第1节 数学建模与数学探究
《中学数学建模》课件
中学数学建模的教学案例
人口增长模型
通过研究人口增长规律，建立人 口增长模型，预测未来人口数量
。
投资收益模型
通过研究投资收益规律，建立投资 收益模型，预测未来的投资收益。
交通流量模型
通过研究交通流量规律，建立交通 流量模型，优化城市交通规划。
03
中学数学建模的常见问题与解决方法
建模过程中的常见问题
加强实践环节
中学数学建模教学应加强实践环节，组织学生进行实际问题的建模 和解决，提高学生的实践能力和创新性。
引入现代技术
中学数学建模教学应引入现代技术，如计算机编程、数学软件等， 以提高教学效率和学生的技术应用能力。
提高中学数学建模水平的建议
加强教师培训
中学应加强对数学建模教师的培训，提高教师的教学水平和指导 能力。
特点
数学建模具有抽象性、系统性、 创造性等特点，能够将实际问题 转化为数学问题，便于分析和解 决。
数学建模的重要性
01
02
03
解决实际问题
数学建模是解决实际问题 的有效手段，能够帮助我 们理解和解决生产、生活 中的各种问题。
培养数学应用能力
通过数学建模，学生能够 更好地应用数学知识解决 实际问题，提高数学应用 能力。
04
中学数学建模的实际应用
数学建模在生活中的应用
购物预算
通过建立数学模型，学生可以预测和 规划个人或家庭的购物预算，以便合 理分配资金。
时间管理
健康生活
学生可以使用数学模型来分析健康饮 食和运动习惯，以促进健康生活方式 。
通过数学模型，学生可以分析时间分 配的合理性，优化学习或工作计划。
数学建模在科学实验中的应用
01
2024-2025年北师大版数学必修第一册8.1-3数学建模活动(一)(带答案)
§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3数学建模活动的主要过程必备知识基础练知识点一建立数学模型1．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血液量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q是单位时间流过的血量，脉博率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据．系，讨论你模型中的假设，并用上表中的数据检验模型．知识点二数学建模的主要步骤2．超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图，两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？知识点三数学建模的主要过程3．在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快的疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告．关键能力综合练1．甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点).如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？2．国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图甲中虚线所示．问能否以一马的跳步完全覆盖图乙的“棋盘”，使接触每个方格恰好一次？(允许从任一方格出发)核心素养升级练1．在商场中，我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号，其价格也各不相同．对比型号和价格，我们很容易发现：当商品的“量”增加时，价格也会增加；但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的，也就是说你买的商品的“量”越多，商品的平均价格越低，有人认为这是商家的营销策略，买得越多越划算，这样顾客往往倾向于购买大包装的商品．大包装的商品真的是薄利多销吗？就这一问题通过调查、分析、研究，完成选题，开题报告．§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3 数学建模活动的主要过程必备知识基础练1．解析：建模过程如下：(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E 与身体的表面积S 成正比，可以表示为E ＝p 1S .又因为动物体内消耗的能量E 与通过心脏的血流量Q 成正比，可以表示为E ＝p 2Q .因此得到Q ＝pS ，其中p 1，p 2和p 均为正的比例系数．另一方面，因为体积V 与体重W 成正比，可以表示为V ＝r 1W ；又因为表面积S 大约与体积V 的23次方成正比，可以表示为S ＝r 2V 23，因此得到S ＝rW 23 ，其中r 1，r 2，r 为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q ＝k 1W 23，其中k 1为正的比例系数．(2)根据脉搏率的定义f ＝Qq，再根据生物学假设q ＝cW (c 为正的比例系数)，最后得到f＝Q q ＝k 1W 23cW，也就是f ＝kW －13 ，其中k 为正的待定系数． 脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．下图是以ln W 和ln f 为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f ＝ln k －ln W3.2．