初三数学专项题型训练,历年二次函数中考题型分类总结真题及答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
中考数学专题训练---二次函数的综合题分类附详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B 的坐标，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ，利用S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ，用含m 的式子表示出△ABP 的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P 的坐标；(3)求出点E 的坐标，然后求出直线BC 、直线BE 、直线CE 的解析式，再根据以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D 1D 2、直线D 1D 3、直线D 2D 3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y ＝0，可得：x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a b a b ++⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：12a b -⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；(2)∵点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ， 则点F(m ，m ﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．3．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P 从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD （或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) S=﹣2+0＜t＜5）； (2) 307;(3)见解析.【解析】【分析】（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；（2）设PM=x，则AM=2x，可得，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=AO+OM，列方程可得t的值；（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC⊥BD，∴∠OAB=30°，∵AB=20，∴OB=10，由题意得：AP=4t，∴PQ=2t，，∴S=S△ABC﹣S△APQ，=11··22AC OB PQ AQ-，=1110222t⨯⨯⨯⨯，=﹣2（0＜t＜5）；（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，∵点Q关于O的对称点为M，∴OM=OQ，设PM=x，则AM=2x，∴，∴∴∵AM=AO+OM，∴83t =103+103﹣23t ， t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积，∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ， ∴11··22PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ， ∴AH=HM=3t ， ∵AM=AO+OM ，同理可知：OM=OQ=103﹣23t ，3t=103=103﹣23t ， t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.4．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （2≤x ≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．∴设其解析式为y＝kx+b，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，∴212 89k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得k＝﹣12，b＝13，∴一次函数的解析式为y＝﹣12x+13，当x＝6时，y＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3，答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x ≤8．【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．5．若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三组数”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数y ＝k x(k 为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，求实数t 的值；(3)若直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2+3bx+3c(a≠0)交于B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点．①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；②若a ＞2b ＞3c ，x 2＝1，求点P(c a ，b a)与原点O 的距离OP 的取值范围．【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；≤OPOP≠1． 【解析】【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣c b，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得b a 的取值范围，令m ＝b a，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围．【详解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数k x (k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k+， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4； 当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k +，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2； 当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a 、b 、c 均不为0，∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0， ∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根，∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a ，∴21x +31x ＝2323x x x x +＝ba c a-＝﹣b c ＝11x ， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ， ∵a ＞2b ＞3c ，∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12，∵P(c a ，ba)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12， 令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12， 当﹣12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当m ＝12时，OP 2有最大临界值52， ∴12≤OP 2<52且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数， ∴2≤OP ＜102且OP≠1． