河南省郑州市中原区学大教育培训学校九年级数学上学期期中圈题5-四边形动点综合-北师大版PPT课件
2020年九年级数学中考压轴专题：《四边形综合问题》
三轮压轴专题：《四边形综合》1．已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是边BC上一个动点（点E不与点B，点C重合），连接AE，点H是BC延长线上一点．过点B作BF⊥AE，交AE于点G，交DC于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）过点E作EM⊥AE，交∠DCH的平分线于点M，连接FM，判断四边形BFME的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，∠EMC的正弦值为，求四边形AGFD的面积．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．（1）填空：PC＝，FC＝；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．5．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D 落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG 的长．6．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．7．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．8．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．9．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．10．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．11．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC 上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．12．已知∠MAN＝135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD 的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM＝DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．13．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．14．过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN．（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE⊥MN于点E，过点D作DF⊥MN于点F如图（1），请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．15．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P 不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．参考答案1．证明：（1）∵在正方形ABCD中，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（ASA）∴AE＝BF，（2）四边形BFME是平行四边形理由如下：如图1：在AB上截取BN＝BE，∵△ABE≌△BCF∴∠BAE＝∠FBC∵AB＝BC，BN＝BE，∴AN＝EC，∠BNE＝45°∴∠ANE＝135°∵CM平分∠DCH∴∠DCM＝∠MCH＝45°∴∠ECM＝135°＝∠ANE∵AE⊥EM∴∠AEB+∠MEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°∴∠BAE＝∠MEC，且AN＝EC，∠ANE＝∠DCM∴△ANE≌△ECM（SAS）∴AE＝EM，∠BAE＝∠MEC∴∠BAE＝∠FBC＝∠MEC∴BF∥EM，且BF＝AE＝EM∴四边形BFME是平行四边形（3）如图2，连接BD，过点F作FN⊥BD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝3，∠DBC＝∠BDC＝45°，∴BD＝3，∠DBF+∠FBC＝45°∵∠MCH＝∠MEC+∠EMC＝45°，∠FBC＝∠MEC∴∠EMC＝∠DBF∴sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝∴设NF＝a，BF＝10a，∵∠BDC＝45°，FN⊥BD∴DN＝NF＝a，DF＝NF＝2a∴BN＝3﹣a∵BF2﹣NF2＝BN2，∴98a2＝（3﹣a）2，∴a＝∴DF＝2×＝∴FC＝∵△ABE≌△BCF∴BE＝CF＝，∴EC＝，BF＝＝∵∠FBC＝∠FBC，∠BGE＝∠BCF∴△BGE∽△BCF∴ ∴∴BG ＝，GE ＝∴S 四边形ADFG ＝S 四边形ADEC ﹣S 四边形ECFG ，∴S 四边形ADFG ＝﹣（）＝2．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，DC ＝AB ＝3，AO ＝CO∴∠DAC ＝∠ACB ，且AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴AE ＝CF∵AE ＝x ，且DP ＝AE∴DP ＝x ，CF ＝x ，DE ＝4﹣x ，∴PC ＝CD ﹣DP ＝3﹣x故答案为：3﹣x ，x（2）∵S △EFP ＝S 梯形EDCF ﹣S △DEP ﹣S △CFP ，∴S △EFP ＝﹣﹣×x ×（3﹣x ）＝x 2﹣x +6＝（x ﹣）2+ ∴当x ＝时，△PEF 面积的最小值为（3）不成立 理由如下：若PE ⊥PF ，则∠EPD +∠FPC ＝90°又∵∠EPD +∠DEP ＝90°∴∠DEP ＝∠FPC ，且CF ＝DP ＝AE ，∠EDP ＝∠PCF ＝90° ∴△DPE ≌△CFP （AAS ）∴DE ＝CP∴3﹣x ＝4﹣x则方程无解，∴不存在x 的值使PE ⊥PF ，即PE⊥PF不成立．3．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．4．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，＝2××42＝8；∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC故答案为：8．5．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的长为．6．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．7．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；8．解：（1）方法感悟：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DE＝2，∵△GAF≌△EAF∴GF＝EF，∵CD＝6，DE＝2∴CE＝4，∵EF2＝CF2+CE2，∴EF2＝（8﹣EF）2+16，∴EF＝5；（2）方法迁移：DE+BF＝EF，理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，∴点H、B、F三点共线，在△AEF和△AHF中，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）问题拓展：EF＝BF﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS）∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AD，∴△HAE≌△FAE（SAS）∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．9．证明：（1）如图1，延长EG交DC的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠H＝GEB，且BG＝CG，∠BGE＝∠CGH，∴△CGH≌△BGE（AAS）∴GE＝GH，∵DE⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥DE，且GE＝GH，∴DG＝EG＝GH；（2）如图1：∵DB⊥EG，∴∠DOE＝∠DEB＝90°，且∠EDB＝∠EDO，∴△DEO∽△DBO，∴∴DE×DE＝4×（2+4）＝24，∴EO ＝＝＝2，∵AB ∥CD ， ∴， ∴HO ＝2EO ＝4， ∴EH ＝6，且EG ＝GH ， ∴EG ＝3，GO ＝EG ﹣EO ＝， ∴GB ＝＝＝，∴BC ＝2＝AD ， ∴AD ＝DE ，∴点E 与点A 重合，如图2：∵S 四边形ABCD ＝2S △ABD ，∴S 四边形ABCD ＝2××BD ×AO ＝6×2＝12；（3）如图3，过点O 作OF ⊥BC ，∵旋转△GDO ，得到△G ′D 'O ，∴OG ＝OG '，且OF ⊥BC ，∵OF∥AB，∴＝＝，∴GF＝BG＝，∴GG'＝2GF＝，∴BG'＝BG﹣GG'＝，∵AB2＝AO2+BO2＝12，∵EG'＝AG'＝＝，＝．10．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝BC，BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝90°，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBG﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBG，在△BAE和△BCG中，，∴△BAE≌△BCG（SAS）；（2）解：∵△BAE≌△BCG，∴AE＝CG，∵四边形ABCD正方形，∴AB＝AD＝CD＝8，∠D＝90°，∴DE＝CD﹣CE＝8﹣2＝6，∴AE＝＝＝10，∴CG＝10；（3）解：①当CG＝FG时，如图1所示：∵△BAE≌△BCG，∴AE＝CG，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BE，∴AE＝BE，在Rt△ADE和Rt△BCE中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCE（HL），∴DE＝CE＝DC＝×8＝4；②当CF＝FG时，如图2所示：点E与点C重合，即正方形ABCD和正方形BEFG的一条边重合，DE＝CD＝8；③当CF＝CG时，如图3所示：点E与点D重合，DE＝0；∵点E与点D不重合，∴不存在这种情况；④CF＝CG，当点E在DC延长线上时，如图4所示：DE＝CD+CE＝16；综上所述，当△CFG为等腰三角形时，DE的长为4或8或16．11．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．12．解：（1）①如图1，若BM＝DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN＝BM+DN．理由如下：在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN＝AM，∠NAD＝∠MAB，∵∠MAN＝135°，∠BAD＝90°，∴∠NAD＝∠MAB＝（360°﹣135°﹣90°）＝67.5°，作AE⊥MN于E，则MN＝2NE，∠NAE＝∠MAN＝67.5°．在△ADN与△AEN中，，∴△ADN≌△AEN（AAS），∴DN＝EN，∵BM＝DN，MN＝2EN，∴MN＝BM+DN．故答案为：MN＝BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP＝BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADC＝90°．在△ABM与△ADP中，，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM＝AP，∠1＝∠2＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵∠MAN＝135°，∴∠PAN＝360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）＝360°﹣135°﹣90°＝135°．在△ANM与△ANP中，，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN＝PN，∵PN＝DP+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN；（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDA＝∠DBA＝45°，∴∠MDA＝∠NBA＝135°．∵∠1+∠2＝45°，∠2+∠3＝45°，∴∠1＝∠3．在△ANB与△MAD中，，∴△ANB∽△MAD，∴，∴AB2＝BN•MD，∵AB＝DB，∴BN•MD＝（DB）2＝BD2，∴BD2＝2BN•MD，∴MD2+2MD•BD+BD2+BD2+2BD•BN+BN2＝MD2+BD2+BN2+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD，∴（MD+BD）2+（BD+BN）2＝（DM+BD+BN）2，即MB2+DN2＝MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．13．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．14．解：（1）EF，BE，DF之间的数量关系为：EF＝BE+DF；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∵BE⊥MN，DF⊥MN，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝DF，∴EF＝AF+AE＝BE+DF；（2）EF，BE，DF的数量关系为：EF＝BE﹣DF；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∵BE⊥MN，DF⊥MN，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝DF，∴EF＝AF﹣AE＝BE﹣DF；（3）EF，BE，DF的数量关系为：EF＝DF﹣BE；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∵BE⊥MN，DF⊥MN，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝DF，∴EF＝AE﹣AF＝DF﹣BE．15．解：（1）BP+QC＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，∴∠PEQ+∠GEH＝90°，∵QH⊥GD，∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，∴∠PEQ＝∠G，又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，∴∠EPQ＝∠GED，在△PEQ和△EGD中，，∴△PEQ≌△EGD（ASA），∴PQ＝ED，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；故答案为：BP+QC＝EC；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：由题意得：∠PEG＝90°，EG＝EP，∴∠PEQ+∠GEH＝90°，∵QH⊥GD，∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，∴∠PEQ＝∠G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，BC＝DC，∴∠EPQ+∠PEC＝90°，∵∠PEC+∠GED＝90°，∴∠GED＝∠EPQ，在△PEQ和△EGD中，，∴△PEQ≌△EGD（ASA），∴PQ＝ED，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；（3）分两种情况：①当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：BP＝EC﹣QC，∵AB＝3DE＝6，∴DE＝2，EC＝4，∴BP＝4﹣1＝3；②当点P在线段BC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示：同（2）可得：△PEQ≌△EGD（AAS），∴PQ＝DE＝2，∵QC＝1，∴PC＝PQ﹣QC＝1，∴BP＝BC﹣PC＝6﹣1＝5；综上所述，线段BP的长为3或5．。
河南省郑州八中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
