向量产生和发展历程
2.1平面向量的实际背景及基本概念[精选文档]
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从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构
并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间
的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性
的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈
起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点
来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的
F E
例2：在4 5方格纸中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？ (AB除外）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
2024/3/30
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1）AD = BC ； （2）A表示出来，并把向量的几何表示
用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了
利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了
数学．
2024/3/30
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
2024/3/30
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
a
b
O
A
C
c
B
思考：共线向量一定在一条直线上吗？
2024/3/30
巩固练习：判断下列结论是否正确。
(1)平行向量方向一定相同；
(×)
(2)不相等向量一定不平行；
(×)
(3)与零向量相等的向量是零向量；
矢量发展史
对于这个问题，实际上我们不可以直接采用矢量的运算来对应刚体转动的复合，而可采用线性变换的运算来解决。例如，设以刚体绕x轴转动角度为α，则对于刚体上任意一点，有
哈密尔顿试图将复数的概念推广到三维空间时，意外地发现了四元数。他提出的四元数可表示为 ，这也是第一个牺牲了乘法交换律这一性质的数学对象。在物理学应用上，四元数与电磁理论的结合是非常微妙的，因为电磁场非常自然地对应于四维时空。
哈密尔顿之后，麦克斯韦（1831~1879）在他1861年论文《论物理力线》中提出了法拉第电磁感应定律分量形式的微分方程，在1864年论文《电磁场的动力学理论》中第三节“电磁场一般方程”中包括了麦克斯韦方程组的八个方程，包括了大量的矢量分析。在此后包括洛伦兹提出的洛伦兹力公式及其建立的经典电动力学的假设证明，在四元数中乘法必须包括点乘和叉乘，即数量积和矢量积。
二、
矢量最初起源于物理学应用。
约公元前350年，伟大的古希腊哲学家、科学家的亚里士多德（前384~前322）就知道了力可以表示为矢量，但英国科学家牛顿（1642年12月25日~1727年3月31日）被认为是最先使用有向线段来表示矢量的。
矢量最基本的属性是大小、方向和起点，而牛顿将力的大小、方向与作用点概念进行形象化、几何化的处理，使用一条简单的带有箭头的线段表示表示力，这样既可以通过线段长度表示大小，又可以通过箭头指向表示方向，还可以用端点位置表示力的作用点。在牛顿所处的年代，是没有矢量这个概念的数学定义的，而他所做的仅仅是对“力”的概念的直观表现。然而，我认为，这种方法及其智慧，具有相当的优越性。
向量的发展史
向量的发展史惠民县第一中学罗宝山2011年7月19日10:14向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
向量思想
向 量 思 想 在 数 学 解 题 中 的 应 用
向量是高中数学试验教科书中新增的一章内 容。以向量为背景,一些传统的中学数学内容和问 题就有了新的内涵。在数学教学中引导学生积极 探索向量在高中数学中的应用,不仅可深入了解数 学教科书中新增内容和传统内容的内部联系,构造 合理的数学知识结构,而且有利于拓展学生的想象 力,激发创新活力。
