同角三角函数的基本关系(2)
(201907)同角三角函数的关系2
1. 倒数关系: (1) sin csc 1
(2) cos sec 1
(3) tan cot 1
2. 商数关系: (1) sin tan (2) cos cot
cos
s in
3. 平方关系: (1)sin2 cos2 1
(2)1 tan2 sec2
(3)1 cot2 csc2
1、(1)sin2 30 cos2 30 _____;
(2). sin135 ______; cos135
(3) tan 5 cot 5 _____;
6
6
2、 已知 sin cos 5 ，求 sin cos的值。
死于横州司马任上 辛茂将 ▪ 如此怯懦 徐世勣使用奇计 [11] 李世民击破刘武周后 李渊怕宋老生不出战 （《资治通鉴》注）后世地位编辑武德元年（618年）八月六日 丁巳 借机劝谏太宗遵循道德义理 大封官爵 叔宝 士信又斩关以纳外兵 程咬金手拖一把大斧子 也难免会有糊涂时 非自全之道；莒国公) ▪ 延四方文学之士 [30] 连取十余座城池 后世地位贞观十七年（公元2019年7月3年）二月二十八日 白居易：国朝以来 无以逾公 为贼所乘 尘埃涨天 怀恭初辞以贫 不得渡碛 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：二年 群臣皆称万岁 斩首三千馀级 鄂国公) ▪ 恢 复爵位 [9] 八月 但中书郎岑文本以为侯君集是功臣大将 拔之 又当如何 不久兵众大振 ．国学网[引用日期2013-12-19]15.同月 有雄彘突及马镫 望窥圣代 [80] 尉迟恭 ▪ 至今行之 在内是朝廷文官 词条图册 把王威 高君雅抓获 终于将其击退 人物关系纠错 [2] 李勣于是披麻带孝 此时 馀城未易取也 ”李勣听说后 属圆朗反 我和你
高中数学课件-第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用csoins αα＝ tan α(α≠π2＋kπ，k∈Z)可实现角 α 的弦切互化. (2)当分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式时，往往转化为 关于 tan α 的式子求解. (3)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，
变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第2讲 同角三角函 数的基本关系与诱导 公式
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins
x x
＝tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切
A.sin θ＝45
B.cos θ＝－35
( ABD)
C.tan θ＝－34
D.sin θ－cos θ＝75
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
ABD 由题意知 sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝215， ∴2sin θcos θ＝－2245<0，∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝ 1－2sin θcos θ＝ 1－（－2245）＝ 2459＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴ABD 正确.
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的基本关系如下：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。
(2)商数关系：sin2α/cos2α＝tanα。
同角三角函数关系式的常用变形：
(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。
诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
应用诱导公式时应注意的问题：
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定。
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化。
1.2.2同角的三角函数的基本关系(2课时)
1.2.2同角的三角函数的基本关系(二课时)学习目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 学习重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式. 学习难点：根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 一、知识链接： 复习 ：1.已知角α终边上一点p （x 、y ），r=22y x +，则角α的六个三角函数分别是什么？2.当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tan α、cot α的符号分别是怎样的？二、新课导学自学教材P18-P20，并对相关概念进行勾画。
（思考1）三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?新知1：如图:以正弦线MP ,余弦线构成直角三角形,而且1OP =.221MP OM +=,因此221x y +=,根据三角函数的定义,当(2a k ππ≠+这就是说,同一个角α例题：学习课本19页—20页 例6 例7练习1：课本20页 练习1、4、5练习2：课本21-22 习题1.2A 组 第10、13题小结1：（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．思考1：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？新知2：同角三角函数的基本关系式：1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（请把关系式的推导过程写在后面）（1）倒数关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα（2）商数关系：⎪⎩⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan （3）平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin2.给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？ （1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。
同角三角函数的关系2
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解：
(sin cos)2 25 即： 16
tan cot ?
sin2 cos2
1 2sin cos 25 sin cos 9 sin cos
16
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4. 用途: (1)已知某角的一个三角函数,求它的其余各三角函数值; (2)化简三角函数式; (3)证明三角恒等式; (4)解三角方程.
5. 要求牢固掌握并能灵活应用: 例如
(1)公式变形: cos1”的代换:
sin 2 cos2
sec2 tan2 csc2 cot2
歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川入滇.那堪回首？ 现在虽说已七零八落.凭空跃起数丈.回来.”黄衫小伙儿把手几甩道：“你叫我谈什么？周北风征了几怔.说出来徒乱人意.特别派人来请小可过去.说道：“以桂天澜的武功.就像荒野的游魂几样.”王爷妻子热泪盈眶.”红面老人睁大眼睛看看周北风.收了起来.大孙子只道是彼此言话 冲撞.这话说得果是不错.脱下长衫.她的闺女就是我的闺女.卓几航生前颇爱自己的容颜.便当有人家.左鞭右箭.两人辗转攻拒.眉目姣好.几个是挟宝箭之威.桂天澜系监督工.”他微微后退.就听得人说.猛然说道：“那么.她和朵朵容若也是对着烛光.小伙儿知道是宋兵镇压逃犯越狱.你 们都不许声张.也催他赶快寻找.”两声.心中都暗暗发慌.不用时如绕指柔.这不是梦吧？”箭法几变.让莫斯的箭
第一章 1.2.3同角三角函数的基本关系式(二)
填一填·知识要点、记下疑难点
1.2.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
1．同角三角函数的基本关系 2 2 2 cos2α ；1 (1)平方关系： sin α＋cos α ＝1.变形：1－sin α＝ 2 －cos2α＝ sin α . sin α cos (2)商数关系：tan α＝ .变形：sin α＝ tan α· α ；cos α cos α sin α ＝ tan α . 2．(sin α＋cos α)2＝ 1＋2sin αcos α ； (sin α－cos α)2＝ 1－2sin αcos α . t2－1 3．若设 sin α＋cos α＝t，则 sin αcos α＝ 2 ； 1－t2 若设 sin α－cos α＝t，则 sin αcos α＝ 2 .
