高考总复习 同角三角函数的基本关系
高考复习数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，
同角三角函数基本关系式及诱导公式-高考数学复习
2.(必修第一册P194练习T2改编)(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是
A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
√C.cosπ2＋x＝－sin x
√D.cos(x－π)＝－cos x
sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
3.(必修第一册 P185T6 改编)若 sin α＝ 55，π2<α<π，则 tan α 等于
A.－2
B.2
1 C.2
√D.－12
∵π2<α<π，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－255，∴tan α＝csoins αα＝－12.
4.已知
cos
α＝15，－π2<α<0，则tanα＋cπoscoπ2s＋－ααtan
为 －13 .
因为 cosπ6＋α＝－13， 所以 sin23π＋α＝sinπ2＋π6＋α＝cosπ6＋α＝－13.
诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2 (1)化简：
sinθ－sin5θπ－co32sπ－sin2π－－θθc－os4π8π－θ等于
(2)(2023·全国乙卷)若 θ∈0，π2，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝
－
5 5
.
因为 θ∈0，π2，则 sin θ>0，cos θ>0， 又因为 tan θ＝csoins θθ＝12，则 cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
2020年高考数学专题复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[基本关系式变形]sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝tan αcos α， cos α＝sin αtan α，(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α.2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(2019·杭州质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D ．12解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°) ＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos(π＋π3) ＝－cos π3＝－12.答案：－12 －12(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． 解析：sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 答案：25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦； (2)知弦求切；(3)知切求弦．角度一 知弦求弦(2019·丽水模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．13 C ．－23D ．－13【解析】 (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.【答案】 C 角度二知弦求切已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.【答案】 B角度三 知切求弦若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625 【解析】 法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin 2α＋cos 2α＝1及商数关系tan α＝sin αcos α结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α＝a tan α＋b c tan α＋d；a sin 2α＋b cos 2α＋c sin αcos α＝a sin 2α＋b cos 2α＋c sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝a tan 2α＋b ＋c tan αtan 2α＋1.1．已知sin α＋cos α＝15，那么角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第二或第四象限解析：选D.因为sin α＋cos α＝15，所以两边平方得1＋2sin αcos α＝125，即2sin αcos α＝－2425，所以sin αcos α<0，验证可知，角α是第二或第四象限角，故选D. 2．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 3．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________．解析：因为α是第二象限的角，所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－12，得cos α＝－2sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中， 得5sin 2α＝1，所以sin α＝55，cos α＝－255. 答案：－255诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________． (2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1.(2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A ．2425 B ．1225 C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝________．解析：由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.答案：323．(2019·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．解：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.诱导公式的再理解诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….易错防范(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [基础达标]1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．12－32解析：选A.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－12－cos π3 ＝－12－12＝－1.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．45 B ．－45C ．35D ．－35解析：选B.由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25B ．25 C ．25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cosα，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcos α＝－25，故选A.5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A ．43或34B ．－34或－43C ．34或－43D ．－43或不存在解析：选D.由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0 8．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. 答案：－239．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________．解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.答案：－4310．(2019·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝10，则tan α的值为________；1cos 2α＋sin 2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝10，得到cos α＝10－3sin α，代入sin 2α＋cos2α＝1得：sin 2α＋(10－3sin α)2＝1，得10sin 2α－610sin α＋9＝0，即(10sin α－3)2＝0，解得sin α＝31010，cos α＝1010，则tan α＝sin αcos α＝3；1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝9＋11＋6＝107. 答案：310711．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：因为cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.[能力提升]1．