同角三角函数的基本关系式练习
同角三角函数基本关系及诱导公式练习zst
同角三角函数基本关系及诱导公式练习【基础知识梳理】1.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π+α.2.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为-α(或2π-α).3.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π-α.4.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为2π-α. 5.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=--------------------------------, cos(α+k ·2π)=--------------------------, tan(α+k ·2π)=----------------------------,其中k ∈Z.(2)公式二 sin [(21)]k πα++=----------------------------, cos [(21)]k πα++=--------------------------------, tan [(21)]k πα++=----------------------------.(3)公式三 sin(-α)=--------------------,cos(-α)=----------------,tan(-α)=----------------.(4)公式四sin(π-α)=----------------------, cos(π-α)=----------------------, tan(π-α)=----------------------.(5) 公式五 sin(2π-α)=---------------------------------,cos(2π-α)=---------------------------------. (6)公式六 sin(2π+α)=---------------------------------,cos(2π+α)=---------------------------------. 口诀：一、选择题1． 已知53cos =α，且α是第四象限角，则sin α=__________. A.54 B.43 C.54- D.43- 2．已知sin α=21,且α为第二象限角，则cos α=________. A.23 B.43 C. 23- D.43- 3．下列各式中正确的是_________.A.απαsin )sin(=+B.απαcos )2cos(-=+C.ααπtan )tan(-=+D.ααπsin )sin(=-4．若tan α=1，则ααααcos sin cos 3sin 2++的值是____________.A.21B.23 C.25 D.27 5．已知5cos 5sin 2cos 3sin -=+-αααα，则tan α=________. A.-2 B.1225 C.1128 D.922- 6．下列等式中正确的个数有__________.(1)ααπsin )sin(-=+ (2)ααπcos )2cos(-=+(3)ααπtan )3tan(-=+ (4)ααπcos )5cos(-=- A.1 B.2 C.3 D.4 7，已知sin α=54，α的终边在第一象限，则)sin(απ+和)2cos(απ-的值是_____. A.5354和 B.5354和- C.5354-和 D.5354--和 二、填空题 1．2cos 2sin 22αα+=______________.2．)4sin(π-=____________；613sin π=________. 3．45cos π=__________；32cosπ=_________. 4．)300cos(0-=_________；0495sin =____________. 5．)43tan(π-=________；67cos π=________；)49sin(π-=________. 6．1)(cos 2)tan()sin()sin(22+------x x x x π=__________. 7．已知πθπθ 2,21cos 且-=，则θtan =_________. 8．化简：)tan()cos()3sin(απααπ+--=___________. 三、解答题1．化简：)3tan()cos()tan()2sin(x x x x --+-ππππ 2． 已知41tan =x ，求xx x x sin 3cos 2sin 5cos +-的值。
1.2.2同角三角函数的基本关系式练习题
同角三角函数的基本关系式练习题1．若 sin α＝ 4，且 α是第二象限角，则 tan α的值等于 () 5A ．－ 4 3 3 43 B. C ．± D ． ±4 4 3 2．化简 1－sin 2160 °的结果是 ()A ． cos160 °B ．－ cos160 °C ． ±cos160 °D ． ±|cos160 | °2sin α－cos α3．若 tan α＝ 2，则的值为 ()sin α＋ 2cos α35 A ． 0B.4 C ． 1D. 484．若 cos α＝－ 17，则 sin α＝ ________， tan α＝ ________.5，则 sin α等于 ()5．若 α是第四象限的角， tan α＝－121 1 35A. 5B ．－ 5 C.15 D ．－ 136．若 α为第三象限角，则cos α ＋ 2sin α 的值为 ()1－ sin 2α1－ cos 2α A ． 3B ．－ 3C ． 1D ．－127、已知 A 是三角形的一个内角， sinA ＋ cosA = 3 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形18、知 sin α cos α = 8 ,则 cos α－ sin α 的值等于（ ）3333A ．± 4B ．± 2C ． 2D ．－ 2、已知 是第三象限角，且 sin 4cos45 ，则sin cos（）992 B ．2 C ． 1 D ．1A ．333310、如果角满足 sin cos2,那么 tan1的值是（）tanA ． 1B ．2C ． 1D ． 2sin cos ，则 tan（ ）11、若22 sincosA ．