河南省郑州八中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是()A. 2x2+3=2x(5+x)B. ax2+c=0C. (a+1)x2+6x+1=0D. (a2+1)x2−3x+1=02.如图所示的组合体，它的主视图是()A.B.C.D.3.若△ABC∽△A1B1C1，其面积比为49，△A1B1C1与△ABC的周长比为()A. 23B. 32C. 49D. 944.为了了解青海湖自然保护区中白天鹅的分布数量，保护区的工作人员捕捉了40只白天鹅做记号后，放飞在大自然保护区里，过一段时间后又捕捉了40只白天鹅，发现里面有5只白天鹅有记号，试推断青海湖自然保护区里有白天鹅()A. 40只B. 1 600只C. 200只D. 320只5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是()A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°6.如图，△ABC中，DE//BC，若AD：DB=2：3，则下列结论中正确的()A. DEBC =23B. DEBC=25C. AEAC=23D. AEEC=257.若点A(x1,−6)，B(x2,−2)，C(x3,3)在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是()A. x1<x2<x3B. x3<x1<x2C. x2<x1<x3D. x3<x2<x18.已知一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，则k的范围是()A. k>14B. k<14C. k≠14D. xy=23且k≠09.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0)，P(4,3)，将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为()A. (3,4)B. (−4,3)C. (−3,4)D. (4,−3)10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的中点为O，过O作OF⊥AC交AD于点F，交BC于点E，则四边形AECF−定是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. −般四边形二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若a2=b3=c4≠0，则a+bc=______．12.如图所示，是一个简单几何体的三视图，则这个几何体的侧面积等于______．13.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为(精确到1cm)．14.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=−2的图象交于点A(−1,m)，B(n,−1)两点，则使xkx+b>−2的x的取值范围是______．x15.如图，在矩形ABCD中，AD=2.将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE.若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB=_________三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.解方程：2x2−3x−1=0．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，AC=8cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．(1)若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时四边形AECF是平行四边形？(2)在(1)的条件下，①四边形AECF可能是矩形吗？为什么？②当AB为何值时，四边形AECF是菱形？18.如图，△ABC在平面直角坐标系中，点M在AB上，点A，B，C，O，M均在网格的格点上．(1)以点M为位似中心，作△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC位似，且相似比为1；2(2)以点O为位似中心，在第四象限内作△A2B2C2，使△A2B2C2和△A1B1C1位似，且相似比为2．19.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5m，EF=0.25m，测量点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m.求旗杆的高度．20.某机械租赁公司有同一种型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出1套，且未租出的1套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元．设每套设备的月租金为x元，当月收益是11040元时，租赁公司的月租金分别是多少元?此时应该出租多少套机械设备请你简要说明理由．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=kx−2与y轴相交于点A，与反比例函数y=8x在第一象限内的图象相交于点B(m,2)．(1)求直线AB的表达式；(2)将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式．22.已知直线y=12x+b与双曲线y=mx的一个交点为(2,5)，直线与y轴交于点A．(1)求m的值及点A的坐标；(2)若点P在双曲线y=mx的图象上，且S△POA=10，求点P的坐标．23.已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，BF与AD相交于点E，连接CE．(1)求证：BE=CE；(2)当△AEF是以________为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；(3)作∠FEG=120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查一元二次方程，掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是关键．根据一元二次方程的定义进行判断．解：A、由2x2+3=2x(5+x)得到：10x−3=0，不是一元二次方程，故本选项错误；B、当a=0时，ax2+c=0不是一元二次方程，故本选项错误；C、当a+1=0时，(a+1)x2+6x+1=0不是一元二次方程，故本选项错误；D、由a2+1>0知(a2+1)x2−3x+1=0是一元二次方程，故本选项正确．故选D．2.答案：C解析：解：这个组合体的主视图是故选：C．找到从正面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3.答案：A解析：解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴S△ABCS△A1B1C1=(ABA1B1)2=49，∴ABA1B1=23，∴C△ABCC△A1B1C1=ABA1B1=23，故选A．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得相似比，再根据周长比等于相似比可求得答案．本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比是解题的关键．4.答案：D解析：解：根据题意得：=320(只)，40÷540答：青海湖自然保护区里有白天鹅320只；故选：D．先根据样本求出有记号的白天鹅所占的百分比，再用40除以这个百分比即可．本题主要考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数．5.答案：A解析：此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH是等腰三角形是关键．由四边形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO=20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD 的度数，然后求得∠CAD的度数．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，BD，∴OH=OB=12∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°−∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°−∠ABD=20°．故选A．6.答案：B解析：本题考查了相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理．找准相似三角形对应边是解题的关键．解：∵DE//BC，且ADDB =23，∴ADDB =AEEC=23，∴△ADE相似于△ABC，∴DEBC =25，故选B．7.答案：B解析：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．先根据反比例函数y=−1x的系数−1<0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据−6<−2<0<3，判断出x1，x2，x3的大小．解：∵k=−1<0，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，又∵−6<−2<0<3，∴点A(x1,−6)，B(x2,−2)在第四象限，点C(x3,3)在第二象限，∴x3<x1<x2．故选B．8.答案：D解析：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．根据一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，知Δ=b2−4ac>0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．解：∵一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=1−4k>0，且k≠0，且k≠0；解得，k<14故选D．9.答案：C解析：本题考查了坐标与图形变化−旋转：在直角坐标系中线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标．如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA绕点O逆时针旋转90°到Rt△OP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．解：如图，OA=3，PA=4，∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′O=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，∴P′点的坐标为(−3,4)．故选：C．10.答案：B解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF//EC，∴∠OAF=∠OCE．∵∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，∴△AOF≌△COE，∴EO=FO．又∵AO=CO，∴四边形AFCE是平行四边形．∵EF⊥AC于O，∴四边形AECF是菱形．故选B．由于知道了EF垂直平分AC，因此只要证出AFCE是平行四边形即可得出AECF是菱形的结论．可通过证三角形ABE和CFD全等，来得出四边形AECF的两组对边相等进而得出四边形AECF是平行四边形，然后再根据上面所说的步骤即可得出本题的结论．本题主要考查菱形的判定与平行四边形的性质的知识点，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．11.答案：54解析：解：设a2=b3=c4=k≠0，则a=2k，b=3k，c=4k，所以a+bc =2k+3k4k=54．故答案是：54．根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果．本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．12.答案：18解析：本题考查了由三视图求几何体的侧面积，根据三视图判断几何体的形状是关键．由几何体的三视图可知，该几何体是底面边长为2的等边三角形、高为3的三棱柱，再根据侧面积公式可得．解：由几何体的三视图可知，该几何体是底面边长为2的等边三角形、高为3的三棱柱， ∴这个几何体的侧面积等于3×2×3=18，故答案为：18．13.答案：12cm解析：本题考查了黄金分割和近似数.把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值√5−12叫做黄金比，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解答问题的关键.根据黄金分割的定义可得书的宽为20×√5−12cm ，计算求值即可．解：∵书的宽与长之比为黄金比，且书的长为20cm ，∴书的宽为20×√5−12=20×0.618≈12cm ． 故答案为12cm ．14.答案：x <−1或0<x <2解析：解：把A(−1,m)，B(n,−1)分别代入y =−2x ，得−m =−2，−n =−2，解得m =2，n =2，所以A 点坐标为(−1,2)，B 点坐标为(2,−1)，把A(−1,2)，B(2,−1)代入y =kx +b 得{−k +b =22k +b =−1， 解得{k =−1;b =1， 所以这个一次函数的表达式为y =−x +1，函数图象如图所示：根据图象可知，使kx+b>−2的x的取值范围是x<−1或0<x<2．x坐标为(−1,m)和(n,−1)的两点在双曲线上，联立并解可得m、n的值；设一次函数的解析式为：y= kx+b，代入数据，解可得一次函数的解析式；画出函数图象，根据函数的图象，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．注意结合题意，结合图象选用合适的方法解题．15.答案：√3解析：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等，属于中档题．证明∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°，∠C=∠A′B′D=90°，推出△DB′A′≌△DCA′，CD=B′D，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求解．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，由翻折知，△AED≌△A′ED，△A′BE≌△A′B′E，∠A′B′E=∠B=∠A′B′D=90°，∴∠AED=∠A′ED，∠A′EB=∠A′EB′，BE=B′E，×180°=60°，∴∠AED=∠A′ED=∠A′EB=13∴∠ADE=90°−∠AED=30°，∴∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°，又∵∠C=∠A′B′D=90°，DA′=DA′，∴△DB′A′≌△DCA′(AAS)，∴DC=DB′，在Rt△AED中，∠ADE =30°，AD =2，∴AE =√3=2√33， 设AB =DC =x ，则BE =B′E =x −2√33， ∵AE 2+AD 2=DE 2，∴(2√33)2+22=(x +x −2√33)2， 解得，x 1=−√33(负值舍去)，x 2=√3， 故答案为√3．16.答案：解：2x 2−3x −1=0，a =2，b =−3，c =−1，∴△=9+8=17，∴x =3±√174， x 1=3+√174，x 2=3−√174．解析：本题主要考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程即可求解．17.答案：解：(1)若四边形AECF 为平行四边形，∴AO =OC ，EO =OF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BO =OD =6cm ，∴EO =6−t ，OF =2t ，∴6−t =2t ，∴t =2s ，∴当t 为2秒时，四边形AECF 是平行四边形；(2)①不可以是矩形，若是矩形，则EF =AC ，∴6−t +2t =6，∴t=0，则此时E在点B上，F在O上，显然四边形AECF不是矩形；②可以是菱形，若四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，∴AO2+BO2=AB2，∵BD=12cm，AC=8cm，∴AO=4cm，OB=6cm，∴AB=√36+16=2√13，所以当AB=2√13时，四边形AECF是菱形．解析：此题综合考查平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，考查综合运用数学知识的能力．(1)若四边形AECF是平行四边形，所以BD=12cm，则B0=DO=6cm，故有6−1t=2t，即可求得t值；(2)①若四边形AECF是矩形，EF=AC，则此时E在O上，所以四边形AECF不可以是矩形；②若四边形AECF是菱形，则AC垂直于BD，即有AO2+BO2=AB2，故AB可求；18.答案：解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．．解析：本题考查作图−位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．(1)取AM中点A1，BM中点B1，连接CM，取CM中点C1，连接A1C1，B1C1，即可得到△A1B1C1；(2)连接A1O并延长到A2，使OA2=2OA1，得到A1的对称点A2，同样的方法得到B1,C1的对应点，顺次连接即可．19.答案：解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则DEDC =EFAC，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴0.520=0.25AC，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m)，答：旗杆的高度为11.5m．