圆的对称性第一课时
华师大版圆的对称性第一课时课件
弦的定义和性质
解释弦的定义、性质以及与弦相关的弧长和圆角，帮助您理解弦和圆的几 何关系。
圆心角和圆周角探究
通过具体案例和图形演示，揭示圆心角和圆周角的概念、计算方法以及它们 与弦和弧长的关系。
对称轴和对称中心
探索圆的对称性质，深入研究对称轴、对称中心等概念，并展示对称性在圆上的应用。
圆的对称性质及应用
华师大版圆的对称性第一 课时ppt课件
这个PPT课件将带您探索圆的定义、性质和对称性质，并结合实例和练习帮助 您更好地理解圆的概念与特点。
圆的定义和性质
通过详细介绍圆的定义、半径、直径、弧、弦等基本概念，让您全面理解圆 的性质和基本要素。
弧的定义和测量
深入讨论弧的定义、测量方法和相关的圆心角和圆周角，让您准确理解弧的 概念和测量技巧。
介绍圆的各种对称性质，如旋转对称、轴对称、中心对称等，以及在几何问题中应用对称性的方法和技巧。
习题讲解与课堂练习
通过针对性的习题讲解和课堂练习，帮助您巩固所学的知识，并提升解题能力与应用能力。
圆的对称性(第一课时)教学设计
山东省师范类高校学生从业技能大赛初中《数学》教学设计章节第三章第二节 课 题 圆的对称性．．．．．（第一课时）．．．．．．课时．．1．课时．．所教年级 九年级教科书北师大版初中数学一、教学目标分析根据新课程标准的要求及说课中对教材的具体内容和学生的具体情况分析，确立教学目标为：知识技能：1、了解与圆有关的概念；2、理解圆的对称性及相关性质；3、能运用圆的对称性质探索垂径定理；4、灵活运用所学知识解决实际问题。
过程与方法：通过学生对轴对称图形定义及研究方法的回顾，引导学生探究圆的对称性，进而探索垂径定理及其应用。
情感态度与价值观：培养学生善于思考、分析问题的习惯，勇于探索、创新的精神，提高学生交流合作、解决问题的能力。
二、教学重点、难点据课程标准要求及说课中对教材的具体内容和学生情况的分析，确定重难点如下：教学重点： 垂径定理的探索及运用 教学难点： 垂径定理的探索过程三、教法与学法教法：讲授法、演示法、讨论法相结合学法：自主探究法为主，合作交流为辅四、教具准备多媒体教学设备、课件五、教学程序流程图教学程序设计思路：通过学生回顾轴对称图形的定义及研究方法，引出圆的对称性的研究，然后通过例题探究垂径定理。
流程图：六、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图温故知新引导学生回顾轴对称图形的定义及研究方法。
引导学生探讨圆的对称性，并学会用折叠的方法找到圆的对称轴，借助几何直观了解圆的相关概念。
回忆轴对称图形的概念及研究方法。
通过轴对称图形的概念思考圆是不是轴对称图形、对称轴、对称轴数，学习相关概念。
以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，激发学生的“再创造”欲望，让学生认识到圆是轴对称图形，圆的对称轴是过圆心的直线，且有无数条。
学习相关概念。
收获新知课件展示实例探究问题1，让同学根据已有的知识判断图形的对称性找出对称轴并证明。
判断图形的对称性，判断对称轴，证明对称性。
在本题的教学中，重点在于引导学生体会对称性的本温故知新新知拓展归纳定理新知运用作业布置课堂小结问题2，让学生找出图中的等量关系，并请同学说明理由。
圆的轴对称性(第1课时)精选教学PPT课件
AB为直径，AB⊥CD
A
提问：你在图中能找到哪
C
D 些相等的量？并证明你猜
E
的结论。
O
CE=DE，
B
AC =AD ,BC=BD
沿着直径CD对折，哪些线段和哪些弧
互相重合？
C
O
AE
B
D
直径CD⊥AB
AE BE ⌒⌒ AD BD
⌒⌒ AC BC
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证： A
请观察下列三个银行标志有何共同点?
圆是轴对称图形吗？
O
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都 是对称轴。
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成
为轴对称图形?
C
直径AB和弦CD互相垂直
O E
B
A D
特殊情况 在⊙O中，CD为弦，
C B
.O
E
D
垂径定理
1、文字语言
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧。
2、符号语言
3、图形语言
A
因 为 AB CD于 E， AB为 O的 直 径
CE=DE,
O
AC =AB , BC=BD.
C
E
D
B
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
圆的对称性-第1课时
∴CD⊥AB于M，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
例3.如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆
弧(即图中C⌒D，点O是C⌒D的圆心)，其中 CD=600m，E为C⌒D上一点，OE⊥CD，垂足
为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
解: 设弯路的 R半 m ,则 O 径 F 为 (R90 )m. O EC,D
2024/7/17
四、探索垂径定理的逆定理
1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)， 作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答： ⑴此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? ⑵你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
2.总结得出垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的弧。
∴ A M A2 O O 2 M 12 0 6 2 8
∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16
1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点， 且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ） A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm 答案:D
2.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，
其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
2024/7/17
总结得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，AC⌒DD=为B⌒⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
3.2 圆的对称性(第一课时)
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
练习：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5， 则AC = 4 ，OC = 3 。
O
5 3 4 ┏
A
C
8
B
例2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C为弦AB 的中点，OC = 3，AB = 8，求OA的长。
●
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.