莱布尼兹系统框架在没有任何图形的情接表达位置角度和运动新系统能紧跟可见的图形以一种自然的分析的方式通过一个确定的程序同时给出解构造和几何的证明不需要大量的乘法不需要添加令人困惑的太多提出了一个新代数其中几何实体可以用符号来表示并且这些符号可以直接进行运算
数学思想
函数思想 向量思想
在此输入文字标题
-
莱布尼兹系统框架
新系统能紧 跟可见的图形, 以一种自然的、 分析的方式,通 过一个确定的 程序同时给出 解、构造和几 何的证明
在没有任 何图形的情 况下,能直 接表达位置、 角度和运动
不需要大量 的乘法,不需 要添加令人 困惑的太多 的点和线
提出了一个新代数,其中几何 实体可以用符号来表示,并且 这些符号可以直接进行运算。 然而,他没有发现一个能够相 加、减和相乘的几何系统,同 样地,他也没有看到AB和BA能 被看作相异的实体,并且没有 看到-AB的重要意义。
评
价
格拉斯曼的工作
1 AB+BC=AC
2
几何积:线的长度的积乘以它们之间夹角的正弦
3
线性积:一个向量的长度与另一个向量在它上面的垂直投影的代数积
向 量 理 论 复 数 几 何
为了复数便于应用，韦赛尔和阿尔冈分别独 立地建立起复数的几何表示，并为数学家们所接 受和熟悉，于是数学家们认识到复数可以用来表 示和研究平面上的向量。复数的几何表示是向量 理论起源的一条最重要的线索,现代向量理论就 是在这条线索上建立、发展起来的。
向量的三代家世
阅读《向量的三代家世》，梳理向量的发展历程力，作为向量，故而有之。
但作为向量结构，于今方兴。
有大小和方向的量，叫做向量。
仔细研究向量之家世，看到它经历了三代的发展。
打个比方，早先的向量相当于远古的“原始人”，后来的向量是“文明人”，今天的向量可比拟为“现代人”。
第一代向量：力，以平行四边形法则为特征力，是向量的最常见的实例。
大约公元前350年之前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合可用平行四边形法则来得到。
这是向量的第一代。
以后的一千多年中，经过文艺复兴时期，牛顿创立微积分之后的17、18世纪，向量的知识没有什么变化。
伽利略只不过更清楚地叙述了“平行四边形”而已。
这点向量知识，形不成多少有意义的问题，发展不成一个独立的学科，因而数学家没有把向量当做一回事。
中国古代的驷马大车，俄国列宾描绘伏尔加河纤夫的名画，都可以直觉地依照平行四边形法则看到这样的合力。
第二代向量：有“数乘”运算，可以进行力的分解力既然有合成，则必有力的分解。
力的合成相当于向量的加减。
但是，力的分解，只靠加减运算无法完成，必须引入另一个运算：数乘（这里的数只涉及“实数”）。
有了数乘，向量具有了自己的特定数学结构，进入了第二代。
许多向量计算问题要进行向量的分解。
平面上全体向量组成的集合V，如果其上定义了加法和数乘运算，就成了一种新的数学结构，叫做向量空间，也称为线性空间。
第二代向量，不再是孤立地看几个向量的运算，而是形成了一族向量，相当于一个“社会”，彼此利益相连，浑然一体。
如果说第一代向量是远古的“原始人”，那么第二代向量就相当于具有社会性质的“文明人”了。
第三代向量：引入了数量积笛卡尔之梦：由蜘蛛结网的梦建立了平面直角坐标系这一刻画点在平面中具体位置关系的工具，由此创立了解析几何。
数与形互相结合，使得几何学别开生面。
但是，平面直角坐标系中的“点”不能运算，“点”用向量表示之后，就可以运算了，特别是引入“数量积”之后，向量几何好像插上了翅膀，超越了坐标几何。
向量的由来
向量的由来（1）向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.向量的由来（2）向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓的三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学、物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头来表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以把线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．。
向量概念的历史发展
