山东省泰安市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2019-2020学年山东省泰安市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)
山东省泰安市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．1203．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a 的最小值．17．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，EF ∥AD ，FA ⊥面ABCD ，AB=AF=EF=1，AD=2，AC 交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF ∥面ECD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣A 的大小．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 21．已知函数f （x ）=lnx+ax 在点（t ，f （t ））处切线方程为y=2x ﹣1 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若，证明：当x ＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得：．2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ，根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ， ∵C U A={4，6，7，8}， ∴（C U A ）∩B={4，6}． 故选B ．2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8，由此求出公差，从而能求出a 11+a 12+a 13的值．【解答】解：∵{a n }是公差为正数的等差数列，a 1+a 3=10，且a 1a 3=16， ∴a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根， 解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8， ∴2+2d=8，解得d=3，∴a 11+a 12+a 13=3a 1+33d=3×2+33×3=105． 故选：C ．3．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D 、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确； 故选：A ．5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集． 【解答】解：由于|x ﹣5|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到5、﹣1对应点的距离之和， 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8， 故不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6）， 故选：B ．6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c 代入椭圆，解得y=±．由于△MNF 2为等腰直角三角形，可得=2c ，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c 代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF 2为等腰直角三角形，∴=2c ，即a 2﹣c 2=2ac ，由e=，化为e 2+2e ﹣1=0，0＜e ＜1． 解得e=﹣1+．故选C ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f （x ）的图象可得在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y 轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断． 【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减， 即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f （x ）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A ； 则B 正确． 故选：B ．8．已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f （0）=1﹣log 32＞0，f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，判定即可． 【解答】解：∵实数a ，b 满足2a =3，3b =2， ∴a=log 23＞1，0＜b=log 32＜1， ∵函数f （x ）=a x +x ﹣b ，∴f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增， ∵f （0）=1﹣log 32＞0f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0）， 故选：B ．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故 T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ﹣4 ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f （x ）=x 2+2x ，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x ≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和． 【解答】解：由题意可得f （x ）=x*2=x 2+2x ， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1， 函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到， 而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y 轴对称， 故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4， 也关于直线x=﹣1对称，不妨设x 1与x 2对称，x 3与x 4对称， 必有x 1+x 2=﹣2，x 3+x 4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A ＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0， =0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos ＜＞===，∴二面角B ﹣EC ﹣A 的大小为．