初中数学专题训练：数的整除
数学数的整除试题答案及解析
数学数的整除试题答案及解析1.（2012•中山市模拟）一个式子有8个空“”，在这些“”里，填进20以内各不相同的质数，使A是整数，并且尽可能大．A=（++++++）÷．【答案】2，3，5，11，13，17，19，7．【解析】根据质数的意义可知，20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19；它们的和为2+3+5+7+11+13+17+19=77，则算式中除数应用为77的约数，能被77整除的只有7和11，因此A最大为（77﹣7）÷7=10．解：20以内的质数的质数的和为：2+3+5+7+11+13+17+19=77，77=7×11，所以要使A最大，则A=[2+3+5+11+13+17+19]÷7=70÷7=10，即A能取得的最大整数是10．故答案为：2，3，5，11，13，17，19，7．点评：首先根据质数的意义确定20以内的质数并求出它们的和是完成本题的关键．2.将下列表格空白处填写完整．球类单价数量总价篮球元 3个 93元足球元 2个 76元排球元 4个 68元【答案】31，38，17．【解析】用总价除以数量等于单价解答即可．解：93÷3=31（元）；76÷2=38（元）；68÷4=17（元）；球类单价数量总价篮球 31元 3个 93元足球 38元 2个 76元排球 17元 4个 68元故答案为：31，38，17．点评：此题考查了单价、数量和总价之间的关系．3.一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了168千米，照这样的速度又行了5小时，正好到达乙地，甲乙两地相距多少千米？【答案】448千米【解析】照这样的速度说明汽车行驶速度是一定的，先求出速度，再用速度乘时间即可解答．解：168÷3×（3+5）=56×8=448（千米）．答：甲乙两地相距448千米．点评：此题是简单的归一问题，根据照这样的速度先求出单一量，再根据路程、速度、时间三者的关系解答．4.从35里减5，连减7次，刚好减完．．【答案】√【解析】求出35里面有几个5就需要减几次，然后与7次比较，即可判断．解：35÷5=7；35里面有7个5，也就是连减7次5，就刚好减完．故答案为：√．点评：本题关键是理解题意，把题目看成求一个是里面有几个另一个数，用除法求解．5. 125÷5=160÷10=25﹣16=．【答案】25；16；9；【解析】根据整数除法竖式及减法竖式的计算的方法进行计算即可；解：125÷5=25；160÷10=16；25﹣16=9；点评：本题主要考查整数乘除法的笔算，根据各自的计算法则进行计算即可．6.被除数是24，除数是3，商是多少？【答案】8【解析】直接用除法解答．解：24÷3=8；答：商是8．点评：此题主要考查对除法意义的理解和掌握．7.用竖式计算，并验算．727÷81= 595÷17= 207×14= 380×40=【答案】8…79；35；2898；15200；【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可．验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：①727÷81=8…79；验算：②595÷17=35；验算：③207×14=2898；验算：④380×40=15200；验算：点评：整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．8.比一比．540÷9480÷8 500÷50600÷10560÷70630÷70 720÷90420÷60220×7210×7 360×50410×60．【答案】=，＜，＜，＞，＞，＜．【解析】横向数：（1）（2）（3）（4）依据整数除法计算方法，分别求出题干中左右两边算式的值，再根据整数大小比较方法即可解答，（5）（6）先依据整数乘法计算方法，分别求出题干中左右两边算式的值，再根据整数大小比较方法即可解答．解：540÷90=480÷8 500÷50＜600÷10560÷70＜630÷70 720÷90＞420÷60220×7＞210×7 360×50＜410×60故答案为：=，＜，＜，＞，＞，＜．点评：依据整数乘法计算方法正确进行计算，是本题考查知识点．9.一个竹筐可以装20千克橘子，王冬家有120千克橘子，张华家有140千克橘子，装完这些橘子共需几个筐？【答案】13个筐【解析】先求出两家有橘子的总重量，再依据可装筐数=橘子重量÷每筐可装橘子重量即可解答．解：（120+140）÷20，=260÷20，=13（筐），答：装完这些橘子共需13个筐．点评：解答本题的关键是求出两家有橘子总重量，依据是等量关系式：可装筐数=橘子重量÷每筐可装橘子重量．10.学校图书室有108本新书，借出去9本，剩下的书是借出去的多少倍？【答案】11倍【解析】先根据剩下的本数=原来的﹣借出的，求出剩下的是108﹣9=99，要求“剩下的书是借出去的多少倍”就是求99是9的多少倍，用除法．解：（108﹣9）÷9，=99÷9，=11，答：剩下的书是借出去的11倍．点评：抓住“求一个数是另一个数的多少倍，”用除法，即可解答．11.儿童玩具厂生产了5820辆小汽车，装成485箱，平均每箱装多少辆小汽车？【答案】12辆【解析】此题根据除法的意义，直接用除法解答．解：5820÷485=12（辆）；答：平均每箱装12辆小汽车．点评：此题主要考查除法的意义，此题属于包含除法．12.有96个蘑菇，平均分给3个小组．每组可以分到几个？【答案】32个【解析】已知有96个蘑菇，平均分给3个小组，要求每组可以分到几个，就是把96平均分成3份，求每一份是多少，用除法计算．解：96÷3=32（个）；答：每组可以分到32个．点评：此题属于平均数问题，运用了关系式：总数÷份数=平均数．13.笔算．【答案】【解析】依据整数除法的运算法则进行解答即可．解：解答如下：点评：此题主要考查列竖式进行除法计算的能力，要注意相同数位对齐．14.轻松比较大小．（在里填上“＞”“＜”或“=”）358÷3120702÷6117750÷520672÷798．【答案】＜；=；＞；＜．【解析】先把左边的算式计算出来，再与右边的数据相比较，即可解答．解：358÷3=119.333…，所以358÷3＜120，702÷6=117，所以702÷6=117，750÷5=150，所以750÷5＞20，672÷7=96，所以672÷7＜98，故答案为：＜；=；＞；＜．点评：此题主要考查除数是一位数的除法计算以及比较数的大小的方法．15. 840÷70=【答案】12．【解析】根据商不变的性质，先把被除数和除数同时缩小10倍，再计算84÷7即可．解：根据题干分析可得：所以840÷70=12．故答案为：12．点评：此题考查利用商不变的性质，简便计算被除数和除数末尾有0的方法．16.判断对错并改正【答案】×【解析】根据商不变的性质，先把被除数和除数同时缩小100倍，再计算36÷6即可．解：根据商不变的性质可知，被除数和除数同时缩小100倍，商不变，是17，所以原题计算错误．故答案为：×．点评：此题考查利用商不变的性质，简便计算被除数和除数末尾有0的方法．17. 364是什么数的13倍？【答案】28【解析】已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算，“364是什么数的13倍”，就是一个数的13倍是364．据此解答．解：364÷13=28；答：364是28数的13倍．点评：本题主要考查了学生对基本的数量关系：已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算的掌握情况．18.“护绿”小队8个人捡了96个塑料瓶．“啄木鸟”小队6个人找到了78个错别字．（1）“护绿”小队平均每人捡了多少个塑料袋？（2）“啄木鸟”小队平均每人找到多少个错别字？【答案】12个；13个【解析】根据题意：（1）用96除以8即可，（2）用78除以6即可．解：（1）96÷8=12（个）；答：“护绿”小队平均每人捡了12个塑料袋．（2）78÷6=13（个）；答：“啄木鸟”小队平均每人找到13个错别字．点评：此题考查整数除法的意义及应用．19.列竖式计算．182÷13= 350÷21=607÷23= 467÷17=【答案】14，16...14，26...9，27 (8)【解析】整数除法的计算方法：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．