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t 的方程是解题的关键，在(3)①中用a 、b 、c 分别表示出x 1，x 2，x 3是解题的关键，在(3)②中把OP 2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．6．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。
中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案)
中考数学总复习《二次函数综合》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),1A m ，()2,3B -两点，与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括A ，C 两点），过点D 作DE y ∥轴交反比例函数图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点E 的坐标．2．如图，抛物线23y ax bx =+-经过A 、B 、C 三点，点()3,0A -和()1,0C ，点B 在y 轴上．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A 、B 重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线AB 于点E ，动点P 在什么位置时，PE 最大，求出此时P 点的坐标；(3)点Q 是抛物线对称轴上一动点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q 坐标．3．如图，直线3y x =-+与 x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B C 、，与 x 轴另一交点为A ，顶点为 D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使 EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得 APB OCB ∠=∠？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()1,0A -和()5,0B 两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90︒得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴于H ，过点C 作CF l ⊥于F ．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；(3)在（2）的条件下：试探究在直线l 上，是否存在点G ，使45EDG ∠=︒？若存在，请求出所有符合条件的点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作PD y ∥轴交直线BC 于点D ，求线段PD 长的最大值．6．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线24y ax bx =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，点Q 为任意一点，是否存在点P 、Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请直接写出P ，Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在直角坐标系中有一Rt AOB △，O 为坐标原点，OA=1，tan 3BAO ∠=将此三角形绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC △，抛物线2y ax bx c =++经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，是否存在一点P ，使PCD 的面积最大？若存在，求出PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为燃车一顶点，B ，C 两点的坐标分别为()3,0和()0,3．(1)求抛物线所对应的函数解析式．(2)若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．9．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点E ，已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--，连接AD ．(1)求抛物线及直线BD 的解析式；(2)若点F 在x 轴上，则当EF CF +的值最小时，点F 的坐标为______ ； (3)若点P 是抛物线上不与点D 重合的一个动点，求当53ABPABDS S =时点P 的坐标．10．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于()3,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)若点E 在抛物线上，且EOC ABC S S =△△，求点E 的坐标；(3)点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．设点P 的横坐标为点m ，请用含m 的代数式表示矩形PQNM 的周长，并求矩形PQNM 周长的最大值．11．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点E ，过点P 作x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F ，求PE PF +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PE PF +取得最大值的条件下，将该抛物线沿x 轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H ，M 为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N ，使得以点H ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N 的坐标．12．如图，已知抛物线²2y ax x c =-+与x 轴交于()10A ，，()30B -，两点，与y 轴交于点C ．顶点为D 点，点E 为抛物线对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，若AEC △是以AC 为斜边的直角三角形，请求出点E 的坐标： (3)抛物线对称轴上是否存在点E ，使得55AE DE +取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E 的坐标，并求出55AE DE +的最小值．