山东省泰安市2015届高三上学期期末考试数学(文)试题及答案

数 学 试 题（文科）
2015.1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4,2,3,6U M N ===，则()u C M N ⋃等于 A.{}1,2,3 B. {}5
C.{}1,3,4
D. {}2
2.已知a R ∈，则“2
a a <”是“1a <”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是 A.8 B.16 C.32
D.64
4.已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥：命题001
:,22
x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是 A.p 是假命题
B.q 是真命题
C.()p q ∧⌝是真命题
D.()p q ⌝∧是真命题
5.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒
B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥
C. ,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒
D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥
6.若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值为
A. 52
-
B.0
C.
53
D.
52
7.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪
=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是
A. 1y x
=-
B. 22y x =+
C. 33y x =-
D. 1log e
y x =
8.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π
个单位
得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫
⎪⎝⎭
在，上单调递减
B. ()344g x ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
在，上单调递减 C. ()02g x π⎛⎫ ⎪⎝⎭
在，上单调递增
D. ()344g x ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
在，上单调递增 9.设函数()f x 的零点为()1,422x x g x x =+-的零点为2x ，若()120.25x x f x -≤，则可以是 A. ()21f x x =-
B. ()24x f x =-
C. ()()ln 1f x x =+
D. ()82f x x =-
10.设函数()220,
,0,
x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩， 若()()2f f t ≤，则实数t 的取值范围是
A. (
-∞
B. )
+∞
C. (].2-∞-
D. [)2.-+∞
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知向量(
)()()
3,1,0,1,,3.2m n k t m n k =
=-=-若与共线，则t= ▲ .
12.设α为锐角，若4cos sin 6512π
παα⎛
⎫
⎛⎫+
=-=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则 ▲ . 13.1
11254
g
g -= ▲ . 14.若椭圆22
221x y a b
+=的焦点
在x 轴上，过点()2,1作圆224x y +
=的切线，切点分别
为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆
方程为 ▲ .
15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.） 16.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2.c A b = （I ）求角C 的大小；
（II ）若ABC ∆的面积2S b ==，求sin A 的值.
17.（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC=BC ，D
为AB 的中点，且11AB AC ⊥ （I ）11AB A D ⊥；
（II ）证明：1//BC 平面1.ACD
18.（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：
35915,30.S a a =+=
（I ）求n n a S 及；
（II ）数列{}n b 满足()()2n n b S n n N +-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:2n T <.
19.（本小题满分12分）
某公司生产的商品A 每件售价为5元时，年销售10万件，
（I ）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？
（II ）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入
()212x x +万元作为技改费用，投入4
x
万元作为宣传费用。

试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入
等于原销售收入与总投入之和？
20.（本小题满分13分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为12F F 、，直线l 与椭圆相交于A 、B
两点，且满足121,2
OA OB AF AF K K +=⋅=-O 为坐标原点. （I ）求椭圆的方程;
（II ）证明：OAB ∆的面积为定值.
21.（本小题满分14分） 设函数()()11
ln .22f x m x x m R x
=-+∈. （I ）当5
4
m =
时，求()f x 的极值； （II ）设A 、B 是曲线()y f x =上的两个不同点，且曲线在A 、B 两点处的切线均与x 轴平行，直线AB 的斜率为k ，是否存在m ，使得1?m k -=若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.。