解：（1）182÷13=14，14（2）350÷21=16…14，16（3）607÷23=26…9，26（4）467÷17=27…8，27点评：本题主要考查了学生竖式计算除法的计算能力．20. 720÷81的商是一位数．．（判断对错）【答案】√【解析】720÷81，被除数前两位数72小于除数81，所得的商的一位数，然后再进一步解答．解：72＜81；所以，720÷81的商是一位数．故答案为：√．点评：三位数除以两位数，被除数的前两位数大于或等于除数，商是两位数；被除数前两位数小于除数，商是一位数．21.蜜蜂会落在哪朵花上？（连线）【答案】见解析【解析】除法的计算方法；从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．求出下一行的商，再连线．解：168÷6=28，128÷8=16，747÷9=83，85÷5=17，360÷8=45，140÷4=35．连线如下：点评：本题的重点是先求出下一行的商，再连线．22.要使的商是三位数，□可以填；要使□的商是两位数，□里可以填．【答案】1、2、3、4；5、6、7、8、9．【解析】三位数除以一位数，如果被除数比一位数大或相等，商就是一个三位数；如果百位上的数字比一位数小，商就是一个两位数．据此解答．解：要使的商是三位数，□可以填1、2、3、4；要使□的商是两位数，□里可以填5、6、7、8、9．故答案为：1、2、3、4；5、6、7、8、9．点评：三位数除以一位数，要想知道上是几位数，关键是被除数百位上的数字和一位数数字比较，看百位上的数字与一位数（除数）的大小关系．23.（1）96是4的多少倍？（2）把78平均分成6份，每份是多少？【答案】24倍；13【解析】（1）要求96是4的多少倍，用除法计算；（2）把78平均分成6份，要求每份是多少，用除法计算．解：（1）96÷4=24；答：96是4的24倍．（2）78÷6=13；答：每份是13．点评：此题考查了“求一个数是另一个数的多少倍”以及“把一个数平均分成几份，求每份是多少”的应用题，用除法计算．24.填上单价．苹果橘子香蕉【答案】23，17，21．【解析】根据单价=总价÷数量，分别代数计算即可．解：苹果的单价：92÷4=23（元）；橘子的单价：85÷5=17（元）；香蕉的单价：168÷8=21（元）；见下图：故答案为：23，17，21．点评：此题考查单价、数量和总价之间的关系的运用，用到的关系式为：单价=总价÷数量．25.用竖式计算并验算．514÷3= 784÷7=386÷3= 676÷4=【答案】171…1；112；128…2；169【解析】这四道题都属于整数的除法计算，注意数位对齐，除不尽的，余数要小于除数．在验算时，用关系式：商×除数=被除数，商×除数+余数=被除数．解：514÷3=171 (1)验算：；784÷7=112验算：；386÷3=128 (2)验算：；676÷4=169验算：．点评：解答此题，关键要注意数位对齐．26.算出每张卡片上的两个数的商【答案】【解析】求出每张卡片上的两个数的商，然后把求得的商填入方框中．解：480÷6=80，320÷4=80，490÷7=70，20÷2=10，80÷2=40，420÷7=60；点评：此题重点考查了整数除法的计算方法．27.光明印刷厂要装订6800本画册，装订了5天，还差1200本没有完成．平均每天装订多少本？【答案】1120本【解析】根据总共要装订的本数﹣剩下没完成的=已经装订了的本数，先求出5天一共装订了多少本，6800﹣1200=5600本，要求平均每天装订多少本，根据除法的意义，用已经装订的本数÷装订的天数解答即可．解：（6800﹣1200）÷5，=5600÷5，=1120（本），答：平均每天装订1120本．点评：本题考查了学生根据除法和减法的意义解应用题的能力，求一个数的平均数，用除法．28.（1）猴子的只数是老虎的几倍？（2）松鼠的只数是仙鹤的几倍？【答案】4倍；18倍【解析】根据除法的意义列式计算即可．解：（1）36÷9=4．答：猴子的只数是老虎的4倍．（2）72÷4=18．答：松鼠的只数是仙鹤的18倍．点评：考查了整数的除法及应用，关键是根据题意正确列出算式．29.先判断商是几位数，再计算．【答案】见解析【解析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位数字，若前两位大于或等于除数，则商是两位数；反之，商就是一位数；再利用计算法则列竖式计算即可．解：点评：此题主要考查三位数除以两位数的笔算和试商方法．30.【答案】见解析【解析】（1）290÷37，把除数看作40试商，（2）423÷49，把49看作50试商，（3）153÷51，把51看作50试商，（4）289÷72，把72看作70试商，然后根据有余数的除法的计算法则进行计算．解：根据题干分析可得：点评：此题考查的目的是掌握利用“四舍五入法”把除数看作与它接近的整十数进行试商，并且能够正确熟练地进行计算．31.脱式计算．324÷6÷3 80×7÷4 960÷（56÷7）【答案】18；140；120．【解析】（1）（2）按照从左到右的顺序计算；（2）先算小括号里面的除法，再算括号外的除法．解：（1）324÷6÷3，=54÷3，=18；（2）80×7÷4，=560÷4，=140；（3）960÷（56÷7），=960÷8，=120．点评：本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．32. 287×26= 83×245= 780×36= 429×32=37×256= 64×250= 364×28= 564×78=268×46= 58×463=【答案】7462，20335，28082，13728，9472，16000，10192，43992，12328，26854．【解析】本题根据整数乘法的计算法则计算即可：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐，然后把几次乘得的数加起来．（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．解：287×26=7462， 83×245=20335， 780×36=28082， 429×32=13728，37×256=9472， 64×250=16000， 364×28=10192， 564×78=43992，268×46=12328， 58×463=26854．故答案为：7462，20335，28082，13728，9472，16000，10192，43992，12328，26854．点评：整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．33.一堆苹果共有56个，3个3个的装能正好装完吗？2个2个的装能正好装完吗？5个5个的装呢？【答案】所以一堆苹果共有56个，3个3个的装不能正好装完，2个2个的装能正好装完，5个5个的装不能正好装完．【解析】由题意，看56是否能分别整除3、2、5即可．解：56÷3=18…2；56÷2=28；56÷5=11…1；所以一堆苹果共有56个，3个3个的装不能正好装完，2个2个的装能正好装完，5个5个的装不能正好装完．点评：此题考查了2、3、5的整除的意义及运用．34.口算下面各题．0÷6=0÷3=5×O=4﹣0=0+60=【答案】0÷6=0，0÷3=0，5×O=0，4﹣0=4，0+60=60．【解析】根据有关0的计算进行求解．解：0÷6=0，0÷3=0，5×O=0，4﹣0=4，0+60=60．点评：本题考查了有关0的计算：0除以任何非0的数都得0；任何数乘0都得0；任何数减去0都得原数；任何数加上0还得原数．35.下面的计算对吗？把不对的改正过来．【答案】×，√，×．【解析】（1）第一步余1个十，错误，（2）计算正确，（3）最后一步错误，余数大于除数了，商应4，余数是2即可．解：改正：故答案为：×，√，×．点评：此题考查了整数除法的计算方法和计算能力．36.口算．220×4= 900÷20= 25×30= 1200÷40=8100÷90= 102×20= 800÷16= 700÷35=30×12= 220÷11= 42×4= 800÷50=【答案】220×4=880； 900÷20=45； 25×30=750； 1200÷40=30；8100÷90=90； 102×20=5.1； 800÷16=50； 700÷35=20；30×12=360； 220÷11=20； 42×4=168； 800÷50=16．【解析】根据整数乘法、除法的计算法则，直接进行口算即可．