线性代数期末考试重点
线性代数期末考试复习资料
基本概念下方是正文1. 余子式ij M 和代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。
2. 对称矩阵：T A A =。
3. 伴随矩阵111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。
4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。
若A 可逆，则11AA A A E --==.5. 分块对角阵12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭，12A A A =⋅，11112A O A O A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭。
6. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行（列）的k 倍加到另一行（列）。
7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。
8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。
9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。
1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。
10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。
11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。
12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。
13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性相关，则称12,,,rβββ为12,,,n ααα的极大无关组。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数本科期末考试重点资料
本学期线性代数课程的考试要点：第一章一、二阶行列式定义及其计算――对角线法则，利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；二、数码排列的逆序数的计算；三、n 阶行列式的定义及其计算――利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；四、行列式的展开定理的有关结论。
第二章一、矩阵的概念及其有关运算（加，减，数乘，矩阵相乘，逆矩阵，方阵的行列式，方阵的幂乘）（矩阵相乘一般不满足交换律，必须注意是左乘还是右乘）二、逆矩阵的定义及有关概念和有关结论；三、逆矩阵存在的充要条件；四、矩阵的初等变换（主要是初等行变换）；五、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义；六、如何利用矩阵的初等行变换将一个矩阵化为行阶梯形和行最简形；七、初等矩阵的概念；八、矩阵的秩的概念；九、如何利用矩阵的初等行变换：（1）求出可逆矩阵的逆矩阵；（2）求解矩阵方程；（3）确定所给矩阵的秩。
第三章一、方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念；二、如何利用矩阵的初等行变换判定齐次线性方程组是否有非零解；三、如何利用矩阵的初等行变换判定非齐次线性方程组是否有解；有解时是唯一解还是无穷多解；四、向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关的概念；五、如何利用矩阵的初等行变换判定向量组：（1）求出所给向量组的秩；（2）判定向量组是否线性相关；（3）求出向量组的极大无关组；（4）求出不在极大无关组中的向量由极大无关组向量线性表示的表达式。
六、解向量、解空间、基础解系的概念；七、如何利用矩阵的初等行变换求解线性方程组：（1）求出齐次线性方程组的基础解系和通解的表达式；（2）求出非齐次线性方程组的一个特解，求出相应的齐次线性方程组的基础解系，最后，利用基础解系写出非齐次线性方程组的通解的表达式。
第四章一、如何求出所给矩阵的特征值和特征向量。
《线性代数》期末复习提纲汇总
《线性代数》期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1． 四阶行列式的计算；2． N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3． 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；4． 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5． 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6． 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7． 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8． 讨论或证明向量组的相关性；9． 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10．将无关组正交化、单位化；11．求方阵的特征值和特征向量；12．讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13．通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14．写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15．判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用2n 个元素ij a 组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算1． 一阶行列式a a =，二、三阶行列式有对角线法则；2． N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
3． 特特情况（1） 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A 、B 为同阶方阵，则B A AB ⋅=； ④n kA k A =3．矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
《线性代数》复习重点内容-(详细版)
10. 方阵 A 是可逆矩阵 ⇐⇒ A 是非奇异矩阵 ⇐⇒ A 是满秩矩阵 ⇐⇒ |A| ̸= 0. 方阵 A 是不可逆矩阵 ⇐⇒ A 是奇异矩阵 ⇐⇒ A 是降秩矩阵 ⇐⇒ |A| = 0.
11. n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是
;
(ii) 有唯一解的充要条件是
(iii) 有无穷多个解的充要条件是
第3页
...
...
3. ak1 · · · akk
=
c11 · · · c1k b11 · · · b1n
...
...
...