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；再由n 换为n+1，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n ；（Ⅱ）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）， 由题意可得a 1+a 1q=6，a 1+a 1q+a 1q 2+a 1q 3=30， 解得a 1=q=2（负的舍去）， 可得a n =a 1q n ﹣1=2n ； 由b n •b n+1=a n =2n ，b 1=1， 可得b 2=2，即有b n+1•b n+2=a n =2n+1，可得=2，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n =；（Ⅱ）当n 为偶数时，前n 项和为T n =（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n ﹣3；当n 为奇数时，前n 项和为T n =T n ﹣1+=3•（）n ﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n =．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC 地块的面积；（Ⅱ）设出点D 为（x ，x 2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为﹣x2=×（8+4）×2﹣=；S梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，a 2﹣b 2=c 2， 解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1）， 由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交， 即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF的方程为：y=（x﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x ﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f （x ）=lnx+x ，要证当x ＞1时，，即证lnx ＞k （1﹣）﹣1（x ＞1）， 即为xlnx+x ﹣k （x ﹣3）＞0，可令g （x ）=xlnx+x ﹣k （x ﹣3），g ′（x ）=2+lnx ﹣k ，由，x ＞1，可得lnx ＞0，2﹣k ≥0，即有g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）递增， 可得g （x ）＞g （1）=1+2k ≥0，故当x ＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得：．由e f （x0+1）﹣2x0﹣1+x 02=e ln （x0+1）﹣x0+x 02=（x 0+1）•e ﹣x0+x 02．即对于b ∈（0，1），存在正数x 0，使得（x 0+1）•e ﹣x0+x 02﹣1＜0， 从而存在正数x 0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H （x ）=（x+1）•e ﹣x +x 2﹣1，H ′（x ）=e ﹣x ﹣（x+1）•e ﹣x +bx=x （b ﹣e ﹣x ）， 令H ′（x ）＞0，解得x ＞﹣lnb ，令H ′（x ）＜0，解得0＜x ＜﹣lnb ， 则x=﹣lnb 为函数H （x ）的极小值点，即为最小值点．故H （x ）的最小值为H （﹣lnb ）=（﹣lnb+1）e lnb +ln 2b ﹣1=ln 2b ﹣blnb+b ﹣1，再令G （x ）=ln 2x ﹣xlnx+x ﹣1，（0＜x ＜1），G ′（x ）=（ln 2x+2lnx ）﹣（1+lnx ）+1=ln 2x ＞0，则G （x ）在（0，1）递增，可得G （x ）＜G （1）=0，则H （﹣lnb ）＜0．故存在正数x 0=﹣lnb ，使得．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
(2021年整理)高二文科数学期末复习导数练习题
高二文科数学期末复习导数练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二文科数学期末复习导数练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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导数专练答案一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①（3x ）′＝3xlog 3e ；②（log 2x ）′＝1x ·ln 2；③(e x )′＝e x ；④错误!′＝x ；⑤（x ·e x ）′＝e x ＋1。
A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①(3x ）′＝3x ln 3；②（log 2x ）′＝错误!；③（e x )′＝e x ；④错误!′＝－错误!＝－错误!；⑤（x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1），故选B 。
2。
曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3．函数()f x 的定义域为(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2012·辽宁高考）函数y ＝错误!x 2－ln x 的单调递减区间为( ）A ．（－1，1］B ．（0，1]C ．［1,＋∞）D ．(0，＋∞)【解析】 由题意知，函数的定义域为（0,＋∞）,又由y ′＝x －错误!≤0，解得0〈x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．【答案】 B5。
2019-2020学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题
2019-2020学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0200,x x R ex ∃∈>C ．0200,x x R e x ∃∈≤D ．2,x x R e x ∀∈<【答案】C【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是：“0x R ∃∈，使020x ex ≤”，故选C. 【点睛】该题考查的是有关全称命题的否定的问题，涉及到的知识点有全称命题的否定是特称命题，属于简单题目. 2．若双曲线的离心率为2，则其实轴长为 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由双曲线方程求得，根据离心率和列方程组，解方程组求得的值，由此得到实轴的值. 【详解】 双曲线方程知，由离心率得，结合，解得，故实轴长.故选D.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，包括离心率、实轴等知识，考查了方程的思想.