解析：根据题意可得△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．20.答案：解：设租赁公司的月租金是x元，由题意得x(40−x−27010)−20×x−27010=11040，解得x1﹦350，x2﹦300．当x=350时，40−350−27010=32(套)；当x=300时，40−300−27010=37(套)．答：租赁公司的月租金是350元，此时应该出租32套机械设备；租赁公司的月租金是300元，此时应该出租37套机械设备．解析：本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设租赁公司的月租金是x元，则少租x−27010套，根据租金−管理费=11040元，列方程求解即可．21.答案：解：(1)∵点B(m,2)在y=8x的图象上，∴2=8m，∴m=4．∴点B(4,2)．把点B(4,2)代入y=kx−2，得：4k−2=2，∴k=1．∴直线AB的表达式为：y=x−2．(2)设平移后的直线表达式为：y=x+b．记它与y轴的交点为D，则点D(0,b)．又点A(0,−2)．∴AD=b+2．联结BD．∵CD//AB．∴S△ABD=S△ABC=18．即：12(b+2)⋅4=18．∴b=7．∴平移后的直线表达式为：y=x+7．解析：(1)把B的坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后把B的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线AB的解析式；(2)设平移后的直线表达式为：y=x+b，记它与y轴的交点为D，根据CD//AB可得S△ABD=S△ABC= 18，然后利用三角形的面积公式求解．本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，理解S△ABD=S△ABC=18是关键．22.答案：解：(1)把(2,5)代入y=m得m=10；xx+b得1+b=5，解得b=4，把(2,5)代入y=12x+4，则直线的解析式是y=12令x=0，解得y=4，则A的坐标是(0,4)；(2)设P的横坐标是m，×4|m|=10，则12解得m=±5．当x=m=5时，代入y=10得y=2，则P的坐标是(5,2)，x得y=−2，则P的坐标是(−5,−2)．当x=−5时，代入y=10x则P的坐标是(5,2)或(−5,−2)．解析：(1)利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式，然后求得A的坐标；(2)设P的横坐标是m，根据三角形的面积公式求得P的横坐标，进而求得P的坐标．本题考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数的交点，注意到P应该分成两种情况是关键．23.答案：(1)∵AD是等边△ABC的高，∴AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE；(2)AE或AF；(3)EF=EG，理由：∵∠BAC=60°，∠FEG=120°，∴∠BAC+∠FEG=180°，∴∠AGE+∠AFE=180°，∴∠AFE=∠BGE，过点E作EN⊥AB，EM⊥AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴EN=EM；在△ENG和△EMF中，{∠EGN=∠EFM∠ENG=∠EMF=90°EN=EM，∴△ENG≌△EMF，∴EG=EF．解析：解：(1)见答案；(2)∵AD是等边△ABC的高，∴∠CAD=12∠BAC=30°，∴△AEF为等腰三角形，∴腰为AE或AF，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=75°，∵∠ACB=60°，∴∠CBF=∠AFE−∠ACB=75°−60°=15°，∵BE=CE，∴∠ECD=∠CBF=15°，故答案为AE或AF(3)见答案．【分析】(1)先判断出AD是BC的垂直平分线，即可得出结论；(2)先判断出等腰三角形AEF的腰，再用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得出结论；(3)先判断出，∠AFE=∠BGE，进而构造出全等三角形，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，解本题的关键是掌握等边三角形的性质，是一道比较简单的中考常考题．。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《四边形综合》含答案
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《四边形综合》1．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，3）、B（9，5），C（14，0），动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA﹣AB﹣BC运动，在OA、AB、BC 上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒），当P、Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值；（3）在P、Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值．解：（1）设AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，把A（3，3）、B（9，5）代入得：，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为y＝x+2；（2）如图1，由题意得：OP＝t，则PC＝14﹣t，过A作AD⊥x轴于D，过B作BF⊥x轴于F，过Q作QH⊥x轴于H，过A作AE⊥BF于E，交QH于G，∵A（3，3），∴OD＝3，AD＝3，由勾股定理得：OA＝6，∵B（9，5），∴AE＝9﹣3＝6，BE＝5﹣3＝2，Rt△AEB中，AB＝＝4，tan∠BAE＝＝＝，∴∠BAE＝30°，点Q过OA的时间：t＝＝2（秒），∴AQ＝（t﹣2），∴QG＝AQ＝，∴QH＝+3＝t+2，在△PQC中，PC＝14﹣t，PC边上的高为t+2，t＝＝4（秒），∴S＝（14﹣t）（t+2）＝﹣+t+14（2≤t≤6），∴当t＝5时，S有最大值为；（3）①当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图2），过Q作QG⊥x轴于G，由题意得：OQ＝3t，OP＝t，∠AOG＝60°，∴∠OQG＝30°，∴OG＝t，∴CG＝14﹣t，sin60°＝，∴QG＝×3t＝t，在Rt△QGC中，由勾股定理得：QG2+CG2＝QC2＝PC2，可得方程（）2+（14﹣t）2＝（14﹣t）2，解得：t1＝，t2＝0（舍），此时t＝，②当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图3），∴AQ＝AP，过A作AG⊥x轴于G，由题意得：OP＝t，AQ＝（t﹣2），则PG＝t﹣3，AP＝（t﹣2），在Rt△AGP中，由勾股定理得：AP2＝AG2+PG2，可得方程：（3）2+（t﹣3）2＝[（t﹣2）]2，解得：t1＝，t2＝（舍去），此时t＝；当PQ的垂直平分线经过点C时，如图3﹣1中，易知QC＝PC＝14﹣t，QG＝t+2，CG＝14﹣t，在Rt△QCG中，（14﹣t）2＝（t﹣2）2+（14﹣t）2，整理得t2﹣4t+6＝0，△＜0，无解．此种情形不存在．③当6＜t≤10时，i）线段PQ的中垂线经过点C（如图4），∴PC＝CQ，由（2）知：OA＝6，AB＝4，BC＝10，t＝+＝6，∴BQ＝（t﹣6），∴CQ＝BC﹣BQ＝10﹣（t﹣6）＝25﹣t，可得方程为：14﹣t＝25﹣t，解得：t＝；ii）线段PQ的中垂线经过点B（如图5），∴BP＝BQ，过B作BG⊥x轴于G，则BG＝5，PG＝t﹣9，BQ＝（t﹣6），由勾股定理得：BP2＝BG2+PG2，可得方程为：（5）2+（t﹣9）2＝[（t﹣6）]2，解得：t1＝，t2＝（舍去），此时t＝，综上所述，t的值为或或或．2．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH＝AB；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．解：（1）如图1，连接BE，，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∵点E是DC的中点，DE＝DF，∴点F是AD的中点，∴AF＝CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1＝∠2，∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∵∠3+∠4＝90°，∠1+∠HBC＝90°，∴∠4＝∠HBC，∴CH＝BC，又∵AB＝BC，∴CH＝AB．故答案为：CH＝AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH＝AB仍然成立．如图2，连接BE，，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∵AD＝CD，DE＝DF，∴AF＝CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1＝∠2，∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∵∠3+∠4＝90°，∠1+∠HBC＝90°，∴∠4＝∠HBC，∴CH＝BC，又∵AB＝BC，∴CH＝AB．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH＝90°，∠HDE+∠ADH＝90°，∴∠KDF＝∠HDE，∵∠DEH+∠DFH＝360°﹣∠ADC﹣∠EHF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠DFK+∠DFH＝180°，∴∠DFK＝∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK＝DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK＝CH又∵CH＝AB，∴AK＝CH＝AB，∵AB＝3，∴AK＝3，AC＝3，∴CK＝AC+AK＝AC+AB＝，即线段CK长的最大值是．3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．4．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，∴∠AMF+∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；（3）过点C作CN⊥PB．∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16．5．已知：正方形ABCD，等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE＝1，AE＝，CE＝3，求∠AED的度数；（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF 与边DM重合时（如图2），若OF＝，求CN的长．解：（1）CE＝AF；证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝CA，∠ADC＝∠EDF＝90°∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF，（2）∵DE＝1，AE＝，CE＝3，∴EF＝，∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF为直角三角形，∴∠AEF＝90°∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；（3）∵M是AB中点，∴MA＝AB＝AD，∵AB∥CD，∴＝＝＝，在Rt△DAM中，DM＝＝＝2，∴DO＝，∵OF＝，∴DF＝，∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴＝，∴＝，∴DN＝，∴CN＝CD﹣DN＝4﹣＝6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴上的点，且S△AOE＝，试判断△AOE与△AOD是否相似？并说明理由．（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．解：（1）x2﹣7x+12＝0，因式分解得，（x﹣3）（x﹣4）＝0，由此得，x﹣3＝0，x﹣4＝0，所以，x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；（2）S△AOE＝×4•OE＝，解得OE＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠AEO＝∠OAD＝90°，∴△AOE∽△AOD；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∵OB＝3，∴OC＝6﹣3＝3，由勾股定理得，AC＝＝＝5，易求直线AB的解析式为y＝x+4，设点F的坐标为（a，a+4），则AF2＝a2+（a+4﹣4）2＝a2，CF2＝（a﹣3）2+（a+4）2＝a2+a+25，①若AF＝AC，则a2＝25，解得a＝±3，a＝3时，a+4＝×3+4＝8，a＝﹣3时，a+4＝×（﹣3）+4＝0，所以，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）；②若CF＝AC，则a2+a+25＝25，整理得，25a2+42a＝0，解得a＝0（舍去），a＝﹣，a+4＝×（﹣）+4＝，所以，点F的坐标为（﹣，），③若AF＝CF，则a2＝a2+a+25，解得a＝﹣，a+4＝×（﹣）+4＝﹣，所以，点F的坐标为（﹣，﹣），综上所述，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）或（﹣，）或（﹣，﹣）时，以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形．7．如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E﹣B﹣C匀速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD上的点，AQ＝10，设△APQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．（1）图①中AB＝8 ，BC＝18 ，图②中m＝20 ；（2）当t＝1秒时，试判断以PQ为直径的圆是否与BC边相切？请说明理由；（3）点P在运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．解：（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB＝2BE，由图象得：t＝2时，BE＝2×2＝4，∴AB＝2BE＝8，AE＝BE＝4，t＝11时，2t＝22，∴BC＝22﹣4＝18，当t＝0时，点P在E处，m＝△AEQ的面积＝AQ×AE＝×10×4＝20；故答案为：8，18，20；（2）当t＝1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t＝1时，PE＝2，∴AP＝AE+PE＝4+2＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴PQ＝＝＝2，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN＝AB＝8，O'M∥AB，MN＝AB＝8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M＝AP＝3，∴O'N＝MN﹣O'M＝5＜，∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF＝AB＝8，BF＝AQ＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝18，由折叠的性质得：PA'＝PA，A'Q＝AQ＝10，∠PA'Q＝∠A＝90°，∴A'F＝＝6，∴A'B＝BF﹣A'F＝4，在Rt△A'BP中，BP＝4﹣2t，PA'＝AP＝8﹣（4﹣2t）＝4+2t，由勾股定理得：42+（4﹣2t）2＝（4+2t）2，解得：t＝；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P＝AP，∴∠APQ'＝∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP＝∠A'PQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ＝A'P＝10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝＝6，又∵BP＝2t﹣4，∴2t﹣4＝6，解得：t＝5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P＝AP，A'Q＝AQ＝10，在Rt△DQA'中，DQ＝AD﹣AQ＝8，由勾股定理得：DA'＝＝6，∴A'C＝CD﹣DA'＝2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP＝2t﹣4，CP＝BC﹣BP＝18﹣（2t﹣4）＝22﹣2t，由勾股定理得：AP2＝82+（2t﹣4）2，A'P2＝22+（22﹣2t）2，∴82+（2t﹣4）2＝22+（22﹣2t）2，解得：t＝；综上所述，t为或5或时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．