...
cn1 · · · ank bn1 · · · bnn
. 【P. 7 例 5】 . 【P. 7 例 6】 . 【P. 14 例 10】
第2页
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三、16 个重要概念 1. 行列式【P. 6 定义】 2. 余子式、代数余子式【P. 16】 3. 矩阵【P. 29 定义 1】 4. 伴随矩阵【P. 41 例 9】 5. 逆矩阵【P. 43 定义 7】
6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】 7. 两个矩阵的等价【P. 59】 8. 矩阵的秩【P. 66】 9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】 10. 线性相关、线性无关【P. 87 定义 4】 11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90 定义 5、P. 91 推论】 12. 基础解系【P. 95】 13. 正交矩阵【P. 115 定义 4】 14. 特征值、特征向量【P. 117 定义 6】 15. 两个矩阵的相似【P. 121 定义 7】 16. 两个矩阵的合同【P. 129 定义 9】
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线性代数期末题型总结
线性代数期末题型总结一、选择题：选择题主要是在给出的选项中，选择一个正确的答案。
这种题型通常是关于基本概念、定义、性质、定理等方面的问题。
答题时需要理解问题的意思，对选项进行比较，选择最符合要求的选项。
二、判断题：判断题是给出一个陈述，考生根据自己的知识判断这个陈述的对错。
判断题考查考生对于基本概念、定义、性质等的理解，需要考生熟悉相关概念并能够准确判断其真假。
三、填空题：填空题是在给出的空中填上正确的答案。
这种题型通常是在问题中给出一些提示信息，要求考生根据这些信息填上空中所缺的内容。
填空题的难度通常是根据空的数量和难度而定，有的填空题只要求填写一个答案，有的则需要填写多个。
四、计算题：计算题是考生需要进行实际计算的题型。
这种题型通常是给出一些具体的数据或方程，要求考生进行运算并给出最终的结果。
计算题通常需要考生具备良好的计算能力和运算技巧，同时还需要对相关的概念和定理等有深入的理解。
五、证明题：证明题是考生需要证明一个命题的真假的题型。
这种题型通常是以一个命题的形式给出，要求考生进行推导和演绎，最终给出结论。
证明题需要考生具备较强的逻辑思维和推理能力，同时还需要对相关的定理和证明方法有较深入的理解。
六、应用题：应用题是考生需要将线性代数的知识运用到实际问题中的题型。
这种题型通常是给出一个与实际情况相关的问题，要求考生根据所学的线性代数知识进行分析和求解。
应用题需要考生具备较强的问题分析和解决问题的能力，同时还需要对线性代数的应用能力有深入的理解。
总结起来，线性代数的期末考试题型包括选择题、判断题、填空题、计算题、证明题和应用题。
不同的题型考察的内容和要求也有所不同，考生需要根据题目的要求有针对性地准备。
举个例子，选择题和判断题主要考察对基础概念的理解；填空题和计算题考察对公式和计算方法的掌握；证明题考察对定理和证明方法的理解；应用题考察对知识的应用和解决实际问题的能力。
在备考过程中，掌握基础知识、加强计算能力、熟悉证明方法、多做应用题是必要的。
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题一． 单项选择题1.设A 为3阶方阵，数λ = -3，|A | =2，则 |λA | =（ ）.A ．54；B ．-54；C ．6；D ．-6.解. .54227)3(33-=⨯-=-==A A A λλ 所以填: B.2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）A 、λ|A |；B 、|λ||A |；C 、λn |A |；D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C.3.设矩阵()1,2,12A B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 则AB =（ ）.解. ().24121,221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 所以填: D.A. 0；B. ()2,2-；C. 22⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 2142-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32.解. |-2A |=(-2)3A =-8⨯4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）.A .一个零向量一定线性无关；B .一个非零向量一定线性相关；C .含有零向量的向量组一定线性相关；D .不含零向量的向量组一定线性无关.解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.C .含有零向量的向量组一定线性相关；对.D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C.6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( )A 、 12,; ααB 、 123,, ;αααC 、 124,, ;αααD 、1234,, ,αααα解. (B)93页7.设A,B,C 是n 阶矩阵，下列选项中不正确的是（ ）.A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；B .若AB E =，则1B A -=；C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.解. A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；对.B .若AB E =，则1B A -=；对.C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；不对,应该是().111--=A kkA D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.对.所以填: C.8、 矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭的伴随矩阵A *=（ ）. A 、1111⎛⎫⎪⎝⎭；B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111；C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111； D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111.解.因为112112221,(1)11,(1)11,1A A A A ==--⋅==--⋅==.