在题目给定的条件中，双曲线的方程是未知，给定；离心率的值给定，相当于给定的值；再结合双曲线中固有的条件，相当于两个未知数，两个方程以及，解方程可求得的值.值得注意的是，实轴长是而不是.3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，3S ，2S 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ）A ．12-B ．12C ．12-或0 D ．12+ 【答案】A【解析】分别写出1S ，3S ，2S 用1,a q 表示出来，根据1S ，3S ，2S 成等差数列化简求得q . 【详解】因为{}n a 是等比数列所以11S a =，23111S a a q a q =++，121a S a q =+由1S ，3S ，2S 成等差数列，即3122S S S =+ 即21111112()a a q a q a a a q ++=++ 即22(1)2q q q ++=+，解得：12q =-或0q =（舍） 故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的综合应用，根据题意代入式子进行计算即可，属于简单题目.4．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A 【解析】【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =a ∴=c e a ==Q 1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.【考点】椭圆方程及性质5．已知向量–23()1a =-r ，，，4)0(2b =r ，，，–46()2c =-r，，，则下列结论正确的是（ ） A ．//a b r r ，//r ra c B ．//ab r r ，ac ⊥r rC ．//a b r r ，//b c r rD ．a b ⊥r r，//r r a c【答案】D【解析】由已知22410a b ⋅=-⨯+⨯=r r，可知a r ，b r 垂直。
山东省2020-2021学年上学期高二语文期末试卷精选汇编：扩展语句、语段压缩及其他专题
扩展语句、语段压缩专题山东省烟台市2020-2021学年上学期高二期末考试语文试题21.请根据下面这段科普短文，给暗物质下一个简要定义，要求保留关键信息，句子简洁流畅，不超过60个字。
（5分）暗物质不发光、不发出电磁波、不参与电磁相互作用，它无法用任何光学或电磁观测设备直接“看”到。
科学家测算，暗物质粒子每秒的运动速度/ 220千米，是56式半自动步枪子弹出膛速度的300倍。
暗物质和它自己以及其他物质不发生除了引力以外的作用，促使宇宙膨胀时在自身引力下形成特定结构的首要物质类型。
暗物质播下了宇宙丝状结种子，随后可见物质才聚集在一些由暗物质建立起来的引力点上，并最终形成了星系。
22.阅读下列材料，根据要求完成题目。
（4分）近日，中国外交部发言人赵立坚主持例行记者会，对加拿大常驻联合国大使所言“中国在新疆的做法毫无疑问符合《灭绝种族公约》对种族灭绝的定义”进行了有力回击。
赵立坚先用具体数字进行说明：2010年至2018年，新疆维吾尔族人口从1017万上升至1272万，增加255万，达汉族人口增幅的12.5倍，更是加拿大人口增幅的约18倍。
接着他提问对方：“我想试问这位加拿大大使，如果他非要找出谁最符合种族灭绝的定义，恐怕受迫害的不是维吾尔族，而是加拿大人民吧？”赵立坚以子之矛攻子之盾，巧妙彰显了外交辞令的逻辑力量。
请你根据下列提示，说明其辩论的逻辑思维过程。
(1)如果新疆存在针对维吾尔族的种族灭绝行为，①，而事实上②，因此，认为新疆存在种族灭绝行为的说法是错误的。
(2)新疆维吾尔族的人口增幅是加拿大人口增幅的18倍，如果说新疆存在种族灭绝的行为，③；④，那么，认为新疆存在种族灭绝行为的说法也是错误的。
21.（5分）暗物质是一种具有难以观测、（1分）速度快、（1分）只受引力作用等特点的（1分）在为星系形成搭建宇宙特定（或：丝状）结构时起首要作用的（1分）物质类型。
（1分）22．（4分）①那么维吾尔族的人口必然减少（1分）②维吾尔族人口是增加的（或：维吾尔族人口增幅是汉族人口增幅的12.5倍／维吾尔族人口增幅远远高于汉族人口增幅）(1 分)③那么加拿大更存在种族灭绝行为（1分）④如果加拿大不承认自己存在种族灭绝行为（1分）（意思答对即可。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。
山东省泰安市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
高二年级考试 数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A. 2,x x R e x ∀∈≤ B. 0200,x x R ex ∃∈>C. 0200,x x R e x ∃∈≤D. 2,x x R e x ∀∈<【答案】C 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“2,xx R e x ∀∈>”的否定是：“0x R ∃∈，使020x e x ≤”，故选C.【点睛】该题考查的是有关全称命题的否定的问题，涉及到的知识点有全称命题的否定是特称命题，属于简单题目.2.若双曲线222x y 1(a 0)a-=>的离心率为2，则其实轴长为( )A.B. C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程求得b ，根据离心率和222c a b =+列方程组，解方程组求得,a c 的值，由此得到实轴2a 的值.【详解】双曲线方程知1b =，由离心率得2c a =，结合222c a b =+，解得a c ==，故实轴长2a =.故选D. 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，包括离心率、实轴等知识，考查了方程的思想.在题目给定的条件中，双曲线的方程a 是未知，b 给定；离心率的值给定，相当于给定ca的值；再结合双曲线中固有的条件222c a b =+，相当于两个未知数,a c ，两个方程ca以及222c a b =+，解方程可求得,a c 的值.值得注意的是，实轴长是2a 而不是a .3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，3S ，2S 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ）A. 12-B.12C. 12-或0 D.【答案】A 【解析】 【分析】分别写出1S ，3S ，2S 用1,a q 表示出来，根据1S ，3S ，2S 成等差数列化简求得q . 【详解】因为{}n a 是等比数列所以11S a =，23111S a a q a q =++，121a S a q =+由1S ，3S ，2S 成等差数列，即3122S S S =+ 即21111112()a a q a q a a a q ++=++ 即22(1)2q q q ++=+，解得：12q =-或0q =（舍） 故选：A【点睛】此题考查等差数列和等比数列的综合应用，根据题意代入式子进行计算即可，属于简单题目.4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A. 22132x y +=B. 2213x y +=C. 221128x y +=D. 221124x y +=【答案】A 【解析】【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =,a ∴=3c e a ==,1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.考点：椭圆方程及性质5.已知向量(?231)a =-，，，(204)b =，，，(?462)c =-，，，则下列结论正确的是（ ） A. //a b ，//a c B. //a b ，a c ⊥ C. //a b ，//b c D. a b ⊥，//a c【答案】D 【解析】 【分析】由已知22410a b ⋅=-⨯+⨯=，可知a ，b 垂直。