8．已知：如图①，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是AD的中点，点F是AB上的动点，PE⊥PF交BC所在直线于点E，连接EF．（1）EF的最小值是为 5 ；（2）点F从A点向B点运动的过程中，∠PFE的大小是否改变？请说明理由；（3）如图②延长FP交CD延长线于点M，连接EM、Q点是EM的中点．①当AF＝1时，求PQ的长；②请直接写出点F从A点运动到B点时，Q点经过的路径长为．解：（1）当PF和PE最短时，EF有最小值，此时点F与A重合，如图1所示：则四边形PABE是矩形，∴PE＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵点P是AD的中点，∴PA＝3，即PF＝3，由勾股定理得：EF＝＝＝5，即EF的最小值为5；故答案为：5；（2）∠PFE的大小不改变，理由如下：作EG⊥AD于G，如图2所示：则EG＝CD＝4，∵PE⊥PF，∴∠EPF＝90°，∴∠APF+∠GPE＝90°，∵∠APF+∠AFP＝90°，∴∠AFP＝∠GPE，又∵∠A＝∠EPF＝90°，∴△APF∽△GEP，∴＝＝，∴tan∠PFE＝＝，∴∠PFE的大小不改变；（3）①如图，∵∠ADC＝90°，∴∠PDM＝90°，在△APF和△DPM中，，∴△APF≌△DPM（ASA），∴AF＝DM＝1，PF＝FM，∴CM＝4+1＝5，∵PE⊥PF，∴PE垂直平分FM，∴EF＝EM，设CE＝x，则BE＝6﹣x，由勾股定理得：EF2＝bf2+BE2＝32+（6﹣x）2，EM2＝CE2+CM2＝x2+52，∴32+（6﹣x）2＝x2+52解得：x＝，∴CE＝，EM＝＝，∵∠EPF＝90°，Q点是EM的中点，∴PQ＝EM＝；②如图③中，点Q的运动轨迹是线段QQ1．作QH⊥AD于H．当点F与A重合时，点Q是矩形CDPE对角线DE的中点，则QH＝2，DH＝，当点F与B重合时，点Q1在AD的延长线上，设BE1＝M1E1＝m，在Rt△CM1E1中，m2＝（m﹣6）2+82，解得：m＝，∴CE1＝﹣6＝，∴DQ1＝CE1＝，∴HQ1＝+＝，在Rt△HQQ1中，QQ1＝＝，∴点P的运动路径为；故答案为：．9．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若不存在，请说明理由：（3）①求证：；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）；故答案为（2，2）；（2）存在；理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，分两种情况：①当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，如图1所示：∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形；②当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE ＝15°，如图2所示：∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2；（3）①证明：过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如图3所示：∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a，∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝＝；②作DH⊥AB于H，如图4所示：在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝＝，∴DE＝BD＝，∴矩形BDEF的面积为y＝（）2＝（x2﹣6x+12）＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值，即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF 相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是点O在△APE的外接圆上，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ 2 ，AE 达到最大值，最大值是 1 ．解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），故答案为：点O在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，∴，∴AE＝（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，即当AP＝2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．11．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts．①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵MN⊥AF，∴∠AHM＝90°，∴∠BAF+∠MAH＝∠MAH+∠AMH＝90°，∴∠BAF＝∠AMH，在△AMN与△ABF中，，∴△AMN≌△ABF，∴AF＝MN；（2）①∵AB＝AD＝6，∴BD＝6，由题意得，DM＝t，BE＝t，∴AM＝6﹣t，DE＝6﹣t，∵AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，∴，即，∴y＝；②∵BN＝2AN，∴AN＝2，BN＝4，由（1）证得∠BAF＝∠AMN，∵∠ABF＝∠MAN＝90°，∴△ABF∽△MAN，∴＝，即＝，∴BF＝，由①求得BF＝，∴＝，∴t＝2，∴FN＝＝5cm．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x （0＜x＜3）．（1）填空：PC＝3﹣x，FC＝x；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）∴AE＝CF∵AE＝x，且DP＝AE∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x故答案为：3﹣x，x（2）∵S△EFP ＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，∴S△EFP＝﹣﹣×x×（3﹣x）＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+∴当x＝时，△PEF面积的最小值为（3）不成立理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°又∵∠EPD+∠DEP＝90°∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°∴△DPE≌△CFP（AAS）∴3﹣x＝4﹣x则方程无解，∴不存在x的值使PE⊥PF，即PE⊥PF不成立．13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是二元一次方程组的解（OB＞OC）．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t＝4时，直线l恰好过点C．①当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；②当m＝时，求点P的横坐标t的值．解：（1）方程组的解为：，∵OB＞OC，∴OB＝6，OC＝5，∴点B的坐标为：（6，0），过点A作AM⊥x轴于M，如图1所示：∵∠OAB＝90°且OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OM＝BM＝AM＝OB＝×6＝3，∴点A的坐标为：（3，3）；（2）①过点C作CN⊥x轴于N，如图2所示：∵t＝4时，直线l恰好过点C，∴ON＝4，CN＝＝＝3，∴点C的坐标为：（4，﹣3），设直线OC的解析式为：y＝kx，把C（4，﹣3）代入得：﹣3＝4k，∴k＝﹣，∴直线OC的解析式为：y＝﹣x，∴R（t，﹣t），设直线OA的解析式为：y＝k′x，把A（3，3）代入得：3＝3k′，∴k′＝1，∴直线OA的解析式为：y＝x，∴Q（t，t），∴QR＝t﹣（﹣t）＝t，即：m＝t；②分三种情况：当0＜t＜3时，m＝t，m＝，则t＝，解得：t＝2；当3≤t＜4时，设直线AB的解析式为：y＝px+q，把A（3，3）、B（6，0）代入得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6，∴Q（t，﹣t+6），R（t，﹣t），∴m＝﹣t+6﹣（﹣t）＝﹣t+6，∵m＝，∴﹣t+6＝，解得：t＝10＞4（不合题意舍去）；当4≤t＜6时，设直线BC的解析式为：y＝ax+b，把B（6，0）、C（4，﹣3）代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣9，∴Q（t，﹣t+6），R（t，t﹣9），∴m＝﹣t+6﹣（t﹣9）＝﹣t+15，∵m＝，∴﹣t+15＝，解得：t＝；综上所述，满足条件的点P的横坐标t的值为2或．14．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为8．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，＝2××42＝8；∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC故答案为：8．15．如图，在△ABC中，AB＝14，∠B＝45°，tan A＝，点D为AB中点．动点P从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P关于点D对称点为点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，点N落在AC边上．（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，当点N在△ABC内部时，求S关于t的函数关系式．（3）当矩形PQMN的对角线所在直线将△ABC的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．解：（1）如图1，作CG⊥AB于点G，设BG＝h，∵∠B＝45°，AB＝14，∴CG＝BG＝h，AG＝14﹣h，∵tan A＝＝，即＝，解得：h＝8，则AG＝6，∵DP＝DQ＝t，∴PN＝PQ＝2t，由PN∥CG知△APN∽△AGC，∴＝，即＝，解得：t＝，故答案为：．（2）①如图2，∵四边形PQMN是正方形，∴∠BQM＝90°，∵∠B＝45°，∴BQ＝MQ，即7﹣t＝2t，解得t＝，故当0＜t≤时，S＝（2t）2＝4t2；②如图3，∵∠BQF＝90°，∠B＝45°，∴BQ＝FQ＝7﹣t，∠BFQ＝∠MFE＝45°，则MF＝MQ﹣QF＝3t﹣7，∵∠M＝90°，∴ME＝MF＝3t﹣7，则S＝（2t）2﹣×（3t﹣7）2＝﹣t2+21t﹣（＜t＜）；综上，S＝．（3）S＝AB•CG＝×14×8＝56，△ABC①如图4，作HR⊥AB于点R，∵四边形PQMN为正方形，且PM为对角线，∴∠HPB＝∠B＝45°，∴HR＝PB＝×（14﹣7+t）＝，∵PM将△ABC面积平分，∴S△PBH ＝S△ABC，则•（7+t）•＝×56，解得t＝﹣7+4（负值舍去）；②如图5，作KT⊥AB于T，设KT＝4m，由tan A＝＝知AT＝3m，∵∠KQT＝45°，∴KT＝QT＝4m，则AQ＝3m+4m＝7m，又AQ＝14﹣（7﹣t）＝7+t，则7m＝7+t，∴m＝，∵直线NQ将△ABC面积平分，∴S△AKQ ＝S△ABC，即×7m×4m＝×56，整理，得：m2＝2，则（）2＝2，解得：t＝﹣7+7（负值舍去），综上，t的值为4﹣7或7﹣7．16．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为45°，点D的坐标为（t，t）（用t表示）；（2）求证：PE＝AP+CE；（3）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？解：（1）如图1，由题可得：AP＝OQ＝1×t＝t（秒）∴AO＝PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°．∴∠BPA＝90°﹣∠DPQ＝∠PDQ．∵AO＝PQ，AO＝AB，∴AB＝PQ．在△BAP和△PQD中，，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴AP＝QD，BP＝PD．∵∠BPD＝90°，BP＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45°．∵AP＝t，∴DQ＝t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，，∴△FAB≌△ECB．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC．∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°．∴∠FBP＝∠FBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°．∴∠FBP＝∠EBP．在△FBP与△EBP中，，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP＝EP．∴EP＝FP＝FA+AP＝CE+AP．（3）①若PB＝PE，由△PAB≌△DQP得PB＝PD，显然PB≠PE，∴这种情况应舍去．②若EB＝EP，则∠PBE＝∠BPE＝45°．∴∠BEP＝90°．∴∠PEO＝90°﹣∠BEC＝∠EBC．在△POE和△ECB中，，∴△POE≌△ECB（AAS）．∴OE＝CB＝OC．∴点E与点C重合（EC＝0）．∴点P与点O重合（PO＝0）．∵点B（﹣4，4），∴AO＝CO＝4．此时t＝AP＝AO＝4．③若BP＝BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP＝CE．∵AP＝t，∴CE＝t．∴PO＝EO＝4﹣t．∵∠POE＝90°，∴PE＝＝（4﹣t）．延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，，∴△FAB≌△ECB．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC．∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°．∴∠FBP＝∠FBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°．∴∠FBP＝∠EBP．在△FBP和△EBP中，，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP＝EP．∴EP＝FP＝FA+AP＝CE+AP．∴EP＝t+t＝2t．∴（4﹣t）＝2t．解得：t＝4﹣4∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（0，4），点A为x轴正半轴上的一个动点，以AC为对角线作正方形ABCD（点B在点D右侧），设点A的坐标为（a，0）（a ≠4）．（1）当a＝2时．①求正方形ABCD的边长；②求点B的坐标．（2）0＜a＜4时，试判断△BOD的形状，并说明理由．（3）是否存在a，使得△AOC与△BOD全等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：（1）当a＝2时，如图1中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，连接OD、AC、BD，AC 与BD交于点G，①在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，OC＝4，OA＝2，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA＝90°，CD＝AD＝AB＝BC，∴2CD2＝20，∴CD＝，∴正方形边长为．②∵∠DMO＝∠MON＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴∠MDN＝∠CDA＝90°，∴∠CDN＝∠ADM，在△CDN和△ADM中，，∴△CDN≌△ADM，∴DN＝DM，CN＝AM，∴四边形DMON是正方形，设边长为a，B（m，n）则2+a＝4﹣a，∴a＝1，∴点D坐标（﹣1，1），∵DG＝GB，G（1，2），∴＝1，＝2，∴m＝n＝3，∴点B坐标为（3，3）．（2）结论：△BOD是直角三角形．理由：如图2中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，BH⊥OC于H，BG⊥OA于G．由（1）可知△CDN≌△ADM，同理可证△CBH≌△ABG，∴DN＝DM，BH＝BG，∴OD平分∠COM，OB平分∠COA，∴∠DOC＝∠BOC＝45°，∴∠DOB＝90°，∴△DOB是直角三角形．（3）①如图2中，当OA＝OD时，△AOC≌△ODB，设OA＝OD＝a，则DM＝OM＝ON＝DN＝a，∵CN＝AM，∴4﹣a＝a+a，∴a＝4﹣4．②如图3中，当OC＝OD＝4时，△AOC≌△BOD，设OA＝a，∵OC＝OD＝4，∴ON＝ND＝DM＝OM＝2，∵CN＝AM，∴4+2＝a﹣2，∴a＝4+4．