高一三角同步练习6(化简与证明)
学年高中数学第章三角恒等变换...求值化简与证明课后课时精练新人教A版必修
3.1.2.2 求值、化简与证明A 级：根底稳固练一、选择题1．假设sin α＋cos αsin α－cos α＝12，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12答案 C解析 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，所以tan α＋1tan α－1＝12，因为tan α＋1tan α－1＝tan α＋tanπ4tan αtan π4－1＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12. 2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小值为( )A ． 2B ．－2C ．－ 2D ． 3 答案 C解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin2x cos π4＋cos2x sin π4＋sin2x cos π4－cos2x sin π4＝2sin2x ，所以所求函数的最小值为－ 2.3．向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，那么|a －b |的值为( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．1答案 D解析 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos(75°－15°)＝2－2cos60°＝1.所以|a －b |＝1.4．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( )A ． 2B ．22 C ．12 D ．32答案 B解析 原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)－cos(65°－x )·sin(20°－x )＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )·sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin45°＝22. 5．tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，那么a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab答案 C解析 由韦达定理可知tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a 且tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，∴tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1.∴－b a ＝1－c a .∴－b ＝a －C ．∴c ＝a ＋B ．应选C ． 二、填空题6．计算1－tan 5π12·ta nπ4tan 5π12＋tanπ4的值等于________．答案 －33解析 原式＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝1tan 2π3＝－33.7．13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)＝________. 答案5665解析 将条件平方并两式相加，得169＋25＋130(sin αcos β＋cos αsin β)＝81＋225，∴sin(α＋β)＝112130＝5665.8．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，那么tan α＋β2的值等于________．。
沪教版(上海) 高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.11 最简三角方程(2)
沪教版(上海) 高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数
6.11 最简三角方程（2）
一、解答题
(★★) 1. 解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）．
(★★) 2. 已知关于 x的方程在区间内有两个相异的实数根，求实
数 k的取值范围及两根之和.
(★★) 3. 根据条件，求下列方程的解集：
（1）；
（2）.
(★★★) 4. 已知关于 x的方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）要使此方程有解，试确定 m的取值范围．
(★★) 5. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，求直线与函数图像的交点坐标．
(★★★) 6. 方程在上有两个不间的实数根，求实数 a的取值范围及两实数根之和．
二、填空题
(★) 7. 方程的解集为___________．
(★) 8. 方程的解集为____________.
(★★) 9. 方程的解集为________．
(★) 10. 方程的解集为__________．
(★★) 11. 方程的解集为 _________ .
(★★) 12. 方程的解集为___________．
(★) 13. 函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.
三、单选题
(★★) 14. 方程的解集是（）
A．B．
C．D．
(★★) 15. 设方程的解集为 M，方程的解集为 N，则（）．A．B．C．D．以上都不对(★★) 16. 方程的解集是（）．
A．B．
C．D．。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
高一数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习及答案精析版(76页)
高一数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习1．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若()()(),a c a c b b +-=+则cos A = A．2-B．2 C ．12D．3- 2．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )3．已知角α的终边上一点的坐标为(12，则角α的正弦值为( )A．－2B.2 C ．－12 D.124．在ABC ∆中，若20sin A sin BcosC -=，则ABC ∆必定是 （ ）A 、钝角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、锐角三角形 5．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 6．= 2010sin （ ）A.21 B.21- C. 23- D.2377．．已知m =αtan 化简αα22sin 2cos 1+得结果为：（ ）A. 22211m m ++ B.m m 211++C.m 211+ D. 211m+ 8． 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（ ）xxA ．B ．C ．D ．A ．3π B ．3π- C ．6π D ．6π- 9．在ABC ∆中，若sinA ︰sinB ︰sinC=1:2:3，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.2 10．要得到一个偶函数，只需将函数)3sin()(π-=x x f 的图象A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 11．设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）A ．52 B ．85 C ．58 D ．25 12．函数1sin 6cos 22++=x x y 的最大值为（ ） A ． 10 B ．9 C ．8 D ． 713．半径为5cm ，面积为252cm 的扇形中，弧所对的圆心角为 A ． ︒2 B.π2弧度 C ．2弧度 D ．4弧度 14．化简sin()2απ+等于（ ）. A.cos α B.sin α C.cos α- D.sin α-15．函数y ＝sin(ωx ＋ϕ)(x ∈R,ω＞0,0≤ϕ＜2π)的部分图象如右图，则 （ ） A.ω＝π2,ϕ＝π4 B.ω＝π3,ϕ＝π6C.ω＝π4,ϕ＝π4D.ω＝π4,ϕ＝π5416．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数cos 2y x =的图像A 、向右平移6π个单位 B 、 向左平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移3π个单位17．在ABC ∆中，120A =︒5AB =，7BC =，则sin sin BC的值为 A ．85 B ．58 C ．53 D ．3518． △ABC 中，若030C =，8a =，b =S ABC 等于（ ）A.19．已知tan x =x 的集合为（ ）A ．4{|2,}3x x k k Z ππ=+∈B ．{|2,}3x x k k Z ππ=+∈C ．4,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{|,}3x x k k Z ππ=+∈20．已知α为锐角，2cos sin m=αα，则ααcos sin +的值是 （ ） A ．1-m B ．1+m C ．1-±m D ．1+±m21．若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞) 22．求0sin 600的值是 （ ）A 、12 B、D 、12-23．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11cos10sin168︒<︒<︒B ．sin168sin11cos10︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒ 24．若2π-≤x ≤2π，则()cos f x x x =+的取值范围是 （ ） A ．[1,2]- B ．[1,1]- C．[2] D．[ 25．已知x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。
6-三角函数的化简与求值(练习)
值为1,求常数a的值.