2019-2020学年山东省泰安市高三上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年山东省泰安市高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（）A ．{|14}x x <B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}2．已知复数z 满足11ii z+=-，则z =（）A ．B ．2C D ．13．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若AB OC∥，则实数m 的值为（）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-4．函数()3ln xf x x=的部分图象是（）A ．B ．C ．D ．5．“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若()3log 21a b +=+，则2+a b 的最小值为（）A ．6B ．83C ．3D ．1637．已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A ．B ．53C ．52D8．已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π二、多选题9．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c d a b->C ．若,,a b c d >>则a d b c ->-D ．若,0,a b c d >>>则a b d c>10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE 的中点，则（）A ．12BC AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+ C ．2133BF AB AD=-+D ．1263CF AB AD=- 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<三、填空题13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______．14．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______．16．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．17．在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭ ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<且2sin 2θ=，求()f θ的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．四、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在三棱锥P —ABC 中，△PAC 为等腰直角三角形，90,APC ABC ∠=∆ 为正三角形，D 为A 的中点，AC =2．(1)证明：PB ⊥AC ；(2)若三棱锥P ABC -的体积为3，求二面角A —PC —B 的余弦值20．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠= ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．22．已知函数()xf x e ax =-．(1)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a ≤；(2)若函数()()212h x f x x =-有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()()122h x h x +>．数学试题参考答案1-8DDCAA CCD 9-12BC ACD ABC BCD13.4；14．1.5；15．8p =13；16．(],21e -∞-；17．选条件①275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n nT b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-，又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得6112m <<+，又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，∴存在2,12m k ==满足题意．19．（1）证：PAC ∆Q 为等腰直角三角形，D 为中点，PD AC ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，D 为中点，BD AC ∴⊥，又PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，PB AC ∴⊥（2）解：设三棱锥P ABC -的高为h，sin 60BD BC == ，1132P ABC V AC BD h -∴=⨯⨯⨯⨯33h=3=，1h ∴=，又11,2PD AC ==PD ∴⊥平面ABC ，如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1P，()DB ∴= ，()1,0,1CP =，()CB = ，设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =，得331y z ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴1,,13n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，又DB 是平面PAC的一个法向量，∴cos ,7DB n DB DB n n⋅<>==-⋅，由图可知二面角A PC B --的平面角为锐角，∴二面角A PC B --的余弦值为77．20．