(2019·台州市高三期末评估)已知cos α＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝( ) A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2k π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin π6＝－12，故选C.2．(2019·金华十校联考)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B.因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 3．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3344．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 解析：因为sin α＝2sin β， ①tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.② 由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β. ③由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. 答案：±645．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π的值． 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ] ＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ） ＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）] ＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ） ＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫512π＝sin 2π12＋sin 25π12＝sin 2π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12 ＝sin2π12＋cos 2π12＝1. 6．在△ABC 中， (1)求证：cos2A ＋B2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan(C －π)＜0. 求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B ·tan(C －π)＜0， 则(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0. 因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0， 所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．。
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
高考数学复习、高中数学 同角三角函数的基本关系与诱导公式附答案解析
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1,tan cos xx x x x+==；2. 能利用定义推导出诱导公式（2πααπ±±，的正弦、余弦、正切）.【知识衍化体验】【知识梳理】1. 同角三角函数的基本关系式平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式:诱导公式可概括为：k ·π2±α（k ∈Z ）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 常见的几组为:3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围.4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5．sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系：(1) (sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα； (2) (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα ； [微点提醒]1.诱导公式口诀中“奇变偶不变，符号看象限”其中的奇、偶是指的2π的奇数倍和偶数倍. 应用公式有时要先技术处理一下，如33sin()sin(2)()222πππααπα-=-+=+.2.利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【基础自测】疑误辨析1. 判断下列结论正误（1）sin()sin παα+=- （ ）（2）3sin()cos 2παα-= （ ）（3）3cos()sin 2παα+=- （ ）（4）2211+tan cos αα= （ ） 教材衍化2．（多选）下列式子化简结果和sin x 相同的是 （ ） A ．()sin x π-B ．()sin x π+C ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭3．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+-- （ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-考题体验4．（2016年全国III ）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2=αα+ （ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ． 16255．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=___． 6．（2016年全国II ）若3cos()45πα-=，则sin2=α （ ） A ． B ． C ． D ．【考点聚焦突破】考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-7251515-725-角度2 关于sin ,cos αα的齐次式问题【例1-2】若tan α1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．角度3 “sin cos sin sin αααα±⋅，”之间的关系【例1-3】已知sin α和cos α是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当(0,)απ∈时，求tan(3)πα-的值；（3）33sin +cos αα的值．(4) 2sin 22sin 1tan ααα+-规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值，通过22sin cos 1αα+=事先正弦与余弦的互化，通过sin tan cos ααα=实现切和弦的互化.2. 利用2sin cos =1sin cos x x x x ±±⋅（）对sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题.3.注意公式的逆运用及变形应用，如221=sin cos αα+，221sin cos αα-=，221cos =sin αα-.【训练1】（1）求值（2）已知A 、B 、C ,cos A A -是220x x a -+=方程的两根．①求角A ；②若221+2sin cos 3cos sin B BB B=--，求tanB .（3）已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos θθ，θ∈(0，2π) ．求：①2sin cos sin cos 1tan θθθθθ+--； ①m 的值； ①方程的两根及此时θ.考点二.诱导公式的应用 【例2】化简：3tan()cos(2)sin()2cos(3)sin(3)ππαπαααππα++-----规律方法 诱导公式的两个简单应用:（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【训练2】（1）已知72sin()123πα+=，则11cos()=12πα-________ （2）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则3sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----＝考点三.同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用 【例3】 是否存在22ππα∈（-,），0βπ∈（,），使得等式sin(3))2ππαβ-=-，))απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由.规律方法 1.注意角的范围对三角函数值符号的影响，特别是多解时要考虑舍解，一解时要考虑漏解.2.一般情况下首先要注意分析角和角之间的关系，比如+36ππαα-，是互余的角,我们常常要在展开和保留整体角之间作出选择.【训练3】已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()=3sin()2αππα+-（ ）A ．-B ．C ．D反思与感悟 [思维升华]1. 有切有弦，常常切化弦，利用sin tan cos xx x=， 2. 关注齐次式2sin cos sin sin cos ,sin cos cos2a x b x x x xc xd x x+++， 3. 互相关联的sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +⋅-知一求二的问题，如求sin cos +sin cos y x x x x =+⋅的最大值，令sin cos =x x t +换元.