解析：合算就是纸的量多，因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算，为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r ，R ，大圆内与小圆相切的弦长为d ，无芯纸卷截面的直径为D ，于是，(d2)2＝R 2－r 2，当D ＝d 时，S 有芯＝π(R 2－r 2)＝π(d 2 )2＝π(D 2 )2＝S 无芯，当D ＞d 时，S 有芯＝π(R 2－r 2)＝π(d 2 )2＜π(D 2 )2＝S 无芯． 当D ＜d 时，S 有芯＝π(R 2－r 2)＝π(d2 )2＞π(D2 )2＝S 无芯． 3．解析： 要解决的问题在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间选题的原因及意义 建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议 建模问题的可行性分析教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数． 基本模型、解决问题的大体思路和步骤做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d ，队列行进的速度也是常数v ，令第i 个教室中的人数为n i ＋1人，第i 个教室的门口到前一个教室的门口的距离为L i ，教室门的宽度为D .疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计．T 1，2＝⎩⎪⎨⎪⎧（L 1＋L 2＋D ＋n 2d ）/v ，（n 1＋1）d ≤L 2＋D ，[L 1＋（n 1＋n 2＋1）d ]/v ，（n 1＋1）d ＞L 2＋D预期结果和结果呈现方式 建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告参考文献 《数学模型与数学建模》 北京师范大学数学科学学院其他说明关键能力综合练1．解析：由题图看出，只有A，C两个奇点，根据一笔画定理，甲从A出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从B出发走完所有街道回到C点必须重复一段街道，故甲先回到邮局．2．解析：问题是要确定题图乙是否有一条哈密尔顿路．把图重画，使顶点的布置更清楚．删去次数为2的顶点a(棋盘的角)以及4个顶点b以获得两个回路(见图丙)；以c与d分别标记此两回路的顶点．再把此两回路画成不相交的，见图丁．每个顶点b邻接于一顶点c与一顶点d.删去4个顶点b产生一个具有6个分支的图：两个不同的回路(分别以c与d为顶点)以及4个标号为a的顶点，于是可知原图中一条依次经过全部顶点的路线应是不存在的，即没有哈密尔顿路．所以，题图乙的棋盘不能像问题规定的那样为一马所跳遍．核心素养升级练1．解析：要解决的问题到商场买牙膏，从划算的角度讲，同一品牌的牙膏我们是买小包装的好，还是大包装的好呢？解决问题的方法同一品牌的牙膏形状是相似的，通过比例建立价格与质量的函数关系相关问题分析及其假设我们设商品的价格为y(元)，质量为x(g)，看能否找出y与x的函数关系式：y＝f(x).为了方便叙述，我们引入“∝”这一符号，当y与x成比例，即y＝kx(k为常数)时，记作y∝x建模求解的主要过程设商品的成本为P(元)，一般来说，商品价格＝商品成本×(1＋利润率)，所以有y∝P.而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分，分别设为P1和P2，即有y∝(P1＋P2).商品的生产成本P1与商品的质量x成比例，即P1∝x；而商品的包装成本P2与商品的表面积S成比例，即P2∝S，将x ＝120代入，得y ＝21.57，与实际价格21.60元相差0.03；再将x ＝180代入，得y ＝28.77，与实际价格28.30元相差0.47元．因此，我们推导出来的函数表达式还是比较准确的． 这一步得到单位质量价格y ′＝0.0225＋0.7756x－13，由几何画板做出y ′－x 的关系图为可以看出随牙膏质量的增加，单位质量价格的减小量在减少，因此不能盲目的认为越大的包装越便宜全组共同制定研究计划商讨确定数学模型。
数学建模学习心得
数学建模学习心得数学建模也激发我们学习数学的兴趣，丰富了数学探索的情感体验。
管理资源吧小编整理了学习数学建模心得体会范文，希望对你有帮助!数学建模心得体会【1】以前在大一时就曾听说过数学建模这一学科，但只是很肤浅的了解，还错误的以为这门学科只是跟数学有关系，只要数学学好了，学好数学建模就轻而易举了。
因为自己数学一直很好，对数学建模很感兴趣，也很自信，于是，大二时毫无疑问地选修了数学建模这门专业选修课，但是选择了以后才发现根本不像自己想象的那样简单。
选修课时，对数学建模有了进一步了解，数学建模主要包括三大部分的内容：统计，优化，微分和差分。
但是这也只是表面上的了解而已，上课老师只针对某一部分，告诉你要针对这一部分具体该怎么做，只是一种固定的模式，没有自己的任何建模思想。
百度上对数学建模的定义是这样子的：当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。
数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
数学建模是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模数学建模数学建模数学建模。