解：在△BDE 中，∠BED =34πα-，由正弦定理得13sin sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，在△DCF 中，3,4FDC DFC παα∠=-∠=，由正弦定理得13sin sin 4CF παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，11sin sin2424BDE DCF S S BE BD CF CD ππ∆∆∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯()24BF CF =+3sin sin 434sin sin 4πααπαα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos cos sin 2sin 44334sin sin cos cos sin 44ππαααππααα⎛⎫- ⎪=+ ⎪⎪-⎝⎭22sin 4cos sin ααα⎛⎫=++⎝2==1sin 2cos 222sin 2cos 21αααα-+=-+1112sin 2cos 21αα⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭112224πα=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆∴=-+112224πα=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴AEDF 为四边形区域，,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，32,444πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，2sin 2,142πα⎛⎤⎛⎫∴-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()12142S α∴<≤-，∴花卉种植面积()S α取值范围是1,142⎛- ⎝⎦．21．解：（1）由2220e -+=解得2e =或e =（舍去），∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a --==-a ∴=，1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=，∴12122286,2121k x x x x k k +==++，()()22=84621k k --⨯⨯+ =216240k ->232k ∴>，∴()121224421y y k x x k -+=+-=+，()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪-⎝⎭，12123411BOM BCN x x S S y y ∴=-- =()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S ∆∴ 为定值12．22．解：（1）()()0xf x e a a '=->，令()0f x '=，解得ln x a =，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，()()min ln ln f x f a a a a ∴==-，()()ln 0g a a a a a ∴=->，令()()ln 0g x x x x x =->，则()ln g x x '=-，令()0g x '=，解得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()()max 11g x g ∴==，()1g x ∴≤，∴当0a >时，()1g a ≤；（2）()212xh x e ax x =--，()x h x e a x '=--，令()x x e a x ϕ=--，则()1xx e ϕ'=-，令()0x ϕ'=，解得0x =，当0x >时，()0x ϕ'>，当0x <时，()0x ϕ'<，()()min 01x a ϕϕ∴==-，又函数()h x 有两个极值点，则10a -<，1a ∴>，且120x x <<，∴当()1x x ∈-∞，时，()h x 单调递增，当()10x x ∈，时，()h x 单调递减，∴当()0x ∈-∞，时，()()1h x h x ≤，又()2,0x -∈-∞，()()21h x h x ∴-≤，()()()()22212222x x h x h x h x h x e e x -∴+≥-+=+-，令()()20x x m x e e x x -=+-≥，则()12x xm x e x e '=--，令()()n x m x '=，则()120x x n x e e '=+-≥，()n x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()()00m x n x n '∴=≥=，()m x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()02m x m ∴≥=，20x > ，()222222x x m x e e x -∴=+->，即()()222h x h x -+>，()()122h x h x ∴+>．。
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山东省泰安市2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a b >，则下列结论正确的是（ ）A >．a c b c +>+ C ．ac bc > D ．22a b >2.一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（ ）A ．假命题与真命题的个数相同B ．真命题的个数是奇数C ．真命题的个数是偶数D ．假命题的个数是奇数3.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线为3y x =±的是（ ）A ．2219y x -= B ．2219x y -= C.2219y x -= D ．2219x y -=4.函数232ln y x x =-的单调增区间为（ ）A ．(-∞⋃B ．()⋃+∞C.(0,3 D ．()3+∞5.已知数列{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则公比q 等于（ ）A ．-2B ．12- C.2 D ．126.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知22,cos 3a c A ===，则b 等于（）A ．3B ．7.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A．12C.1 D8.已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ） A．2或2 B．2．29.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a 等于（ ）A ．172B ．192C.10 D ．12 10.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为75,30︒︒，此时气球距地面的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A．1)m B．1)mC. 1)m D．1)m11.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()(),20,2-∞-⋃B ．()()2,02,-⋃+∞C.()(),22,0-∞-⋃- D ．()()0,22,⋃+∞12.已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21||||PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则命题p 的否定为 ．14.