【解析】f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cos x+a
6 6
= 3 sin x+cos x+a=2sin(x+ )+a.
6
由a+2=1,得a=-1.
1.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求 特殊角的三角函数值问题;
3 6 3 3
(2)化简
2 2 tan α tan 2α + 3 (sin α-cos α). tan 2α tan α
【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式 统一函数成为化简的主要目标. 【解析】(1)sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ )
3 6 3 3
4 2 4
3
由sin(β- )= ,知cos(β- )=- , 4 13 4 13
cos(α+ )=cos [(α+β)-(β- )]
4 4
12
5
=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )
4 4
= ×(- )+(- )× =- .
4 5
5 13
3 5
(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角
的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α +β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意
《高考风向标》高考数学一轮复习 第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明课件 理
【互动探究】 3．求证：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sinβ. 证明：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ. 故等式成立．
sin70°1－
3sin50°
cos50°
＝sin70°cos50°c－os503°sin50°＝221cos50°－co2s35s0i°n50°sin70° ＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°＝－2sicno2s05°0s°in70° ＝－2sicno2s05°0c°os20°＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
＝cos22x－xsin22xsin2x＝
cosx·sin2x x
＝tan2x.
cos2·cosx
cos2·cosx
使用升次公式的一个技巧为 1＋sin2α＋cos2α＝ (1＋cos2α)＋sin2α＝2cos2α＋2sinαcosα＝2cosα(cosα＋sinα).
【互动探究】
2．若 tanx＝ 2，求2cossi2n2xx－＋scionsxx－1的值．
解题思路：首先要使角要统一，所以分母使用二倍角公式． 解析：原式＝sinx＋1－2sin22x－s1in2sxinx－1＋2sin22x＋1 ＝2sin2xcos2x－2sinx22x2xsin2xcos2x＋2sin22x
2021上海沪教新版高一数学下学期同步练习6.3.1正弦定理详解版(01)
6.3.1正弦定理（作业）一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，2a =，1c =，则C 的取值范围是（ ）.A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，5a =，45B =，105C =，则b 等于（ ）A ．2B ．10C ．D ．3．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，80a =，100b =，30A ︒=，则B 的解的个数是（ ） A ．无解B ．两个解C ．一个解D ．不确定4．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若2C B =，则b 等于（ ）A ．2sin cBB ．2cos cBC ．2sin cCD ．2cos cC5．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，用三个角A ，B ，C 或三条边长a ，b ，c 及外接圆半径R 表示三角形的面积S ，下列式子中正确的是（ ） ①4abcS R =；②22sin sin sin =S R A B C ；③sin sin =S aR B C ；④1sin sin sin 2S A B C =. A ．①②B ．①②③C ．①④D ．②③6．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，45,60,1︒︒===B C c ，则最小边长等于（ ）.A B C ．12D 7．（2020·上海高一课时练习）已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ） A ．20,28,40︒===a b A B ．18,20,150︒===a b A C ．20,34,70︒===b c BD ．60,50,45︒===b c B8．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，3,30︒===a c A ，则ABCS=_________.9．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若30,10︒===A a b ，则B =________. 10．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若3,10,30︒===a b C ，则ABCS=__________.11．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若20a =，11b =，30B =，则sin A =_________. 12．（2020·上海高一课时练习）半径为1的圆内接三角形的面积为14，则三边之积abc =________.13．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若45,15,2︒︒===B C b ，则该三角形的最长边等于________.14．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若30,45,10︒︒===A B a ，则b =________. 15．（2020·上海高一课时练习）ABC 的三内角为A ，B ，C ，且方程2()0+++=Bx A C x B 有两个相等的实数根，若cos cos =a C c A ，则ABC 是________三角形. 16．（2020·上海高一课时练习）若ABC 的外接圆半径为12，则2sin sin b C B c+=_________. 