相似三角形-基本知识点+经典例题
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点１ 有关相似形得概念(1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、(２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质(1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容:(2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为:注:①黄金三角形:顶角就是３６０得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。
注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、（4）等比性质:如果,那么、知识点3 比例线段得有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等。
特别在三角形中:由ＤE ∥B Ｃ可得:知识点４ 相似三角形得概念(1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。
相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、(2)三角形相似得判定方法B1、平行法:(图上)平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边得延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
相似三角形的性质与判定(知识点+例题)
海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1.掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）;2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题;3.掌握两个直角三角形相似的判定条件，并能解决简单的问题.重难点导航1. 解决相似三角形相似的应用并会探索；2. 由已知条件寻找相似三角形.教学简案：一、真题演练二、个性化教案三、个性化作业四、错题汇编授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2013•舟山）若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为（ ）A ．直线x=1B ．直线x=-2C ．直线x=-1D ．直线x=-42.（2010•天津）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0； ④9a+3b+c ③8a+c ＞0； ＜0其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. （2011•扬州）如图，已知函数xy 3=与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P 的纵坐标为1．则关于x 的方程032=++xbx ax 的解为 ．海豚教育个性化教案相似三角形的性质与判定知识点一：相似三角形的定义及性质1．定义：三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
(完整版)相似三角形经典模型总结及例题分类.doc
WORD 格式可编辑相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180°∽平行型平行型翻折 180°翻折 180°一般特殊翻折 180°斜交型斜交型特殊一边平移一般平移特殊双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】“平行型”【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ，则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FFM M : S四边形 MM C B _________1 1 1 1 1 1AE E1FF 1MM1B CWORD 格式可编辑【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____A DE FMNB C【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H求证： PE PHPF PGG D CE PFA B H【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且AE2, BE、 CD相交于点 F ，求BF的值ECEF ADF EB C【例 5】已知：在ABC 中， AD 1AB，延长 BC到F ,使CF1BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3求证：① DE EF ② AE 2CEADEB专业知识分享【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形ACDEB F【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1 .c a bACEB F D【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.CAEB F D【例 9】如图，四边形ABCD中，B D90M是AC上一点，ME AD于点EMF BC，，于点 F 求证：MFME 1AB CDDEMA CFB【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CFAEDBC F 【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,求证： CP CQDEP QA C B【例 12】阅读并解答问题 .在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法如下：ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，第一步：画一个有三个顶点落在第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D四边形 DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在 ABC 中，如果BC 6 3，ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长AG FG'F'E CWORD 格式可编辑“平行旋转型”图形梳理：E'F'AAAF'E'AEF'EFFFEE'FEF'BCBCBBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’CAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘F ’特殊情况： B 、 E'、 F '共线AAEF' EF'E'FE'FBC B CAEF 旋转到 AE ‘ F ’ AEF 旋转到 AE ‘ F ’C ， E'， F '共线E'AE'AEFEF'FF'BCBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’【例 13】已知梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线AC 、 BD 互相垂直，则①证明： AD 2 BC 2AB 2 CD 2ADOB CWORD 格式可编辑【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度（090 ），问上面的结论是否成立，请说明理由DAOB C【例 15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.A DGFB CE“斜交型”【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACDAFD EB C【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CE BE ，AD ，CE 相交于 M ，求证 : EAM : ECAAEMB DC AGF BE【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBDADOB C【例 19】如图，设ABBCCA，则 1 2 吗？AD DE EAA1 DE2B C【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高AEB D C【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1，作CH AD，H为垂足，连结BH。
《相似三角形》 讲义
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
