2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 方程−x 2−5x +6=0的解集为( )A. {−6,1}B. {2,3}C. {−1,6}D. {−2,−3}2. “x >2”是“x 2>4”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列函数中，在区间(1,+∞)上为增函数的是( )A. y =−3x −1B. y =2xC. y =x 2−4x +5D. y =|x −1|+24. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2，则f(−12)=( )A. −14B. 14C. −94D. 945. 设函数f(x)=4x +1x −1(x <0)，则f(x)( )A. 有最大值3B. 有最小值3C. 有最小值−5D. 有最大值−56. 若函数f(x)=x +ax (a ∈R)在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A. −2B. 0C. −1D. 37. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,x ≤12a x,x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,2]C. (0,3)D. (0,3]8. 设函数f(x)在(−∞,+∞)上有意义，且对于任意的x ，y ∈R ，有|f(x)−f(y)|<|x −y|并且函数f(x +1)的对称中心是(−1,0)，若函数g(x)−f(x)=x ，则不等式g(2x −x 2)+g(x −2)<0的解集是( )A. (−∞,1)∪(2,+∞)B. (1,2)C. (−∞,−1]∪(2，+∞)D. (−1,2)二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x−5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．10.已知方程ax2+bx+1=0的两个根分别为−1，3，则不等式ax2+bx+1>0的解4集为______.(结果用区间表示)11.命题“∀x>0，x2+2x−3>0”的否定是______．12.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)的值等于______．13. 若函数f(x)=x 2−2x +1在区间[a,a +2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为______．14. 已知函数f(x)={−x|x|+2x,x ≥a.x,x <a.(1)若a =0，则函数f(x)的零点有______个；(2)若f(x)≤f(1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______．15. 设集合A ={x 2,x −1}，B ={x −5,1−x,9}．(1)若x =−3，求A ∩B ； (2)若A ∩B ={9}，求A ∪B ．16.已知函数f(x)=ax−2．x(1)求定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)+f(2)=0，证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并求函数f(x)在区间[1,4]上的最值．17.一元二次方程x2−mx+m2+m−1=0有两实根x1，x2．(1)求m的取值范围；(2)求x1⋅x2的最值；(3)如果|x1−x2|>√5，求m的取值范围．18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．(1)设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19.已知函数f(x)=x2+bx+c，其中b，c∈R．(Ⅰ)当f(x)的图象关于直线x=1对称时，b=______；(Ⅱ)如果f(x)在区间[−1,1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f(x)>c−1；(Ⅲ)如果f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点．求c2+(1+b)c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵−x2−5x+6=0，∴x2+5x−6=0，∴(x+6)(x−1)=0，∴x=−6或1，方程−x2−5x+6=0的解集为{−6,1}．故选：A．因式分解法求解一元二次方程．本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．2.【答案】B【解析】解：由x2>4，解得x>2，或x<−2．∴“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件．故选：B．由x2>4，解得x>2，或x<−2.即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由一次函数的性质可知，y=−3x−1在区间(1,+∞)上为减函数，故A错误；在区间(1,+∞)上为减函数，由反比例函数的性质可知，y=2x由二次函数的性质可知，y=x2−4x+5在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x−1|+2在(1,+∞)上单调递增．故选：D．结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)满足x >0时，f(x)=x 2，则f(12)=(12)2=14， 又由函数f(x)为奇函数，则f(−12)=−f(12)=−14； 故选：A ．根据题意，由函数的解析式可得f(12)的值，结合函数的奇偶性可得f(−12)=−f(12)，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：当x <0时，f(x)=4x +1x −1=−[(−4x)+1−x ]−1≤−2√(−4x)⋅1−x −1=−5．当且仅当−4x =−1x ，即x =−12时上式取“=”． ∴f(x)有最大值为−5． 故选：D ．直接利用基本不等式求得函数f(x)=4x +1x −1(x <0)的最值得答案． 