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线23y ax ax c =-+与x 轴分别交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD BC ，交于点E ，求DEAE的最大值；(3)如图2，连接AC BC ，，过点O 作直线l BC ∥，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．抛物线213222y x x =--+与x 轴交于点A B ，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求点A B C ，，的坐标；(2)如图1，P 是抛物线上的一动点，是否存在点P ，使得PAB ACO ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，Q 为线段AC 上方抛物线上的一动点（点Q 不与点A C ，重合），过点Q 作QF BC ∥交y 轴于点F ，交线段AC 于点E ，若35QE BC =，请直接写出点Q 的坐标．15．已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()()()103003A B C -，、，、，三点．备用图(1)求该抛物线的表达式；(2)点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，连接AD BD 、，将抛物线向下平移()0m m >个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F ． ①如果2m =，求tan DBF ∠的值； ①如果BDF 与ABD △相似，求m 的值．参考答案： 1．(1)反比例函数解析式为6y x =-；一次函数解析式为122y x =--； (2)点E 坐标为()2,3-．2．(1)223y x x =+-(2)315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (3)3171,2⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或()1,4--或1,23．(1)223y x x =-++(2)52EC ED +=(3)存在；P 的坐标为(1,222)+或(1,222)--4．(1)2312355y x x =-++ (2)1(3)在直线l 上，存在点G ，使45EDG ∠=︒，点G 的坐标为34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()4,6．5．(1)213442y x x =-++ (2)当4m =时，PD 有最大值为46．(1)248433y x x =--+ (2)S 的最大值为252 3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在；131,8P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 192,8Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)223y x x =--+(2)存在，当76t =-时，PCD S 的最大值为121248．(1)223y x x =-++ (2)949．(1)223y x x =+- 1y x =-； (2)3,07⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()4,5P -或()2,5．10．(1)()214y x =-++，顶点D 的坐标为()1,4- (2)()()4,21,4,5E E ---(3)矩形PMNQ 的周长为2282m m --+，矩形的周长最大值为1011．(1)抛物线的函数解析式为2142y x x =-++ (2)点P 的坐标为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点N 的坐标为132,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或132,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或96,4⎛⎫ ⎪⎝⎭12．(1)223y x x =--+(2)1(1,1)E - 2(1,2)E -(3)58555AE DE += (1,1)E -13．(1)213222y x x =-- (2)45(3)6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或 6241341,55⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭14．(1)()40A -，，()10B ，和()02C ， (2)()32P -，或()518P -， (3)()13Q -，或()32-，或71272⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，15．(1)223y x x =-++(2)①12；①3m =或52m =。
(完整版)初三中考复习二次函数专题练习题含答案
二次函数专题练习题一、选择题1 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝22．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．63．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．164. 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )A．b2＞4acB．ax2＋bx＋c≥－6C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－15. 如图，观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①a＋b＋c＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④ac＞0.其中正确的是( )A．①② B．①④ C．②③ D．③④6. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以 1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )二、填空题8．若y＝(2－m)xm2－3是二次函数，且开口向上，则m的值为．9．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1____y2.(填或“＝”）“>”“<”10．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－3≤x≤0时，它的最大值是____，最小值是____．11．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h＝at2＋19.6t，已知足球被踢出后经过 4 s落地，则足球距地面的最大高度是____m.12. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．三、解答题13．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．14．用铝合金材料做一个形状如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图②所示．(1)观察图象，当x为何值时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？