向量概念的历史发展李婷(西安交通大学苏州附中215021)1引言向量理论有三条历史发展线索:力和速度的平行四边形法则的向量理论、与位置几何有关的向量理论及源自复数几何表示的向量理论匚1*早在公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle,384—322DC)即知道两种速度的合速度满足平行四边形法则，数学家海伦(Heron)则给出了该法则的几何证明囚.17世纪,英国数学家牛顿(Newton,1643—1727)在其《自然哲学的数学原理》中进一步将平行四边形法则推广到了力的情形囚.18世纪末，丹麦数学家韦塞尔(Wessel,1745—1818)给出了复数的几何表示以及有向线段的加法与乘法⑷.1806年,瑞士数学家阿尔冈(Argand,1768—1822)发表了复数几何表示的论文囚,后来还创用了向量的符号.1843年,英国数学家哈密尔顿(Hamilton,1805—1865)研究了空间中两点之间的位置关系囚，他提出的“几何差”概念等价于我们今天的向量概念.《普通高中数学课程标准》强调，在引入向量概念时要呈现丰富的实际背景刀.教师想知道的是：向量的实际背景仅仅是物理量的表示吗？为什么向量在物理上被称为矢量呢？教学实践表明，学生在学习向量概念时存在许多困惑,例如：向量是有向线段吗？为什么向量是自由的？物理的与数学的等价的？我们要从向量概念的历史发展过程中寻找问题的答案.那么，向量概念在历史上经历了怎样的演变过程?其实际背景有哪些？向量概念的历史对今日课堂教学有何启示？本文将通过历史考察来回答上述题.2历史上向量概念的定义对60种西方数学或物理学文献进行考察发现，向量概念的定义可分成四类,分别是“基于物理量的定义”“基于有向线段的定义”“基于复数的定义”和“基于平移运动的定义”,其中基于物理量的定义出现的频数最多,其次是有向线段.2.1基于物理量的定义“基于物理量的定义”指的是以力、位移、速度等有方向的物理量为背景而产生的向量定义•这类定义最初的思想可以上溯到亚里士多德,即物理学科中的矢量•在物理情境下,向量有三个关键要素:大小、方向和位置•以力为例,力的刻画必须要有作用点、大小和方向•这类定义又可以分成三.第一类定义相对于物理中的标量给出•例如,英国物理学家亥维赛德(Heaviside,1850—1925)于1889年指出："生活中两种不同的大小,像质量、密度、能量、温度只具有代数意义上的大小，是标量意义上的大小•还有一些具有大小的量，如位、速、加速、、、等有有方向，两者缺一不可,这些都是向量•”闪第二类定义是在物理量的基础上，将向量定义为表示物理量的有向线段•例如,Palmer将向量定义为“表示物理矢量的有向线段”囱•此类定义强调有向线段是力的几何表征,力的方向用有向箭头表示,力的大小用有向线段的长度衡量，力的作用点就是有向线段的起点,这种表示力的线•第三类定义是物理量的抽象Coffin在《向量分析》中给出的定义是:“向量是任何具有方向与大小的物理量的抽象结果”.口5Coffin意识到,向量是某类具有大小与方向特征的量的统称,仅限于物理量的抽象结果.22基于的20世纪20—60年代的数学文献中,基于有向的定考两的有序性是有向线段产生的原因之一.Gibson详细介绍了有向线段的概念:“A,B是一直线上的任意两点,在初等几何中,人们习惯将以A,1为端点的线段记为AB或BA,不在乎字母书写的顺序•然而,当线段用来表示从点A到点1的轨迹或者从点1到点A的轨迹时,有必要区分线段2B与B2的别时有线段(directed segment)或向量(vector)或移动(step),用字母的书写顺序来表示这种差别.因2B表2到B的B2表B 到A的，向量AB与向量BA，方向反.％11*书中作了字母的组合来表，而没有用有头•需要说明的是，这里并没有岀现自由向量的概念，但在定义相等的有时，不考虑起点,当•如图！AB与CD相等，满三个条件：(1)在同一A B D'C DC D图1相等向量平行；(2)AB与CD等；(3)A 与C要边B与D边.因此，若点D f 到C的与点D到C的等，但方反'那么CD'与CD等.Murnaghan认为，要接受向量概念，首先必有的问题)2*・”几里得几何中'人们 的，而不考的方向代表意义的•为什么后来人们会考的方向性呢？的题•一条给定的延伸的有任意两点A和B,这两点确定了一条'A和B,我们可以写成AB或BA.当我们考虑到顺序时，先写哪一点是非常重要的:若先写点A'我们从点A B延伸的'己作A*B；反之，若B,我们从点B向点A 延伸的'己作B*A.