综上所述当a＝4﹣4或4+4时，△AOC与△BOD全等．18．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；19．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BC＝20cm，AD＝10cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于M、N、E．当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）在运动过程中（点P不与B、C重合），连接PN，求证：四边形MBPN为平行四边形；（2）如图（2），以MN为边向下作正方形MFGN，FG交AD于点H，连结PF、PG，当0＜t ＜时，求△PFG的面积最大值；（3）在整个运动过程中，观察图（2）、（3），是否存在某一时刻t，使△PFG为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵l⊥AD，BC⊥AD，∴l∥BC，∴，∵AB＝AC，∴AM＝AN，∵∠BAC＝90°，∴ME＝NE，∴MN＝2AE＝2t，∵BP＝2t，∴MN＝BP，∴四边形MBPN为平行四边形；（2）解：∵四边形MFGN是正方形，∴FG＝MN＝MF＝2AE＝2t，∵EH＝MF＝2t，∴DH＝AD﹣AH＝10﹣3t，∴S＝FG•DH＝×2t×（10﹣3t）＝﹣3（t﹣）2+，△PFG∵a＝﹣3＜0，0＜t＜，∴当t＝时，S最大＝；△PFG（3）解：存在，当t＝或t＝5或t＝10时，△PFG为等腰三角形；理由如下：利用勾股定理得：PF2＝2（10﹣3t）2，PG2＝（10﹣3t）2+（10﹣t）2，又FG2＝（2t）2，当PF＝FG时，则2（10﹣3t）2＝（2t）2，解得：t＝，当PF＝PG时，2（10﹣3t）2＝（10﹣3t）2+（10﹣t）2，解得：t＝5，或t＝0（舍去）；当FG＝PG时，（2t）2＝（10﹣3t）2+（10﹣t）2，解得：t＝10，或t＝（舍去）；综上所述，t＝或t＝5或t＝10时，△PFG为等腰三角形．20．如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；（2）求证：AM＝AN；（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．解：（1）过E作EG⊥AO于G．∵∠EGA＝∠EAB＝∠AOB＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∠EAG+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠AEG，∵AE＝AB，∴△EGA≌△AOB（AAS），∴EG＝OA＝m，AG＝OB＝n∴E（m，m+n）．（2）∵OB＝OF，∠BOF＝90°，∴∠OFB＝∠OBF＝45°，∵△EGA≌△AOB，∴AG＝OB＝OF，∴OA＝FG＝EG，∴∠GFE＝45°，∴∠EFB＝90°，∴∠NAE＝∠NFB＝90°，∵∠ANE＝∠FNB，∴∠AEN＝∠ABM，∵∠EAN＝∠BAM＝90°，EA＝BA，∴△EAN≌△BAM（ASA），∴AN＝AM．（3）如图，∵△ABP与△PCQ全等，∠ABP＝∠PCQ＝90°∴有两种情形：①当AB＝CD，PB＝CP时，t＝＝5（s），∴v＝，②当AB＝PC，CQ＝PB时，PB＝20﹣12＝8，∴t＝＝4（s），∴v＝＝＝2．。
2020-2021学年河南省九年级(上)期中数学试卷(A卷)-解析版
2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列函数中，是反比例函数的为()A. y=2x+1B. y=2x2C. y=15xD. 2y=x2.如图所示的几何体，下列说法正确的是()A. 主视图和左视图相同B. 主视图和俯视图相同C. 左视图和俯视图相同D. 三视图各不相同3.有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 164.反比例函数y=−3x图象上有三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，其中x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y1<y3<y2D. y3<y2<y15.如图，l1//l2//l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D.若AOBO =32，CD=6，则CO的长是()A. 2.4B. 3C. 3.6D. 46.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 127.若关于x的方程(k−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为()A. 3B. 7C. −1D. 18.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压()A. 100cmB. 60cmC. 50cmD. 10cm9.如图，在Rt△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为BC的长为半径作弧，弧线两两交于P、Q圆心，以大于12两点，作直线PQ，与边AB、BC分别交于D、E两点，连接CD、AE，AE、CD交于点F.在下列说法中：①∠ADC=BC；③AF⋅EF=DF⋅CF；④若AB=2∠DCB；②AE=128，BC=10，则△ADC的周长为14.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为(1,0)，那么点B2021的坐标为()A. (1,1)B. (0,√2)C. (0,−√2)D. (−1,1)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，12.等腰三角形的两边恰为方程x2−7x+10=0的根，则此等腰三角形的周长为______．13.如图，在反比例函数y1=6x 和y2=kx，B的图象上取A、B两点，已知AB//x轴，△AOB的面积为7，则k=______．14.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB=______ 米．15.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E为AD边上不与端点重合的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A对应点F刚好落在矩形的对称轴上时，AE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.解下列方程：(1)2x2−5x+1=0；(2)(x+1)(x−2)=4．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）17.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−2=0．(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且(x 1−x 2) 2+m 2=21，求m的值．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,3)．(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；(2)以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．19.如图，A、C为x轴上两点，以AC为对角线构造矩形ABCD，反比例函数y=kx(x>0)经过点D，已知点B坐标为(0,−4)，点P坐标为(3,0).[提示：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)，点M(x,y)为线段AB的中点，则有x=x x+x22，y=y1+y22](1)求反比例函数解析式；(2)求直线AB的解析式．20.如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC⊥AB，点E为BC边上一动点，过点E作EF//AB，EF，AC交于点P，连接AE，CF．(1)若AE取最小值时，求四边形AECF的面积；(2)当点E运动到BC的中点时，判断四边形AECF的形状，请说明你的理由．21.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC= 51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF= 32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？22.如图，以△ABC顶点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以M，N为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于P点，连接AP以大于12交BC于D．(1)猜想AB，AC，BD，CD四条线段之间的关系，并给出证明；(2)若∠ACB=90°，CD=√3，BD=2√3；①求∠B的度数；②AD=m，AC=n，且一元二次方程x2−mx−n=0两根为x1，x2，求x12+x22的值．23.矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点C的坐标为(10,6)，点M为AC边上一点，且MC=4MA．(1)求直线AB的解析式；(2)在x轴上是否存在点E，使得直线ME平分矩形AOBC的面积，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点P为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以A、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是一次函数，错误；B、不是反比例函数，错误；C、符合反比例函数的定义，正确；D、是正比例函数，错误．故选C．(k≠0)这一形式的为反比例函数．根据反比例函数的定义，解析式符合y=kx(k≠0)中，特别注意不要本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式y=kx忽略k≠0这个条件．2.【答案】D【解析】解：从正面看，底层是一个较大的正方形，上层右边是一个小正方形；从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形；从上边看，是一个较大的正方形，正方形内部的右上角是一个小正方形所以三视图各不相同．故选：D．根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．此题主要考查了三视图的知识，解题的关键是能正确区分几何体的三视图，本题是一个基础题，比较简单．3.【答案】D【解析】解：画树状图如下：∴恰为“天”、“空”的概率为212=16，故选：D．画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=−3x中，k=−3<0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1<0<x2<x3，∴y1>0、y2<y3<0，∴y2<y3<y1．故选：B．先根据反比例函数y=−3x的系数−3<0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1<0<x2<x3，判断出y1、y2、y3的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵l1//l2//l3，∴AOBO =CODO=32，∴COCD =32+3，即CO6=35，∴CO=3.6，故选：C．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．6.【答案】B【解析】解：∵四边形ADCB 为菱形，∴OC =OA ，AB//CD ，∠FCO =∠OAE ，∵∠FOC =∠AOE ，△CFO≌△AEO(ASA)，∴S △CFO =S △AOE ，∴S △CFO +S △BOF =S △BOC ，∴S △BOC =14S ABCD =14×12AC ⋅BD =14×12×6×8=6，故选：B ．根据菱形的性质可证出△CFO≌△AEO ，可将阴影部分面积转化为△BOC 的面积，根据菱形的面积公式计算即可．此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为△BOC 的面积为解题关键． 7.【答案】C【解析】解：∵关于x 的方程(k −1)x 2−2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{k −1≠0△=(−2)2−4×1×(k −1)>0， ∴k <2且k ≠1．故选：C ．根据二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△>0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：假设向下下压x 厘米，则x 10=AC BC =5，解得x =50故选C ．利用相似比解题，在实际操作过程中，用力方向是平行的，构成两个相似三角形． 此题考查相似形的应用． 9.【答案】D【解析】解：由作法得DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠B=∠DCB，∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠DCB，所以①正确；∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，而∠BAC=90°，∴AE为斜边BC边上的中线，∴AE=1BC，所以②正确；2∵AE=BE，∴∠B=∠EAB，∵∠B=∠DCB，∴∠EAB=∠DCB，∵∠FAD=∠FCE，∠AFD=∠CFE，∴△ADF∽△CEF，∴AF：CF=DF：EF，∴AF⋅EF=DF⋅CF，所以③正确；在Rt△ABC中，AC=√BC2−AB2=√102−82=6，∵DB=DC，∴△ADC的周长=AD+CD+AC=AD+DB+AC=AB+AC=8+6=14，所以④正确．故选：D．利用基本作图得到DE垂直平分BC，则DB=DC，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可对①进行判断；证明△ADF∽△CEF，则利用相似比可对③进行判断；先利用勾股定理计算出AC，则利用等线段代换得到△ADC的周长=AB+AC，从而可对④进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了线段垂直平分线的性质和基本作图．【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1)，连接OB，由勾股定理得：OB=√2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=⋯=√2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=⋯= 45°，∴B1(0,√2)，B2(−1,1)，B3(−√2,0)，B4(−1,−1)，B5(0,−√2)，…，发现是8次一循环，所以2021÷8=252…5，∴点B2021的坐标为(0,−√2).故选：C．根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．11.【答案】16【解析】解：根据题意可得：3+x=0.95，4+x解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，所有x的值为16；故答案为：16．根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，由白球的频率，即可求出x的值．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．同时本题还考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】6或12或15【解析】解：∵x2−7x+10=0，∴(x−2)(x−5)=0，∴(x−2)=0或(x−5)=0，∴x1=2，x2=5，∵等腰三角形的两边恰为方程x2−7x+10=0的根，且2+2<5，∴该三角形的三边分别为2，2，2，或2，5，5，或5，5，5．∴此等腰三角形的周长为：2+2+2=6，或2+5+5=12，或5+5+5=15．故答案为：6或12或15．先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三边关系及等腰三角形的性质求得答案即可．本题考查了利用因式分解法解一元二次方程在几何图形问题中的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和三角形的三边关系是解题的关键．13.【答案】20【解析】解：延长BA交y轴于E，如图，∵S△AOE=12×6=3，S△BOE=12|k|，而△AOB的面积为7，∴S△BOE−S△AOE=7，即12|k|−3=7，而k>0，∴k=20．故答案为20．延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOE=12×6=3，S△BOE=12|k|，则12|k|−3=7，解得即可．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14.