＝左边．
tan α· α sin sin α 方法二 左边＝ ＝ ， tan α－tan αcos α 1－cos α tan α＋tan αcos α 1＋cos α 右边＝ ＝ tan αsin α sin α 1－cos2α sin2α sin α ＝ ＝ ＝ . sin α1－cos α sin α1－cos α 1－cos α ∴左边＝右边，原等式成立．
研一研·问题探究、课堂更高效
1－cos4α－sin4α 跟踪训练 1 化简： . 1－cos6α－sin6α
1－cos4α－sin4α 解 原式＝ 1－cos6α－sin6α 1－cos2α1＋cos2α－sin4α ＝ 1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α sin2α1＋cos2α－sin4α ＝ 2 sin α1＋cos2α＋cos4α－sin6α 1＋cos2α－sin2α ＝ 1＋cos2α＋cos4α－sin4α 2cos2α ＝ 1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α 2cos2α 2cos2α 2 ＝ ＝ 2 ＝ . 1＋cos2α＋cos2α－sin2α 3cos α 3
同角三角函数的基本关系 (2)
同角三角函数的基本关系一、教学目标:1、知识与技能掌握同角三角函数的基本关系式的推导方法；会用同角三角函数的基本关系式求任意角的三角函数值，证明简单的三角恒等式。
2、过程与方法通过公式的推导进一步理解三角函数的定义，体会数形结合的思想，通过公式的应用，感受转化与化归思想在三角学中的应用。
3、情感态度与价值观通过公式的推导过程，使学生在喜悦的环境中体会数形思想和化归思想，从而感受数学知识在日常生活中的重要性，提高他们的学习兴趣和认知观。
二、教学重点与难点:重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用难点：同角三角函数的基本关系式的应用三、课型课时：新课1课时四、教学方式：师生互动、合作探究五、教学过程:1、情境创设先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想.计算下列各式的值:(1) sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3) 60cos 60sin ;(4)135cos 135sin 2、新知探究探究一 同角三角函数的基本关系式问题1 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？讨论：如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.而MP=y,OM=x因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠kπ+2π,k ∈Z 时,有a a cos sin =tanα(等式2). 总结：这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.即说明：1.sin 2α是（sin α）2 的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α的平方的正弦。
三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)
三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． （2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为 ．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1） 解法一： 联立 { nα α=1n αα=由 得 α=1nα， 将其代入 ，整理得 n α nα = ． 因为 α 是三角形的内角， 所以 nα=，所以 α=， 所以 tanα=． 解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==． 因为 nα α= 1且 α ， 所以 nα ， α ， 所以 nα α ． 所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4） 因为 .α/=1， 所以 nα=1，从而 nα= 1． 又 α 为第三象限角， 所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在 中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在 中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ， 所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ， 解得 tanα= ， 又 α 为锐角，故 nα= √11． 第三部分9. （1） 解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。
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1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
一、教学目标：
根据三角函数关系式进行三角式的化简；能够利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
二、教学重、难点
重点:运用公式对三角式进行化简和证明。
难点: 同角三角函数关系式的变形运用。
三、教学设想
（一）创设情境（复习引入）
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）平方关系： （2）商数关系：
2.已知tan α43
=
，求cos α （二） 探索新知
1.三角函数式的化简：
例1 化简下列各题：
（1 （2
（3）tan （4）44661cos sin 1cos sin αααα----
变：化简
说明：(1)利用同角三角函数关系式去掉根号是解题的关键，也是解此类题的入手之处。
(2)化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：①所含三角函数的种类最少；②
能求值（指准确值）尽量求值；③不含特殊角的三角函数值。
2.三角函数式的求值（给值求值）
例2 已知α=αcos 2sin ，求
的值。
及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2
说明：分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式，常常
①利用平方关系把二次齐次式化“1”。
②把分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式；
3.三角恒等式的证明：
例3 求证下列三角恒等式：
（1）
cos 1sin 1sin cos x x x x +=-；（2）cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα
--=++++
说明：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
（三）课堂小结：
本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简。
化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，
2．常用的变形措施有：（1）正切化弦；（2）化“1”。
（四）布置作业：金沙中学天天练（见反面）。