人教A版高中数学必修4二倍角的正弦余弦正切公式说课稿
人教A版必修四 二倍角的正弦、余弦、正切公式 第三课时 教案
人教A 版必修四 二倍角的正弦、余弦、正切公式 第三课时 教案（一）复习：1．二倍角公式sin 22sin cos ααα=22cos2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-22tan tan 21tan ααα=-2．降幂公式：2221cos 21cos 21cos 2sin ,cos ,tan 221cos 2ααααααα-+-===+ ．（二）新课讲解：例1．已知223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且，β为锐角，试求2αβ+的值。
解：∵223sin 2sin 1αβ+=， ∴23sin cos2αβ= ①又∵3sin 22sin 20αβ-=， ∴3sin cos sin 2ααβ= ②①②，得： tan cot 2αβ=tan(2)2πβ=-， 又∵02πα<<，02πβ<< ∴02πα<<，2222πππβ-<-<， ∴22παβ=-， 从而22παβ+=．例2．已知sin θ，sin 2x ，cos θ成等差数列，sin θ，sin x ，cos θ成等比数列，求cos 2x 的值。
解：由已知条件得：2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，∴224sin 212sin cos 12sin x x θθ=+=+，224(1cos 2)(12sin )2cos22x x x -=--+=-+，24cos 2cos 220x x --=，解得： cos 2x =∵221cos212sin 12sin cos (sin cos )0x x θθθθ≥=-=-=-≥，所以，1cos 28x =．例3．求证：333sin 3cos cos3sin sin 44ααααα⋅+⋅=．证明：左边22sin3cos cos cos3sin sin αααααα=+1cos 21cos 2sin 3cos cos3sin 22αααααα+-=+11(sin 3cos cos3sin )cos 2(sin 3cos cos3sin )22ααααααααα++-=11sin 4cos 2sin 222ααα=+3sin 44α=右边．所以，原式成立。
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式-二倍角公式》说课稿
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式》说课稿教材分析：1.教材的地位和作用：这是一节高三复习课，教材是高中数学新课程人教A 版（必修4），教辅是《世纪金榜》。
这一节的公式在三角函数里的比重很大，是进行三角恒等变换的重要公式，它们与诱导公式，同角三角函数公式一起组成了三角函数的主要公式。
2.教学重点与难点：（1） 重点：两角和与差、二倍角公式的正用、逆用和变用（2） 难点：“辅助角公式”，即形如)sin(cos .sin .22βααα++=+b a b a 的化简;“角的变换”，即用“已知角”表示“所求角”,要注意角的变换技巧和角的范围；当角的关系比较复杂时不仅要用“和、差、倍”公式，还要先用到诱导公式。
学情分析：这些学生大部分基础不够好，学习态度也不够积极，自主学习的意识和能力较弱，知识遗忘率高，只有小部分学生基础较好，但是动手解题能力也很弱。
教学目标：（1） 知识与技能目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的正用、逆用和变形使用，会用公式进行三角函数式的化简与求值。
（2） 过程与方法目标：通过提问、引导，调动学生的思维；通过归纳，明确解题方法。
（3） 情感、态度与价值观目标：通过公式之间角与角的关系，认识到事物是普遍联系的；教学方法：基于学情分析，应从细节入手，主要采用引导，提示，归纳，讲练结合的方法。
学法指导：从公式特征和题目特征选取适当的公式；有时要切化弦；注意观察所求角与已知角的关系。
教学过程：一.复习引入：通过提问)cos(βα-公式,开门见山的引入到公式的复习当中.二.复习公式：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式及变形公式 和 “辅助角公式” 用小黑板展示所有公式，讲解公式时要体现公式之间的联系，比如，二倍角倍受公式可以在两角和的公式中令αβ=而得到.一边讲解公式的特征，帮助记忆，一边通过6道简单示例帮助理解。
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(:)( =±±Cβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(:)(±=±±Sβαβαβαβαtan .tan 1tan tan )tan(:)( ±=±±T （Z ∉+≠±k k ,2,,ππβαβα） 简单示例: 000028sin 32sin 28cos 32cos -=21)2832cos(00=+ 2．二倍角公式α2S : αααcos sin 22sin =αααααα22222sin 211cos 2sin cos 2cos :-=-=-=C αααα22tan 1tan 22tan :-=T （Z ∉+≠k k ,22,ππαα） 简单示例: (1)0015cos 15sin = 4130sin 210= (2)112cos 22-π= 236cos =π(3)005.22tan 15.22tan -= =tan450=1 3．变形公式：正切和(或差)：βαtan tan ±=)tan(βα±.