设A*B是一条直线上的意一条有C*D条的另一条有向线段，如果A*B与C*D的箭头方向相同，并且AB与CD的长度相同,那么有向线段AB与CD相恒受了有的后，我们要考有的方向和，这两与点A向.B行进的路径B*A.事实上，真正引起我们的是从点A运西到点B的方向和距，我们将具有固定性质的有称为向量(vector).其词vehere,意思是运载.有A*B与C*D有过平移能够互，那么它们表征，本质.因此，这两的有过一个向量的不同表征而已.向量将由以下符号表7K V(A*B).Fame用类似于＞(AB)的符号来表)3*.方面，人们有画物.得到的力、速度等有，用有表有时将两者等价当然.Coffin与Phillips了的外延，使了物理量的，但仍将有等.Low 与Ransom应的三征：有、有方向、没有•H=1也明确与$确定的有的代数表征都有对应的几何结构%14*.C 一简短的定了的本质特征#甦不定的，向量有代数与几何两种表征方式，因此它代数和几何的桥梁.Wentworth(1900), Ziwet(1913)，Sheppard(1923)，Roever(1941)，Brand(1947)，Kells(1949)，Hart(1957)，Taylor(1959)和Davis(1961)在定时都采用了有向线段的2.3基于复数的定义作为复数的几何表征，主要代数教科书中•复数的几何表征问题数学家们讨论的问题.1846年畀表了一篇绍的才了题,'表复数经过了很长时间才被众多数学受. Wentworth了的复数：如图2,如果通过点O画一条与XX，垂直的直线yy/,所有的实数都可XX，上的点表示，那有的纯虚数都用yy'上的点表示.XX，实轴,yy f图2的复数o原点.我们习惯上把逆时针方向看作正,那么图中的点M OM就表示+5i 或者+55—1；点N或线段ON表zK—6i或者一6 7—1.a与a i是不同种类的数，因此,就用不同的表OA+AP或#+y i能够确定一点P,从O开始，与OX方角且为厂的有向OP•这样,那些表示实数和纯虚数的有都)5*.之后的复数的定似于Wentworth的上述定切如van Velzer与Slichter(1892),Young(1911), Smail(1931),Davis(1942),Nowlan(1947)和Cowles!947)等2.4基于运动的平下的定19世纪末和20世纪30—40年代,且分为两类平-类图形的平移,,指纯粹的平移变换.次表示平移的,之后的平移的向量定少继承了哈密的定义•例如,Tait将定义为“将运载到的工具，因此'表示空的定平移％16*.Wood的定定距定方向平移的表示方法％17*.如果2,1是两个,那21表示从点2到点1的平移.向量几何上的表示，线段的等于平移的，方平移的方向.因此，在书量时，方字母的顺序确定•从的定义看，所有等且平行的的符号来表示•所以，两个向量相等，指的就是同方.的等.若21,CD,15,57,HG方等'符号表示AB= CD=15=57=HG=a=….Hardy的定了现代学生学习的一困难:#等的，其本质Aldis了定义,而且明确表示，平移变换)7*.Tait给岀了更为一般的定义：“向量表示平移，它几何上的有表示,等有'有两本要素:大小和方向,它有具有大小和方向的量，例如、力、速度等.％18*应该说, Tait的定平移变换又了平移，给岀了相对完善的定义：#具有和方向的的统称.Phillips同样提到'表何具有和方的Hime从动态视角认识向量，把向量看作一种平移操作过程(action process).他认为，向量被人们接受'其运能，即“将从点2运载(vehere,carry)到点1.因此，向量蕴操作,表定方定的平确定方要两的,从隐三个数，一个确定,两个确定方向.％1Young基于有序点对,把向量看成是欧几里平有序2B的定符如'如果CD意平行且等于21的有序点对21与CD相等'符I量VC2B)表示.因为平面上任意过平移化为，因此，所有VCOP)\，其中4是平定点, "是变化的任意•该定明平移的，且欧氏平有组基向到.Veblen(1938)有序和平移来定义向量.采用平移定义的还有Stringham(1893), Thomas(1931),Morley(1933)与Roever(1933).平下的与起，其本质平释的性易人接受，这可以作为中学向量概念教学的背景料.3向量定义的演变最初用以表7K速度和力，后来表般有方向的物•因此'从物理学科延伸岀来的数学，是用几何上的有来表示物的•后来，数学家们研究了几何以及寻求平移运变换的符号表示，区分了【向与图3给岀了我们所考察的60种西方文献中向各类定义图3四种定义的频数分布图的频数分布情况.