【答案】6【解析】解：∵王华的身高王华的影长=路灯的高度路灯的影长，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD =CGAB，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF =EHAB=CGAB，∴CDBD =EFBF，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴CDBD =EFBF=GCAB=HEAB，即1y+1=2y+5，即2(y+1)=y+5，解得：y=3，则1.5x =14，解得，x=6米．即路灯A的高度AB=6米．根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．15.【答案】52或5√33【解析】解：分两种情况：①如图1，过F 作MN//CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴AM =BN =12AD =4，∵△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ， ∴FE =AE ，FB =AB =5，∴FN =√FB 2−BN 2=3，∴FM =2，∴FE 2=EM 2+FM 2，∴FE 2=(4−FE)2+22，解得：FE =52，∴AE =52； ②如图2，过F 作PQ//AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP =PB ，AD//PQ//BC ，∴FB =2PB ，∴∠PFB =30°，∴∠FBC =30°，∴∠EBF =30°，∴AE =FE =FB ×tan30°=5×√33=5√33；综上所述：AE 的长为52或5√33； 故答案为：52或5√33． 分两种情况：①过F 作MN//CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM =BN =12AD =4，由勾股定理得到FN =3，求得FM =2，再由勾股定理解得FE 即可；②过F 作PQ//AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBF =30°，由三角函数求出AE =FE =FB ×tan30°．本题考查了翻折变换−折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，正确画出图形是解题的关键． 16.【答案】解：(1)∵a =2，b =−5，c =1，∴b 2−4ac =(−5)2−4×2×1=17，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=5±√174， ∴x 1=5+√174，x 2=5−√174；(2)方程变形得：x 2−x −6=0，分解因式得：(x −3)(x +2)=0，解得：x 1=3，x 2=−2．【解析】(1)先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可；(2)整理后分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 17.【答案】解：(1)根据题意得△=(2m +1)2−4(m 2−2)≥0，解得m ≥−94，所以m 的最小整数值为−2；(2)根据题意得x 1+x 2=−(2m +1)，x 1x 2=m 2−2，∵(x 1−x 2)2+m 2=21，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2+m 2=21，∴(2m +1)2−4(m 2−2)+m 2=21，整理得m 2+4m −12=0，解得m 1=2，m 2=−6，∵m ≥−94，∴m的值为2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2m+1)2−4(m2−2)≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m2−2，再利用(x1−x2)2+ m2=21得到(2m+1)2−4(m2−2)+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用(1)中m的范围确定m的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．18.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标(−4,2)．【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；(2)延长OA到A2使OA2=2OA，延长OB到B2使OB2=2OB，延长OC到C2使OC2=2OC，从而得到△A2B2C2，再点A2的坐标．本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．19.【答案】解：(1)∵矩形ABCD中，点B坐标为(0,−4)，点P坐标为(3,0)，∴D(6,4)，∵反比例函数y=kx(x>0)经过点D，∴k=6×4=24，∴反比例函数解析式为y=24x，(2)∵点B坐标为(0,−4)，点P坐标为(3,0)，∴OB=4，OP=3，∴PB=√OB2+OP2=5，∵P是矩形对角线的交点，∴BD=2PB=10，∴AC=BD=10，∴AP=5，∴A(−2,0)，设直线AB的解析式为y=kx−4，把A(−2,0)代入得，0=−2k−4，解得k=−2．∴直线AB的解析式为y=−2x−4．【解析】(1)根据矩形的性质即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；(2)利用勾股定理求得PB=5，进而根据矩形的性质求得AP=BP=5，即可求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，根据矩形的性质求得A、D的坐标是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵AE取最小值，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF//BE，又∵EF//AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AF=BE；∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，Rt△ABC中，AB=3，BC=5，∴AC=4；∵AF=BE，∴AF+EC=BE+EC=BC=5，∴S四边形AECF=12(AF+EC)⋅AE=12BC⋅AE=S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6；∴AE取最小值时，四边形AECF的面积为6；(2)当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．理由如下：∵E为BC的中点，∠BAC=90°，∴AE=12BC=EC=BE，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AF=BE，∴AF=AE=EC．∵在平行四边形ABCD中，AD//BC，∴AF//EC，又∵AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF=AE，∴四边形AECF为菱形．【解析】(1)由垂线段最短可知AE取最小值时AE⊥BC；由两组边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABEF是平行四边形；由勾股定理得出AC的值；将梯形AECF 的面积转化为Rt△ABC的面积，计算即可；(2)当点E运动到BC的中点时，四边形AECF为菱形．由直角三角形的斜边中线性质及平行四边形的性质得出条件证明四边形AECF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．21.【答案】解：∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12(180°−∠BOD)，同理可证：∠OBD=∠ODB=12(180°−∠BOD)，∴∠OAC=∠OBD，∴AC//BD，在Rt△OEM中，OM=√OE2−EM2=30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF//BD，∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴OEAB =OMAH，AH=30×13634=120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．【解析】先根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=12(180°−∠BOD)和∠OBD=∠ODB=12(180°−∠BOD)，进而利用平行线的判定得出即可，再证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)ABAC =BDCD，理由如下：如图，过点B作BE//AC交射线AD与E，由题意可得：AP平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵BE//AC，∴∠CAD=∠E，∴∠E=∠BAD，∴AB=BE，∵BE//AC，∴△ACD∽△EBD，∴BEAC =BDCD，∴ABAC =BDCD；(2)①∵∠ACB=90°，∴sin∠ABC=ACAB =CDBD=√32√3=12，∴∠ABC=30°；②∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，∵AP平分BAC，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD=2√3，AC=√3CD=3，∴m=2√3，n=3，∵一元二次方程x2−mx−n=0两根为x1，x2，∴x1+x2=m，x1⋅x2=−n，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=m2+2n=12+6=18．【解析】(1)过点B作BE//AC交射线AD与E，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠E=∠BAD，可得AB=BE，通过证明△ACD∽△EBD，可得结论；(2)①由sin∠ABC=12，可求解；②先求出m ，n 的值，由根与系数关系，可求解．本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数，一元二次方程的根与系数关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 23.【答案】解：(1)由点C 的坐标知，AC =OB =10，AO =BC =6，则点A(0,6)、点B(10,0)，设直线AB 的表达式为y =kx +m ，则{m =60=10k +m， 解得{k =−35m =6， 故直线AB 的表达式为y =−35x +6；(2)存在，理由：矩形AOBC 的面积=AO ×BO =10×6=60，∵MC =4MA ，则AM =2，MC =8，设点E(x,0)，则S 四边形AMEO =12(AM +OE)×AO =12×(2+x)×6=12×60，解得x =8， 故点E 的坐标为(8,0)；(3)∵点P 为矩形的中心，由中点公式得，点P(5,3)，而点A(0,6)、点O(0,0)，设点Q(a,b)，①当AO 是边时，由O 向右平移0个单位向上平移6个单位得到点A ，同样点P(Q)向右平移0个单位向上平移6个单位得到点Q(P)，则{5±0=a 3±6=b ，解得{a =5b =9或{a =5b =−3； ②当AO 是对角线时，由中点公式得：{12(0+0)=12(5+a)12(6+0)=12(3+b)，解得{a =−5b =3，故点Q的坐标为(5,9)或(5,−3)或(−5,3)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由S四边形AMEO =12(AM+OE)×AO=12×(2+x)×6=12×60，即可求解；(3)分AO是边、AO是对角线利用平移的性质和中点公式，分别求解即可．本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。
2019-2020学年九年级数学上学期期中原创卷A卷(河南)(考试版)【测试范围：人教版九上全册】
2019-2020学年上学期期中原创卷A 卷九年级数学（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：人教版九上全册。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．若关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a +++-=的一个根是0，则a 的值为 A ．1B ．1-C ．1或1-D ．123．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC =35°，则∠CAB 的度数为A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°4．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为 A ．15B ．14C ．13D ．125．如图，在AOC △中，3cm 1cm OA OC ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD △，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为A ．2cm 2πB ．22cm πC ．2178cm πD ．2198cm π 6．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k -…且0k ≠D ．1k >-且0k ≠7．已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是 A ．122y y >> B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>8．如图，ABC △中，63∠=︒CAB ，在同一平面内，将ABC △绕点A 旋转到AED △的位置，使得DC AB ∥，则BAE ∠等于A ．54︒B ．56︒C ．64︒D ．66︒第8题图 第9题图 第10题图9．如图，P A 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是 A ．P A ＝PBB ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD10．如图为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax 2+bx +c =0的根为1213x x =-=，；③a +b +c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，1x <-或3x >．其中，正确的说法有 A ．①②④ B ．①②⑤C ．①③⑤D ．②④⑤第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程2(1)(1)x x -=-的根为____________．12．若二次函数y ＝(x －1)2＋k 的图象过A (－1，1y )、B (2，2y )、C (5，3y )三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系正确的是____________．13．一个口袋中有若干个白球，不许将球倒出来数，为了估计出其中的白球数，把袋子中的9个白球拿出来染成黑色，再放回袋中，然后从口袋中随机摸出一球，记下颜色后，再把它放回袋中，不断重复，共摸了100次，其中有20次摸到黑球，由此估计袋中原来有____________个白球.14．如图，△ABC 中,∠BAC =90°,将ABC △绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE,点B 的对应点D 恰好落在BC 边上,若AC,60B ∠=︒,则CD 的长为____________．第14题图 第15题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作半圆的切线，切点为D ，射线CD 交BA 的延长线于点E ，若CD ＝ED ，AB ＝4，则EA ＝____________．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分8分）（1）解方程：2610x x +-=；（2）解方程：()16x x +=.17．（本小题满分9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC △的顶点均在格点上，点A 的坐标为(2,3)，点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,2).（1）以点C 为旋转中心，将ABC △旋转180︒后得到11A B C △，请画出11A B C △； （2）平移ABC △，使点A 的对应点2A 的坐标为(0,1)-，请画出222A B C △； （3）若将11A B C △绕点P 旋转可得到222A B C △，则点P 的坐标为___________．18．（本小题满分9分）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6，且质地均匀的正方体骰子，另有三张正面分别标有1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明掷骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字.（1）请用列表或树状图的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率； （2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢；问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由.19．（本小题满分9分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E . F ． （1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BDBF =2，求⊙O 的半径．20．（本小题满分9分）如图，抛物线y =﹣12x 2﹣x +4与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）P 为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP 面积的最大值．21．（本小题满分10分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为w 元，每件商品涨价x 元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过8元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．22．（本小题满分10分）如图，以ABC △的边BC 为直径作⊙O ，点A 在⊙O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD AB =，30D ∠=︒ （1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若直径4BC =，求图中阴影部分的面积．23．（本小题满分11分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点．（1）求,A C 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．。