例如，三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'，并且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形ABC 相似于三角形A'B'C'，记作“三角形ABC ∽三角形A'B'C'”。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，那么可以得出三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
比如在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形 ABC 与三角形A'B'C'相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等。
比如三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。
2、相似三角形的对应边成比例。
若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，就有 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'。
2023年中考数学高频考点突破-相似三角形
2023年中考数学高频考点突破-相似三角形1．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接相应的对角线AC，EG．（1）求证∽ABC∽∽EFG；（2）若ACEG=12，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为．2．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于F．（1）求证：ΔAGC∼ΔEFB．（2）除（1）中相似三角形，图中还有其他相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．(证明不做要求)3．如图，在∽ABC中，∽B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：（1）经过几秒后，∽PBQ与∽ABC相似．（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．4．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是∽O上一动点且在第一象限内，过点P作∽O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．（1）求证：∽OBP与∽OPA相似；（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；（3）在∽O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．5．（1）因式分解：4a3 -16a；（2）如图，在△ABC中，AD平分∽BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．6．如图所示，在4×4的正方形方格中，∽ABC和∽DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∽ABC=，BC=；（2）判断∽ABC与∽DEF是否相似？并证明你的结论．7．如图，点C是线段AB上一点，∽ACD和∽BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD 于点F．（1）求证：∽ACE∽∽DCB；（2）求证：∽ADF∽∽BAD．8．如图所示，在4×4的正方形方格中，∽ABC和∽DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∽ABC=，BC=；（2）判断∽ABC与∽DEF是否相似？并证明你的结论．9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DC=4DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：∽ABE∽∽DEF；（2）若正方形的边长为16，求BG的长．10．感知：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∽CD，∽B=90°，点P在BC边上，当∽APD=90°时，可知∽ABP∽∽PCD．（不要求证明）（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∽B=∽C=∽APD时，求证：∽ABP∽∽PCD．（3）拓展：如图③，在∽ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∽B=∽C=∽DPE=45°，BC=4 √2，CE=3，则DE的长为．11．如图，已知抛物线y=﹣x2+3x与x轴的正半轴交于点A，点B在抛物线上，且横坐标为2，作BC∽x轴于点C，∽B经过原点O，点E为∽B上一动点，点F在AE上．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连结OE，当AF：FE=1：2时，求证：∽ACF∽∽AOE；（3）如图2，当点F是AE的中点时，求CF的最大值．12．如图，在Rt∽ABC中，∽BAC=90°，∽C=30°．（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：∽ABC∽∽EDA．13．如图，已知AB是∽O的直径，AC为弦，且平分∽BAD，AD∽CD，垂足为D．（1）求证：CD是∽O的切线；（2）若∽O的直径为4，AD=3，试求∽BAC的度数．14．在一次关于相似三角形的探究活动中，如图所示：∠ACB=∠ADE，老师让大家适当的添上辅助线，看看还能得到哪些相似三角形，小颖连接CD、BE，且CD、BE相交于点F，于是她得到了ΔACD∽ΔABE.下面是她的证明过程的一部分，你能帮助她完成证明吗？（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADE ∴ΔACB∽ΔADE∴AC AD=又∵∴ΔACD∽ABE（2）你还能得到图中哪些三角形是相似的？至少写出两对.15．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∽MAN＝90°，联结MN、AC，N与边AD交于点E．（1）求证；AM＝AN；（2）如果∽CAD＝2∽NAD，求证：AM2＝AC•AE．16．已知：如图，∽O和∽A相交于C、D，圆心A在∽O上，过A的直线与CD、∽A、∽O分别交于F、E、B。
相似三角形中的“8”字模型(3种题型)-2023年九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
重难点专项突破：相似三角形中的“8”字模型（3种题型）【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP =∠BAP .结论：ΔAPB∼ΔDPC (上下相似);ΔAPD ∼ΔBPC (左右相似);【考点剖析】题型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解题例1.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==， 由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．例2.如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形，////AB CD AD BC ∴，，////RB DI SD BQ ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PSPR PB PQ==，PQ PI PR PS∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例3.如图，在平行四边形ABCD中，CD的延长线上有一点E，BE交AC于点F，交AD于点G．求证：2BF FG EF=．【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////AB CE AG BC∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BFBF AF FG==，∴2BF FG EF=．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例4.如图，点C在线段AB上，AMC∆和CBN∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN=；（2）MD EB ME DC=．【解析】证明：（1）AMC∆和CBN∆是等边三角形，60ACM NCB AMC∴∠=∠=∠=︒．∵点C在线段AB 上，18060MCN ACM NCB AMC∴∠=︒−∠−∠=︒=∠．//AM CN∴，∴MD AMDC CN=．（2）同（1）易证得//CM BN，则有ME MCEB NB=．AMC∆和CBN∆是等边三角形，MC AM NB CN∴==，，MD MEDC EB∴=，∴MD EB ME DC=．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例5.如图，已知////AB CD EF．AB m=，CD n=，求EF的长．（用m、n的代数式表示）．【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，，即1EF EFm n+=，得mnEFm n=+．