17．（2020·上海高一课时练习）若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为_______18．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，满足条件4,45a b A ︒===的ABC 的个数是________.19．（2020·上海高一课时练习）在ABC 中，若30,8,︒===A a b ，则ABC 的面积等于_________. 三、解答题20．（2020·安徽宣城市·高一期中）△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；21．（2020·广东深圳市·红岭中学高一月考）在ABC ∆中，已知4B π=，c =3C π=，求,,A a b 的值．22．（2020·贵港市覃塘区覃塘高级中学高一月考）（1）等比数列{}n a 中，210S =，315S =，求n S .（2）在ABC ∆中，已知030,2B c b ===，求ABC ∆的面积23．（2020·全国高一专题练习）在ABC ∆中，若cos b a C =，试判断ABC ∆的形状.24．（2019·四川眉山市·仁寿一中高一月考）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos a C A =.（1）求角A .（2）若a =2c =，求ABC 的面积.25．（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c bc a b c-+=+-. （1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．26．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos 0a C c b A ++=． （1）求A ．（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积．27．（2019·四川成都市·成都七中高一月考）已知△ABC 中,,33BAC AB π∠==,BD DC λ=,且ACD ∆. (1)若3λ=,求AC 的长；(2)当线段BC 的长度最小时,求λ的值.28．（2021·江苏省锡山高级中学高一期末）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持4PAQ π∠=不变，设BAP α∠=.（1）将APQ 的面积表示成α的函数，并写出定义域； （2）求APQ 面积的最小值.29．（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sinsin()2A Ca b B C +=+. (1) 求B ；(2) 若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求ABC ∆面积的取值范围。
2021上海沪教新版高一数学下学期同步练习6.1.4同角三角函数基本关系详解版(01)
6.1.4同角三角函数基本关系（作业）一、单选题1．（2021·上海市行知中学高一期末）1sin()2πθ+=是2()6k k Z πθπ=-∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈ D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．（2020·上海市川沙中学高一期末）下列命题中，错误的命题是（ ） A ．若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则5cos 13α=； B ．α是ABC 的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则ABC 必为钝角三角形； C ．存在无数个α，满足sin cos 2αβ+=，且cos cos 0αβ⋅= D ．存在无数个α，满足sec 3α=且2sin 3α=4．（2020·上海高一课时练习）已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．435．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ）A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-二、填空题6．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．7．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知tan 2x =,则22sin cos 3cos sin 1x xx x ++的值为________．8．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________． 9．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.10．（2020·上海高一课时练习）已知α在第三、第四象限内，23sin 4-=-m mα那么m 的取值范围是______．11．（2020·上海高一课时练习）若1tan 2θ=，则2sin2sin +=θθ________. 三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）化简：sin tan tan (cos sin )cot csc +-++ααααααα.13．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件确定角θ的终边所在象限. （1）sin 0θ<且tan 0θ>；（2）cos cot 0θθ>.14．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知1sin cos 5αα+=，0απ<<. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan cot αα-的值.15．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.16．（2020·上海高一课时练习）求下列方程的解集：（1）1cos ,(0,2)42⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ；（2）3tan (0,)3⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ.17．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件，求角x ：（1）已知tan [0,2)=∈x x π；（2）已知sin x =，x是第三象限角．18．（2020·上海高一课时练习）已知2222sin cos cos 1sin +⋅=ααγβ，求证：222tan cot sin ⋅=αβγ．19．