解：220×4=880； 900÷20=45； 25×30=750； 1200÷40=30；8100÷90=90； 102×20=5.1； 800÷16=50； 700÷35=20；30×12=360； 220÷11=20； 42×4=168； 800÷50=16．点评：此题考查的目的是理解掌握整数乘法、除法的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力．37.口算．19×4= 32×2= 70×4= 240÷80= 76÷19= 64÷32=50×8= 630÷70= 28×3= 16×5= 60×7= 540÷90=84÷28= 80÷16= 90×5= 350÷50= 93÷31= 68÷17=【答案】19×4=76， 32×2=64， 70×4=280， 240÷80=3， 76÷19=4， 64÷32=2，50×8=400， 630÷70=9， 28×3=84， 16×5=80， 60×7=420， 540÷90=6，84÷28=3， 80÷16=5， 90×5=450， 350÷50=7， 93÷31=3， 68÷17=4．【解析】根据整数乘除法计算的方法进行计算即可．解：19×4=76， 32×2=64， 70×4=280， 240÷80=3， 76÷19=4， 64÷32=2，50×8=400， 630÷70=9， 28×3=84， 16×5=80， 60×7=420， 540÷90=6，84÷28=3， 80÷16=5， 90×5=450， 350÷50=7， 93÷31=3， 68÷17=4．点评：整数乘除法的口算，要注意运算数据和符号，再进行计算，特别要注意末尾的0的个数，不要多写或少写．38.直接写出得数．200÷5= 48×5= 50×60=21×8= 11×12= 25×8=80×90= 300×50=【答案】200÷5=40， 48×5=240， 50×60=3000，21×8=168， 11×12=132， 25×8=200．80×90=7200， 300×50=15000【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．解：200÷5=40， 48×5=240， 50×60=3000，21×8=168， 11×12=132， 25×8=200．80×90=7200， 300×50=15000，点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．39. 863×35 516÷35 409÷26820÷270 380×270 646÷16．【答案】30205，14…26，15…19，3…10，102600，40…6．【解析】根据整数乘除法竖式计算的方法进行计算即可；注意中间有0和末尾有0的乘除法．解：863×35=30205，516÷35=14…26，409÷26=15…19，820÷270=3…10，380×270=102600，646÷16=40…6．点评：本题主要考查整数乘除法的笔算，按照各自的计算法则进行计算，特别要注意中间有0或末尾有0的乘除法．40.看谁算得快．238+647=412﹣298=824÷4=920÷8=720÷3=204×3=780÷6=580÷5=【答案】238+647=885；412﹣298=114；824÷4=206；920÷8=115；720÷3=240；204×3=612；780÷6=130；580÷5=116．【解析】根据整数的加减乘除法的计算法则计算即可求解．解：238+647=885；412﹣298=114；824÷4=206；920÷8=115；720÷3=240；204×3=612；780÷6=130；580÷5=116．点评：考查了整数的四则运算，关键是熟练掌握计算法则，正确进行计算．41.在横线上填上＞、＜或=．8×296÷6（43+56）÷9948÷642÷764÷856÷7．【答案】=，＞，＞，=．【解析】（1）因为8×2=16，96÷6=16，所以8×2=96÷6；（2）因为（43+56）÷9=11，11＞9，所以（43+56）÷9＞9；（3）因为48÷6=8，42÷7=6，8＞6，所以48÷6＞42÷7；（4）因为64÷8=8，56÷7=8，所以64÷8=56÷7；据此解答．解：由分析可得：8×2="96÷6"（43+56）÷9＞948÷6＞42÷764÷8=56÷7．故答案为：=，＞，＞，=．点评：掌握整数大小比较的方法，是解答此题的关键．42.下面计算对吗？把不对的在下面改正过来．改正：改正：改正：．【答案】错误；错误；错误【解析】先根据整数的除法的计算法则进行计算，然后再进行判断，最后改正．解：所以题干的说法是错误的．所以题干的解答是错误的．所以题干的解答是错误的．故答案为：×，，×，，×，．点评：本题运用整数的除法的计算法则进行计算即可．43.口算．150÷3= 900÷3= 500÷5=480÷6= 240÷8= 200÷4=490÷7= 37×10= 28×30=630÷7=【答案】150÷3=50， 900÷3=300， 500÷5=100，480÷6=80， 240÷8=30， 200÷4=50，490÷7=70， 37×10=370， 28×30=840，630÷7=90．【解析】根据除数是一位数的除法的口算的方法进行计算．解：150÷3=50， 900÷3=300， 500÷5=100，480÷6=80， 240÷8=30， 200÷4=50，490÷7=70， 37×10=370， 28×30=840，630÷7=90．点评：本题考查了简单的整数乘除法的口算，计算时要细心，注意运算结果末尾0的个数．44.一部儿童电视剧共324分钟．分9集播放，平均每集播放多长时间？【答案】36分钟【解析】根据题干分析可得，此题就是把324分钟，平均分成9份，求一份是多少，用除法，直接列式即可解答．解：324÷9=36（分钟），答：平均每集播放36分钟．点评：此题主要考查平均数的意义及求解方法．45.长跑锻炼，小明跑了1500米，小红跑了900米．小明跑的是小红的几倍？小红跑的是小明的几分之几？【答案】小明跑的是小红的倍，小红跑的是小明的．【解析】用小明跑的路程除以小红的跑路程就是小明跑的是小红的几倍，用小红跑的路程除以小明跑的路程就是小红跑的是小明的几分之几．解：1500÷900=；900÷1500=；答：小明跑的是小红的倍，小红跑的是小明的．点评：本题是求一个数是另一个数的几分之几，关键是看把谁当成了单位“1”，单位“1”的量为除数．46.口算．360÷60= 580÷20= 1200÷200=160÷16= 450÷90= 280÷70=【答案】360÷60=6， 580÷20=29， 1200÷200=6，160÷16=10， 450÷90=5， 280÷70=4．【解析】根据除数是整十数除法口算的方法求解．解：360÷60=6， 580÷20=29， 1200÷200=6，160÷16=10， 450÷90=5， 280÷70=4．点评：本题考查了整数除法的口算，计算时要细心，注意末尾0的个数．47.下面的计算对吗？把不对的改正过来【答案】错误；错误【解析】1，横式中漏记余数，所以错误；2，余数比除数大，所以错误；解：1．错误，正确如下：15÷4=3…3；33；2．错误，正确如下：39÷6=6…3；66．点评：本题考查了有余数除法竖式计算的方法，计算要注意，余数一定要比除数小．48.用竖式计算，带※的要验算．428÷4=※748÷6=750÷5=※416÷7=【答案】107；124…4；150；59…3；【解析】根据除数是一位数的除法竖式计算的方法求解．解：428÷4=107；1074；※748÷6=124…4；1246；验算：124；750÷5=150；1505；※416÷7=59…3；597验算：59．点评：本题考查了三位数除以一位数的计算方法，要注意把数位对齐．49. 450÷5= 160÷2= 360÷6= 60÷3=150÷5= 2800÷7= 16×5= 70÷2=2000÷4= 51÷3= 84÷6= 0÷8=【答案】450÷5=90 160÷2=80 360÷6=60 60÷3=20150÷5=30 2800÷7=400 16×5=80 70÷2=352000÷4=500 51÷3=17 84÷6=14 0÷8=0【解析】根据除数是一位数的除法和乘法口诀即可计算解答．解：450÷5=90 160÷2=80 360÷6=60 60÷3=20150÷5=30 2800÷7=400 16×5=80 70÷2=352000÷4=500 51÷3=17 84÷6=14 0÷8=0点评：此题考查学生的口算能力，属于基础题．