1B ．-1C ．3D ．443112． A 为三角形 ABC 的一个内角，若sinA＋ cosA＝12，则这个三角形的形状为 () 25A ．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形13．已知 tanθ＝ 2，则 sin2θ＋ sin θcosθ－ 2cos2θ等于 () 4534 A．－3 B. 4 C.－4 D. 5 14． ( tan x1)cos2x＝ ()tan xA ． tanx B． sinx C． cosx1 D．tan x15．使1－cosα cosα－ 1)＝sinα成立的α的范围是 (1＋cosαA ． { x|2kπ－π＜α＜ 2kπ， k∈Z }B． { x|2kπ－π≤ α≤ 2kπ， k∈Z }3πC． { x|2kπ＋π＜α＜ 2kπ＋2， k∈Z} D．只能是第三或第四象限的角16．计算17．已知1－ 2sin40 ·°cos40 °2＝ ________.sin40 －° 1－sin 40°1－ sinαcosαtanα＝－ 3，则2sinαcosα＋cos2α＝________.18、若tan3sin 3 2 cos3的值为 ________________ ．，则32 cos3sinsin cos2，则 sin cos 的值为19、已知cossinsinα20．若角α的终边落在直线x＋y＝ 0 上，则2＋1－sin α21．求证： sinθ(1＋ tanθ)＋ cosθ·(1＋1)＝1＋1.tanθ sinθ cosθ1－cos2α的值为 ________．cosα2部分答案1、解析： 选 A. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ 1－ sin 2α＝－1－ 4 2＝－ 3，5 54∴tan α＝ sin α 5＝－ 4.＝3cos α － 352、解析： 选 B. 1－ sin 2160 °＝ cos 2160 °＝－ cos160 °.2sin α－ cos α 2tan α－ 1.3、解析： 选 B.＝ ＝ 3sin α＋ 2cos α tan α＋ 2 48 4、解析： ∵ cos α＝－ 17<0，∴α是第二或第三象限角．若 α是第二象限角，则 sin α>0， tan α<0.∴sin α＝215 ， tan α＝ sin α 151－ cos α＝＝－ 8.17cos α若 α是第三象限角，则sin α<0， tan α>0.∴ sin α＝－215， tan α＝ sin α 15 .1－ cos α＝－17 ＝cos α 8 答案：15或－15－ 15或1517 17 8 85、解析： 选 D. ∵tan α＝ sin α 5 2 2＝－ ， sin α＋ cos α＝ 1，cos α 12∴ sin α＝±5，13又 α为第四象限角，∴sin α＝－ 135.6、解析： 选 B. ∵α为第三象限角，∴ sin α<0， cos α<0，∴cos α＋2sin α＝cos α 2sin α1－ sin 2＋＝－ 1－2＝－ 3.α1－ cos 2α |cos α||sin α|127、解析： 选 B. ∵sinA ＋ cosA ＝ ，212 2 144∴ (sinA ＋ cosA) ＝ (25) ＝ 625，即 1＋2sinAcosA ＝144，∴ 2sinAcosA ＝－481625625<0，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A 为钝角，∴△ ABC 为钝角三角形．13、解析： 选 D.sin 2θ＋ sin θcos θ－ 2cos 2θ322θ＝ sin θ＋ sin θcos θ－ 2cossin 2θ＋cos 2θ＝ tan 2θ＋ tan θ－ 2tan 2θ＋1＝ 4＋ 2－2＝ 4.5 52sinx ＋ cosx 214、解析： 选 D.(tan x ＋ cotx) ·cos x ＝( cosx sinx ) ·cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x2cosx＝ cotx.sinx ·cosx ·cos x ＝ sinx15、解析：选 A.1－ cos α1－ cos α2 1－ cos α cos α－ 1＝＝|sin α|＝，1＋ cos α1－ cos 2αsin α即 sin α＜ 0，故 { x|2k π－π＜ α＜ 2k π， k ∈ Z } ．2cos40 °－ sin40 °16、解析： 原式＝sin40 －°cos40 °＝＝－ 1.sin40 －° cos 240° sin40 －°cos40 °答案： －11－ sin αcos αsin 2α－ sin αcos α＋ cos 2α tan 2α－ tan α＋ 1 － 3 2－ －3 ＋117、解析：2＝2＝2tan α＋ 1 ＝ ＝2sin αcos α＋ cos α2sin αcos α＋ cos α2× －3 ＋113 － 5 .答案： －13518、答案： 5/321、证明： 左边＝ sin θ(1＋ sin θcos θ)＋ cos θ·(1＋)cos θsin θ2θ2θ＝ sin θ＋sin＋ cos θ＋coscos θsin θ2θ2θ＝ (sin θ＋ cossin＋cos θ)sin θ)＋ (cos θsin 2θ＋ cos 2θ sin 2θ＋ cos 2θ＝＋cos θsin θ＝1＋1＝右边，sin θcos θ∴原式成立．4。