所以1121*12221111AA A A A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故填A.41页9.若n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解, 则（ ）. A . ()R A n <； B . ()R A n =；C . ()0R A =；D .A 、B 、C 都不对.解. A . ()R A n <；对.B . ()R A n =；不对, 此时应该0Ax =有且仅有零解.C . ()0R A =；不对. 此时, 仅是0Ax =有非零解的一种情况.D .A 、B 、C 都不对. 不对.所以填:A.10、 ,A B n 与均为阶方阵则下列结论中成立的是（ ）.A 、det()0,,;AB A O B O ===则或 B 、det()0,det 0,det 0;AB A B ===则或C 、,,;AB O A O B O ===则或；D 、,det 0,det 0.AB O A B ≠≠≠则或 解. A 、不对. B 、40页(iii),AB A B =.即有det()0,det 0,det 0AB A B ===则或.所以填: B .11.设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关,则下列成立是（ ）.A . 2α可由34,αα线性表示；B .4α可由23,αα线性表示；C . 4α不可由123,,,ααα线性表示；D .3α可由2,α4α线性表示.解.(p90例7.) 由题设“设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关”.①因234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关.再由123,,ααα线性相关.则1α可由23,αα线性表示.②用反证法.假设4α可由123,,,ααα线性表示,而由①知1α可由23,αα线性表示.因此4α可由23,αα线性表示.这与题设234,,ααα线性无关相矛盾.所以4α不可由123,,,ααα线性表示. 所以填: C.12、设123,,a a a 是二维实向量，则（ ）.A 、123,,a a a 一定线性无关；B 、1a 一定可由23,a a 线性表出；C 、123,,a a a 一定线性相关；D.12,a a 一定线性无关.解. A 不对. B 不对. C.因为105页:n 维实向量12,,,n e e e 叫做n R 中的自然基.因此二维实向量123,,a a a 的自然基为二维实向量12,e e .当然123,,a a a 是线性相关的.即C 对. D 不对. 所以填: C.13.向量空间3R 的一组基为( )A . 1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解. A .1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因31232ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；是向量空间3R 的一组基.C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因13233ααα-=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.不是.因31223ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.所以填: B.14、设A 是4×6矩阵，R （A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）.A 、 4；B 、 3 ；C 、 2；D 、1.解.由97页,定理7.设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩.S R n r =-现在6, 3.n r ==因此63 3.-= 即填: B.15.设矩阵111213212223212223111213313233311132123313,,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12010100100,010,001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则必有（ ）. A .12APP B =； B .21AP P B =； C .12PP A B =； D .21P P A B =.解. A . 12APP B =？.10101000110101000110000101033313332232123221311131233313223212213111233323123222113121121B a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=因此A 不对.B .21AP P B = ？11121311121321212223212223313233313233121113132221232332313333100010010010100100101001011.a a a a a a AP P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪=+≠ ⎪ ⎪+⎝⎭因此B 不对.C .12PP A B = ？11121311121312212223212223313233313233212223111213113112321333010100010100010100001101101.a a a a a a PP A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+++⎝⎭因此C 对.D .21P P A B = ？11121311121321212223212223313233313233212223111213213122322333100010010010100100101001011.a a a a a a P P A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪+++⎝⎭所以填: C.16、设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则1()ABC -=（ ）.A 、111ABC ---； B 、111C A B ---； C 、111C B A ---；D 、111B A C ---解。
线性代数期末考试复习资料
推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
12
如果向量组1, 2 L
则方程组有向量形式 x11 x22 L xnn b 7
2.2 向量的线性关系
定义2.4 设有同维向量1,2 ,L ,n , ，如果存在
一组数 k1, k2 ,L , kn ，使得 k11 k22 L knn 成立，
则称向量 可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 ,L ,n 的线性组合。
26
向量组的等价
如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B 可由A线性表示，则称A与B等价。
（1） 自反性：任何向量组都与自身等价。