50. 5个同学共糊了315个纸盒，平均每个同学糊多少个？【答案】63个【解析】求平均每个同学糊多少个纸盒，直接用除法计算即可．解：315÷5=63（个）；答：平均每个同学糊63个．点评：解答此题根据平均数的计算方法进行解答即可．51.直接写得数．43×2= 25×7= 600÷20= 120÷30=45×6= 180÷90= 80×60= 720÷90=18×30= 8000÷40= 27÷27= 37×20=2700÷30= 0÷86= 250÷50= 840÷40=【答案】43×2=86 25×7=175 600÷20=30 120÷30=445×6=270 180÷90=2 80×60=4800 720÷90=818×30=540 8000÷40=200 27÷27=1 37×20=7402700÷30=90 0÷86=0 250÷50=5 840÷40=21【解析】根据整数乘法和整数除法口算的方法进行计算．解：43×2=86 25×7=175 600÷20=30 120÷30=445×6=270 180÷90=2 80×60=4800 720÷90=818×30=540 8000÷40=200 27÷27=1 37×20=7402700÷30=90 0÷86=0 250÷50=5 840÷40=21点评：本题考查了学生基本的计算能力．52.用竖式计算．236×43=208×56=318÷13=196÷28=【答案】10148；11648；24…6；7【解析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．236×43=10148208×56=11648318÷13=24 (6)196÷28=7点评：考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算．53.我是口算小专家．23×5=56÷4=25×6=450÷9=75÷5=320÷4=【答案】23×5=115，56÷4=14，25×6=150，450÷9=50，75÷5=15，320÷4=80．【解析】根据整数乘法和除法的计算方法进行计算．解：23×5=115，56÷4=14，25×6=150，450÷9=50，75÷5=15，320÷4=80．点评：本题综合考查了学生的口算能力，注意要细心．54.小红和小明每人都有144块积木，小红每层堆6块；小明每层堆4块．谁堆得高？【答案】小明堆得高【解析】用积木的总块数除以每层所用的块数，即可求出他们堆的层数，层数多的堆得高．解：144÷6=24（层），144÷4=36（层）；答：小明堆得高．点评：解答此题的关键是分别求出堆得层数，再进行比较．55.小伟家书房的面积是9平方米，正好用了18块砖，那么每块砖的面积是多少？【答案】0.5平方米【解析】要求么每块砖的面积是多少，用小伟家书房的面积9平方米除以用的砖的块数即可．解：9÷18=0.5（平方米）．答：每块砖的面积是0.5平方米．点评：根据除法平均分的意义可知：用总面积除以砖的块数，就是每块砖的面积．56.口算840÷12= 100÷25= 87×25= 945+24=960÷30= 480÷20= 540÷90= 405﹣15=【答案】840÷12=70， 100÷25=4， 87×25=2175， 945+24=969，960÷30=32， 480÷20=24， 540÷90=6， 405﹣15=390．【解析】根据整数四则运算的计算方法直接口算或笔算得解．解：840÷12=70， 100÷25=4， 87×25=2175， 945+24=969，960÷30=32， 480÷20=24， 540÷90=6， 405﹣15=390．点评：解答此题要注意被除数和除数末尾有0时的简便计算．57. 25÷4= 38÷6= 48÷8= 11000﹣400=5000+2000= 1500﹣800= 500×8= 25×4=130×3= 75÷9= 3000×3= 340+70=【答案】25÷4=6…1，38÷6=6…2， 48÷8=6， 11000﹣400=10600，5000+2000=7000， 1500﹣800=700， 500×8=4000， 25×4=100，130×3=390，75÷9=8…3， 3000×3=9000， 340+70=410．【解析】根据整数加减乘除的计算方法进行计算即可．解：25÷4=6…1，38÷6=6…2， 48÷8=6， 11000﹣400=10600，5000+2000=7000， 1500﹣800=700， 500×8=4000， 25×4=100，130×3=390，75÷9=8…3， 3000×3=9000， 340+70=410．点评：口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算即可．58. 23+4+9= 81﹣7﹣30= 54+20+3= 93﹣70+60=17+6+8= 43﹣8﹣30= 60+38﹣90= 50+27﹣8=68÷4= 840÷4= 220×4= 180÷3=91÷7= 280÷2= 200×9= 0÷180=【答案】23+4+9=36； 81﹣7﹣30=44， 54+20+3=77， 93﹣70+60=83，17+6+8=31， 43﹣8﹣30=5， 60+38﹣90=8， 50+27﹣8=69，68÷4=17， 840÷4=210， 220×4=880， 180÷3=60，91÷7=13， 280÷2=140， 200×9=1800， 0÷180=0【解析】我们运用整数的加减乘除法的计算法则进行计算即可．解：23+4+9=36； 81﹣7﹣30=44， 54+20+3=77， 93﹣70+60=83，17+6+8=31， 43﹣8﹣30=5， 60+38﹣90=8， 50+27﹣8=69，68÷4=17， 840÷4=210， 220×4=880， 180÷3=60，91÷7=13， 280÷2=140， 200×9=1800， 0÷180=0，点评：本题考查了学生的计算能力及计算法则的掌握情况．59.列书竖式计算，打☆的要验算☆294÷7=☆542÷3=624÷6=41×10=【答案】42…3；180…2；104；410．【解析】本题根据整数除法、乘法的运算法则列竖式计算即可．验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：294÷7=42…3；验算：542÷3=180…2；验算：624÷6=104；41×10=410．点评：整数乘法的法则：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来．（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．）整数除法的法则：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小．60.小明3分钟打253个字，笑笑5分钟打400个字，谁打字速度快？【答案】小明打字快一点【解析】要想知道谁打字快一点，应分别求出小明和笑笑每分钟打的字数，即他们的工作效率，然后比较即可．解：小明每分钟打字：253÷3≈84（个）；笑笑每分钟打字：400÷5=80（个）；84＞80；答：小明打字快一点．点评：此题解答的关键是分别求出小明和笑笑每分钟打的字数，比较后解决问题．61.一个数的9倍是1890，求这个数？【答案】210．【解析】用1890除以9即可求解．解：1890÷9=210；答：这个数是210．点评：本题关键是理解倍数关系，已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法．62.直接写得数．490÷70= 15×4= 42+11= 650÷50= 420÷80=70÷10= 450÷90= 51÷17= 0÷54= 73×20=620﹣380= 650÷5= 48÷4= 58÷2= 23×4=880÷80= 780+20= 540÷60= 620﹣20= 64÷16=【答案】7；60；53；13；5…20；7；5；3；0；1460；240；130；12；29；92；11；800；9；600；4．【解析】根据整数的四则运算的口算方法即可解答，注意末尾有0的简便计算．