本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由f(x)=x +ax =0可得，a =−x 2，由函数f(x)=x +ax (a ∈R)在区间(1,2)上恰有一个零点，可知a =−x 2在(1,2)只有一个零点，当x ∈(1,2)时，y =−x 2∈(−4,−1)， ∴−4<a <−1，结合选项可知，A 符合题意． 故选：A ．由已知可转化为a =−x 2在(1,2)只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a 的范围． 本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．7.【答案】B【解析】解：因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a−3<0①，x>1时，f(x)递减，即a>0②，且(a−3)×1+5≥2a③，联立①②③解得，0<a≤2．故选：B．由f(x)为R上的减函数可知，x≤1及x>1时，f(x)均递减，且(a−3)×1+5≥2a，由此可求a的取值范围．本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．8.【答案】A【解析】解：由函数f(x+1)的对称中心是(−1,0)，可得f(x)的图象关于(0,0)对称即f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∵g(x)−f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，∴g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=−g(x)，∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)−f(y)|<|x−y|，∴|g(x)−g(y)−(x−y)|<|x−y|，<1，∴|g(x)−g(y)−(x−y)||x−y|−1|<1，即|g(x)−g(y)x−y<2，即g′(x)>0，∴0<g(x)−g(y)x−y∴g(x)单调递增，∵g(2x−x2)+g(x−2)<0，∴g(2x−x2)<−g(x−2)=g(2−x)，∴2x−x2<2−x，整理可得，x2−3x+2>0，解可得，x>2或x<1，故选：A．由已知可知f(x)为奇函数，从而可得g−x)也为奇函数，然后结合|f(x)−f(y)|<|x−y|，及导数的定义可知g′(x)>0，从而可知g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合导数的定义判断出函数g(x)的单调性．9.【答案】0【解析】解：∵x1，x2是方程x2+2x−5=0的两根，则x12+2x1−5=0，x1x2=−5．∴x12+2x1+x1x2=5−5=0．故答案为：0．x1，x2是方程x2+2x−5=0的两根，可得x12+2x1−5=0，x1x2=−5.即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】(−14,3)【解析】解：由已知方程ax2+bx+1=0的两个根分别为−14，3，∴−14+3=−ba，(−14)×3=1a；解得：a=−43，b=113．∴不等式ax2+bx+1>0对应的二次函数开口向下，且对应方程的根为：−14和3．∴所求不等式的解集为(−14,3)．故答案为：(−14,3)．由已知条件以及根与系数的关系求出a，b的值，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系即可求解．本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于基础题．11.【答案】∃x0>0，x02+2x0−3≤0【解析】解：命题为全称命题，则命题“∀x>0，x2+2x−3>0”的否定是为∃x0>0，x02+2x0−3≤0，故答案为：∃x0>0，x02+2x0−3≤0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12.【答案】2【解析】解：f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，∵f(x)−g(x)=x3+x2+2，∴f(−x)+g(−x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=−1+1+2=2．故答案为：2由已知可得f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，结合f(x)−g(x)=x3+x2+2，可得f(−x)+g(−x)=x3+x2+2，代入x=−1即可求解．本题主要考查了利用奇函数及偶函数的定义求解函数值，属于基础试题．13.【答案】{−3,3}【解析】解：因为函数f(x)=x2−2x+1=(x−1)2，所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1,0)．令x2−2x+1=4得：x2−2x−3=0，解得：x=−1或3，所以a+2=−1或a=3，即：a=−3或3．故答案为：{−3,3}根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a的值．本题主要考察二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．14.【答案】2 0<a≤1【解析】解：(1)当a=0时，如图，由图可知，f(x)有2个零点．(2)①当a≥0时，f(x)={−x 2+2x,x≥ax,x<a，如图，A(1,0)，当x=a在A点左侧时，总能满足f(x)≤f(1)，此时0<a≤1；当x=a在A点右侧时，不满足，②当a<0时，f(x)={x 2+2x,x≥ax,x<a，如图，，此时，无论a取何值均不能满足f(x)≤f(1)．综上0<a≤1．故答案为：2；0<a≤1．(1)a=0时，画出图象即可得到有2个零点；(2)分别画出a≥0时和a<0时函数示意图，数形结合可得a取值范围．本题考查函数零点及函数恒成立问题，数形结合数关键，属于中档题．15.【答案】解：(1)x=−3时，A={9,−4}，B={−8,4，9}，∴A∩B={9}；(2)∵A∩B={9}，∴9∈A，∴x2=9，或x−1=9，解得x=±3或10，x=3时，不满足集合B中元素的互异性，∴x=−3或10，由(1)知，x=−3时，A∪B={−8,−4,4，9}，x=10时，A={100,9}，B={5,−9,9}，∴A∪B={−9,5，9，100}．