人教版八年级因式分解经典例题详解
人教版八年级上册《因式分解》例题与讲解
14.3 因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b23．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】 把下列多项式分解因式：(1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2；(3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2.5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】 把下列多项式分解因式：(1) x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9；(3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy .6. 十字相乘法如果多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，也不能分组分解时，可采用此法。
人教版 八年级数学 因式分解讲义 (含解析)
第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。
在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。
中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
人教版八年级因式分解经典例题详解
初中因式分解的（例题详解）一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abcc b a 3333-++四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
因式分解经典题及解析
因式分解经典题及解析因式分解拔高题1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x ﹣3）+4．12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________，由②到③这一步的根据是_________；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．13．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．答案1．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．考点：因式分解-运用公式法．专题：阅读型．分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．解答：解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，=（x2+2y2）2﹣4x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，=（x﹣a）2﹣（a+b）2，=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），=（x+b）（x﹣2a﹣b）．点本题考查了添项法因式分解，难度比较大．评：2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x ﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：阅读型．分析：（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．（3）按照例题的分解方法进行分解即可．解答：解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（3）设x2﹣2x=y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x2﹣2x+1）2，=（x﹣1）4．点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．考点：因式分解-十字相乘法等．分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a 是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况．解答：解：x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．考点：因式分解的应用．分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论．解答：解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2﹣（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除．点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．考点：因式分解的意义．分析：由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x=时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案．解答：解：∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，当x=时多项式的值为0，即3×=0，∴2+m=0，∴m=﹣2；∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=（x+1）（3x﹣2）；故答案为：m=﹣2，（x+1）（3x﹣2）．点评：本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．考点：因式分解-运用公式法．专题开放型．：分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可．解答：解：k=±10，假设k=10，则有（a2+10a+25）﹣b2=（a+5）2﹣b2=（a+5+b）（a+5﹣b）．点评：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案．解答：解：﹣2x2﹣8x﹣10=﹣2（x2+4x+5）=﹣2（x2+4x+22﹣22+5）=﹣2[（x+2）2+1]=﹣2（x+2）2﹣2因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么﹣2（x+2）2﹣2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=﹣2时，原式有最大值﹣2．点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用．注意解此题的关键是将原代数式准确配方．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：开放型．分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．解答：解：由题意知，可以理解为：甲：这是一个关于x三次三项式；乙：三次项系数为1，即三次项为x3；丙：这个多项式的各项有公因式x；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．故多项式可以为x（x﹣1）2=x（x2﹣2x+1）=x3﹣2x2+x．点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式．答案不唯一．9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．考点：因式分解的应用．分此题可以先将两个分解过的式子还原，再根析：据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可．解答：解：2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18，2（x ﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x2﹣12x+18；再对其进行因式分解：2x2﹣12x+18=2（x﹣3）2．点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待．10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x ﹣3）+4．考点：因式分解-十字相乘法等．专题：换元法．分析：（1）根据x2+6x+9=（x+3）2，进而分解因式得出答案即可；（2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可．解答：解：（1）这位同学的因式分解不彻底，原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2=（x+3）4．故答案为：（x+3）4；（2）设x2+4x=y，则原式=（y+1）（y﹣3）+4 =y2﹣2y+1=（y﹣1）2=（x2+4x﹣1）2．点评：此题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键．11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幂的乘法法则；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是（1+x）2007；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．考点：因式分解-提公因式法．分析：（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；（2）首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案．解答：解：（1）m3﹣mn2=m（m2﹣n2）=m（m﹣n）（m+n），（2）①提公因式法，同底数幂的乘法法则；②根据①中可发现结论：（1+x）2007；③（1+x）n+1．点评：此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．12．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．因式分解-十字相乘法等．考点：专阅读型．题：分析：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）．解答：解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4）；（2）x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；（3）x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；（4）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，是x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，应识记：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．。
人教版八年级数学因式分解计算题
人教版八年级数学因式分解计算题一、因式分解计算题20题及解析。
1. 题目：分解因式x^2 - 9- 解析：这是一个平方差的形式，x^2-9 = x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