河南省郑州市中原区学大教育培训学校九年级数学上学期
可以用配方法或 公式法进行检验！
解析：本题出题人的意图显然是考察学生对分解因式法解一元二次方程的应用。
解：移项得：x2-x=0 分解因式得：x(x-1)=0 故x1=0,x2=1
2 例题剖析-针对讲解
（2013 外国语期中）17、解方程：2y2-4y-1=0(用配方法)
解析：本题要求用配方法解一元二次方程。
4 举一反三-突破提升
针对性训练答案
1.(1)
x1
5
4
33பைடு நூலகம்
,
x2
5 4
33
(2)
x1
1, x2
1 3
2. x1 5, x2 7
3.(1)
x1
5 2
21
,
x2
5 2
21
(2) x1 2, x2 3
4. x1 1 2, x2 1 2
题号
9、17 1、16 1、17
16 1、9
难度
★★★
★★ ★★ ★★★ ★★
考法规律
1.【知识点】： 考查一元二次方程
的计算，最常考的方法 是配方法和分解因式法 2.【频度】：
每年基本都考两题， 一道小题，一道大题 3.【难度】：
题目难度中等。
02
例题剖析-针对讲解
2 例题剖析-针对讲解
（2013 枫杨期中）方程 x2=x 的根为 x=0或1
因为专业 所以圈中！
九 年 级 数 学 期 中 考 前 圈 题
——郑州市九年级数学期中考试圈题（8）——解一元二次方程
司英豪 学大教育郑州分公司初中数学个性 化研究院研究员、河南省第四届培训机构优质课 大赛一等奖、2014年郑分公开课大赛一等奖、 2014年河南省民办教育机构模范教师。
2020-2021学年河南省九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年河南省九年级（上）期中数学试卷1.在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得图形与原图形的关系：将原图形()A. 向上平移3个单位长度B. 向下平移3个单位长度C. 向左平移3个单位长度D. 向右平移3个单位长度2.下列说法正确的是()A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C. 两个矩形一定相似D. 两个直角三角形一定相似3.计算√32的结果是()A. 3B. −3C. ±3D. √34.方程x2−2x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12.若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为()A. 5B. 5.5C. 6D. 6.56.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，则△ABC与△DEF的相似比是()A. √22B. 1C. 2D. √27.如图所示的是一所学校的平面示意图，若用(3,2)表示教学楼，(4,0)表示旗杆，则实验楼的位置可表示成()A. (1,−2)B. (−2,1)C. (−3,2)D. (2,−3)8. 如图，A 、B 分别是反比例函数y =4x(x >0)图象上的两点，连接OA ，OB ，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、E ，且AC 交OB 于点D ，若S △OAD =43，则CDBE的值为( )A. 13B. √33C. 12D. √229. 若x 为实数，在“(√3+1)□x ”的“□”中添上一种运算符号(在“+，−，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是( )A. √3+1B. √3−1C. 2√3D. 1−√310. 如图，已知▱ABCD ，AB =2，AD =5，将▱ABCD 绕点A顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为( )A. 215 B. 245 C. √21 D. 311. 计算√20×√15的结果是______ ．12. 如图，直线a//b//c ，分别交直线m ，n 于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若AB =2，AC =6，DE =3，则EF 的长为______ ．13. 已知△FBC∽△EAD ，它们的周长分别为30和15，若边FB 上的中线长为10，则边EA 上的中线长为______． 14. 如果x−y y=35，那么yx的值为______．15.如图1，在线段AB上有一点E，若AEAB =BEAE，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，延长OP至点G，使得OG=ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ=4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为______．16.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AD=BD，若AB2=BD⋅BC.求证：△ABC是等腰三角形．17.(1)计算：(√3+√2)(√3−√2)−(12)−1−|√2−1|．(2)解方程：x2−3x−10=0．18.小明妈妈在国庆节期间以155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价200元/件出售，那么每天可以售出20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件，若平均每天要盈利1500元，每件商品应降价多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打几折出售？19.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,−2)，B(−5,−4)，C(−1,−5)．(1)请在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．(3)①点B1的坐标为______；②求△A2B2C2的面积．20.阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．任务：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．21.如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺．测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离(即DE的长度)，小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得BC=6米，CD=22米，∠CDE=135°.已知小华的身高AB=1.6米，请根据以上数据，求DE 的长度．(结果保留根号)22.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5.点E，F分别在边AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称．(1)连接AF，CE，判断四边形AFCE是何种特殊的四边形，并说明理由．(2)若P是边DC上的一动点，当△PEF的周长最小时，求DPCP的值．23.如图，O是△ABC的边BC上一点，过点O的直线分别交射线AB，线段AC于点M，N，且ABAM =m，ACAN=n．(1)BMAM =______(用含m的代数式表示)；CNAN=______(用含n的代数式表示)．(2)若O是线段BC的中点．求证：m+n=2．=k(k≠0)，求m，n之间的关系(用含k的代数式表示)．(3)若COOB答案和解析1.【答案】C【解析】解：将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，所得图形与原图形相比向左平移了3个单位．故选：C．根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案．此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的变化规律．2.【答案】B【解析】解：A、两个顶角或底角相等等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；B、两个等边三角形一定相似，故本选项符合题意；C、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；D、两个直角三角形的两个锐角不一定对应相等，不一定相似，故本选项不符合题意；故选：B．利用相似图形的判定分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形，解题的关键是了解相似图形的判定方法，难度不大．3.【答案】A【解析】解：√32=|3|=3．故选：A．直接根据√a2=|a|化简即可．本题考查了二次根式的性质与化简：√a2=|a|．4.【答案】B【解析】解：∵△=(−2)2−4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．先计算出△=(−2)2−4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．5.【答案】D【解析】解：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB=√AC2+BC2=√52+122=13，∵AD=DC，CE=EB，∴DE=12AB=6.5，故选：D．利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE即可．本题考查三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：∵AB=2，BC=2√2，AC=2√5，DE=√2，EF=2，DF=√10，∴ABDE =BCEF=ACDF=√2，∴△ABC∽△DEF，且相似比是√2，故选：D．利用相似三角形的判定方法即可证明△ABC∽△DEF，而对应边的比即是相似比．本题考查相似三角形的相似比，解题的关键是要注意，相似比是用前一个三角形的边比后一个三角形的边．7.【答案】D【解析】解：如图所示：实验楼的位置可表示成(2,−3)．故选：D．直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．8.【答案】B【解析】解：∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，∴S△AOC=S△BOE=12×4=2，∴S△OCD=2−43=23，∵CD//BE，∴△OCD∽△OEB，∴S△OCDS△OEB =(CDEB)2=232=13，∴CDEB =√33．故选：B．先利用反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOE=2，则S△OCD=23，再证明△OCD∽△OEB，然后根据相似三角形的性质求解．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．9.【答案】C【解析】解：A.(√3+1)−(√3+1)=0，故本选项不合题意；B.(√3+1)(√3−1)=2，故本选项不合题意；C.(√3+1)与2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D.(√3+1)(1−√3)=−2，故本选项不合题意．故选：C．根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．(a+b)(a−b)=a2−b2．10.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=5，CD=AB=2，∠D=∠ABC，∵▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG，∴AE=AB=2，EF=BC=5，∠ABC=∠E，∠DAG=∠BAE，∴∠D=∠E，∴△AEH∽△ADC，∴EHDC =AEAD，即EH2=25，解得EH=45，∴FH=EF−EH=5−45=215．故选：A．先根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，CD=AB=2，∠D=∠ABC，再根据旋转的性质得到AE=AB=2，EF=BC=5，∠ABC=∠E，∠DAG=∠BAE，接着证明△AEH∽△ADC，利用相似比求出EH，然后计算EF−EH即可．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了平行四边形的性质和旋转的性质．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．11.【答案】2【解析】解：原式=√20×15=√4=2．故答案为：2．利用二次根式的乘法公式，直接计算即可．本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握√a×√b=√ab是解决本题的关键．12.【答案】6【解析】解：∵a//b//c，∴ABAC =DEDF，即26=3DF，解得，DF=9，则EF=DF−DE=6，故答案为：6．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13.【答案】5【解析】解：∵△FBC∽△EAD，它们的周长分别为30和15，∴△FBC和△EAD的相似比为2：1，∵边FB上的中线长为10，∴边EA上的中线长为5，故答案为：5．根据相似三角形的性质求出△FBC和△EAD的相似比，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．14.【答案】58【解析】解：∵x−y y=35，∴x−y+yy =3+55，即xy=85，∴yx =58．故答案为58．先利用合比性质得到xy =85，然后交换前后项可得到答案．本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质和等比性质．15.【答案】5【解析】解：①当PH>NH时，由题意PH=√5−12⋅PN=2√5−2，设ON=OG=x，则OP=x−(2√5−2)，∵∠OPN=90°，∴[x−(2√5−2)]2+42=x2，∴x=2√5，∴OP=2，OQ=2，∵∠OPN=∠Q=∠NQI=90°，∴∠NOP+∠QOI=90°，∠NOP+∠PNO=90°，∴∠QOI=∠PNO，∴△OQI∽△NPO，∴OQPN =OINO，∴24=OI2√5，∴OI=√5，∴S△NOI=12⋅NO⋅OI=12×2√5×√5=5．②当NH>PH中，则NH=2√5−2，PH=PG=6−2√5，设ON=OG=y，则OP=y−(6−2√5)，∵∠OPN=90°，∴[y−(6−2√5)]2+42=y2，∴y=8，∴OP=2+2√5>4(不符合题意，舍弃)．综上所述，△NOI的面积为5．故答案为：5．分两种情形：①当PH>NH时，由题意PH=√5−12⋅PN=2√5−2，②当NH>PH中，则NH=2√5−2，PH=PG=6−2√5，分别利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．