解：490÷70=7 15×4=60 42+11=53 650÷50=13 420÷80=5 (20)70÷10=7 450÷90=5 51÷17=3 0÷54=0 73×20=1460620﹣380=240 650÷5=130 48÷4=12 58÷2=29 23×4=92880÷80=11 780+20=800 540÷60=9 620﹣20=600 64÷16=4故答案为：7；60；53；13；5…20；7；5；3；0；1460；240；130；12；29；92；11；800；9；600；4．点评：此题主要考查学生的口算能力，属于基础题，细心计算即可解答．63.看谁都能口算对．70÷7= 4×60= 58+37= 85﹣68= 13÷3=1200﹣400= 9÷9= 45+65= 64﹣18= 80×4=16÷2= 2000+300= 83﹣8= 150﹣90= 19+36=6÷2= 52+38= 54﹣38= 6÷3= 83÷9=【答案】70÷7=10 4×60=240 58+37=95 85﹣68=17 13÷3=4 (1)1200﹣400=800 9÷9=1 45+65=110 64﹣18=46 80×4=32016÷2=8 2000+300=2300 83﹣8=75 150﹣90=60 19+36=556÷2=3 52+38=90 54﹣38=16 6÷3=2 83÷9=9 (2)【解析】根据整数的四则运算的口算方法，即可解答问题．解：70÷7=10 4×60=240 58+37=95 85﹣68=17 13÷3=4 (1)1200﹣400=800 9÷9=1 45+65=110 64﹣18=46 80×4=32016÷2=8 2000+300=2300 83﹣8=75 150﹣90=60 19+36=556÷2=3 52+38=90 54﹣38=16 6÷3=2 83÷9=9 (2)点评：此题考查学生的口算能力，属于基础题，按照计算法则，细心计算即可解答．64.口算．70÷7= 4×60= 58+37= 85﹣68= 39÷3= 46÷2=99÷9= 45+65= 3600+4000= 5300+3000= 60+6000= 2000+1=【答案】10；240；95；17；13；23；11；110；7600；8300；6060；2001．【解析】根据整数的乘除法的口算方法即可计算，要注意末尾有0的简便计算．解：70÷7=10 4×60=240 58+37=95 85﹣68=17 39÷3=13 46÷2=2399÷9=11 45+65=110 3600+4000=7600 5300+3000=8300 60+6000=6060 2000+1=2001故答案为：10；240；95；17；13；23；11；110；7600；8300；6060；2001．点评：此题考查了整数四则运算的口算方法，属于基础题，细心计算即可解答．65.小东的妈妈带了600元到商场购物，请你帮她算一算，她最多能买到多少元的物品？【答案】720元【解析】由图文可知，购物满200元可返还现金40元，小东的妈妈带了600元购物，可返还600÷200×40=120元，由此可得她最多能购到600+120=720元的商品．解：购600元可返还：600÷200×40=120（元）；所以，得她最多能购到：600+120=720（元）的商品．答：她最多能买到720元的物品．点评：根据优惠方案及小东妈妈所带的钱数计算出所能返还的钱数是完成本题的关键．66.竖式计算：（打★的要求验算）①960÷60 ②216÷24 ③★574÷41．【答案】16；9；14；【解析】根据三位数除以两位数的笔算方法，列竖式计算即可解答，除法是利用它的逆运算乘法进行验算的．解：960÷60=16；16216÷24=9；9574÷41=14；14验算：41点评：此题考查三位数除以两位数的笔算，属于基础题，细心计算即可解答．67.口算．30÷3= 14×5= 28×4= 43+207= 2×600= 450÷5=2400÷8= 4800÷6= 800÷4= 870﹣250= 120+200= 0÷9=【答案】30÷3=10 14×5=70 28×4=112 43+207=250 2×600=1200 450÷5=902400÷8=300 4800÷6=800 800÷4=200 870﹣250=620 120+200=320 0÷9=0【解析】根据加、减、乘、除的运算方法进行计算．据此解答．解：30÷3=10 14×5=70 28×4=112 43+207=250 2×600=1200 450÷5=902400÷8=300 4800÷6=800 800÷4=200 870﹣250=620 120+200=320 0÷9=0点评：本题主要考查了学生基本的计算能力．68.用竖式计算．（加※的要验算）．4×28= ※83÷3= ※90÷6= 56÷4= 95÷5= 85÷8=【答案】112；27…2；15；14；19；10…5．【解析】根据整数乘、除法的计算法则列竖式计算即可；验算除法的方法：没有余数的整除算式，就用商乘除数，看是否等于被除数；有余数的除法算式，就用商乘除数再加上余数，看是否等于被除数；据此列竖式计算并验算．解：（1）4×28=112；（2）83÷3=27…2；（3）90÷6=15；（4）56÷4=14；（5）95÷5=19；（6）85÷8=10…5．点评：此题主要考查整数乘除法的笔算和验算方法，解答此题根据整数乘除法的法则进行计算．69.用分拆的方法计算下列各题①4×58= ②912×4= ③76÷7= ④697÷3=【答案】232；3648；10…6；232…1；【解析】根据整数乘除法的运算法则进行计算．解：（1）4×58，=4×50+4×8，=200+32，=232；（2）912×4，=900×4+12×4，=3600+48，=3648；（3）76÷7，=70÷7+6÷7，=10+6÷7，=10…6；（4）697÷3，=696÷3+1÷3，=232+1÷3，=232…1；点评：考查了整数乘除法的计算法则．70.直接写出得数．21×30= 800÷4= 360÷9= 280÷7= 40×70=24×20= 0÷103= 750+80= 840÷4= 0×210=【答案】21×30=630， 800÷4=200， 360÷9=40， 280÷7=40， 40×70=2800，24×20=480， 0÷103=0， 750+80=830， 840÷4=210， 0×210=0．【解析】本题根据整数加法、减法、乘法与除法运算法则计算即可．解：21×30=630， 800÷4=200， 360÷9=40， 280÷7=40， 40×70=2800，24×20=480， 0÷103=0， 750+80=830， 840÷4=210， 0×210=0．点评：完成整数末尾有0的乘法时，可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0．71.看谁算得又对又快：50×80=； 125×8=； 400÷8=； 200×5=；15×6=； 25×4=； 0×9=； 17×40=．【答案】4000，1000，50，1000，90，100，0，580．【解析】依据整数乘除法计算法则解答．解：50×80=4000； 125×8=1000； 400÷8=50； 200×5=1000；15×6=90； 25×4=100； 0×9=0； 17×40=680．故依次为4000，1000，50，1000，90，100，0，580．点评：本题主要考查学生对于整数乘除法计算法则知识掌握．72.列竖式计算．（带*要验算）780×7= *954÷3= 508×9= *560÷5=【答案】5460；318；4572；112．【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可，验算时根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：780×7=5460；954÷3=318；验算：508×9=4572；560÷5=112．点评：在列竖完成整数乘除法的计算题目时要注意数位的对齐．73.直接写得数．125×8= 300÷12= 46+154= 450×20= 200﹣82=299+63= 0.01×100= 0÷38= 101×13= 660÷2=70×50= 63÷7÷9= 2×5= 153﹣99= 4×25=【答案】125×8=1000， 300÷12=25， 46+154=200， 450×20=9000， 200﹣82=118，299+63=362， 0.01×100=1， 0÷38=0， 101×13=1313， 660÷2=330，70×50=3500， 63÷7÷9=1， 2×5=10， 153﹣99=54， 4×25=100【解析】本题根据整数乘法、除法、加法、减法的运算法则计算即可．