（2020·上海高一课时练习）若tan 2θ=，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos θθθθ-+；（2）23cos 2sin cos -θθθ．20．（2020·上海高一课时练习）已知1tan 2θ=-，求：（1）sin 3cos sin 2cos ++θθθθ；（2）222sin 3sin cos 5cos -+θθθθ.6.1.4同角三角函数基本关系（作业）一、单选题1．（2021·上海市行知中学高一期末）1sin()2πθ+=是2()6k k Z πθπ=-∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据1sin()2πθ+=，可求得θ的表达式，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为1sin()2πθ+=， 所以2,()6k k Z ππθπ+=+∈或52,()6k k Z ππθπ+=+∈， 所以，52,()6k k Z πθπ=-∈或2,()6k k Z πθπ=-∈， 所以1sin()2πθ+=是2()6k k Z πθπ=-∈的必要不充分条件. 故选：B2．（2020cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈ D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈【答案】C【分析】把方程化为tan x =.cos 0x x +=，可化为tan 3x =-， 解得,6=+∈x k k Z ππ，即方程的解集为{|,}6x x k k Z ππ=-∈.故答案为：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟记正切函数的性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．（2020·上海市川沙中学高一期末）下列命题中，错误的命题是（ ） A ．若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则5cos 13α=； B ．α是ABC 的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则ABC 必为钝角三角形； C ．存在无数个α，满足sin cos 2αβ+=，且cos cos 0αβ⋅= D ．存在无数个α，满足sec 3α=且2sin 3α=【答案】D【分析】根据三角函数定义计算即可判断A;根据同角三角函数关系即可判断B;根据三角函数有界性可判断C; 根据同角三角函数关系即可判断D. 【详解】若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则55cos 1313t t α===，A 正确； 245sin cos 12sin cos 2sin cos 0399αααααα+=∴+=∴=-<(0,)sin 0,cos 0απαα∈∴>∴<∴ABC 必为钝角三角形；B 正确；sin cos 2sin cos 1cos 0αβαβα+=∴==∴=，cos cos 0αβ∴⋅=，C 正确；22114sec 3cos cos sin 1399αααα=∴=∴+=+<，所以D 错误；故选：D【点睛】本题考查三角函数定义、同角三角函数关系、三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属基础题,4．（2020·上海高一课时练习）已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A【分析】根据同角三角函数关系，进行求解即可.【详解】因为45sin α=，故35cos α==± 又因为α是第二象限的角，故3cos α5=-故43sin tan cos ααα==-.故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数关系的简单使用，属基础题. 5．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式. 二、填空题6．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．【答案】-【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin α∴==sin tan cos ααα==-故答案为：-7．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知tan 2x =,则22sin cos 3cos sin 1x xx x ++的值为________．【答案】16【分析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以2cos x 即可求出分式的值. 【详解】22222222222sin cos sin cos sin cos tan 1cos .4cos 2sin 3cos sin 13cos sin cos sin 42tan 6cos x xx x x x x x x x x x x x x x x x====+++++++ 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力. 8．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.9．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.【答案】{2,0,2}-【分析】分别讨论x 在第一象限，第二象限，第三象限，第四象限四种情况，计算得到答案. 【详解】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈，当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=；当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=；当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-；当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=；综上所述：值域为{2,0,2}-.故答案为：{2,0,2}-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力. 10．（2020·上海高一课时练习）已知α在第三、第四象限内，23sin 4-=-m mα那么m 的取值范围是______．【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】∵角α在第三、四象限内，∴()sin 10α∈-，，可得23104m m--<<-， ①当40m ->时，即4m <时，原不等式可化为4230m m -<-<， 解之得312m -<<；②当40m -<时，即4m >时，原不等式可化为4230m m ->->， 此不等式组的解集为空集，综上可得312m -<<，可 得m 的取值范围是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.11．