函数的单调性及应用 ppt课件
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函数的单调性(共22张PPT)
y
f(x) -5 -2 -1 o 1 3 5
x
解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2)，[-2,1)，[1,3),[3,5] ，其中y=f(x)在区间[-5,-2)， [1,3)上是减函数，在区间 [-2,1)， [3,5]上是增函数。
例2、 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
设值 证明： 设x1,x2是R上的任意两个实数x1<x2 ， 作差变形
作业：
P39 1、2
于是 f(x1)-f( x2)<0,
判断符号 结论
即 f(x1)<f(x2) 所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
用定义证明函数单调性的步骤： • • • • 一、取值 二、作差变形 三、定号 四、下结论
课堂小结：
（1）函数单调性的概念；
（2）判断函数单调区间的方法； （3）证明函数单调区间的步骤.
y
y
y x 1
1
1
y 2x 2
2
1
x
o
y
O
x x
o o
O
y x 2x
2
y
O
1 y x
O
1
2
x
x
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f (x1 )
x1 O
y
yx
2
f (x1 )
x1O
x
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
y
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数的单调性的应用课件
详细描述
在许多优化算法中，如梯度下降法、牛顿法等，可以 利用函数的单调性来指导搜索方向，加速算法的收敛 速度。此外，在求解最优化问题时，可以利用单调性 来证明解的存在性和唯一性。
THANKS
感谢观看
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性密切相关。导数大于零的区间内，函数单调递增；导数小于零的区间内，函数单 调递减。
通过求函数的导数，可以判断函数的单调性，进而研究函数的极值、拐点等性质。此外，导数还可以 用于求解函数的零点、近似计算等问题。
微积分中的单调性应用
单调性在微积分中有着广泛的应用。例如，在积分学中，可以利用单调性判断积分的符号和大小；在级数理论中，可以利用 单调性判断级数的收敛性和发散性。
02
在单调增函数中，随着自变量$x$的增大，函数值 $f(x)$也相应增大。
03
单调增函数在图像上表现为从左到右逐渐上升的曲 线。
单调减函数
01
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意$x_1 <
x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$。
02
在单调减函数中，随着自变量$x$的增大，函数值
$f(x)$相应减小。
单调性在图像分析中的应用
判断极值点
通过单调性分析，可以确定函数的极值 点，即函数由递增转为递减或由递减转 为递增的点。
VS
确定函数值范围
根据单调性，可以确定函数在某个区间内 的最大值和最小值。
图像变换与单调性的关系
平移变换
函数图像的平移不影响函数的单调性，平移 后的图像仍保持相同的单调性。
伸缩变换
利用单调性进行投资决策分析
总Hale Waihona Puke 词投资决策分析中，函数的单调性可以用于评 估投资组合的风险和回报。
函数的单调性_PPT课件
同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
第1课时 函数的单调性 课件(42张)
点拨：二次函数的单调性与对称轴有关．
与二次函数单调性相关的参数问题 (1)若已知函数的单调区间，则对称轴即区间的端点； (2)若已知函数在某区间上的单调性，则该区间是函数相关区间的子区间，利用端 点关系求范围．
பைடு நூலகம் 【加固训练】
函数 f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1 在区间[1，2]上单调，则实数 a 的取值范围是( )
创新思维 抽象函数的单调性(逻辑推理) 【典例】已知函数 f(x)对任意的 a，b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当 x>0 时，f(x)>1. 求证：f(x)是 R 上的增函数； 【证明】设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，即 f(x2－x1)>1， 所以 f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝ f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)是 R 上的增函数．
范围为－32，＋∞ ∪－∞，－25 .
解不等式
【典例】(2020·昆明高一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等
式 f(x2－x)－f(x)＞0 的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】选 B.因为 f(x)是定义在 R 上的减函数，则 f(x2－x)－f(x)＞0.所以 f(x2－ x)＞f(x)，所以 x2－x＜x.即 x2－2x＜0，解可得 0＜x＜2.即不等式的解集为(0，2).
基础类型二 利用定义证明函数的单调性(逻辑推理) 【典例】证明：函数 f(x)＝x2－x 1 在区间(－1，1)上单调递减．
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证明：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则 取值
f ( x1 )
f (x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[( x2 1) ( x1 1)] ( x2 1)( x1 1)
作差变形
2( x2 x1 ) ( x2 1)( x1 1)
由于 2x1x26, 得x2- x1>0, (x1-1)(x2-1)>0,
3
单调递减，最大值是
4
，最小值是0.