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．例6.如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，13AEEC=，BE的延长线交CD的延长线于点G，交AD于点F，求:BF FG的值．【答案】1:2．【解析】由//AF BC，可得13AF AEBC EC==，即13AFAD=，故12AFFD=，由//AB DG，可得：::1:2BF FG AF FD==．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．例7.如图，12//l l，:2:5AF FB=，:4:1BC CD=，求:AE EC的值．【答案】2:1．【解析】由12//l l，得：25AG AFBD FB==，又:4:1BC CD=，可得21AGCD=，故::2:1AE EC AG CD==．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．（2）添加辅助线构造“8”字模型解题例8.过ABC∆的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证：2AE AFED FB=．【解析】过点D作//DG AB交CF于点G．//DG AB∴AE AFED GD=，DG CDBF CB=；AD是中线，∴2BC CD=，∴12DGBF=；∴2AE AFED BF=．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．AB CDEF例9.如图，AD 是ABC ∆的内角平分线．求证：AB BD AC DC=．【解析】过点C 作//CM AB 交AD 的延长线于点M ．//CM AB∴AB BD CM DC =，BAD M ∠=∠AD 是角平分线∴BAD DAC ∠=∠；∴M DAC ∠=∠ ∴AC CM =∴AB BD AC DC =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．题型二：8字-不平行型例10.如图，∠BEC ＝∠CDB ，下列结论正确的是（ ）A ．EF •BF ＝DF •CFB ．BE •CD ＝BF •CFC ．AE •AB ＝AD •AC D ．AE •BE ＝AD •DC AB CD M【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EFDF =FBFC，∴EF•FC＝DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BECD =BFFC，∴BE•CF＝CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴ABAC =ADAE，∴AB•AE＝AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．【过关检测】一．选择题（共3小题）1．（2023•静安区校级一模）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，∴S△AGB：S△AEB＝2：3，∵AE＝EC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB＝S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴S△CDE＝S△ABC，∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2．（2023•徐汇区一模）如图，点D在△ABC边AB上，∠ACD＝∠B，点F是△ABC的角平分线AE与CD 的交点，且AF＝2EF，则下列选项中不正确的是（）A．B．C．D．【分析】过C作CG∥AB交AE延长线于G，由条件可以证明△ACF≌△GCE（ASA），得到AF＝EG，CF＝CE，由△ADF∽△GCF，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C作CG∥AB交AE延长线于G，∴∠G＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠G＝∠CAE，∴CG＝CA，∵∠ACD＝∠B，∠ECG＝∠B，∴∠ACF＝∠ECG，∴△ACF≌△GCE（ASA），∴CF＝CE，AF＝EG，∵AF＝2FE，∴EG＝2FE，令EF＝k，则AF＝EG＝2k，AE＝GF＝3k，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG＝AF：FG＝2k：（3k）＝2：3，∴＝，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE＝GE：AE＝2k：（3k）＝2：3，∴＝，故B正确．∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，故C正确．∵＝，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝2，∵CD＝4cm．∴AB＝8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣8）÷2＝1（cm），故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二．填空题（共8小题）4．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC 的延长线于点F，若，BC＝8，则AE的长为．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出＝＝，又有BC的值，再由＝＝1，得出AE＝CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴＝＝，＝＝1，即AE＝CF，又BC＝8，∴＝AE＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5．（2022•浦东新区校级模拟）如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设＝，试用向量表示向量，＝．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC＝2：3，可得DA＝CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC＝2：3，∴DA：CA＝DE：BC＝2：3，∵CD＝DA+CA，∴DA＝CD，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6．（2022•静安区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC＝1：4，设＝，那么＝．（用含向量的式子表示）【分析】由相似三角形性质可得＝4＝4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝＝，∴＝4＝4，∵点E、F分别是边AB、CD∴＝（+）＝（+4）＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7．（2023•静安区校级一模）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．【分析】先根据黄金分割的定义可得＝，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF＝AE，从而可得＝，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），∴＝＝，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案为：﹣1．8字模型相似三角形是解题的关键．8．（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD 的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM＝BN，再根据S△BCD＝2S△ABD，从而可得BC＝2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得＝＝，从而可得＝，最后根据△BOC与△BDC的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN＝DM，∵S△BCD＝2S△ABD，∴BC•DM＝2×AD•BN，∴BC＝2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴＝＝，∴＝，∵△BOC与△BDC的高相等，∴＝＝，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022秋•虹口区校级月考）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF＝CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC＝．