一轮,剩下7名学生。
第五轮进行3场比赛,1位同学进入下一轮,剩下4名学生。
第六轮进行2场比赛,剩下2名学生。
第七轮进行1场比赛,剩下1名冠军。
一共需要比50+25+12+6+3+2+1=99场
这就是常规方法,事实上,我们也可以换一种方法来思考这一问题。
由于淘汰赛的特殊性,进行一场淘汰一人。
反过来,淘汰一人也必须举行一场比赛。
这就就是我们数学中的一一对应关系。
现在我们要在100名学生中产生一位冠军,众所周知要淘汰99名学生才能产生冠军。
因此比赛总场此应为99场。
思考题:
1、某部门在植树节时想种10棵树,要求这10棵树排成5列,每列4颗。
问:
应当如何种？
2、某甲早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留
宿。
次日早8:00从山顶出发沿同一条路径下山,下午5:00回到旅店,某
乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
为什么？。