（2020·上海高一课时练习）若1tan 2θ=，则2sin2sin +=θθ________. 【答案】1【分析】由二倍角公式结合商数关系和平方关系，即可得出答案.【详解】2222221122sin cos sin 2tan tan 24sin 2sin 11sin cos tan 114θθθθθθθθθθ⨯+⋅+++====+++ 故答案为：1【点睛】本题主要考查了商数关系，平方关系的应用，属于中档题.三、解答题12．（2020·上海高一课时练习）化简：sin tan tan (cos sin )cot csc +-++ααααααα.【答案】sin α【分析】利用同角三角函数的基本关系式借助切化弦，割化弦，对表达式化简即可.【详解】sin 1cos 1tan ,cot ,csc cos tan sin sin ααααααααα====， ∴sin tan tan (cos sin )cot csc +-++ααααααα=sin (cos sin sin sin cos cos 1cos si sin )n αααααααααα+-++=()()21cos si si n n cos sin 1cos cos 1sin sin ααααααααα+-++ =()()2cos sin cos sin 1cos cos 1sin sin 1αααααααα-+++ =22sin sin sin cos cos ααααα+-=sin α. 【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系在化简中的应用，考查了利用商数关系式切化弦，割化弦，属于基础题.13．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件确定角θ的终边所在象限. （1）sin 0θ<且tan 0θ>； （2）cos cot 0θθ>.【答案】（1）第三象限；（2）第一象限或第二象限. 【分析】（1）根据三角函数符号规律确定象限； （2）先解不等式，再根据符号确定象限.【详解】（1）由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上， 由tan 0θ>可知θ的终边在第一象限或第三象限， 所以角θ的终边在第三象限.（2）由题意，得cos 0cot 0θθ>⎧⎨>⎩或cos 0cot 0θθ<⎧⎨<⎩，所以角θ的终边在第一象限或第二象限.【点睛】本题考查三角函数符号规律，考查基本分析判断能力，属基础题. 14．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知1sin cos 5αα+=，0απ<<. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan cot αα-的值. 【答案】（1）75；（2）712-. 【分析】（1）对已知条件两边同时平方结合22sin cos 1αα+=可得12sin cos 025αα=-<，结合0απ<<，可得2παπ<<，进而可得sin cos 0αα->，计算()2sin cos αα-即可求解；（2）将tan cot αα-化切为弦再通分，利用整体代入即可求解.【详解】（1）由1sin cos 5αα+=可得()21sin cos 25αα+=， 即221sin cos 2sin cos 25αααα++=，解得12sin cos 025αα=-<， 因为0απ<<，所以2παπ<<，可得sin 0,cos 0αα><，sin cos 0αα->所以()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-=⎪⎝⎭， 所以7sin cos 5αα-=， （2）22sin cos sin cos tan cot cos sin sin cos αααααααααα--=-=()()sin cos sin cos sin 1775cos 5121225αααααα+=-⨯=--=.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件求出sin cos αα，根据其符号判断α所在的象限，可判断sin cos αα-的符号.15．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 16．（2020·上海高一课时练习）求下列方程的解集：（1）1cos ,(0,2)42⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ； （2）3tan (0,)3⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭x x ππ.【答案】（1）17,1212⎧⎫⎨⎬⎩⎭ππ；（2）56⎧⎫⎨⎬⎩⎭π 【分析】(1)根据(0,2)x π∈可得4x π+的范围，再根据1cos 42x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可. (2)根据(0,)x π∈可得3x π+的范围，再根据tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可. 【详解】(1)因为(0,2)x π∈，故9,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又1cos 42x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故43x ππ+=或543x ππ+=，解得12x π=或1712π. 故解集为17,1212⎧⎫⎨⎬⎩⎭ππ(2)因为(0,)x π∈，故4,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故736x ππ+=，解得56x π=.故解集为56⎧⎫⎨⎬⎩⎭π【点睛】本题主要考查了已知三角函数值求角的问题，需要注意角度的范围以及特殊的三角函数值，属于基础题.17．（2020·上海高一课时练习）根据下列条件，求角x ：（1）已知tan [0,2)=∈x x π；（2）已知sin 2x =-，x是第三象限角． 【答案】（1）3π或43π；（2）52,4+∈k k Z ππ 【分析】（1）根据特殊角所对应的三角函数值，以及角的范围，即可得出结果； （2）根据特殊角所对应的三角函数值，以及角的范围，即可得出结果；【详解】（1）由tan x =,3x k k Z ππ=+∈，因为[0,2)x π∈，所以023k πππ≤+<，因此0k =或1，故3x π=或43π；（2）由sin 2x =-得24=-+x k ππ或52,4x k k Z ππ=+∈， 又x 是第三象限角，所以52,4x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求角，熟记特殊角所对应的三角函数值即可，属于基础题型.18．