高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习34，选D. 答案：D5．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，求k ，θ的值．解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k ，① sin θcos θ＝k ＋1，②又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 所以k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1， 显然|sin θcos θ|＝|k ＋1|≤1，因此k ＝－1，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θcos θ＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或3π2.(限时：30分钟)1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512解析：∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.答案：B2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.43 B ．3 C ．－43D ．－3解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1，将tan α＝－12代入得： 2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1214－1＝43，故选A. 答案：A 3．化简⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos α1－cos αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 答案：A4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32C.34 D ．－34解析：∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8.答案：C6．已知1＋sin x cos x ＝－13，则cos xsin x －1的值等于( )。
完整版)同角三角函数的关系练习题
完整版)同角三角函数的关系练习题同角三角函数的关系已知cosα=3/5，且α在第三象限，求cosα和tanα的值。
已知cosα=3/5，由于α在第三象限，所以sinα<0，根据勾股定理可得sinα=-4/5.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-4/3.已知cosα=1/5，且tanα<0，求sinα和tanα的值。
由于cos²α+sin²α=1，所以sinα=-√(1-cos²α)=-√(24/25)=-4/5.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-4.已知sinα=-5/13，且α是第四象限角，求sinα和cosα的值。
由于sin²α+cos²α=1，所以cosα=√(1-sin²α)=12/13.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-5/12.已知tanθ=2，求2sinθ-3cosθ，4sinθ-9cosθ，2sinθ-3sinθcosθ-4cosθ的值。
由于tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=2cosθ。
将sinθ代入2sinθ-3cosθ和4sinθ-9cosθ中，可得它们的值分别为1和-2.再将sinθ代入2sinθ-3sinθcosθ-4cosθ中，可得其值为-4cosθ。
已知tanθ=2，求cosθ+sinθ，cosθ-sinθ，sinθ-sinθcosθ+2cos²θ的值。
由于tan²θ+1=sec²θ，所以cosθ=1/√5，sinθ=2/√5.将cosθ和sinθ代入cosθ+sinθ和cosθ-sinθ中，可得它们的值分别为√5/5和-√5/5.将cosθ和sinθ代入sinθ-sinθcosθ+2cos²θ中，可得其值为1/5.已知sinα=2cosα，求sinα-4cosα/(5sinα+2cosα)，sinα+2sinαcosα和2sinαcosα。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
同角三角函数基本关系式及诱导公式
2 63'同角三角函数基本关系式及诱导公式必修四：（新课标）同角三角函数基本关系式及诱导公式（典型例题+习题+答案）1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系： 2 2 才 sin a sin a +cos a = 1.(2)商数关系：cos a =tan a2.诱导公式答案…cosna =— cos —6解析 sin2nV =sin7t 7t1. (2011 -大纲全国）已知 3na € n, ~, tan a = 2，贝y cos 解析 T tan a = 2,. sin aCOST =2，. sina = 2C0S a .2. 3. 又sin2 2a + cos a = 1 ,2 2.(2cos a ) + cos 2a = 1，…cos a1 5.又••• a 若tan答案 解析已知 答案 解析 3nn, 2 ，…cos a2sin a — cos a=2,则 sin a +2cos a 的值为2tan a — 13原式=tan a + 2 = 4.a 是第二象限的角，tan1 小 2，贝U cos a又sin2..5 5a 是第二象限的角，.cos a <0. 2“，+ cos a =1, tan asin a cos a1 2,4. 4sin 3n3-cos 56n -tan 的值是答案3,3 4解析原式=sin-cos nn冗―7•tan —n — §5. —sin已知 7tn—cos -7t—tan-2x ( — 3)=—3 ,34 .7tcos22,则 sinn=—sin —+7t2题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用 1 例 1 已知在△ ABC 中, sin A + cos A=-.5⑴求sin A cos A 的值；⑵ 判断△ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.12 2思维启迪：由 sin A + cos A = 及 sin A + cos A= 1，可求 sin51解(1) I sin A + cos A =①512••• sinA cosA — 方.12⑵由 sin A cos A =—<0,且 0<A < n, 25可知cosA 为钝角，•••△ ABC 是钝角三角形.2(3) v (sin A — cos A ) = 1— 2sin A cos A 24 49 =1 + =—25 25，又 sin A >0, cos A <0,「・ sin A — cos A>0,4 3由①，②可得 sin A = , cos A =—-,5 5题型二三角函数的诱导公式的应用例2n\[35 n ，亠(1)已知 cos — + a = -3，求 cos ~6 — a 的值;2• cos a = 3，即 cos8代cos A 的值.