经过曲线()3221f x x x =-+上点(1,(1))f 处的切线方程为 ．15.设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = ．16.若两个正实数,x y 满足211x y+=，则2x y +的最小值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题:p 实数x 满足2x ≤，或6x >，命题:q 实数x 满足22320x ax a -+<（其中0a >） （Ⅰ）若2a =，且p q ⌝∧为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若q 是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且,26A a π==. （Ⅰ）若4B π=，求b 的值；（Ⅱ）若ABC ∆，求ABC ∆的周长.19.已知等差数列{}n a 中，公差60,27d S ≠=，且358,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，则12n T <. 20.某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？21.已知函数()ln f x x mx =-（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于2m -时，求m 的取值范围.22.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，已知点A 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点1F 到抛物线准线的距离是2（Ⅰ）求椭圆C 的方程和抛物线E 的方程；（Ⅱ）若B 是抛物线E 上的一点且在第一象限，满足||4AB =，直线l 交椭圆于,M N 两点，且//OB MN ，当BMN ∆的面积取得最大值时，求直线l 的方程.山东省泰安市2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:AADBC 11、12：AC二、填空题13.x R ∀∈，210x x -+≥ 14.10x y +-= 15.-8 16.8 三、解答题17.解：（Ⅰ）当2a = 命题:24q x <<∵命题:2p x ≤或6x > ∴:26p x ⌝<≤又p q ⌝∧为真命题，∴x 满足2624x x <≤⎧⎨<<⎩∴24x << ∴实数x 的取值范围{|24}x x <<（Ⅱ）由题意得：命题:2q a x a <<∵q 是p ⌝的充分不必要条件∴226a a ≥⎧⎨≤⎩∴23a ≤≤ ∴实数a 的取值范围{|23}a a ≤≤18.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由题意知,,264A B a ππ===， 由正弦定理得：2sin sin 64b ππ=∴2sin sin 4sin sin 6a B b A ππ===.（Ⅱ）∵11sin sin 226ABC S bc A bc π∆===∴bc =由余弦定理得22222cos 6b c bc π=+-∴24()(2b c bc =+-∴2b c +=+∴ABC ∆的周长为4+19.（Ⅰ）由题意得12111656272(4)(2)(7)a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩ 整理得112592a d a d+=⎧⎨=⎩∴121a d =⎧⎨=⎩∴2(1)1n a n d n =+-=+ （Ⅱ）∵11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++ ∴12231111n n n T a a a a a a +=+++ 111111233412n n =-+-++-++111222n =-<+ 20.解：设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z所以x 和y 需满足：070494860360x y x y xy ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩可行域如图 目标函数为160252z x y =+.把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+ 得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z 随z 变化的一组平行直线.在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值.所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆成本最小，最低成本1304元.21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ()1f x m x'=-若0m ≤，则()0f x '>∴()f x 在()0,+∞上单调递增若0m > 令()0f x '>，则10x m <<令()0f x '<，则1x m >∴()f x 在1(0,)m 上单调递增.在1(,)m+∞上单调递减. 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增.当0m >时，()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1(,)m+∞上单调递减. （2）由（1）知当0m ≤时，()f x 在()0,+∞上无最大值；当0m >时，()f x 在1x m=处取得最大值. 最大值为111()ln ln 1f m m m m m=-⨯=-- 又1()2f m m >-等价于ln 10m m +-< 令()ln 1g m m m =+-，则()g m 在()0,+∞上单调递增.()10g =. ∴当01m <<时，()0g m <；当1m >时，()0g m >.∴m 的取值范围是()0,122.解：（Ⅰ）由题意可列方程组：222c ap ap c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2,4a c p ===，所以2222b a c =-=. 从而椭圆C 的方程为22142x y +=，抛物线E 的方程为28y x =. （Ⅱ）可设00(,)B x y ，抛物线E 的准线方程为2x =-，由抛物线的定义得：00||(2)24AB x x =--=+=，解得02x =，所以200816y x ==，因为点B 在第一象限，所以04y =.从而(2,4)B .由于//OB MN ，所以2MN OB K K ==， l 的方程可设为：2y x m =+，即：20x y m -+=. 设1122(,),(,)M x y N x y ， 联立方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2298240x mx m ++-=， 可得22(8)36(24)0m m ∆=-->，整理为218m <，解得：m -<∴1289m x x +=-，212249m x x -=.所以||MN ===点(2,4)B 到直线l的距离d ==所以11||22BMN S MN d ∆====当29m =时，即：3m =±时BMN ∆的面积取得最大值. 此时l 的方程为230x y -+=或230x y --=.。