（2020·上海高一课时练习）已知2222sin cos cos 1sin +⋅=ααγβ，求证：222tan cot sin ⋅=αβγ． 【分析】利用同角间的三角函数关系，将已知等式分离出γ角的三角函数，再把,αβ角化弦为切，即可证明结论.【详解】22222222sin sin cos cos 1,cos cos 1sin sin αααγαγββ+⋅=∴⋅=-, 22221tan cos cos sin αγαβ=-,2222222221tan cos 1tan cos s o sin 1co in c s sin s 1ααααβαβγγ∴=-=--+=+ 22222221sin 1tan (1)tan tan cot sin sin βαααβββ-=--=-⋅=⋅, ∴等式成立.【点睛】本题考查条件等式的证明，熟练应用同角间的三角函数关系是解题的关键，属于中档题.19．（2020·上海高一课时练习）若tan 2θ=，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos θθθθ-+；（2）23cos 2sin cos -θθθ． 【答案】（1）13；（2）15-【分析】(1)利用商数关系，化弦为切，代入所给正切值即可； （2）巧用平方关系，转为二次齐次式，化弦为切，代入计算即可. 【详解】（1）∵tan 2α=∴tan sin cos sin c 1211tan 121os 3θθθθθθ--===++-+；（2）∵tan 2α=222223cos 2sin cos 32tan 3413cos 2sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθθθ---∴-====-+++ 【点睛】本题主要考查了同角基本三角函数间的关系，弦化切的思想，考查了运算能力，属于中档题.20．（2020·上海高一课时练习）已知1tan 2θ=-，求：（1）sin 3cos sin 2cos ++θθθθ；（2）222sin 3sin cos 5cos -+θθθθ. 【答案】（1）53；（2）285. 【分析】（1）直接利用齐次式计算得到答案.（2）变换原式22222sin 3sin cos 5cos sin cos θθθθθθ-+=+，再利用齐次式计算得到答案.【详解】（1）原式sin 3cos 13tan 35cos 2sin 2cos 1tan 232cos 2θθθθθθθθ+-++====++-+. （2）原式2222222sin 3sin cos 5cos 2sin 3sin cos 5cos 1sin cos -+-+==+θθθθθθθθθθ2213252tan 3tan 528421tan 1514θθθ⨯++-+===++.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.。
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高一三角同步练习6（化简与证明）
一、选择题
1、已知cos α= －
1213 ，α∈（π，2π），则tan α嘚值是 （ ） A ．513 B ．512 C ．125 D ．± 512
2、化简 160tan 11
2+嘚结果为 （ ）
A ．－cos160°
B ．cos160°
C ．±cos160°
D ．－sec160°
3、若是α第二象限角，则1sin 1tan 2-α
α化简嘚结果是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．tan 2α D ．－tan 2α
4、若0cot tan cos cos sin sin 22=++θθθθθθ，则θ不可能是 （ ）
A ．第一、第二、第三象限角
B ．第一、第二、第四象限角
C ．第一、第三、第四象限角
D ．第二、第三、第四象限角
5、如果角θ满足1cos sin =+θθ，那么θθcot tan +嘚值是 （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．不存在
6、若θ为二象限角，且2cos 2sin 212sin 2cos θ
θ
θ
θ
-=-，那么2
θ是 A ．第一象限角 B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 7、若2tan =x , 则
()()x x x x sin cos cos 3sin 1--嘚值为： A ．3- B ．5- C ．3 D ．5
8、函数()=x f 1cos 1tan 2tan 1cos 1
22-++x x x
x 值域中元素嘚个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
1、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=
． 2、化简
40sin 140sin 40cos 40sin 212---= ．
3、若α是第四象限角，化简ααtan 2sec 2-=________________．
4、若ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = －2 tan α，则角α嘚取值范围是 ．
三、解答题
1、化简：tan α（cos α－sin α）＋
ααααcos 1)tan (sin sin ++．
2、求证：
1
tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα．
3、求证：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22+=++．
4、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA ，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．
参考答案
一、选择题
BABB DCDD
二、填空题
1、1；
2、-1；
3、αtan 1-；
4、
()Z k k k ∈+<<+,22
322ππαππ 三、解答题
1、αsin
2、左边α
ααααα2222cos sin cos sin 2cos sin -++=()αααα222
cos sin cos sin -+= =-+=-+=1tan 1tan cos sin cos sin αααααα右边． 3、
∵
()()()
ααααααααααcot cos 1tan sin 1cot cos tan sin cot tan 2222-+-=+-+ ααααααααααcos sin 2cos sin sin cos cot sin tan cos 22=+=+= ∴ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22+=++． 4、
∵A B 222sin cos cos θ=，A C 222sin sin cos θ=，
∴()A C B 22222sin sin cos cos cos θθ+=+，
即：A C B 222sin sin 1sin 1=-+-，
∴2sin sin sin 222=++C B A ．。