经过了这段时间对数学建模的学习，我终于对数学建模有了进一步的认识，数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。
新课程下数学建模教学探究
走 一次 ， 后 又 回到原 最
Ｂ
主要特 征 、 主要 关 系 ， 用形 式 化 的数学 语 言 ， 采 概
括地、 近似地 表达 出来 的一 种结 构 。 ”定 义 可作 如
下 理解 ：
从 广义 上说 ， 学模 型是 从 现 实世 界 抽 象 出 数
来的 ， 是对 客观事 物 的某 些 属性 的一个 近似 反 映 。
例如数 学 中 的各种 概 念 、 式 、 公 方程 式 、 论 体 系 理
及算法 系统等 ， 为它 们 都 是 由 现 实世 界 的 原 型 因
依 据《 国中学 教学 百科 全 书 》中“ 学 模 型就 是 中 数
根 据研 究 目的 ， 对所 研究 的 过程 和 现 象 （ 型）的 原
勒） 的普 莱 格尔 河上 有 ７ 桥 ， 座 将河 中的两个 岛 和 河岸 连结 ， 图 １ 示 。 如 所 岛上 有一所 古 老 的哥 尼斯 堡大 学 ， 据说 每天 傍晚 时分 ， 这所 大学 的学 生们 总
Ｖ０． ０ ＮΒιβλιοθήκη ２ １２ ． Ａｐ ｉ ２ ０ ｒｌ ０ ６
欧拉 的思 路 是 ： 既然 两 个 岛 与两 处 陆地 是 桥
存 在 ， 出色 地证 明 了 自己的猜想 是 正确 的 ， 于 并 且
１３ ７ ６年 发表 了作 为拓 扑 学 和 现代 图论 发 端 的 第
一
篇论 文 —— 《 哥尼 斯堡 七桥 》 。
＊
收 稿 日期 ： ０ ６ ０ — ２ ２０ — ３ ８
５ ５
维普资讯
维普资讯
3你认为数学建模和数学探究对提升学生素质有何作用？结合您
3.你认为数学建模和数学探究对提升学生素质有何作用？结合您的学生实际，作一个数学建模或数学探究的教学设计。
数学探究、数学建模和数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块中。
伽利略说过：“自然界这部伟大的书是用数学写成的”数学在社会的各个领域都起着非常重要的作用。
新课程要求高中数学课程加强数学应用，培养和发展学生的数学应用意识，对生活中的问题进行数学建模和数学探究，并且加强了数学教学与实际生活的联系。
我认为数学建模和探究对学生的素质提升有着积极的作用，主要表现如下：（1）转变学生对数学的认识，提高学生学习数学的兴趣。
能促使学生积极主动的学习。
在以前的数学教学中，主要是以传授数学知识为主，与现实生活联系不大，学生学起来比较枯燥，产生了学习数学无用的错误想法。
久而久之，丧失了学习数学的兴趣。
进行数学建模，有助于学生改变学生对数学的错误认识，能使学生对生活、生产、自然界有更深层次的认识。
同时可使他们明确数学与社会进步的关系，充分认识到学好数学的重要性，从而焕发出学习数学的热情，增强掌握数学以推动社会进步的学习责任感和使命感。
另外，在传统中，我们通常让学生做一些有挑战性的数学习题以吸引学生，但是这样的习题只能作为吸引基础较好学生的载体，无法吸引普遍的学生，特别是“学困生“，而数学建模问题和数学探究问题，因为它强调的是问题，强调的是过程，强调的是不同人都可以用不同的方式上手。
因此它能成为提高学生对学习数学兴趣的一个重要载体。
（2）能提高学生的问题意识，创新意识，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯。
许多社会问题都蕴含着一定的数学知识。
进行数学建模和数学探究，能提高学生发现问题、思考问题、解决问题的能力，通过积极主动的去发现数学在生活中的应用，能提高学生迎接未来社会竞争的能力，对学生未来的学习生活有这重要的意义。
开展数学建模教学，学生可以从自己的日常生活、现实世界、其他学科等多方面选择数学建模的问题。
引导数学探究,建立数学模型——以“乘法分配律”一课的教学为例
引导数学探究，建立数学模型——以“乘法分配律”一课的教学为例摘要：在“学为中心”教学理念下，小学数学教学引导学生进行数学建模是十分重要的，这样才能有效地促进他们数学核心素养的提升。
数学模型是小学数学知识体系中大部分知识的物化形式，对小学生而言具有重要意义。
数学探究是建立数学模型的必经之路，基于此背景，对“乘法分配律”一课的教学进行了探究。
通过基于生活问题，引入“分配律”；基于几何直观，感知“分配律”；引导数学概括，抽象“分配律”；借助变式练习，内化“分配律”的教学策略，能够有效地促进学生对“乘法分配律”这一模型的建构。
关键词：数学探究数学建模“乘法分配律”数学模型是小学数学知识体系中大部分知识的物化形式，对小学生而言具有重要意义。
在《数学课程标准》中，针对数学模型提出这样的要求：“学生的学习应注重对实际问题到数学模型的转化，并从中体验相应地解释和应用。
”对于数学建模，更需要小学生的自主化分析，而从实际调查来看，部分教师没有对自主探究采取足够的重视，这就导致学生对知识仅有表面的学习，无法深入知识本质实现数学模式的构建。
那么，在小学数学教学中应该如何引导学生建立数学模型呢？以下，我以“乘法分配律”的教学为例来谈一谈引导学生在数学探究中建立“乘法分配律”这一数学模型的策略。
一、基于生活问题，引入“分配律”《数学课程标准》要求教师“充分了解学生的认知经验，并以此设计相应的教学方法帮助学生对实际问题进行抽象，得到其数学模型。
”故而在引入有关数学模型时，就必须从日常生活出发。