两边平方得 1+ 2sin A cos 1A = 25, • sin 7A — cosA = 5.• tansin A cos A4 3.探究提高 (1)对于 sin a + cos a , sin a cos a , sin a 知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为(sina cos a ; (2)关于sin a , COS a 的齐次式，往往化为关于cos a 这三个式子，已 a ± cos a ) = 1 ± 2sintan a 的式子._ 2(1)已知 tan a = 2，求 sin a + sin a cos2a — 2cos ⑵ 已知 sin a = 2sin 3 , tan a = 3tan22解 (1)sin a + sin a cos a — 2cos a 3，求 cos a .2 2sin a + sin a cos a — 2cos asin a +cos 2 ax ,题型三三角函数式的化简与求值 1例3 (1)已知tan a = 3，求的值.思维启迪： (1)将n + a 看作一个整体，观察 n + a 与5n a 的关系.6 6 6a =n,5 nna = n — -g + a .5 n•I COS — a = COS n —6n 6 +an一 cos y + a5 n 即 COS —6=」3(2) T COS ( a — 7 n ) = COS(7 n — a ) = COS( n — a ) =— COS35,…COS 3 ••• sin(3 n+ a ) • tan a5=Sin(7a ) • — tan n —=Sina • tan=Sinn sin — — a=sinnCOS — —aCOS sin a a—=COS3 5.探究提咼键•另外, 熟练运用诱导公式和基本关系式,切化弦是常用的规律技巧.并确定相应三角函数值的符号是解题的关(1)化简:3n 2COS( — a — 3 n )sin( — 3 n — a )tan( n+ a )COS( 2 n+ a )sin八sin( n — x )COS( 2 n — x )tan( — x +n ) 亠 ⑵已知f (x )=，求nCOS — — +xf —晋的值.n tan a COS a sin — 2 n+ a + ~ tan 解(1)原式=■=COS( 3 n+ a )[ — sin( 3 n+ a )]tan a COS a cos a tan a cos a sin a =(—COS a )sin a = Sin a = COS asin x • cos x • ( — tan x )⑵. na COS a Sin ~ + a(—COS a )sin a COS a T =— 1. sin asin x=—COS x • tan x =— sin 31 n• f —~^ = — sinn31 n 丁 =sin卫=逅 3 = 2 .31 n 3(2)已知 n< a <2 n, COS ( a — 7n =—求 sin(3 n+ a ) • tan⑵先化简已知，求出COS a 的值，然后化简结论并代入求值.片n解⑴T 石+a +分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)审题视角 (1)角中含有变量n ,因而需对n 的奇偶分类讨论.3n tan( n — a )COS ( 2 n — a )sin — a +⑵化简：COS ( — a — n )sin( 思维启迪：三角函数式的化简与求值， 式子的规律，使用恰当的公式.1解⑴因为tan a =2，所以L32sin a COS a + COS a Sin a + COS atan a +12 2sin a COS a + COS a 2tan a + 13'—n — a )都是按照从繁到简的形式进行转化, 要认真观察n—tan a • COS ( — a ) • si n — a ⑵原式=COS ( n — a ) • sin ( n — a )nsinatan a • COS a • si n a +• COS a2COS a—COS a • Sin a—sin a=-1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角, 弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简. 5，函数式子的特点和联系，可以切化已矢口 sin a + —=a € (0 ,n ),2n a 2n aCOS7 + 7 — COS 4—"2 求一 一^的值.Sin( n — a ) + COS ( 3 n+ a ).nQ 5解 ■/ sin a + —=—牙，.•. COS aa € (0 ,n ),/• sin 2n a 2n a_^5 COS A + — -COS N -兀a = 5 . Sin( n —a ) + COS( 3 n+ a )2CO Ssin a — COS a—sin asin — COs Sin — COs 2 3.化简: 4n — 1 sin " n — a 4 4n + 1+ COS ■ n — a4(n € Z).(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为 一个整体来看. 规范解答解当n 为偶数时，设n = 2k ( k € Z)，则［1分］8k —8k + 1原式=sin4 n —a+ cosn 4—ann=sin 2k n + — 4—a + cos 2k n + 4 — =sin —nn4a + COS -—a4nnn=—sin4 ■+a +COS -—-4 + ann分］=—sin4 ■+ a + sin~ + a 4=0.