⌒
想一想 P90 6
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
B
独立作业P91 16
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
P94:习题3.2
2题祝你成功!试一试P93 15挑战自我画一画
《圆的对称性》第一课时教案
《圆的对称性》第一课时教案学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习方法:指导探索与自主探索相结合。
学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O 的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF ⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F 两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中，AB为弦，C 为AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．三、课后练习：1、已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于EDF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O 于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF。
圆的对称性(第1课时)精选教学PPT课件
湖南教育出版社
第 章
3
圆
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位 置关系．
3.1.1 圆的对称性
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
O· E B
从而AE=BE. 现在你能说出道理吗
D
？
？
为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点， E
P
F
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q，
直线EF与线段PQ的关系如何？
M
· O
Q
根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线EF是线 段PQ的垂直平分线． 于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称． 这样我们证明了圆还有下述性质：
圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形. 这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
· O
A
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是ห้องสมุดไป่ตู้的对称轴
练
习
1、自行车的车轱辘是圆形，为什么？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等 于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持 不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平 稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
圆的对称性(1)PPT课件
2020年10月2日
16
M
A
B
C
D
.O
O.
A
A CE D B
B
.O
注意:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
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下课了!
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18
课堂小结
1.本节课主要学习了什么？ 2.垂径定理有哪些作用？
A⌒DB
(用三个字母).
A
●O
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 C (如弦AB).
D 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
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5
巧手折一折
1.将刚才折出的直径记为CD。
2.你能折一条与直径CD垂直的弦吗？
3.将弦记为AB，将垂足记为M，则有
AB⊥CD于M。
C
4.你能发现图中有哪些等量关系？ 请你说说它们相等的理由。
A
M└
B
AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
●O
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D
6
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，
且CD⊥AB于M， 求证：AM=BM，
A⌒C
=B⌒C,
A⌒D
=B⌒D
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
C
A M└ ●O
∵CD⊥AB于M ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
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9
例1
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 CD ，
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——毕达哥拉斯[古希腊数学家]
23.1.2圆的对称性
(第一课时)
学习目标
1.理解圆是旋转对称图形,并能运 用其特有的性质推出在同一个圆中, 圆心角、弧、弦之间的关系。
2.能运用这些关系解决问题，培 养学生善于从实验中获取知识的科 学的方法。
旋转对称图形:把一个图形绕着一 个定点旋转一定角度后，能与原图形 重合，这个图形叫做旋转对称图形， 这个定点叫做旋转对称中心，旋转的 角度叫做旋转角。（ 0度< 旋转角<360度） 中心对称图形：把一个图形绕某一 点旋转180°,如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合.那么这个图形 叫作中心对称图形。
课堂小结
1.圆是旋转对称图形、中心对称图形， 它的对称中心是圆心； 2.圆心角、弧、弦之间的关系。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦，有一组量相等，那么 它们所对应的其余两组量也分别相等．
（注意: 运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.）
在同圆或等圆中，如果圆心 角相等，那么它所对的弧相等， 所对的弦相等。
∠AOB=∠A'OB'
｛
⌒ ⌒ AB = A'B'
O
B' B'
AB=A'B'
A' A'
A
B
在同圆或等圆中，如果弧相 等，那么所对的圆心角相等， 所对的弦相等。
⌒ ⌒ AB = A'B'
｛
∠AOB=∠A'OB'
O
B' B'
AB=A'B'
A' A'
A
B
在同圆或等圆中，如果弦相 等，那么所对的圆心角相等， 圆心角所对的弧相等。
AB=A'B'
｛
∠AOB=∠A'OB' ⌒ ⌒ AB = A'B'
A O
B' B'
A' A'
B
圆的基本性质
在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦，有一组 量相等，那么它们所对应的其余 两组量也分别相等．
例题讲解
⌒ ⌒ 例1.如图，在⊙O中AC=BD, ∠1=45°,求 ∠2的度数。
B ⌒ ⌒ 解： ∵ AC = BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AC - BC = BD -BC ⌒ ⌒ ∴ AB = CD C
D
21ຫໍສະໝຸດ AO∴∠2=∠1=45 °(在同圆或等圆中， 如果弧相等，那么所对的圆心角相等.)
例题讲解
⌒ ⌒ 例1.如图，在⊙O中AC=BD, ∠1=45°,求 ∠2的度数。 B
C D
2 1
（方法二）
⌒ ⌒ 解： ∵ AC = BD ∴ ∠AOC=∠BOD
A
O
∴ ∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC
∴∠2=∠1=45 °
巩固练习
1.完成课本P33练习第1、2题。 2.完成导学方案P49自主测评第1、2题。 3.完成导学方案P51拓展创新第6题。