性
质
（2） 对称性： 如果向量组A与B 等价，则B
与A等价。
（3） 传递性： 如果向量组A与B等价，B与C 等价，则A与C等价。
相互等价的线性无关向量组含有相同的向量个数
设A Amn , R( A) r n, 则方程组 Ax 0的基础解系含有n - r个解向量。
基础解系： 1，2 ,L nr
通解定义2.11 x k11 k22 L knr nr
k1, k2 ,L
kn
为任意实数
r
下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上P61)。
30
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
1
2
3
4
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9．矩阵的等价：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与矩阵 B等
价。
且若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与 B行等价；
若仅经过初等列变换，就称 A与B列等价。
设 A, B 为 m n 矩阵
① A 与 B 行等价
m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B
② A 与 B 列等价
① AT A ② A n A ③ AB A B
6．伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下的矩阵
A11 A21
A*
A12 A22
An1 An2 ，称为矩阵 A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）
A1 n A2 n
Ann
伴随矩阵具有性质： AA* A* A A E
常见的公式有：① A*
②若 A 可逆，则 AT 也可逆，且 ( AT ) 1 ( A 1) T
③若 A 可逆，数 k 0 ，则 kA 可逆，且 (kA) 1 1 A 1 k
④若 A.B 为同阶矩阵且均可逆，则 A.B 也可逆，且 ( AB ) 1
B 1A 1
5．方阵 A 的行列式：
满足下述运算规律（设 A, B 为 n 阶方阵， 为数）
n (an1 , an 2 , a nn ) 线性
相关
a11 a12 行列式 a21 a22
a1n a2n 0 ，线性无关
行列式 0
an 1 an 2
a nn
（ 3）m个 n 维向量，当维数 n m 时，向量组一定线性相关。特别地，
n 1个 n 维向
量必线性相关；
（ 4）若向量组 A： 1, 2 , , m 线性相关 向量组 B: 1, 2 , , m , m 1 一定线性相关；
求法： A 初等行变换 行阶梯形矩阵 B， R（ A ）=B 的非零行的行数。
相关公式：①若 A 是 m n 矩阵，则 0 R(A) min{ n,m} ② R( AT ) R( A) ③ A ~ B R( A) = R(B) ④若设 A 为 m n 矩阵， Pm , Qn 均为可逆矩阵，则 r ( A) r ( PAQ ) ⑤，则 max{ R( A), R(B)} R( A, B) R( A) R( B)
22
mm
则向量 是向量组 A 的线性组合，也称向量 可以由向量组 A 线性表示
向量 能由向量组 A 线性表示 方程组 x1 1 x2 2
xm m
有解
矩阵 A=（ 1 , 2 , , m ）的秩等于矩阵 B=( 1, 2, , m ， ) 的秩
2．等价：设有两个向量组 A： 1, 2, , m 及 B： 1 , 2 , , s ，若 B 中的每个向量都
反之，向量组 B 若线性无关 向量组 A 线性无关
或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；
（ 5）若向量组 A： 1, 2 , , m 线性无关，而向量组 B: 1 , 2 , , m , 线性相关
必能由向量组 A 线性表示，且表达式唯一
（ 6）若 r 维向量组 1, 2 , , m 线性无关， 则在每一个向量上再添加 n r 个分量所得
②一个向量组的极大无关组不是唯一的
③向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的
④若向量组 1 , 2 , , s 线性无关，其极大无关组就是其本身 ⑤任一向量组和它的极大无关组等价 ⑥向量组 1, 2, , s 中任意两个极大无关组等价 5．向量组的秩：向量组 1, 2 , , s 中极大无关组所含向量的个数 r 称为向量组 A 的 秩。
可以由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向
量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为： （ 1, 2 , , s ） 主要结论：
（ 1, 2, , m ）≌
（ 1）矩阵 A 与 B 若行等价，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价；
若矩阵 A 与 B 若列等价，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价
（ 2）若
diag (a1, a2 , an ) ，则 ( ) diag ( (a1), (a2 ), (an ))
4．逆矩阵： n 阶矩阵 A, B ，若 AB BA E ，则 A,B 互为逆矩阵。
n 阶矩阵 A 可逆 A 0；
r ( A) n （或表示为 R( A) n ）即 A 为满秩矩阵；
A 与 E 等价；
《线性代数》的主要知识点
第一部分
行列式
概念：
1． n 阶行列式展开式的特点：①共有 n! 项，正负各半；
②每项有 n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为 ( 1) (行） （列） 2． 元素的余子式以及代数余子式 A ij ( 1)i j M ij
3． 行列式的性质
计算方法：
1． 对角线法则
也就是说当且仅当 k1, k2 , , km 都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则
1, 2 , , m 线性无
关。
主要结论：
（ 1）向量组 1 , 2 , , m 线性相关 齐次线性方程组有非零解 A =（ 1, 2 , , m ）的秩小于 m ；
同样线性无关 仅有零解 R( A) m
它所构成的矩阵
（ 2）n 个 n 维向量 1 a11, a12, , a1n ， 2 ( a21 , a22 , , a 2n )
3．矩阵的多项式设 ( x) a0 a1 x
an x n ，A 为 n 阶方阵，则
( A) a0E a1 A
an An 称为 A 的 n 次多项式。
对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：
（ 1）如果 A P P 1 ，则 ( A) a0 E a1 A
an An
Pa0 EP 1 Pa1 P 1
Pan nP 1 = P ( ) P 1
ri kr j 第 j 行 k 倍加
到第 i 行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义
.
矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换
矩阵的初等变换与初等矩阵的关系： 设 A是一个 m n 矩阵，则
① 对 A施行一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
② 对 A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵
A n 1 ② A*
A A 1 ③ ( A* ) 1
1 A ④ ( A* ) 1 ( A 1 )* 等
A
7．初等矩阵：由单位矩阵 E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：
（1） E(i, j ) （互换 E 的第 i 、 j 列）
（2） E(i( k)) （ E 的第 i 行乘以不为零的数 k ）
块，
其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即
A1
A.
A2
As 其行列式与逆矩阵具有下述性质：
① A 1,2, , s) ，则 A 0 ，故 A 可逆，并有 : A. 1
A1 1 A2 1
As 1
OA ③设 A 是 m 阶方阵 , B 是 n 阶方阵 ,, 且 A a , B b , 则
（3） E(ij ( k)) （把 E 的 j 行的 k 倍加到第 i 行上）
初等矩阵具有下述性质： 初等矩阵的转置仍为初等矩阵； 初等矩阵都是可逆矩阵， 其逆矩阵仍为初等矩阵且 E(i , j ) 1 E(i, j ) 、E[ i (k)] 1 E[ i( k 1)] 、E[ ij (k)] 1 E[i , j ( k )] ；
⑥若 A, B 均为 m n 矩阵，则 R(A B) R(A) R( B)
⑦ R( AB ) min( R( A), R( B)) ⑧若 Am n Bn t O ，则 R( A) R( B ) n
11．分块矩阵：主要记住：
（ 1）分块对角矩阵：设 A. 为 n 阶方程，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子
（ 2）向量组 B： b1, b2 , bl 能由向量组 A: a1, a2, am 线性表示
B=AK 方程 AX=B有解
R(A) R(A,B)
存在矩阵 K，使得
（ 3）向量组 A: a1 ,a2 , am 与向量组 B：b1,b2 , bl 等价 R( A) R( B) R( A, B) ，其中， A,B 是向量组构成的矩阵
n 阶可逆矩阵 Q ，使得 AQ B
③ A, B 等价
m 阶可逆矩阵 P ， n 阶可逆矩阵 Q ，使得 PAQ B
利用矩阵的初等变换解矩阵方程 AX B ， X A 1 B ，可以： (A B) 初等行变换 ( E A 1B) XA B ， X BA 1 ，可以： ( AT B T ) 初等行变换 ( E X T ) ，从而解出 X。 10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为 r (A )或R（A ）
（ 2）向量组 A 中任意 r 1个向量（如果 A 中有 r 1个向量的话）都是线性相关的
那么称 1, 2 , , r 是向量组 A 的一个最大（极大）线性无关部分组 条件（ 2）也可以改为：向量组 A 中任意一个向量都可以由 1 , 2 , , r 线性表示，
结论 :
①一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个
量组 A： 1, 2, , s 线性相关；
（逆否命题 :A ： 1 , 2 , , s 线性无关且可由向量组 B 1, 2 , , t 线性表示 s t ） 4．最大（极大） 线性无关组： 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 1, 2 , , r ， 满足（ 1）向量组 A0 ： 1, 2 , , r 线性无关；
到的 n 维向量组
1 1
,
2 1,
, m1也是线性无关的