在教学中，可以以如下的生活情境来引入“乘法分配律”的教学：王老师需要购买两套衣服，衣服的价格为60元，裤子的价格为35元，王老师需要花多少钱？生1：可列式60×2+35×2，计算得到需要190元。
生2：可通过（60+35）×2计算得到需要190元。
师：请你说说括号中算出来的值表示什么含义，为什么后面要乘以2？生2：括号里面表示一套校服的价格，再乘上2，就相当于两套校服的价格相加，得到的结果就是两套校服的钱。
高一数学教学中的数学建模与实践应用
高一数学教学中的数学建模与实践应用数学建模是数学教学中的一个重要内容，它通过将数学与实践应用相结合，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
高一是学生接触数学建模的重要阶段，本文将探讨高一数学教学中数学建模的意义和实践应用。
一、数学建模的意义数学建模是将问题转化为数学形式，并通过数学方法进行求解的过程。
在高一数学教学中，数学建模的意义主要体现在以下几个方面：1. 提高学生的问题解决能力：数学建模鼓励学生主动思考，培养他们独立解决问题的能力。
通过将实际问题抽象为数学模型，学生需要分析问题，选择适当的数学方法进行求解，提高他们的逻辑思维和问题解决能力。
2. 培养学生的实践应用能力：数学建模将数学知识应用于实际问题中，培养学生将抽象的数学概念和方法应用于实际生活的能力。
通过与实际问题的结合，学生能够更好地理解和应用数学知识，提高他们解决实际问题的能力。
3. 增强学生对数学学科的兴趣：数学建模将抽象的数学概念与实际问题相结合，使学生能够更直观地感受到数学的应用价值，从而增强学生对数学学科的兴趣。
学生在解决实际问题的过程中，对数学的重要性和实用性有更深刻的认识，激发了他们对数学学习的积极性。
二、数学建模的实践应用1. 数学建模与生活实际问题的联系：高一数学教学中可以选取与学生生活密切相关的实际问题进行数学建模的探究。
例如，通过对学生身边的交通问题、环境污染问题、物流配送问题等进行数学建模，激发学生的学习兴趣，使他们能够将数学知识应用于实际生活中。
2. 数学建模与跨学科的结合：高一数学教学中可以将数学建模与其他学科进行跨学科的融合。
例如，将数学建模与物理、化学等学科结合，探索实际问题的数学解析方法、数值计算方法等，培养学生综合运用多学科知识解决问题的能力。
3. 数学建模与信息技术的应用：高一数学教学中可以结合信息技术，利用计算机软件或数学建模软件进行数学建模实践。
通过利用计算机模拟和可视化技术，使学生更好地理解和应用数学知识，并能够通过计算机模拟实验得出结论，提高解决实际问题的能力。
数学建模统计模型教学教案
数学建模统计模型教学教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模与统计》第十章，具体内容为第一节的统计模型。
详细内容包括描述统计和推断统计的基础知识，重点探讨如何构建线性回归模型，以及如何运用该模型进行数据的预测和分析。
二、教学目标1. 理解并掌握描述统计和推断统计的基本概念和方法；2. 学会构建线性回归模型，并运用模型对实际问题进行预测和分析；3. 培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：线性回归模型的构建和应用。
教学重点：描述统计和推断统计的基本概念，以及线性回归模型的构建和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 引入：通过展示一组实际数据，引出描述统计和推断统计的概念，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：a. 简要介绍描述统计和推断统计的基本概念；b. 详细讲解线性回归模型的构建方法和应用。
3. 例题讲解：a. 演示如何构建线性回归模型；b. 结合实际案例，展示如何运用线性回归模型进行预测和分析。
4. 随堂练习：a. 让学生独立完成一组实际数据的描述统计分析；b. 引导学生构建线性回归模型，并对数据进行预测和分析。
六、板书设计1. 描述统计和推断统计的概念；2. 线性回归模型的构建方法；3. 线性回归模型的应用案例；4. 随堂练习的解答。
七、作业设计1. 作业题目：a. 对一组实际数据进行描述统计分析；b. 根据给定的数据，构建线性回归模型，并进行预测和分析。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对描述统计和推断统计的概念掌握情况，以及对线性回归模型构建和应用的理解程度。
2. 拓展延伸：a. 探讨其他统计模型（如非线性回归、时间序列分析等）在实际问题中的应用；b. 引导学生参加数学建模竞赛，提高解决实际问题的能力。
重点和难点解析1. 线性回归模型的构建方法；2. 线性回归模型在实际问题中的应用；3. 课后作业的设计与答案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1节 数学建模与数学探究
【内容要求】
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构
建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出
问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终
解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合
实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.