[5 当n 为奇数时，设n = 2k + 1 ( k € Z)，则温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论 的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因 方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式. 1 •同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响， 尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：sin x主要利用公式tan x = 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin 0 ± coscos x0 )2 = 1±2sin 0 cos 0的关系进行变形、转化；(3)巧用“ 1 ”的变换：1 = sin 2 0 + 2 22 2“1ncos 0 = cos 0 (1 + tan 0 ) = sin 0 1 + 订 =tan =•••tan 0 4失误与防范1. 利用诱导公式进行化简求值时， 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.原式= sin 8k + 3Tt — a+ cos8k + 5Tt — a=sin 2k n + + cos 2k n + =sin 3n5 n + cos -4=sin7t7t故sinTt —+ cos4十 a —cos 4 an 4十a—cosnn _L 宀 2 1 a4n4十a —sin n a = 04十4n — 14n + 1Tt — a n — a = 0.7t7t=sin=sin =sin + cos44特别注意函数名称和符号的确定.2. 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.1. 2. 3. 4. A 组专项基础训练 、选择题（每小题5分，共20分）已知 A. 答案 解析 cos( ( 答案解析 已知 答案 解析 n a 和3的终边关于直线 y = x 对称，且3 =—3，贝U sin a3等于1C.— 2 因为a 和3的终边关于直线y = x 对称，所以a + n 5 n ，所以 a = 2k n + k (k € Z)，即得 sin a 3 6—2 013 n )的值为 )B.— 1 C 』 cos( — 2 013 n ) = cos( — 2 014 n + n ) = cosSin( n — a ) • cos (2 n — a ) 小 ---------------------------- 贝H f cos( — n — a ) • tan ( n — a ) ?f( a ) B.••• f(25n =cos 8 n + Sin a cos a —cos a • ( — tan=cos25n=cosn3 = cosn当 0<x 書时，函数 f(x) = cos x sin2cos xx — sinC. 2答案 解析f (x )n当 0<x <4时，0<tan x <1,2cos x2= 2cos x sin x — sin x tan x — tan x'n3 = 2k n + "2(k € Z).又卩D. 071=— 25 n"V｛的最小值是D. 41.的值为 D,1 设 t = tan x ，贝U 0<t <1, y = 72 =t — t t （1 — t ）1当且仅当t = 1 — t ，即t = 时等号成立. 二、填空题（每小题5分，共15分） 1 sin a =?且a 为第二象限角，则 sin5 2 .6 55. 如果 答案 1 解析 T Sin a =；,且a 为第二象限角， 53n+ a答案8. (10 分)已知 sin B + cos B =#(0< B <n )，求 tan B 的值.解 将已知等式两边平方，得sin B cos B =—丄,18n• —<B <n,B )2= 1 — 2sin B cos B = 3.3sin ••• ta n B =cos=纽6=5 .3n • sin ~2~ + a cos a 6.已知n 1 sin a +12 = 3,则 cos7n+ 72 的值为(12 分) 已知 sin(3 n COS ( n+ B )cos B [cos( n — B ) — 1] +cos( B 3 n 3 n sin B — ~^ cos( B —n ) — sin + B —2n ) 的值. 1 解 ■/ sin(3 n+ B ) = — sin B = 3,^ sin 1 3,—cos B••原式=cos B ( — cos B — 1)cos( 2 n — B )+ ------ 3~3 n—sin — B cos( n — B ) + cos Bcos B1+ 2 +1 + cos B — cos B + cos B 1 + cos B 1 — cos B解析 cos7n+ 12 = cos =—sin an 1 +12 =— 3.3 nsin a + —^ • tan ( a + n ) 7.sin( n — a )答案解析cos a • tan a原式=—一sin asin a =—1.sin a三、解答题 （共22分）二 sin B — cos=(sin B — cos sin解方程组+ cos B = -3, sin B =¥， sin4―cos B= 3，cos B =¥1解析 ■/ sin( n+ a ) —- sin a , • sin a —2 21 — cos2 0 sin 2 01 2，8.-3B 组专项能力提升一、选择题（每小题5分，共15分） n1 2 n1.右 sin - a —厅，贝y cos + 2a 等于6 3 3A. 答案 A 解析( )B.—12c. 2D.— 2答案 A2 2cos a 工 0 且 1 —sin解析 由同角二角函数关系式1 — sin a =cos a及题意可得 丰0,1 + sin acos acos a 1cos a 1 — sin a ，• 1 — sin a二-2，a —,cos a—cosn3+1—3'则cos 2n + 2 a — 2cos n一 d 3 3 1a 1 7t/•sin 6a = sin7t3+7 一9平方得(1 + 2tan, 2 ••• ta n 二、填空题 2 _____________a ) —2— 5(1 + tan' cos a ' a + 4 — 0,解得4. 若 sin( a — 4ta n （每小题5分，共15分） 1 2， n+ a )= 答案_3 ~2tan a = 2. n ，贝U cos B.I 1+ sin a2.