【解析】(1)x=−3时，可求出A={9,−4}，B={−8,4，9}，然后进行交集的运算即可；(2)根据A∩B={9}即可得出x2=9或x−1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x=−3或10，从而x=−3时，求出集合A，B，然后求出A∪B；x=10时，求出集合A，B，然后求出A∪B即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】解：(1)由题意可得，x≠0，∵f(−x)=−ax+2x=−f(x)，∴f(x)为奇函数；(2)由f(1)+f(2)=a−2+2a−1=0，∴a=1，f(x)=x−2x，设0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1−x2+2x2−2x1=(x1−x2)(1+2x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，1+2x1x2>0，∴(x1−x2)(1+2x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,+∞)上的单调递增，∴函数f(x)在区间[1,4]上的最大值f(4)=72，f(1)=−1．【解析】(1)由题意可得，x≠0，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；(2)由f(1)+f(2)=a−2+2a−1=0，代入可求a，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可证函数f(x)在区间[1,4]上的最大值f(4)，f(1).即可求解．本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．17.【答案】解：(1)∵一元二次方程x 2−mx +m 2+m −1=0有两实根x 1，x 2．∴△=(−m)2−4(m 2+m −1)≥0， 从而解得：−2≤m ≤23．(2)∵一元二次方程x 2−mx +m 2+m −1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：x 1⋅x 2=m 2+m −1=(m +12)2−54， 又由(1)得：−2≤m ≤23， ∴−54≤(m +12)2−54≤1，从而，x 1⋅x 2最小值为−54，最大值为1．(3)∵一元二次方程x 2−mx +m 2+m −1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：x 1+x 2=m,x 1⋅x 2=m 2+m −1，∴|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√m 2−4(m 2+m −1)>√5， 从而解得：−1<m <−13， 又由(1)得：−2≤m ≤23， ∴m ∈(−1,−13)．【解析】(1)一元二次方程有两实根，则判别式△≥0； (2)利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；(3)利用公式(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1−x 2)2得到|x 1−x 2|的表达式从而解不等式求m ． 本题考点是一元二次方程根与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．18.【答案】解：(1)由题意，有 AM =200−x24x ，由AM >0，有 0<x <10√2； 则S =4200x 2+210(200−x 2)+80×2×(200−x 24x)2； S =4200x 2+42000−210x 2+400000−4000x 2+10x 4x 2=4000x 2+400000x 2+38000；∴S 关于x 的函数关系式： S =4000x 2+400000x +38000，(0<x <10√2 )； (2)S =4000x 2+400000x 2+38000≥2√4000x 2⋅400000x 2+38000=118000；当且仅当4000x2=400000x2时，即x=√10时，√10∈(0,10√2)，S有最小值；∴当x=√10米时，S min=118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．【解析】(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】−2【解析】解：(Ⅰ)函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=−b2，由f(x)的图象关于直线x=1对称，可得−b2=1，解得b=−2，故答案为：−2．(Ⅱ)证明：由f(x)在[−1,1]上不单调，可得−1<−b2<1，即−2<b<2，对任意的x∈R，f(x)≥f(−b2)=b24−b22+c=c−b24，由−2<b<2，可得f(x)≥c−b24>c−1；(Ⅲ)f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(,1)，可设f(x)=(x−r)(x−s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1−r)(1−s)，且0<rs(1−r)(1−s)<[r+(1−r)2]2⋅[s+(1−s)2]2=116，则c2+(1+b)c∈(0,116).(Ⅰ)求得f(x)的对称轴，由题意可得b的方程，解方程可得b；(Ⅱ)由题意可得−1<−b2<1，即−2<b<2，运用f(x)的最小值，结合不等式的性质，即可得证；(Ⅲ)f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点，设为r，s，(r≠s)，r，s∈(,1)，可设f(x)= (x−r)(x−s)，将c2+(1+b)c写为f(0)f(1)，再改为r，s的式子，运用基本不等式即可得到所求范围．本题考查二次函数的单调性和对称性的应用，考查函数零点问题的解法，注意运用转化思想，以及基本不等式和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。