2. 题目：分解因式4x^2-16- 解析：先提取公因式4，得到4(x^2-4)，而x^2-4又是平方差形式，x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以4x^2-16 = 4(x + 2)(x-2)。
3. 题目：分解因式x^3-2x^2+x- 解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以x^3-2x^2+x=x(x - 1)^2。
4. 题目：分解因式9x^2-y^2- 解析：这是平方差形式，9x^2-y^2=(3x + y)(3x-y)。
5. 题目：分解因式x^2y - 4y- 解析：先提取公因式y，得到y(x^2-4)，x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以x^2y-4y=y(x + 2)(x-2)。
6. 题目：分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以2x^2-8 = 2(x + 2)(x-2)。
7. 题目：分解因式x^4-1- 解析：这是平方差形式，x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)，而x^2-1=(x + 1)(x-1)，所以x^4-1=(x^2+1)(x + 1)(x-1)。
8. 题目：分解因式a^3-a- 解析：先提取公因式a，得到a(a^2-1)，a^2-1=(a + 1)(a-1)，所以a^3-a=a(a + 1)(a-1)。
9. 题目：分解因式16x^2-25y^2- 解析：这是平方差形式，16x^2-25y^2=(4x+5y)(4x - 5y)。
10. 题目：分解因式x^3+2x^2+x- 解析：先提取公因式x，得到x(x^2+2x + 1)，x^2+2x + 1=(x + 1)^2，所以x^3+2x^2+x=x(x + 1)^2。
人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类讲义
因式分解大归类知识点：因式分解：【定义】 把一个单项式或多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。
整式乘法与因式分解的对比如：x x x x +=+2)1(， 称这种式子变形为整式的 乘法 。
反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。
一、提公因式法例1：把c ab b a 323128+分解因式 （温馨提示：方法是先“找”，再“提”）“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是 ；（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是 （指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是 ，所以，238b a 与c ab 312的公因式就是 。
解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式 （分析：“找”公因式，是 ）针对性练习：1、找下列各式的公因式（1）n m 2与3mn 公因式是 （2）102x 与x 15的公因式是（3） 23x 与212xy 的公因式是 （4）bc a ab c ab 223201612+-的公因式是2、把下列各式分解因式（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2293xy x -（7）22912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()2222b a q b a p +-+（11）()()712742+-+x x a（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2二、利用“平方差公式”进行因式分解整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ， ，这个变形过程是 因式分解 。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
八年级因式分解经典题型
八年级因式分解经典题型一、因式分解的概念与方法回顾。
1. 因式分解的定义。
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解的方法。
- 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
例如：ma + mb+mc=m(a + b + c)。
- 公式法。
- 平方差公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 完全平方公式：a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。
二、经典题型及解析。
1. 分解因式x^3-2x^2+x- 解析：首先观察多项式各项都有公因式x，先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)。
然后对括号内的式子x^2-2x + 1，可以发现它是一个完全平方形式，即(x -1)^2。
所以原式分解因式的结果为x(x - 1)^2。
2. 分解因式9x^2-16y^2- 解析：这个式子符合平方差公式a^2-b^2的形式，其中a = 3x，b=4y。
根据平方差公式可得(3x + 4y)(3x-4y)。
3. 分解因式4x^2+12xy+9y^2- 解析：观察式子，它符合完全平方公式a^2+2ab + b^2的形式，这里a =2x，b = 3y。
所以原式分解因式的结果为(2x+3y)^2。
4. 分解因式x^4-1- 解析：可先利用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x^2，b = 1，得到(x^2+1)(x^2-1)。
而x^2-1还可以继续利用平方差公式分解为(x + 1)(x - 1)，所以最终结果为(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。
5. 分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，然后x^2-4可以利用平方差公式分解为(x + 2)(x - 2)，所以原式分解因式的结果为2(x + 2)(x - 2)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中因式分解的（例题详解）
一、提公因式法.
如多项式),(c b a m cm bm am ++=++
其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
))((,
)(2),
)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-
写出结果．
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-2
2
例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-
（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a
（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+
（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例6、分解因式：672+-x x
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式：101132+-x x
练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x
（3）317102+-x x （4）101162++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：221288b ab a --
练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、22672y xy x +- 例10、232
2+-xy y x
练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a
综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a
（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m
（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222
五、主元法.
例11、分解因式：2910322-++--y x y xy x
练习11、分解因式(1)56422-++-y x y x (2)67222-+--+y x y xy x
(3)613622-++-+y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a
六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++2
2型多项式的分解因式。
条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =
（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221
即： 1a 1c 1f
2a 2c 2f B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221
则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f c x a f y c x a ++++
例12、分解因式（1）291032
2-++--y x y xy x
（2）613622-++-+y x y xy x
练习12、分解因式（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---
七、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++
（2）90)384)(23(22+++++x x x x （3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a
例14、分解因式（1）262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
练习14、（1）673676234+--+x x x x （2）)(2122234x x x x x +++++
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）432
3+-x x
练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x
（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++
（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++
九、待定系数法。
例16、分解因式61362
2-++-+y x y xy x
例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。
练习17、（1）分解因式2910322-++--y x y xy x
（2）分解因式6752322+++++y x y xy x
（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。
（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。