已知 COS a COS sin a的值是即-a sin 1 a - 12.右 cos(a + 2sin5, 则 tan a等于B. 21 C - 2D.答案I 解析 由cos+ 2sin-■. 5可知, cos a 0,两边同时除以cos a 得 1+ 2tan=—3,2 2 sin e + sin e cos e — 2cos ee + sin 晋-e = 0.三、解答题求角A 」+ 2sin B cos B右 cos 2B —sin 2B =— 3 4 5 求 tan B -解 2 2又 sin A + cos A = 1,• sin 2A + ( 3sin A- 1)2= 1,即 4sin 2A — 2 3sin A = 0,得sin A = 0(舍去)或sin A = f • A =~3或或兀, n , 2 n , 2 , ,n将A ="3或丁代入①知 A= 3 n 时不成立，A =§.1 + 2sin B cos B2 2sin e + cos e2 tan e + tan e — 22tan e + 14+ 2 — 2 45. 5.已知 答案 n ------- € —, n , • cos a =— 1 — sin tan e = 2,贝U sin 2 e + sin e cos 4 a = --- . 2 e — 2cos e = 解析 sin5 2 2 sin e + sin e cos e — 2cos e 2 2 e + sin e cos e — 2cos e 1 6.已知cos n — e = a (| a | w 1) 则cos+ sin ¥—°的值是 答案解析 5 n cos + e = cos n — 6 n =—cos "6 9 =— a .2n sin —— e=cos =a , 7. (13 根.分）已知A 、BC 是三角形的内角， 3sin 2 A ,— cos A 是方程x - x + 2a = 0的两 (1)由已知可得，■ 3sin A — cos A = 1①2cos 2B—sin 2B2 2得sin B—sin B cos B—2cos B= 0, ■/ cos B M 0,二tan ?B—tan B— 2 = 0, • tan B= 2 或tan B=—1.2 2■/ tan B=—1 使cos B—sin B= 0,舍去, 故tan B= 2.=—3,。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，，则_____________.【答案】【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sinα＝【考点】同角三角函数关系，诱导公式.2.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．3.已知sin(π－α)＝log8【答案】＝－，【解析】sin(π－α)＝sin α＝log8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4.已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是()A．－7B．－C．D．【答案】D【解析】由已知得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，(cosα＋2)(2cosα－1)＝0∴cosα＝，选D．5.已知sin(－x)＝，则cos(π－x)＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】cos(π－x)＝cos[＋(－x)]＝－sin(－x)＝－，故选C．6.方程两根，且，则；【答案】【解析】由已知可得，，因为，所以，所以或.但由于，所以，。
由，则同号；由，则都小于0。
所以，所以【考点】两角和差公式以及正切函数的性质.7.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝110.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－11.函数y＝cos的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是(k∈Z)．12.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则=_________.【答案】【解析】由f'(x)=cosx-sinx,∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),∴3sinx=cosx,∴tanx=,所求式子化简得,=tan2x+tanx=+=.13.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.14.已知sin ＝，则sin＝________.【答案】±【解析】由sin ＝，得cos ＝±，所以sin＝cos＝±.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【答案】C【解析】f(x)＝，∴a＝＋，b＝＋＝－，因此a＋b＝1.17.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.18.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．2cos2α＋sin 2α＋βcosα－sin α【答案】4＋2m【解析】因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因为a·b＝m，又a·b＝cos α·－2，故cos α·＝2＋m.由于0＜α＜，所以＝＝＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(2＋m)＝4＋2m.19.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.20.