从图3中可见，基于物的定义岀现次数最多,其次是有的定若把年分为5等时段，则可以看岀各个时定使用的频HSWW圍野榊龈的做口野复躺釵□基于平勰抽釵1865-18841885-19041905-19241925-19441945-1965图41865—1965年间各种定义频数分布图数情况，如图4所示.1905—1924年间，基于物理的定与有的定要之后，人们逐渐认识到有定义的缺陷,代之的平移的定义；到了20世纪40年代到60年代'物和有的定又重新要•基于复数的定义虽然始终存在，但岀现得并不多.4结论与启示跨越百年的60种英美数学或物理学文献清了的四种定其脉络.从物到有，再到复数的几何表征,最后平运的定的'的过程学科的要有的，从到多角度延伸，才形今日的•一开始,指：向量,是物理量的抽象结果，因此，物理量是向量出现的背景之一•接着，人们用有向线段代替向量,源于物理量的几何表征和复数的几何表征，有大小和方向是向量的特征•最后，自由向量的出现源于数学家对于位置几何的探讨和平移运动与变换的表达•不同背景下的向量定义蕴含了不同的数学思想与方法，如数形结合、从特殊到一般、从有限到无限等•这些背景渊源对今日教科书编写和课堂教学有一定的启示.(1)对教材编写者的启示每一版高中数学教材关于向量的背景引入和概念界定都是从某一方面而言•人教版、苏教版和北师大版从位移等物理量中抽象出向量的概念,学生能够理解有大小、有方向的量的存在，只是这个背景无法解决向量的自由性，更无法让学生体会到向量符号在数学学习中的优势所在•另一方面，教材中未曾渗透几何图形符号化、代数化的思想;将空间向量置于立体几何中，并未自然地揭示出向量的几何性质•若能在平面向量章节中涉及用平面向量解决平面几何问题，并凸显它在平面几何中的作用，将为空间向量在立体几何中的应用打好基础•再者，不同时空的数学家都对向量理论做出过贡献，有些数学家花费了一生的精力研究向量系统,为了让世人接受他们的观点，作出了艰苦的奋斗与努力，这一点若能放在教材章节后的阅读材料中，则可让学生了解数学的创造过程,感受数学概念发展之曲折与艰辛,更好地认识数学和数学活动的本质，感悟数学背后的人文精神和数学文化的多元性，并从数学家身上汲取精神的力量，增加数学学习的自信心.(2)对课堂教学的启示首先，在设计向量的实际背景、引入向量概念时,教师可以灵活地处理教材，基于学生已有的认知基础，充分利用历史材料呈现不同的背景，例如物理背景、平移运动，把握住向量的本质特征•其次，向量的符号也是经过多次的争议才确定了今天的这种形式,若给予学生创造的机会,将会发现学生也能够和数学家一样,创造出他们自己的符号，这会给学生带来巨大的成就感与愉悦感•也可以用数学家的故事激发学生的学习动机•例如，可以讲述莱布尼兹与惠更斯友好的师生关系，以及他们在各自的研究领域做出的贡献，用莱布尼兹钻研求知的历程感染学生的心灵,用海伦证明平行四边形法则的方法为学生提供新的研究思路.再次,教师利用史料,明确物理中的矢量与数学中的向量之间的关系,从而让学生更深入地理解自的参考文献孙庆华•向量理论历史研究[D*.西安：西北大学,2006.[2*Heath TLA History of Greek Mathematics[M*.Oxford:Clarendon Press1921：348.[3*牛顿著.自然哲学的数学原理[M*.曾琼瑶，等译.南京：江苏人民出版社,2011：15.[4*Atzema E J.Caspar Wessel on the analytical representation of direction,an attempt chiefly to solvingplane and spherical polygons[J*.Historia Math-ematica,2004,31(1)：116-119.[5*Argand J R Imaginary Quantities:Their Geometrical InterpretationHM*.New York：D.Van Nostrand,1881：18-26[6*Hamilton W.Lectures on Quaternions[M*.Dublin：HodgesandSmith1853：5-11[7*中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M*北京:人民教育出版社,2003:31-32.