函数的单调性及应用
课堂小结
1. 两个定义：增函数、减函数的定义； 2：两种方法 ①图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降
②(定义法)证明函数单调性，步骤: 取值 作差变形 判断符号 下结论
3.两个数学思想：数形结合，分类讨论 函数的单调性及应用
yx2 2
y x2+ 2 的 单 调 增 区 间 是 __-__， _0__;
y x2+ 2 的 单 调 减 区 间 是 __0_， _____.
yx22,x1,2最大值 __2_为 ___;
最小值 __为 _-_2 __;
y
y=-x2+2
2 1
-2 -1 o 1 2 x
-1 -2
函数的单调性及应用
【变式训练2】
(2)画出下列函数图像，并填空：
y 1,(x 减区间是_(____, _0_)U_，_(_0_,__ )
o
y y1
x
x
函y 数 x22x2 ,x 0 ,3 的值 __-1_,_域 3__; 为
数形结合思想
函数的单调性及应用
（三）利用函数的单调性求参数的范围
函数的单调性及应用
3.判断函数单调性的方法：
图像法：利用已知函数的单调性 定义法：四步
4.应用
比较大小 根据单调性求最值 解决含参函数的单调性问题
函数的单调性及应用
1.函数 y(k1)xb在(,)上是增函数，则（ A）
A. k>1
B. k<1 C. k<-1
D.k>-1
2.下列函数在（0,2）上为增函数的是 ( B )
于是 f( x 1 ) f( x 2 ) 0 ,即 f( x 1 ) f( x 2 )
定号
所以，函数
f
(x)
x
2 1
是函数区的间单调[2性,6及]上应用的减函数.
结论
【变式训练1】 证明：函数 f(x)2x在2R上是单调减函数．
证：在R上任意取两个值 x1, x，2 且 ， x1 x2
取值
函数的单调性及应用
函数的基本性质 ——函数的单调性及应用
函数的单调性及应用
学习目标
（1）理解并掌握函数的单调性， 掌握用定义证明函数的单调性的步骤；
（2）能运用单调性解决一些简单的实际问题.
重点
（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断函数的单调性．
难点
利用单调性的定义证明函数的单调性及应用.
例2、（3）若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1
上单调递增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f(x)x2ax4的对称轴为 x a ,
2
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2函数的单调性及应用
【变式训练2】
（ 3）已知 f(x)函 4x数 2kx8在 5， 20上具有单调k的 性，则
取值范 k_ _围 __4__或 _0 是 _ k160
在已知函数的单调性，求参数的范围时，要注 意利用数形结合、分类讨论的数学思想.
函数的单调性及应用
【当堂检测】
1.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( D )
A.k＞
B.k＜
C.k＞－
D.k＜－
2.在区间（0，+∞）上是增函数的是（ D ）
函数的单调性及应用
知识梳理:
❖ 1．函数单调性的定义
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
单调增
单调减
函数的单调性及应用
2、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性 的一般步骤：
（1 ）任取x1，x2∈D，且x1<x2； （2 ）作差f(x1)－f(x2)，变形（通常是因式分解）; （3 ）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； （4 ）下结论.
下结论
题型二 函数单调性应用 （一）利用函数的单调性比较大小 例2、（1）比较下列两个值的大小：
0.80.1和 0.80.2
解： 0.80.1 0.80.2
【变式训练2】
1lo2g3.4< log2 8.5
方法指津：掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的图像与性质
函数的单调性及应用
（二）利用函数的单调性求最值 例2、（2）画出下列函数图像，并填空：
A.y=3-x B.y=x2+1
C.y= 1
x
D. y x2
3.函数 y x2 的单调递增区间是 -， 0
单调递减区间是 0，
1
4.函数
f
(x)
1 x 1
在 2,3 上的最小值为
2
函数的单调性及应用
题型一 用定义证明函数的单调性
例1.用定义证明函数
f
(x)
2 x 1在区间[2，6]上的单调性．
A. y2xB1.
2 yC3.x2 1 D.y x
yx22x1
3.
函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围 是( D )
A a≥3
B a≤3
C a≥-3
D a≤-3
4. 函数 yx22x2的 ____值 ___域1， 为 函数的单调性及应用
【当堂检测】
5.判断函数 f(x)1x 12,x2,1的单调性并求最值.
则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 2 ) ( 2 x 2 2 )
2(x1x2)
作差变形
∵ x1 x2
∴ x1x2 0, 2(x1x2)0 ∴ 即 f(x 1)f(x2)0 , f(x1)f(x2).
定号
∴ f(x)2x2在R上是单调减函数．
结论
取值
作差变形 判断符号 函数的单调性及应用