解：125×8=1000， 300÷12=25， 46+154=200， 450×20=9000， 200﹣82=118，299+63=362， 0.01×100=1， 0÷38=0， 101×13=1313， 660÷2=330，70×50=3500， 63÷7÷9=1， 2×5=10， 153﹣99=54， 4×25=100点评：解答此题根据整数四则运算的计算方法，直接口算出得数．74.直接写得数．78+32= 59+87= 60+500= 56÷8=400﹣398= 207﹣9= 55÷7= 35÷9=632﹣123= 180﹣180= 0÷9= 493﹣152=【答案】78+32=110 59+87=146 60+500=560 56÷8=7400﹣398=2 207﹣9=198 55÷7=7...635÷9=3 (8)632﹣123=509 180﹣180=0 0÷9=0 493﹣152=341【解析】根据整数的四则运算的方法即可解答问题．解：78+32=110 59+87=146 60+500=560 56÷8=7400﹣398=2 207﹣9=198 55÷7=7...635÷9=3 (8)632﹣123=509 180﹣180=0 0÷9=0 493﹣152=341点评：此题考查整数的四则计算，属于基础题，细心计算即可解答．75.用竖式计算36×58= 60×75= 39×13=（验算）520÷4= 504÷5= 413÷7=（验算）【答案】2088；4500；507；130；100…4；59．【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可，验算时可根据乘法与除法的互逆关系进行验算．解：36×58=2088；60×75=4500；39×13=507；验算：520÷4=130；504÷5=100…4；413÷7=59．验算：点评：完成有余的整数除法时，要注意余数一定要小于除数．76.直接写出得数．25×8= 630÷9= 410﹣23= 500+20=36﹣0×5= 25×9×4= 46﹣25+17=．【答案】25×8=200，630÷9=70，410﹣23=387，500+20=520，36﹣0×5=36，25×9×4=900，46﹣25+17=38．【解析】先看清是什么运算，先算什么，再算什么，怎算简便，再根据其计算方法算出得数．解：25×8=200，630÷9=70，410﹣23=387，500+20=520，36﹣0×5=36，25×9×4=900，46﹣25+17=38．点评：此题是对简单的整数加、减、乘、除四则计算方法的运用．77.用竖式计算，带※的要验算89×5 340×3 708×6 ※117÷9 468÷4 ※914÷8．【答案】445；1020；4248；13；117；114…2．【解析】本题根据整数乘法与除法的运算法则列竖式计算即可．解：89×5=445；340×3=1020；708×6=4248；117÷9=13；验算：468÷4=117；914÷8=114…2．验算：。
专题02 数的整除性(含答案)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13整除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(1a－c)．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
判断数字的整除性练习题
判断数字的整除性练习题本练习题旨在帮助读者加深对数字的整除性的理解。
通过解答以下问题，读者可以巩固对整除性的认识，并能够灵活运用整除性概念来判断数字之间的关系。
1. 判断以下数字是否能整除：a) 28 ÷ 4b) 63 ÷ 7c) 120 ÷ 6d) 81 ÷ 9e) 50 ÷ 3解答：a) 28 ÷ 4 = 7，28可以被4整除，因为7是一个整数。
b) 63 ÷ 7 = 9，63可以被7整除，因为9是一个整数。
c) 120 ÷ 6 = 20，120可以被6整除，因为20是一个整数。
d) 81 ÷ 9 = 9，81可以被9整除，因为9是一个整数。
e) 50 ÷ 3 = 16.67（约），50不能被3整除，因为16.67不是一个整数。
2. 判断以下数字是否能整除：a) 42 ÷ 5b) 99 ÷ 11c) 135 ÷ 9d) 72 ÷ 8e) 56 ÷ 7解答：a) 42 ÷ 5 = 8.4（约），42不能被5整除，因为8.4不是一个整数。
b) 99 ÷ 11 = 9，99可以被11整除，因为9是一个整数。
c) 135 ÷ 9 = 15，135可以被9整除，因为15是一个整数。
d) 72 ÷ 8 = 9，72可以被8整除，因为9是一个整数。
e) 56 ÷ 7 = 8，56可以被7整除，因为8是一个整数。
3. 判断以下数字是否能整除：a) 38 ÷ 6b) 77 ÷ 9c) 180 ÷ 5d) 54 ÷ 7e) 69 ÷ 8解答：a) 38 ÷ 6 = 6.33（约），38不能被6整除，因为6.33不是一个整数。
b) 77 ÷ 9 = 8.56（约），77不能被9整除，因为8.56不是一个整数。
专题01 数的整除(专项培优训练)(教师版)
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是 10 ．解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8；能被5整除的整数的尾数可为0，5；∴能同时被2和5整除的最小的两位数是10．故答案为：10．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是 120 ，最小的四位数是 1020 ．解：因为2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而100÷30＝3……10，1000÷30＝33……10，所以30×4＝120，30×34＝1020，即能被2、3、5同时整除的最小的三位数是120，最小的四位数是1020．故答案为：120，1020．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数） 14 ．解：7×2＝14，14为能被7整除的最小偶数．故答案为：14．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是 540 ．解：因为将4、5、0这三个数排成一个三位数，可能是450，540，所以能被5整除最大的是540．故答案为：540．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是 990 ．解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，所以这个三位数的个位数为0，因为数990中，9+9+0＝18，18是3的倍数，所以最大三位数是990，故答案为：990．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 10 ．解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是： 6和15 ．解：30×3＝90，因为90＝6×15，所以这两个数分别为6和15；故答案为：6和15．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是 204 ．解：最小的素数是2，最小的自然数是0，最小的合数是4，∵一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，∴这个一等奖的中奖号码是 204；故答案为：204．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 26 平方厘米．解：长和宽的和是：30÷2＝15（厘米），∵15＝2+13，∴长方形的面积为13×2＝26（平方厘米）．故这个长方形的面积是26平方厘米．故答案为：26．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝ 5 ．解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝ 63 ．