本题考查相似三角形的判定和性质，黄金分割，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】证明：∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，而∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△BCA，∴∠BAD=∠CBA，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B，∴∠CBA=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【解析】由AB2=BD⋅BC，可证△ABD∽△BCA，即得∠BAD=∠CBA，而AD=BD，有∠BAD=∠B，故∠CBA=∠B，AB=AC，即得△ABC是等腰三角形．本题考查相似三角形的性质与判定和当腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明△ABD∽△BCA，从而得到∠BAD=∠CBA．17.【答案】解：(1)原式=3−2−2−√2+1=−√2；(2)∵x2−3x−10=0，∴(x−5)(x+2)=0，∴x1=5，x2=−2．【解析】(1)根据平方差公式和负整数指数幂进行计算即可；(2)利用因式分解法解方程即可．本题考查了因式分解法解一元二次方程、负整数指数幂、二次根式的混合运算，解决本题的关键是准确计算．18.【答案】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的利润为(200−x−155)元，每天的销售量为(20+2x)件，依题意，得：(200−x−155)(20+2x)=1500，整理，得：x2−35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，又∵为了尽快减少库存，∴x=20，∴折扣率为200−20200×10=9(折)．答：每件商品应降价20元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打9折出售．【解析】设每件商品应降价x元，则每件商品的利润为(200−x−155)元，每天的销售量为(20+2x)件，根据每天的利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其较大值，再利用折扣率=(原价−降低的价格)÷原价×10，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19.【答案】(−5,4)【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作，C2 (−1,−2)；(3)①点B1的坐标为(−5,4)；②△A2B2C2的面积=4(4×3−12×4×1−12×3×1−12×3×2)=22．故答案为(−5,4)．(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)把A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2得到A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点即可；(3)①由(2)得B 2的坐标；②先用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积计算出△ABC 的面积，然后把△ABC 的面积乘以4得到△A 2B 2C 2的面积．本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．20.【答案】解(1)正确比例式是：DE BC =AD AB ， ∴DE =AD⋅BC AB =(AB−BD)⋅BCAB =2×56=53； (2)另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D 作∠ADE =∠ACB ，则△ADE∽△ACB ，∴DEBC =ADAC ，∴DE =AD⋅BCAC =2×54=52，综合以上可得：DE 为53或52．【解析】(1)根据相似三角形的性质可得出结论；(2)另一个错误是没有进行分类讨论，过点D 作∠ADE =∠ACB ，则△ADE∽△ACB ，可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．21.【答案】解：过E 作EF ⊥BC 于F ，∵∠CDE =135°，∴∠EDF =45°，设EF 为x 米，DF =x 米，DE =√2x 米，∵∠B =∠EFC =90°，∵∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EFC，∴ABEF =BCFC，即1.6x =622+x，解得：x=8，∴DE=8√2，答：DE的长度为8√2米．【解析】过E作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质解答即可．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．22.【答案】解：(1)四边形AFCE是菱形．证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∵点A与点C关于EF所在的直线对称，∴AO=CO，AC⊥EF，∵∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE=CF，且AE//CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；(2)如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，∵四边形AFCE是菱形，∴AF=CF=CE=AE，∵AF2=BF2+AB2，∴AF2=(5−AF)2+32，∴AF=CF=CH=175，DE=85，∵AD//BC，∴△DEP∽△CHP，∴DPCP =DECH=817．【解析】(1)连接AF，CE，AC交EF于点O，由“AAS”证明△AEO≌△CFO，可得四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，可证得结论；(2)作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，由AD//BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形的性质可得比例式进而求得答案．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作点F 关于CD的对称点H，连接EH是解题的关键．23.【答案】1−m n−1【解析】解：(1)∵AB=AM−BM，AC=AN+CN，ABAM =m，ACAN=n，∴ABAM =AM−BMAM=1−BMAM=m，CNAN=AN+CNAN=1+CNAN=n，∴BMAM =1−m，CNAN=n−1，故答案为：1−m，n−1；(2)设AM=a，AN=b．∵ABAM =m，ACAN=n，∴AB=am，AC=bn，∴MB=MA−AB=a−am=(1−m)a，CN=AC−AN=bn−b=(n−1)b，若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH//AC交MN于H，∴∠OBH=∠OCN．在△OBH与△OCN中，{∠OBH=∠OCN OB=OC∠BOH=∠CON，∴△OBH≌△OCN(ASA)，∴BH=CN=(n−1)b．∵BH//AN，∴△BMH∽△AMN，∴BMAM =MHMN，即(1−m)aa=(n−1)bb，∴1−m=n−1，∴m+n=2；(3)若COOB=k(k≠0)，如图2，过点B作BG//AC交MN于G，∴∠OBG=∠OCN，∵∠BOG=∠CON，∴△OBG∽△OCN，∴BGCN =OBOC，即BG(n−1)b=1k，∴BG=n−1kb.∵BG//AN，∴△MBG∽△MAN，∴BMAM =BGAN，即(1−m)aa=(n−1)kbb，∴1−m=n−1k，∴n=k−km+1．(1)根据线段的和差得到AB=AM−BM，AC=AN+CN，根据已知条件ABAM =m，ACAN=n，得到BMAM =1−m，CNAN=n−1；(2)设AM=a，AN=b.根据已知条件得到ABAM =m，ACAN=n，得到AB=am，AC=bn，如图1，过点B作BH//AC交MN于H，根据全等三角形的性质得到BH=CN=(n−1)b.根据相似三角形的性质得到结论；(3)如图2，过点B作BG//AC交MN于G，根据平行线的性质得到∠OBG=∠OCN，根据相似三角形的性质得到BG=n−1kb.根据BG//AN，推出△MBG∽△MAN，根据相似三角形的性质得到结论．本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作出AC的平行线构造全等或相似是解题的关键．。
河南省郑州市中原区学大教育培训学校九年级数学上学期
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
AG
03
破译规律-特别提
醒
3 破译规律-特别提 醒
【核心】：三角形、四边形的性质、 动点问题综合应用 【关键】：举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升
1、如图，已知 Rt ABC中，ACB 900 ,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,且正方形
AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为【 】
A F
A． 5
B． 5
C． 5
D． 6
4
2
3
5
EM
B
P
C
4 举一反三-突破提 升
针对性训练答案：
1、7 2、1.5 或 3 3、3＋ 3 4、2 5、D
A
D
B′
B
E
C
第15题
4 举一反三-突破提 升
3、如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2 3 ，点 E 是
BC 边的中点，△DEF 是等边三角形，DF 交 AB 于点 G，则△BFG 的周长为 .
4 举一反三-突破提 升
4、动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3,AD=5.如图所示，
—— 四边形小题综合
01
以史为鉴-考法回
顾
1 以史为鉴-考法分 析 圈题4：《四边形小题综合》考法规律分析
年份
试卷
知识点
题号 难度
考法规律
2012年《省实验期中试卷》 正方形综合
15
★★★★ 1.【知识点】：
2013年
《经开一中期中试 卷》
平行四边形计算
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C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速
度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P,Q分别从点A、C同时出发，当其
中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设4 t 运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=_8_-_2_t _3_,PD=________;
——四边形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点综合
01
以史为鉴-考法回
顾
1 以史为鉴-考法分 析 圈题5：《四边形动点综合》考法规律分析
年份
试卷
知识点
2013年 《枫楊外国语期中试卷》 四边形动点综合
2013年 《经开一中期中试卷》
矩形综合
题号
19 22
2013年 《省实验期中试卷》 四边形、三角形动点综合 22
2013年 《外国语期中试卷》 四边形、三角形综合 22
（2013年省实验22题）
如图，如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点 C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速 度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P,Q分别从点A、C同时出发，当其 中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设4 t 运动时间为t秒（t≥0）．
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升
1. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60°，点 E 是 AD 边的中点．点 M 是 AB 边上 一动点（不与点 A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD、AN． （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形；
ND
C
E
A MB （2）填空：①当 AM 的值为_______时，四边形 AMDN 是矩形； ②当 AM 的值为________时，四边形 AMDN 是菱形．
4 举一反三-突破提 升
5、如图，在等边三角形 ABC 中，BC=6cm. 射线 AG//BC，点 E 从点 A 出发沿射线 AG 以 1cm/s
的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动，设运动时间为 t(s). （1）连接 EF，当 EF 经过 AC 边的中点 D 时，求证：△ADE≌△CDF； （2）填空：
①当 t 为_________s 时，四边形 ACFE 是菱形； ②当 t 为_________s 时，以 A、F、C、E 为顶点的四边形是直角梯形.
4 举一反三-突破提 升
针对性训练答案：
1、（1）略（2）1,2
2、（1）略（2）t 10 或（3）t 5 或 4
3
2
3、（1）3 或 8（2）1 或 11（3）能
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=__8_-2_t_3_,PD=________;
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理 由．
(2)不存在
03
破译规律-特别提
醒
3 破译规律-特别提 醒
【核心】：平行四边形、菱形、矩 形、正方形、梯形的性质、判定 【关键】：与动点结合
4、（1）30,1（2）60,1.5；（3）可以
5、（1）略（2）6,1.5
4 举一反三-突破提 升
2、 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=5 3 ，∠C=30°.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向
以每秒 2 个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单 位长的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D、 E 运动的时间是 t 秒（t＞0）.过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE、EF.
2012年 《省实验期中试卷》 四边形、三角形综合 22
难度
★★★★
考法规
★★★★ ★★★★ ★★★★ ★★★★
1.【知识点】 平行四边
菱形、正方形 动点 2.【频度】：
每年稳定 3.【难度】：
题目难度
02
例题剖析-针对讲
解
2 例题剖析-针对讲 解
（2013年省实验22题）
如图，如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点
（1）求证：AE=DF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，说明理由. （3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
4 举一反三-突破提 升
3、 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，E 是 BC 的中点，AD=5，BC=12，CD= 4 2 ，∠C=45°，
试说明理由．
A
D
BP
E
C
4 举一反三-突破提 升
4、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点 0 是 AC 的中点，过点 0 的直线 l
从与 AC 重合的位置开始，绕点 0 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D.过点 C 作 CE∥AB 交直线 l 于点 E，设直线 l 的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由．
点 P 是 BC 边上一动点，设 PB 的长为 x． （1）当 x 的值为____________时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形； （2）当 x 的值为____________时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形；； （3）点 P 在 BC 边上运动的过程中，以 P、A、D、E 为顶点的四边形能否构成菱形？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理
由．
解析1： ）（ 根据题C意 Q2t得 ,PA： t
QB 82t
C900,PD //BC
P D A, C AP ~ A DCB PD AP
BC AC PD t
86 PD8t 4t
63
2 例题剖析-针对讲 解