复习专题数形结合解决数学问题的重要手段

A B O C x
y
P
复习专题 数形结合—解决数学问题的重要手段
一、内容提要：
1、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

2、一般说来，依形想数，可使几何问题代数化.由数想形，可使代数问题几何化.这样数形结合，相辅相成，既有利于开拓解题思路，又有利于发展思维能力. 二、例题分析：
例1．如图，图象（折线OEFPMN ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系.根据图像所给的信息，下列说法中 ①第3分时汽车的速度是40千米/时； ②从第3分到第6分，汽车的速度是40千米/时；
③从第3分到第6分，汽车行驶了120千米；
④从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0
千米/时；
正确的有_______________．（只填序号）
例2.如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象,点A 、B 在直线l 上．根据图象回答下列问题： （1）写出方程0=+b kx 的解；
（2）写出不等式b kx +＞1的解集；
(3)若直线l 上的点P （a,b ）在线段AB 上移动， 则a 、b 应如何取值？
例3、如图，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC ＝m ，已知点D 在第一象限，且是两直线y 1＝2x ＋6、y 2＝2x －6中某条上的一点，若△APD 是等腰Rt △，求点D 的坐标
例4、..甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2
小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： y 与时间x 的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
三、思维提升：
1.已知关于x 的不等式组 ⎩⎨
⎧---0
1
25＞＞a x x 无解，则a 的取值范围是 ．
A O
D
P
B F C
E
y （千米）
x （小时）
480 6
8
10 2
4.5
速度/（千米/时） /分
60 40 20
3
6
9
12
y
x
P
D
O
C
B
A
2．如图所示，点M 是直线y=2x+3上的动点，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，y 轴上是否存在点P ，使以M ，N ，P 为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M 运动到（－1，1）时，y 轴上存在点P （0，1），此时有MN=MP ，能使△NMP 为等腰直角三角形．在y 轴和直线上还存在符合条件的点P 和点M ．请你写出其他符合条件的点P 的坐标_______．
3.已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．
（1）求直线L 1的解析式；
（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．
★★4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 为等腰三角形，AB AC =，AC 所在直线的解析式为3
34
y x =
+，点P 在线段AC 、CB 上运动． （1）求B 、C 两点所在直线的函数解析式； （2）当△COP 的面积等于△AOC 面积的
1
4
时，求出点P 的坐标； （3）在△ABC 中， PO 所在直线的左侧部分面积为S ，若点P 的横坐标为x ，求S 关于x 的函数解析式．
★★5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB,以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 三点的坐标分别是A （8，0），B （8，10），C （0，4），点D （4，7）是CB 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OAB 的路线移动，移动的时间是秒t ，设△OPD 的面积是S. (1)求直线BC 的解析式；
(2)请求出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
(3)求S 的最大值；
(4)当9≤t<12时，求S 的范围. 参考答案：
例1．①②④.
例2．解：⑴x ＝-2；
⑵x ＞0；
⑶-2≤a ≤2, 0≤b ≤2.
例3、 (4,2),(4,14),(
340,326),(328,3
38) 例4、 （1）设乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式为11y k x b =+，把（2，0）和
y
x
O A B
C
P ·
（10，480）代入，得11112010480
k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得1160
120k b =⎧⎨=-⎩，
y ∴与x 的函数关系式为60120y x =-．
（2）由图可得，交点F 表示第二次相遇，F 点横坐标为6，此时
606120240y =⨯-=，
F ∴点坐标为（6，240）
， ∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米．
（3）设线段BC 对应的函数关系式为22y k x b =+，把（6，240）、（8，480）代入，得
2222
6240
8480k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得22120480k b =⎧⎨=-⎩， ∴y 与x 的函数关系式为120480y x =-．
∴当 4.5x =时，120 4.548060y =⨯-=． ∴点B 的纵坐标为60，
AB Q 表示因故停车检修， ∴交点P 的纵坐标为60．
把60y =代入60120y x =-中，有6060120x =-，解得3x =，
∴交点P 的坐标为（3，60）．
Q 交点P 表示第一次相遇，
∴ 乙车出发321-=小时，两车在途中第一次相遇．
思维提升： 1、a ≥3
2、（0，0） （0，
3
4
） （0，－3） 3、【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得 0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,
1.k b =⎧⎨=⎩
所以，直线L 1的解析式为y=x+1．
（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =1
2
×（m+1）×3=3． 解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；
当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=×（－m －1）×3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．
综上所述，m 的值为1或－3．
4、解：（1）∵AC 所在直线的解析式为3
34
y x =
+， ∴点A 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（0，3）．
∴4AO =，3OC =，则5AC ==． 又∵AB AC =，
∴1OB =，即点B 的坐标为（1，0）．
设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，将B （1，0），C （0，3）代入可得，
3,3k b =-=，
∴直线BC 的函数解析式为33y x =-+．
（2）∵AOC 14362S =
⨯⨯=#，当△COP 的面积等于△AOC 面积的1
4时， 则3
2
COP S =#．
设P 点的坐标为(,)x y ，∴13
322
COP S x =⨯⨯=#，1x =．
当点P 在线段AC 上运动时，可得1x =-，9
4
y =．
当点P 在线段CB 上运动时，可得1x =， 0y =． ∴点P 的坐标为9(1,)4
-，(1,0)．
（3）当点P 在线段AC 上运动时，
∵点P 到AO 的距离是3(3)4
x +， ∴133
4(3)6242
S x x =⨯⨯+=+． 当点P 在线段CB 上运动时，
∵点P 到AO 的距离是(33)x -+， ∴313
61(33)6222
S x x =+
-⨯⨯-+=+． 5、(1)设y=kx+4 B(8,10)代入得 （2）当0<t ≤8时
过D 作DE ⊥OA 于E 点，则OP=t,DE=7 12
7t
DE OP 21S -----=⨯=
当8<t ≤18时,过D 作GH ⊥BA 于H 点，交y 轴于点G ，则DG=4,DH=4
AP=t-8, BP=18-t,
S=S 梯形OABC ─S ΔOCD ─ S ΔOAP ─S ΔDPB =-2t+44
(3) 当0<t ≤8时
当t =8时S 的最大值是1282
872
7t S -----=⨯=
=
当8<t ≤18时
S 随着t 的增大而减少，所以S 无最大值,所以当t =8时S 的最大值是28 （4）9≤t <12时
－24<－2t ≤－16,20<－2t ＋44≤26,即20<S ≤26.。