解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是 6或0 ．解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，∴千位是9，∵它的百位上的数不是素数也不是合数，∴百位是1，∵它十位上的数是最小的素数，∴十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0，故答案为：6或0．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．25和50B．42和3C．10和4D．9和1.5解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．3.6和1.2B．35和8C．27和3D．13.4和2解：A、3.6和1.2都不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；B、∵35÷8＝4…3，∴35不能被8整除，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；C、∵27÷3＝9，∴27能被3整除，第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意；D、13.4不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意．故选：C．16．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（ ）整除．A．10B．12C．16D．18．解：因为6的因数是2和3，8的因数是2和4，所以一个数能被6整除，又能被8整除，所以这个数能被12整除．故选：B．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．12和5B．4.5和1.5C．4和28D．36和9A．12÷5＝，不符合题意，故A错误；B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误；C．4÷28＝，不符合题意，故C错误；D．36÷9＝4，符合题意，故D正确；故选：D．18．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（ ）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2解：A．10÷4＝2.5，2.5不是整数，故此选项说法错误；B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C．2既是偶数又是素数，说法正确；D．比3小的自然数有0、1、2故选：C．三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是：17×3×2＝102．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．解：（1）把32分解素因数：32＝2×2×2×2×2；（2）把150分解素因数：150＝2×5×3×5．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．解：如图，用短除法把54和144分解质因数为：∴最大公因数＝2×3×3＝18，最小公倍数＝2×3×3×3×8＝432．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数 2 35711 13 17 1923293137 41 43475359 61 677173798389 97 ……解：根据质数的定义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又叫做素数），得：100以内的素数2357111317192329313741434753596167717379838997……故答案为：2；13；17；41；61；97．23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．解：（1）∵5+6+7＝18，18是9倍数，∴由5、6、7组成的三位数能被9整除，∴能被9整除的所有三位数有：567、576、657、675、756、765；（2）∵能同时被2，5，3整除的所有三位数必是30的倍数，∴本位数的个位为0，各个数位数字和是3的倍数，∴由0、1、5或0、5、7两组数字组成的个位为0的三位数才能被2，5，3整除，∴能同时被2，5，3整除的所有三位数的：150、510、570、750；（3）∵被33整除，∴各个数位数字和能被3整除；奇数位上的数字与偶数位上的数字之差能被11整除，∴能被33整除的所有三位数为：165、561．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝ 7 + 35 ，或者42＝ 13 + 29 ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝ 3 + 7 + 15 + 17 ．解：根据题意得：42＝7+35或42＝13+29；42＝3+7+15+17（答案不唯一）；故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17．四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？解：，根据题意可得：30和25的最小公倍数是150，150÷60＝2.5，即两个半小时，∴从早晨6点30分同时发车后，再同时发车时间为9点，11点半，14点，∴两班车在上午9点，11点半，下午2点同时发车．30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148。
(初中数学)数的整除性精选题练习及答案
（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题)【例3】已知整数13456ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456求出a，b的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数398ab 能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A ．1B ．2C ．3D ．6 (江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个 (“希望杯”邀请赛试题)7．五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef ，使得三位数abc ，bcd ，cde ，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题) 8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n 的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)数的整除性答案例1 267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3 a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4 设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c的系数，应当有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x ，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1 ＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B—————＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此—abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋)2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除．