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E为边BC的中点，可以得到AD：EC＝AM：CM＝DM：ME＝3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF＝DM：ME＝3：2＝6：4，最后利用又3CF＝CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC＝AM：CM＝DM：ME＝3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF＝DM：ME＝3：2＝6：4，又3CF＝CD，∴DF＝2CF，∴CF：HF＝5：4，∴CG：MG＝5：4，∴CG＝CM，MG＝CM，而AM：CM＝3：2，∴AM＝CM，∴AG＝AM+MG＝CM，∴AG：GC＝CM：CM＝7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径AB．如果＝＝，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm．∴AB＝9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝0.5（cm），故答案为：0.5．AB的值．11．（2022春•闵行区校级月考）如图，梯形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB＝4，且＝，那么梯形ABCD的中位线等于．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵＝，∴＝．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴＝＝，∴ED＝2，＝．∵AD∥BG，∴＝．∴EG＝6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE＝BC．∵BG⊥EC，∴EG＝GC＝6．∴DC＝DG+CG＝4+6＝10．∴梯形ABCD的中位线＝（AB+CD）＝（4+10）＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三．解答题（共12小题）12．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）联结FC，设，，那么＝，＝.（用向量、表示）【分析】（1）根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE＝CD，则EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；（2）由AF＝2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE＝CD，∵EF：CD＝1：3，∴EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；（2）联结FC，如图，由（1）可得AF＝2EF，∵，∴，，∴＝，＝，∵，AD＝EC，∴，∴＝＝，∴＝＝．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．13．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求证：AE•BD＝AD•DC；（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】（1）利用平行线的性质证明∠ADB＝∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；（2）利用（1）的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠EAD＝∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD＝DC：BD，∴AE•BD＝AD•DC；（2）∵AE：AD＝DC：BD，且，∴＝，而∠EDF＝∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF＝∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．14．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF ＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，试用、表示向量．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，易证△AEF∽△DCF，则＝，由DF ＝2AF即可求解；（2）先算出，再根据即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF＝2AF，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∵DF＝2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．15．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．【分析】（1）通过证明△FAG∽△可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD ＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得＝，由平行线分线段成比例可得＝，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG•AE＝AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．【分析】（1）根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB＝∠EBC，＝，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得＝，即可解答；（2）根据已知易证△BFE∽△BED，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF＝∠BDE，进而可得∠DAF＝∠BDE，然后利用（1）的结论可证△ADF≌△DBE，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，∴＝，∵∠ADB＝∠BEC，∴△DAB∽△EBC，∴∠DAB＝∠EBC，＝，∴AD∥EB，∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∴；（2）∵BE2＝BF•BD，∴＝，∵∠DBE＝∠EBF，∴△BFE∽△BED，∴∠BEF＝∠BDE，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠DAF＝∠BDE，∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，∴△ADF≌△DBE（ASA），∴DF＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性17．（2023•宝山区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，OB＝OC．（1）求证：AB＝CD；（2）E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2＝OF•OC，求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB和△DOC全等，利用全等三角形的性质得结论；（2）先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC．∴∠DAC＝∠ADB．∴OA＝DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS）．∴AB＝CD．（2）∵AO2＝OF•OC，OA＝OD，OC＝OB，∴AO•OD＝OF•OB，即．∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO＝∠DFO．∴AB∥DE．∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．18．（2022秋•徐汇区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）AE•CD＝BC•ED．【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE；（2）由（1）中的相似可得出AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，AE•CD＝BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．19．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．（1）求证：AB2＝AC•AE；（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值．