在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)正弦定理：，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，则，直径所对的圆周角，在直角三角形中，，从而得到，同理可证，，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将化为①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到，则，再由二倍角公式求解.试题解析：(Ⅰ) 正弦定理：.证明：设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，如图所示：则，，在中，，即，则有，同理可得，，所以.(Ⅱ)∵，由正弦定理得，，，，，，解得，，∴.【考点】1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式21.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接计算的值；（2）先由已知条件计算、的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出、的值，最后利用两角和的余弦公式计算出的值.试题解析：（1），所以；（2），，、，所以，，所以.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式22.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．【答案】【解析】由已知可得（cosx－sinx）=，即cosx－sinx=，两边平方得1-2cosxsinx=，sin2x=.【考点】1.两角和差公式；2.同角的基本关系式；23.已知函数的最大值是1，其图像经过点。
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同角三角函数的基本关系式练习
一、选择题
1、),0(,5
4
cos παα∈=，则αcot 的值等于 （ ）
A ．
3
4 B ．43 C ．3
4
±
D ． 4
3
±
2、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 2
3 ,则这个三角形是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．不等腰直角三角形
D ．等腰直角三角形 3、已知sin αcos α = 1
8 ,则cos α－sin α的值等于 （ ）
A ．±34
B ．±23
C ．23
D ．－23
4、已知θ是第三象限角，且9
5
cos sin
44
=+θθ，则=θθcos sin （ ）
A ．
32 B ． 32- C ． 3
1 D ． 31- 5、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 （ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
6、若
2cos sin 2cos sin =-+α
αα
α，则=αtan
（ ）
A ．1
B ． - 1
C ．
4
3
D ．3
4-
7、已知
21cos sin 1-=+x x ，则
1sin cos -x x
的值是 A ． 21 B ． 2
1
- C ．2 D ．－2
8、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+
B ．51-
C ．51±
D ．51--
二、填空题
1、若15tan =α，则=αcos
；=αsin
．
2、若3tan =α，则α
αα
α3
333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________． 3、已知
2cos sin cos sin =-+α
αα
α，则ααcos sin 的值为 ．
4、已知5
24cos ,53sin +-=
+-=m m
m m θθ，则m=_________；=αtan ． 三、解答题
1、：已知5
1
sin =α，求ααtan ,cos 的值．
2、已知22cos sin =+αα，求α
α22cos 1sin 1+的值．
3、已知5
1
cos sin =
+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；
（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．
*4、已知：m =αcot ，()0≠m ，求αsin ，αcos 的值．
参考答案
一、选择题
ABBA DAAB 二、填空题
1、4
1±；415±(α在一象限时取正号，在三象限时取负号)．
2、2529．
3、103．
4、0=m 或8=m ；43tan -=α或12
5tan -=α．
三、解答题
1、562cos ±
=α；12
6
tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)． 2、由22cos sin =
+αα可得：2
1cos sin 21cos cos sin 2sin 2
2=+=++αααααα； 于是：4
1
cos sin -=αα，∴
16cos sin cos sin cos 1sin 1222222=+=+αααααα． 3、
（1）由5
1
cos sin =+ββ可得： 25
1cos sin 21cos cos sin 2sin
22
=
+=++ββββββ； 于是：2512cos sin -
=ββ，()25
49cos sin 21cos sin 2
=-=-ββββ； ∵0cos sin <ββ且πβ<<0，∴0sin >β，0cos <β． 于是：5
7cos sin =-ββ． （2）54sin =β；53cos -=β；3
4tan -=β． 4、 ∵ m ==
α
α
αsin cos cot ，∴ ααsin cos m =，
代入：1cos sin
22
=+αα可得： ()1sin 122=+αm ∴ 2
211
sin m +=
α；
当α在第一、第二象限时，2
11sin m
+=
α， 2
1cot sin cos m
m +=
=ααα；
当α在第三、第四象限时，211sin m
+-
=α，2
1cot sin cos m
m +-
==ααα．
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