(2)要使窗户的透光面积不小于 1 m2，则窗框的一边长x应该在什么范围内取值？15. 某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数关系如图①所示，小李种植水果所得报酬z(元)与种植面积n(亩)之间的函数关系如图②所示．(1)如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是____元，小张应得的工资总额是____元；此时，小李种植水果____亩，小李应得的报酬是____元；(2)当10<n≤30时，求z与n之间的函数关系式；(3)设农庄支付给小张和小李的总费用为W(元)，当10<m≤30时，求W与m之间的函数关系式．16. 如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H，当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标．答案：一、1. B2. B3. B4. C5. C6. A7. B二、8. －59. >10. 3 －511. 19.612. (1＋2，2)或(1－2，2)三、13. 解：(1)答案不唯一，如y＝x2－2x＋2(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b，b2＋c＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b，∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1，∴当b＝1时，c＋b2＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x14. 解：(1)由图象可知当x＝1时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是 1.5 m2(2)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋1.5，将(0，0)代入可求a＝－1.5，∴解析式为y＝－1.5(x－1)2＋1.5，令y＝1，则－1.5(x－1)2＋1.5＝1，解得x1＝1－33，x2＝1＋33，由图象可知，当1－33≤x≤1＋33时，透光面积不小于 1 m215. (1) 140 2800 10 1500(2) z＝120n＋300(10<n≤30)(3)当10<m≤30时，y＝－2m＋180，∵m＋n＝30，又∵当0≤n＜10时，z＝150n；当10≤n＜20时，z＝120n＋300，∴当10<m≤20时，10≤n＜20，∴W＝m(－2m＋180)＋120n＋300＝m(－2m＋180)＋120(30－m)＋300＝－2m2＋60m＋3900；当20<m≤30时，0≤n＜10，∴W＝m(－2m＋180)＋150n＝m(－2m＋180)＋150(30－m)＝－2m2＋30m＋4500，∴W＝－2m2＋60m＋3900（10<m≤20）－2m2＋30m＋4500（20<m≤30）16. 解：(1)y＝－12x2＋x＋4(2)根据题意可设ON＝OM＝t，则MH＝－12t2＋t＋4，∵ON∥MH，∴当ON＝MH时，四边形OMHN为矩形，即t＝－12t2＋t＋4，解得t＝22或t＝－22(不合题意，舍去)，把t＝22代入y＝－12t2＋t＋4得y＝22，∴H(22，22)。
中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含答案
中考数学专题复习分类练习二次函数综合解答题含答案一、二次函数1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D 的坐标为（-12，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2，∴y=2x-2， 则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a-2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94，由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，∴G（-1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0，t=94，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．2．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣12）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】 分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝ 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-141228b a -=-⨯＝1 （2）存在 使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-1 2∴y=-1 2 x则P点坐标为（1，-12）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-12a-1）由△EDN∽△OAC ∴ED=2a∴点D坐标为（0，-52a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，32a−1）把M代入y=18x2−14x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N （2，-1）∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±. 【解析】 分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA PE AE =，分三种情况讨论：当PA =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当PA =AE =n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =n =﹣2P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，1，﹣2）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．5．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC•tan30°=设DC 为y ＝kx ﹣3，0），可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：1212036x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（0）可得：k 3=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少；（2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设P （m ，n ），直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(3)当β=45°时，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，当β=60°时，在Rt△OCE中，33∴﹣3∴a=3，∴45°≤β≤60°，a3≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣3≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。