[易错防范]利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，基本思想是负化正，大化小，钝化锐.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【知识衍化体验】 【知识梳理】 2． 常见的几组为:【基础自测】1.(1).对 （2）.错 （3）.错 （4）.对 2． ACD对于A ：()sin sin x x π-=，则A 选项与sin x 相同，故A 选项正确； 对于B ：()sin sin x x π+=-，则B 选项与sin x 不相同，故B 选项不正确； 对于C ：cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则C 选项与sin x 相同，故C 选项正确； 对于D ：cos cos sin 22x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 选项与sin x 相同，故D 选项正确. 3． C ．角α的终边在直线2y x =上，tan 2α∴=，则()()()()sin cos sin sin cos sin cos cso αππαααπαπααα-+---=+---+sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++===--.考题体验 4．A 由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A ．5. 5-1tan()=42πθ+则1tan 3θ=-，sin θ=，cos θ=，sin cos = 5θθ+-. 6．D因为3cos cos )45πααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5αα+=， 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D ． 【考点聚焦突破】【例1-1】因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=【例题1-2】（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++=． 【例1-3】(1)解： 1sin cos 5sin cos 5mαααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11+2sin cos 25αα=，125m =-(2)sin cos 0,(,)2παααπ<∈,4sin 5α=,3cos 5α=-,4tan 3α=-4tan tan 3παα-=-=（3） (3)332211237sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )=(1)525125αααααααα+=+-++=。
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系(2024·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125 .[解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨：sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cosx ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 【变式训练】1．已知sin 2θ＝14，且π4<θ<π2，则cos θ－sin θ＝( B )A ．32B ．－32C ．12D ．－12[解析] ∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ＝34，∴要求cos θ－sin θ，只需判断cos θ－sin θ的符号． ∵π4<θ<π2，∴cos θ<sin θ，即cos θ－sin θ<0. ∴cos θ－sin θ＝－cos θ－sin θ2＝－32. 2．(2024·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C )A ．75 B ．725 C ．257D ．2425[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C ． 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C ．。
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【典例1】 (1)已知sinα=
1 3
,且α为第二象限角,求
tanα;
(2)已知sinα=
1 3
,求tanα;
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
[解 ]1 sin 1 , 为 第 二 象 限 角,
3
cos
1 sin 2
1
1 3
2
22 3
,
tan sin 2 . cos 4
1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
所以当α为第一､四象限角时,tanα= 当α为第二､三象限角时,tanα=
m 1 m ;2 m. 1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相
第十七讲 同角三角函数的基本关系
式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . co s
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C
5.若 cos2sin5,则 tan等 于
=-sin30°= 1 . 2
[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α
3 , 为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二
2 sin 1 0, 为 第 一 或 第 二 象 限 角.
3
当 为 第 一 象 限 角 时 , cos 1 sin 2 2 2 , tan 2 .
3
4
当 为 第 二 象 限 角 时 ,由 1 知 tan 2 .
4
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
∴cosα=±
1 sin2=±
α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α2 .
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
【典例2】已知是第三象限角,且
f
(
)
sin(
)cos(2
)tan
3
2
.
cot( )sin( )
1化简f ; 2若coscos32 15,求f 的值; 3若1860,求f 的值.
[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理 选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负 担较轻.
2
时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
B. 1 2
C.1
D. 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 2
答案:C
,故选C.
2.若sin4,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A.4 B.3
3
4
C.3 4
D.4 3
sin(2 )cos(4 )tan(3 )
[解]1f
2
2
2
cot(2 )sin(2 )
2
2
sin cos cot cos. (cot)sin
2 cos32cos(32)sin,sin1 5,
cos 5212 6,f()2 6.
55
5
(3)∵-1860°=-21×90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21×90°+30°)
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
m
1 m,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值 ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正 弦(
2
余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号.
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k· ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角
解析: 为第二象限角,
cos
1 sin2
1
4 5
2
3, 5
tan
sin cos
4 5
5 3
4 3
.
答案:A
3.已知sin 3
13,则cos6
的值为
A.1
B.1
3
3
C.2 3 D.2 3
3
3
解析 :
6
2
3
,
cos
6
cos
2
3
sin
3
1 3
.
答案:B
(3)公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.
(5)公式五
sin 2 cos,cos 2 sin .
(6)公式六
sin 2 cos,cos 2 sin .
A.1 B.2 C.1 D.2
2
2
解析:
cos2sin sin2cos2 1,
5, sin2(
52sin)2 1,
sin
2 5,
5 tan
2.
cos
5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.