高考数学函数的单调性PPT教学课件
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函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第二节函数的单调性与最值pptx课件北师大版
(2)求复合函数单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
函数的单调性_PPT课件
同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件
恒成立，即 ≥
恒成立，又 =
在 , +∞ 上单调递减，故
< ，所以
+
+
+
≥ ，当 = 时，导数不恒为0.故选D.
02
研考点 题型突破
题型一 不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数，在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
（2）函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2
⋅ − ⋅ ⋅
= ，则′ =
，当
.
.令′ = ，解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数 单调递减，当 ∈ ,
（2）已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1，则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ，其定义域为，
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ，当且仅当 = 时取“=”，∴ 在
在 a, b 上单调递减，则当x ∈ a, b 时，f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x > 0有解；若函数f x
在 a, b 上存在减区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x < 0有解.
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
高考数学复习知识点讲义课件19--- 函数的单调性
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数 y＝x2＋2x－1 的单调减区间 (－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
(2)若函数 y＝f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增加(减少)的，一般不认为 y＝f(x)在区间 A∪B 上
一定是增加(减少)的．如：函数 f(x)＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，在区间 (0，＋∞)上也是减少的，但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减少的．
对增函数与减函数定义的理解
(1)定义中x1，x2有三个特征：一是x1，x2同属于一个单调区间；二是x1，x2是 任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；三是x1与x2有大小， 通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1.
(2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增； 符号相反时，函数单调递减．
(2)已知函数 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)＞f(1－x)，求 x 的 取值范围．
[解析] (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
a＜0时，在R上单调递减
反比例函数y＝(a≠0)
a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋ a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；
n(a≠0)
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第5课时 函数的单调性
▪ 要点·疑点·考点 ▪课 前 热 身 ▪ 能力·思维·方法 ▪ 延伸·拓展 ▪误 解 分 析
2020/12/10
1
要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
2020/12/10
2
2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的
任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减 函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上 是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数 y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础20上20/1给2/10出则水到渠成.
返回 1Watching
③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
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9
4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
2020/12/10
8
3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③
(C)①与③
(D)②与④
2020/12/10
5
3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 fx1x的减区间是_____________________；函
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
2020/12/10
返回 4
课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B )
(A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x)
2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
1x
数 f x 1x的减区间是_____________
1x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1] (5) C
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【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
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延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对 当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 1 n f n 1 1 f n 1 2 n N
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 1 n f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
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(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(2402)0根/12据/10 判定的结果作出相应的结论.
3
4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
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能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
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2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
▪ 要点·疑点·考点 ▪课 前 热 身 ▪ 能力·思维·方法 ▪ 延伸·拓展 ▪误 解 分 析
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要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
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2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的
任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减 函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上 是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数 y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础20上20/1给2/10出则水到渠成.
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③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
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4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
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3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③
(C)①与③
(D)②与④
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3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 fx1x的减区间是_____________________；函
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
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课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B )
(A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x)
2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
1x
数 f x 1x的减区间是_____________
1x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1] (5) C
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【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
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延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对 当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 1 n f n 1 1 f n 1 2 n N
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 1 n f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
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(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(2402)0根/12据/10 判定的结果作出相应的结论.
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4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
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能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
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2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?