(完整)初三二次函数专题训练及解析
昂立金鼎教育 二次函数专题训练一•填空题1•二次函数y=2x 2-4x-1的最小值是. _____________2•将抛物线y=x 2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 __________3.由上加下减”的原则可知，将抛物线 y=x 2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ____________ y=x 2-2+1，即 y=x 2-1 •故答案为：y=x 2-1 .y —~4.已知二次函数2 , y 随x 的增大而增大，x 取值范围|解：由对称轴公式,1又a=-_ v 0,抛物线开口向下，•••当x v 2时，y 随x 的增大而增大. 故本题答案为：v 2._5•已知抛物线y=x 2-3x-4，则它与x 轴的交点坐标是 解：•• •抛物线 y=x 2-3x-4 ,' [•当 y=0 时，x 2-3x-4=0 ,, 二 x i =4 , X 2=-1 ,•••与x 轴的交点坐标是（-1 , 0）, （4 , 0）_6. _______________________________________ 二次函数y=2x 2-4x-1的最小值是 解：二次函数y=x 2-4-1，开口向上，故答案为：-3 •抛物线y= （x-1） 2+3的对称轴表达式是？ 解：••• y= （x-1） 2+3 •其对称轴为x=1 二.选择题7.在一定的条件下，若物体运动的路程 s （米）与时间t （秒）的关系式为 s=5t 2+2t ，则当t=4秒时，该 物体所经过的路程为（ A. 28 米 B. 48 米最小值为y=A=-3 •C. 68 米D. 88 米解：当 t=4 时，s=5t +2t=5 X 16+2X 4=88 （米）.故选 D. 8.下列函数中，不是二次函数的是（ ）B. y=2 (x-1 ) 2+4I IT __C. y=] ( x-1)( x+4)D. y= (x-2 ) 2-x 2解：A 、y=1-]・x 2219.已知h 关于t 的函数关系式为h-gt 2,（ g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（）解：函数关系式h= gt 2, （g 为正常数，t 为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线; 又因为t 的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分. 故选A .B.10. 抛物线y= (x-1) 2-1的顶点坐标是()A. ( 1,1)B. ( -1 , 1)C. ( 1,-1 )D. ( -1 , -1 )111. 已知抛物线y=- X2+4X+3，则该抛物线的顶点坐标为( )A. ( 1, 1)B. ( 4, 11)C. ( 4, -5)D. ( -4 , 11)tA解：X=2 盘=4, 品=11 ,顶点坐标为（4, 11 ）.12. 二次函数y= （X+1）2+2的最小值是（）A. 2B. 1C. -36D. H13. 二次函数y=-x2+1的图象与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,下列说法错误的是（）A. 点C的坐标是（0, 1）B. 线段AB的长为2C. A ABC是等腰直角三角形D. 当x> 0时，y随X增大而增大解：A,令X=0 , y=1，则C点的坐标为（0, 1）,正确；B, 令y=0, X=± 1,贝U A （-1 , 0）, B （1, 0） , |AB|=2，正确；C, 由A B C三点坐标可以得出AC=BC且AC2+BC=AB，则△ ABC是等腰直角三角形，正确；D, 当X> 0时，y随X增大而减小，错误.故选D.14. 抛物线y=3 （X-1）2+2的对称轴是（）A. X=1B. X=-115.把抛物线y=2x 2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ）2A. y=2x 2+5B. y=2x 2-5C. y=2 (x+5) 2D. y=2 (x-5 )解：原抛物线的顶点为（0, 0），向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（ 0, 5）,可设新抛物线的解析式为：y=2 （x-h ） 2+k ，代入得：y=2x 2+5. 故选A .16.已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c v 0•、②a-b+c >2;③abc >0;④4a-2b+cv 0;⑤c-a > 1 .其中所有正确结论的序号是（）；T/ ztU / -ip o r\l/・二 iykj .comA. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤解：①当x=1时，y=a+b+c v 0，故本选项正确，a 、b 同号，即 b 0,, 2）,•••当x=-2时，y=4a-2b+c=2，故本选项错误,故选C.B.抛物线y=x-2x-3，点A （3, 0 ）不在它的图象上C. 二次函数y= （x+2）2-2的顶点坐标是（-2 , -2 ）D. 函数y=2x +4x-3的图象的最低点在（-1 , -5 ）= I解：A、根据抛物线对称轴公式，抛物线y=-2x2+3x+1的对称轴是直线"二，正确；B当x=3时，y=0，所以点A（3，0）在它的图象上，错误；」C二次函数y=（x+2）2-2的顶点坐标是（-2，-2 ），正确；_D函数y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，图象的最低点在（-1，-5 ），正确.故选B.18.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表.利用二次函数的图象可知，当函数值y v 0时，x的取值范围是（）x -3 -2 -1 1 2 3 4 5y 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12A. x v 0 或x > 2B. 0 v x v 2C. x v -1 或x > 3D. -1 v x v 3解：可以看出，当x=-1或3时，y=0;因此当-1 v x v 3时，y v 0.故选D.2-1的图象是（解：••• a=2> 0,[•抛物线开口方向向上；•••二次函数解析式为 y=2 （x+2） 2-1 , 顶点坐标为（-2，-1），对称轴x=-2 . 故选C.20. 抛物线y=ax 2+b (a * † 0)与x 轴有两个交点，且开口向上，则 a 、 A. a > 0, b v 0 B. a > 0, b > 0 C. a v 0, b v 0D. a v 0, b > 0解：•••开口向上，• a > 0;•••抛物线 y=ax +b (a *0)与x 轴有两个交点，• 0-4ab >0,二b v 0故选A .221. 若y= (m+1) 是二次函数，则 m=()A. 7B. -1C. -1 或 7D. 以上都不对解：由题意得： m-6m-5=2 ;且m+*0; 解得 m=7 或-1 ; m * -1 , † m=7, 故选A . 三.问答题c. b 的取值范围是（）22. 抛物线y=-2x2+6x-1的顶点坐标为？23. 求f ( x) =2x -8x+7 的极值。
中考数学复习《二次函数》专项练习题-附含有答案