4．B5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．7．由题意得—acb ＋—bac ＋—bca ＋—cab ＋—cba ＝3 194，两边加上—abc ．得222(a ＋b ＋c )＝3194＋—abc∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋—abc ．则—abc ＋86是222的倍数．且a ＋b ＋c ＞14．设——abc ＋86＝222n 考虑到——abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出——abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故——abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为——abc ，则最小数为——cba ．故N ＝ ——abc －——cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为———abcdef ，则6×———abcdef ＝———defabc ，即6×(1000×——abc ＋——def )＝1000×——def ＋——abc ，所以994×——def －5 999×——abc ，即142×——def ＝857×——abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|—abc ，857|——def ，而——abc ，——def 为三位数，∴—abc ＝142，——def ＝857，故———abcdef ＝142857．10．设这个数为——abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976．11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125,,,a a a 中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是125,,,a a a 中必定有一个为5，若125,,,a a a 中含1，则不含9，于是，不含4(45110)⨯++=，故含6；不含3(36110)⨯++=,故含7；不含2(21710)⨯++=,故含。
数论中的整除性质练习题
数论中的整除性质练习题数论作为数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性质是数论中的基础概念之一，广泛运用于解决各种数学问题。
本文将提供一些数论中的整除性质练习题，以帮助读者加深对该概念的理解和应用。
1. 题目：求证任意正整数的连续相加一定可以被连续相乘整除。
解析：对于任意正整数 n，我们需要证明它的连续相加一定可以被连续相乘整除。
设连续相加的和为 S，连续相乘的积为 P。
由于我们要证明的是对于任意正整数 n 都成立，所以我们可以通过归纳法来进行证明。
当 n = 1 时，显然连续相加的和和连续相乘的积都是 1，满足整除性质。
假设对于 n = k 成立，即 k 个连续正整数的和一定可以被连续正整数的乘积整除。
那么对于 n = k + 1，我们需要证明 (1 + 2 + ... + k + k+1) 能够被 (1 *2 * ... * k * (k+1)) 整除。
根据归纳假设，(1 + 2 + ... + k) 能够被 (1 * 2 * ... * k) 整除。
所以我们可以将 (1 + 2 + ... + k + k+1) 分解为 [(1 + 2 + ... + k) + k+1]。
由于 (1 + 2 + ... + k) 和 (k+1) 都是正整数，根据整除定义，整数 a 能够整除整数 b，等价于 b 可以被 a 整除。
因此，(1 + 2 + ... + k + k+1) 能够被 (1 * 2 * ... * k * (k+1)) 整除。
由此可见，任意正整数的连续相加一定可以被连续相乘整除，得证。
2. 题目：找出 1000 以内的所有素数。
解析：素数是只能被 1 和本身整除的正整数，大于 1。
我们需要找出 1000 以内的所有素数。
对于这个问题，我们可以使用试除法。
即对于每一个整数 n，从 2开始依次将 n 除以 2、3、4、5 等小于或等于 n 开平方根的整数，判断是否存在能够整除 n 的整数。
数的整除特征练习题
数的整除特征练习题一、判断题1. 一个数的个位是0，那么这个数能被2整除。
2. 一个数各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
3. 一个数的个位是5，那么这个数能被5整除。
4. 一个数能被4整除，那么这个数一定能被2整除。
5. 一个数能被6整除，那么这个数一定能被9整除。
二、选择题A. 123B. 124C. 125D. 126A. 212B. 213C. 214D. 215A. 432B. 435C. 438D. 439A. 100B. 101C. 102D. 103A. 357B. 358C. 359D. 360三、填空题1. 一个数能被2整除的条件是：这个数的个位是______。
2. 一个数能被3整除的条件是：这个数的各位数字之和能被______整除。
3. 一个数能被5整除的条件是：这个数的个位是______或______。
4. 一个数能被4整除的条件是：这个数的末两位数能被______整除。
5. 一个数能被6整除的条件是：这个数既能被______整除，也能被______整除。
四、解答题1. 请写出三个能被2整除的数。
2. 请写出三个能被3整除的数。
3. 请写出三个能被5整除的数。
4. 请写出三个能被4整除的数。
5. 请写出三个能被6整除的数。
五、匹配题请将下列数字与其能整除的数配对：A. 48B. 51C. 100D. 121E. 1441. 能被2整除的是______2. 能被3整除的是______3. 能被5整除的是______4. 能被11整除的是______5. 能被12整除的是______六、简答题1. 请简述一个数能被8整除的条件。
2. 请简述一个数能被9整除的条件。
3. 请简述一个数能被10整除的条件。
4. 请简述一个数能被12整除的条件。
5. 请简述一个数能被18整除的条件。
七、应用题1. 小明有一堆糖果，如果每3个糖果分给一个小朋友，糖果正好分完。
请问这堆糖果的数量可能是多少？（至少写出三个可能的答案）2. 小红有若干本书，如果每5本书放一层书架，书架正好放满。
数的整除练习题
数的整除练习题一、选择题：1. 一个数能被4整除，那么这个数的个位数字是：A. 0B. 2C. 8D. 62. 以下哪个数是3的倍数？A. 12B. 14C. 16D. 183. 一个数的末两位数能被4整除，那么这个数：A. 一定被4整除B. 可能被4整除C. 不一定被4整除D. 一定不被4整除二、填空题：1. 一个数的个位是5，十位是偶数，这个数能被______整除。
2. 一个数的个位和十位数字交换位置后，得到的新数比原数大18，原数的个位数字是______。
3. 如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数也能被______整除。
三、判断题：1. 一个数是偶数，那么它一定可以被2整除。
（对/错）2. 一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数也是3的倍数。
（对/错）3. 一个数的末尾是0或5，那么这个数一定是5的倍数。
（对/错）四、计算题：1. 计算下列各数的各位数字之和，并判断它们是否能被3整除。
- 123- 456- 7892. 一个数是9的倍数，且它的个位数字是6，求这个数的十位数字。
3. 一个数是11的倍数，且它的个位和百位数字相同，求这个数。
五、解答题：1. 证明：如果一个整数的末三位能被8整除，那么这个整数也能被8整除。
2. 一个数的个位数字是4，且这个数是11的倍数，求这个数的百位数字。
3. 一个数的各位数字之和是33，且这个数能被7整除，求这个数。
六、应用题：1. 一个班级有48名学生，如果每组有相同数量的学生，且每组至少有一名学生，那么可能的组数有几种？2. 一个数的各位数字之和是35，且这个数能被9整除，求这个数的可能值。
3. 一个数的末尾两位数是45，且这个数是7的倍数，求这个数。