【工程数学】复变函数复习重点
复变函数知识点
复变函数知识点
以下是 7 条复变函数知识点：
1. 复数到底是啥玩意儿呀？就好比孙悟空有七十二变，复数就是实数加上虚数这个奇特的组合。
比如说，3+4i 就是一个复数，例子就是在研究交流电信号的时候就会用到复数呀。
2. 复变函数的极限可重要啦！这就好像跑步比赛中朝着终点冲刺的那个瞬间。
例如计算当 z 趋近于某个值时函数值的趋向，这在很多工程问题中可关键了呢！
3. 连续性呀，那可是复变函数的一大特点哦！好比一条顺畅的道路没有任何颠簸。
想想看，一个复变函数在某个区域内连续，多干脆利落呀，比如研究弹性力学中的问题时就能体现出来。
4. 导数呢，就好像汽车的速度表，能告诉我们函数变化的快慢。
例如函数 f(z)=z^2 的导数就是 2z 呀，这在分析信号变化率的时候很有用呢！
5. 积分也是超级有趣的呢！就像是积累财富一样，一点一点地攒起来。
比如说计算沿着一条曲线对复变函数的积分，在电磁学里可常见啦。
6. 解析函数，哇哦，这可是相当厉害的角色呢！好比一个武林高手，有着非凡的能力。
像指数函数就是解析函数呀，在解决电路问题时经常能看到它的身影。
7. 柯西定理，嘿，这可是复变函数里的宝贝呀！就像一把万能钥匙。
比如利用它可以很巧妙地计算一些复杂的积分呢。
我觉得呀，复变函数虽然有点抽象，但真的超级有意思，里面充满了各种奇妙的东西等你去发现呢！。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ?≥=+??<=-??；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：，是实数, ..注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：；2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。
3）与之间的关系如下：当；当；4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：，其中。
(二) 复数的运算1.加减法：若，则2.乘除法：1）若，则；。
2）若, 则；3.乘幂与方根1）若，则。
2）若，则（有个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.2．复初等函数1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。
注：是以为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3）对数函数：（多值函数）；主值：。
（单值函数）的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：；注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。
4）三角函数：在平面内解析，且注：有界性不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数；奇函数，是偶函数。
在平面内解析，且。
（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：=；2）区域可导：在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析：在及其的邻域内可导，称在点解析；2）区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；3）若在点不解析，称为的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在处满足条件：此时，有。
2．函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微，且满足条件：；此时。
注意：若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
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复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()zze e'=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）；主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z'=； 注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）乘幂与幂函数：(0)b bLna a e a =≠；(0)b bLnz z e z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-（与实函数不同）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。
,shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆；2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析；3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u v u v x yy x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i x x∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂；此时()u vf z i x x∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nk k cn k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质1） ()()1ccf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）；2） ()()()()[],,cccf zg z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数；3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12cc c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()cccf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则 ()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则① ()cf z dz ⎰()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与k c 均取正向；② ()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()212112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5. 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()101,2)()n c f z dz z z +=-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。
7．重要结论：12,010,()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线） 8．复变函数积分的计算方法1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 内解析，c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰ c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 内不解析曲线c 内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!cn n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰（()f z 在c 内解析）曲线c 内有多于一个奇点：()cf z dz ⎰()1knk c f z dz ==∑⎰ （ic 内只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nk k cf z dz i s f z z π==∑⎰（留数基本定理）若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 内有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为实部u 的共轭调和函数。
两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足柯西—黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。