中考数学复习《二次函数》专项练习题-附含有答案一、选择题1．下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y ＝x 2+1B ．y ＝8x+1C ．y ＝7xD ．y ＝﹣2x 2﹣4 2．对于y =−x 2下列说法不正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴为直线x =0C ．顶点为(0，0)D ．y 随x 增大而减小3．若点A(3，y 1)、B(0，y 2)是抛物线y =(x −2)2+3上的两点，则y 1、y 2的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1<y 2D ．y 1≤y 24．下列图像中，当ab >0时，函数y =ax 2与y =ax +b 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系中，已知点A （－2，3），B （2，1），若抛物线y ＝ax 2－2x+1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．−916＜a ≤−12或a ≥1B ．a ≥−12或a ＜−916C ．−12≤a ≤1且a ≠0D ．a ≤−12或a ≥1 6．由二次函数y =−3(x +2)2−1，可知（ ）A ．其图象的对称轴为直线x =2B ．其最大值为1C ．当x ≤−2时，y 随x 的增大而增大D ．其图象与y 轴的交点为(0，−1) 7．抛物线y ＝x 2＋ax ＋3的对称轴为直线x ＝1.若关于x 的方程x 2＋ax ＋3﹣t ＝0（t 为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．6＜t ＜11B ．t ≥2C ．2≤t ＜11D ．2≤t ＜68．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m. 请根据所给的数据，则支柱MN 的长度为（ ）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6二、填空题9．若y=(m2+m)x m2+1−x+3是关于x的二次函数，则m= ．10．二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1，则常数b的值为.11．如图，点P（x，y）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．12．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是13．竖直向上抛出小球的高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足关系式h=−4.9t2+24.5t，从地面相隔1秒竖直向上分别抛出的两个小球，当两个小球在空中处于同一个高度时，这个高度离地面米．三、解答题14．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(1，0)，(−1，4).（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P(−2，3)是否在这个二次函数的图象上？15．如图所示，已知抛物线经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5），且与轴交于点A.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，求△ABM的面积.x2+bx+c交y 轴于点 A，过点 A 作 x 轴的平行线交16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12抛物线于另一点 B，AB＝4.（1）求b的值.（2）将抛物线向上平移得到的新抛物线交直线 AB 于点 C，D，交y轴于点E，若CD＝6，求AE的长. 17．如图，已知抛物线y=−x2+ax经过点A(4，0)和点B(1，m)，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线AB上方的一个动点（不含A，B两点）.（1）求a、m的值.（2）连接AB、OB，若△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，求点C的坐标.（3）若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点D、E，试问DH+EH是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.18．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？参考答案1．A2．D3．C4．D5．A6．C7．C8．C9．110．-411．﹣2＜y ≤212．x 1=−1或x 2=313．29.414．（1）解：将(1，0)，(−1，4)代入y =ax 2+bx +3得{0=a +b +34=a −b +3解得{a =−1b =−2∴y =−x 2−2x +3（2）解：当x =−2时，y =−(−2)2−2×(−2)+3=3∴点P(−2，3)在这个二次函数的图象上.15．（1）解：设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c根据题意得解得∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3；（2）解：y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4∴顶点M 的坐标为（1，4）∴点M 到x 轴的距离为4令y=0，得-x 2+2x+3=0解得x1=3，x2=-1∴点A的坐标为（-1，0）∴AB=4∴S∆ABM=.16．（1）解：∵抛物线y=−12x2+bx+c交y 轴于点 A∴x A=0∵AB∥x轴，AB=4∴x B=4∵对称轴x=−b2a =−b−1=0+42∴b=2；（2）解：∵b=2∴抛物线的表达式为y=−12x2+2x+c∴ A(0，c)，B(4，c)∵将抛物线向上平移得到的新抛物线交直线 AB 于点 C，D，CD＝6∴C(-1，c)设新抛物线的表达式为y=−12x2+2x+c+m将C(-1，c)代入该表达式，可得c=−12×(−1)2−2+c+m解得：m=52∴ AE =52.17．（1）解：将点A(4，0)代入y=−x2+ax，解得a=4，即y=−x2+4x 令x=1，代入y=−x2+4x，解得m=3.∴a=4，m=3.（2）解：根据题意得，S△AOB=6，直线AB的表达式：y=−x+4如图所示，过点C作CD⊥x轴交AB于G，交x轴于D∵点C在二次函数图象y=−x2+4x上∴设点C的坐标为(t，−t2+4t)，且1<t<4，则点G(t，−t+4)∵S△AOB=6×3(−t2+4t+t−4)=3，解得t1=2，t2=3∴S△ABC=3，即12∴点C的坐标为(2，4)或(3，3).（3）解：DH+EH为定值由（2）可知，直线OC的表达式为：y=(−t+4)x令x=2，则点E的坐标为(2，−2t+8)∴EH=−2t+8同理可得：点D的坐标为(2，2t)∴DH=2t∴DH+EH=−2t+8+2t=8，即DH+EH=8.18．（1）解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）＝﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤110∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数；（2）解：∵y＝﹣2x2+400x+25000＝﹣2（x﹣100）2+45000∴当x＝100时，y有最大值45000元．∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；（3）解：令y＝41800，得：﹣2x2+400x+25000＝41800解得：x1＝60，x2＝140∵0＜x≤110∴x＝60，即每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．∴每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．。