[8*HeavisideO Electromagnetic Waves[M*London：Taylor&Francis,1889：132134.[9*PalmerCI PracticalMathematics[M*New York：McGraw-Hi l BookCompany1913：73-75.[10*Coffin J G.Vector Analysis[M*.New York：Chapman &Hall!909：1-4.[11*Gibson G A An Elementary Treatise on theCalculus[M*.London：Macmi l an1901：1-3.[12*Murnaghan F D.Analytic Geometry[M*.New York：Prentice-Ha l1946：4-18.[13*FrameJSSolidGeometry[M*.NewYork：McGraw-Hi l BookCo194829-30.[14*Hall T P.A Geometrical Vector Algebra[M*.Vancou-ver：WesternSpecialty1914：1-2.[15*WentworthG A.A Co l egeAlgebra[M*.Boston：Ginn&Company,1888:482-484.[16*TaitPG.AnElementaryTreatiseonQuaternions[M*.Oxford：ClarendonPress1867：48-50.[17*Wood D'The Elements of Coordinate Geometry[M*.New York：John Wiley&Sons,1879：231-233. [18*TaitPG.AnElementaryTreatiseonQuaternions[M*.Cambridge:The University Press,1873：6-7.[19*HimeH W.L.OutlinesofQuaternions[M*.London：Longmans'Green1894：1-3.。
向量理论发展历程
向量理论发展历程向量理论发展历程可以追溯到古希腊时期的欧几里得几何学，但直到17世纪末和18世纪初，随着数学家对几何学的探索，向量的概念才开始逐渐形成。
在18世纪末，数学家欧拉提出了向量的概念，并将其用于描述力学现象。
他将向量视为具有大小和方向的量，并引入了向量加法和数量乘法的概念。
欧拉的向量概念为后来的向量理论奠定了基础。
19世纪初，法国数学家旺达尔提出了矢量的代数定义，将其视为有序对，并引入了矢量的加法和数量乘法运算。
他的工作为向量理论的代数化奠定了基础，并成为后来矩阵理论的发展奠定了基石。
随后，数学家哈密顿提出了四元数的概念，扩展了旺达尔的矢量概念，并引入了四元数的乘法运算。
虽然四元数是一种更为复杂的代数结构，但它加深了对向量的理解，并为向量理论的发展提供了新的视角。
19世纪末和20世纪初，向量的概念逐渐从几何学领域扩展到了其他领域。
数学家哈密尔顿引入了向量空间的概念，将向量的运算规律进行了系统化的描述。
这一概念进一步促进了向量理论在线性代数、函数空间等领域的发展。
在20世纪，随着向量理论的不断深化和广泛应用，数学家们对向量空间的性质进行了更为深入的研究。
他们提出了向量的内积、正交性、线性无关性等概念，并探索了向量空间的维度、基底等重要性质。
此外，随着计算机科学的快速发展，向量理论还被广泛地应用于图形学、数据分析、机器学习等领域。
数学家们不断地对向量理论进行推广和拓展，使其更好地适应现实问题的求解。
总的来说，向量理论的发展历程经历了数学家们对向量概念的提出、代数化、拓展和应用等多个阶段。
这一理论在数学、物理学、工程学等多个领域都发挥着重要作用，成为现代科学研究的基础之一。
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向量产生和发展历程
一、向量的产生：
规定了方向和大小的量称为向量．向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量
如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
二、向量的发展过程：
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。