【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；（2）过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用（1）的结论可得＝＝＝，先AC＝2a，AB＝3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD＝m，BD＝3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH＝m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得＝，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEB，∴＝，∴AB2＝AC•AE；（2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，∵△ABC∽△AEB，∴设AC＝2a，AB＝3a，∴＝，∴AE＝a，∴＝＝，∵BD＝3CD，∴设CD＝m，则BD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，∴＝，∴EB＝6m，∵EH∥CD，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，∴△ACD∽△AEH，∴＝＝，∴EH＝m，∵EH∥BD，∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，∴△BDF∽△EHF，∴＝＝＝，∴EF＝BE＝m，∴＝＝，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．（1）求证：AG2＝GF•GM；（2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】（1）由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；（2）利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴＝，＝．∴＝．∴AG2＝GF•GM．（2）∵AB∥DM，∴∠BAG＝∠M．∵∠BAG＝∠BCG，∴∠M＝∠BCG．∵∠MGC＝∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴＝，即CG2＝GF•GM．∴CG2＝AG2．∴CG＝AG．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE＝CE．∴GE⊥AC，即BD⊥AC．∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．21．（2021秋•虹口区期末）如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD 交于点E．点F是线段EC上一点，且∠BDF＝∠BAC．（1）求证：EB2＝EF•EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到△EAD∽△ECB，从而得到，然后由∠BDF＝∠BAC、∠AEB＝∠DEF得证△EAB∽△EDF，进而得到，最后得到结果；（2）先利用条件得到AC、AB的长，然后利用BC＝2AD得到AD、BD的长，再结合相似三角形的性质得到EB、EC的长，进而得到EF的长和FC的长．∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵∠BDF＝∠BAC，∠AEB＝∠DEF，∴△EAB∽△EDF，∴，∴，∴EB2＝EF•EC．（2）解：∵BC＝6，sin∠BAC＝＝，BC＝2AD∴AC＝9，AD＝3，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＝90°，∴AB＝＝＝3，∴BD＝＝＝3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC＝AC＝×9＝6，EB＝BD＝×3＝2，∵EB2＝EF•EC，即（2）2＝6EF，∴EF＝4，∴FC＝EC﹣EF＝6﹣4＝2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．22．（2021秋•嘉定区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC＝4DE，∴，∵CE＝10，∴HC＝10﹣EH，∴，∴EH＝2，∵BC＝4DE，DE：AE＝2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE＝∠GBC，∠GEA＝∠GCB∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE＝10，∴GC＝10+GE，∴，∴GE＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．23．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣y）2+y2＝50，解得：y＝1或y＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。
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相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，假如说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，假如b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 现在有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 差不多性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =⇔=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （5）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）如此能够减少未知数的个数，这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,同时和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.B此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论： 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，如此写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：关于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的差不多图形： 用数学语言表述是：DE ADE ∽知识点7 1 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，同时夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC (3)D B (2)DB C则AD2=BD ·DC ，AB2=BD ·BC ，AC2=CD ·BC 。
知识点8 相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种差不多图形：如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） (2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） (4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种差不多图形的具体应用： （1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC2=AD ·AB ，CD2=AD ·BD ，BC2=BD ·AB ；（3）满足1、AC2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．（4）当AD AE AC AB或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ． 知识点9：全等与相似的比较：三角形全等三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 相似判定的预备定理 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例 知识点10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．A B C D E 12A A B B C C DD E E 12412E C A B D E A B (D )E A DB (1)E B D(2)C D B(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来运算周长、边长等．知识点11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”查找三角形，即横向看或纵向查找的时候一共各有三个不同的字母，同时这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，同时有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向查找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有如此的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。