【基本过程】
数学建模活动的基本过程如下：
数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决
问题的过程.具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，
提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究
活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程
的重要内容.
【过程解读】
掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设.
·问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之
间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重
述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述.为此，要充分了解
问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的
各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出.至此，
我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，
初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响.
·模型假设(即合理假设)是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特
征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用
精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往
是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化
成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作
得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，
作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断
力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素.
【实际意义】
数学建模的实际意义
1.在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地.
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等
工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是
已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决
的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求
解的课题(如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在数学模
型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替
代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段.
2.在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具.
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于
传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常
使用的有效手段.数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，
已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的
特征之一.
3.数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学
科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生.在这些领
域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提
供了广阔的新天地.马克思说过，一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完
善的地步.展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃
发展的新时期.
【课题研究】
课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需要撰写开题报告，
教师要组织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题
思路、研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表
达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研究报告和报
告研究结果，开展结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报
告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式.
【课题引例】
测量学校内、外建筑物的高度
[目的] 运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.
组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.
[情境] 给出下面的测量任务；
(1)测量本校的一座教学楼的高度；
(2)测量本校的旗杆的高度；
(3)测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看到见的物体的高度.
可以每2～3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题
报告表，一周后上交.
测量课题报告表
项目名称：______________ 完成时间：______________
1.成员与分工
姓名 分工
2.测量对象
例如，某小组选择的测量对象是：旗杆、教学楼、校外的××大厦.
3.测量方法(请说明测量的原理、测量工具、创新点等)
4.测量数据、计算过程和结果(可以另外附图或附页)
5.研究结果(包括误差分析)
6.简述工作感受
[要求] (1)成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具.
(2)小组成员查阅有关资料，进行讨论交流，寻求测量效率高的方法，设计测量
方案(最好设计两套测量方案).
(3)分工合作，明确责任.例如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等.
(4)撰写报告，讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.
根据上述要求，每个小组要完成以下工作.
(1)选题
本案例活动的选题步骤略去.
(2)开题
可以在课堂上组织开题交流，让每一个项目小组陈述初步测量方案，教师和其他
同学可以提出质疑.在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案.
(3)做题
依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量，这样有
利于教师的现场观察和管理.要有分工、合作、责任落实到个人.
(4)结题
在每一位学生都完成“测量报告”后，安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告
最好有鲜明的特点，如测量结果准确，过程完整清晰，方法有创意，误差处理得
当，报告书写规范等；或者测量的结果出现明显误差，使用的方法不当.
[分析] 测量高度是传统的数学应用问题，这样的问题有助于培养学生分析解决
问题、动手实践、误差分析等方面的能力.测量模型可以用平面几何的方法，例
如，比例线段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，
考虑自由落体的时间；等等.
[拓展] 欢迎提出新的问题，积累数学建模资源.例如：
1.本市的电视塔的高度是多少米？
2.一座高度为H m的电视塔，信号传播半径是多少？信号覆盖面积有多大？
3.找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方千米？电视塔的位置在
地图上的什么地方？按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否能覆
盖本市？
4.本市(外地)到省会的距离有多少千米？要用一座电视塔把信号从省会直接发送
到本市，这座电视台的高度至少要多少米？
5.如果采用多个中继站的方式，用100 m高的塔接力传输电视信号，从省会到本
地至少要建多少座100 m高的中继传送塔？
6.考虑地球大气层和电离层对电磁波的反射作用，重新考虑问题2，4，5.
7.如果一座电视塔(例如300 m高)不能覆盖本市，请设计一个多塔覆盖方案.
8.至少发射几颗地球定点的通讯卫星，可以使其信号覆盖地球？
9.如果我国要发射一颗气象监测卫星，监测我国的气象情况，请你设计一个合理
的卫星定点位置或卫星轨道.
10.在网上收集资料，了解有关“北斗卫星导航系统”的内容，在班里做一个相
关内容的综述，并发表对这件事的看法.