(βαtan .tan 1 )降次扩角：22cos 1sin 2αα-=， 22cos 1cos 2αα+=, 简单示例: )28tan 1)(17tan 1(00++=000028tan .17tan 28tan 17tan 1+++=1+00000028tan .17tan )28tan .17tan 1).(2817tan(+-+=24.形如ααcos sin b a +的化简(“辅助角公式”)ααcos sin b a +=)sin(22βα++b a ，其中22cos b a a+=β， 22sin b a b +=β简单示例: 12cos π +3sin 12π=224sin 2)126sin(==+πππ 三．例题讲解通过两道例题来讲解公式的应用：例1.求下列各式的值：(1)0000167cos 43sin 77cos 43cos + (2) 0015cot 15tan + (3) 000040tan .20tan .340tan 20tan ++ (4) 12sin π+ cos12π 设计意图：让学生初步熟悉公式，掌握“和、差、倍公式”的逆用和变用。
《二倍角公式》 说课稿
《二倍角公式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《二倍角公式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修四第三章《三角恒等变换》。
二倍角公式是三角恒等变换中的重要公式之一，它在三角函数的求值、化简、证明以及解决实际问题中都有着广泛的应用。
通过对二倍角公式的学习，学生不仅能够进一步巩固和深化三角函数的知识，还能提高他们的运算能力和逻辑推理能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，具备了一定的三角函数知识和运算能力。
但是，对于二倍角公式的推导和应用，学生可能会感到有一定的难度。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过已有知识进行推导，逐步理解和掌握二倍角公式。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式。
（2）能够熟练运用二倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对二倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
（2）通过例题和练习，提高学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在学习过程中体验数学的严谨性和逻辑性，感受数学的魅力。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
四、教学重难点1、教学重点二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导和应用。
2、教学难点二倍角公式的灵活运用以及公式的变形应用。
五、教法与学法1、教法为了实现教学目标，突出重点，突破难点，我将采用启发式教学法、讲授法和练习法相结合的教学方法。
通过启发引导，让学生自主思考，推导二倍角公式；通过讲授，让学生系统地掌握二倍角公式的知识；通过练习，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
2、学法在教学过程中，注重引导学生自主学习、合作学习和探究学习。
让学生通过自主推导公式，培养他们的自主学习能力；通过小组合作讨论，培养他们的合作交流能力；通过探究问题，培养他们的创新思维能力。
高二数学(人教A版)必修4精品教案—3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式三维目标1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程(问题导入) 1、 若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。
2、①请试着用sin α 或cos α,表示sin2α，cos2α。
②请试着用tan α表示tan 2α。
（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去； (Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数； (Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.（Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. （应用示例）例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值.练习1、已知cos 8α=54-,8π<α<12π,求sin 4a ,cos 4a ,tan 4a 的值。
人教A版数学必修四《二倍角的正弦、余弦和正切公式课件》
课后作业
问题一
根据已知角度的一半，求解 对应的余弦值。
问题二
利用二倍角公式，计算给定 角度的正弦值。
问题三
结合二倍角公式，解决三角 函数求解题目。
希望对广大学生带来帮助
1 这个课件的目标是帮助学生深入理解二倍角
的概念、公式和应用，并提供练习题和作业 加深掌握。
2 在掌握二倍角的基础上，学生将能够更自信
具体例子
2
的应用方法和注意事项。
通过有趣且实用的例子，展示如何灵活 运用二倍角公式来解决实际问题。
总结
系统总结
对二倍角概念及其公式进行全面总结，以巩固学生 对知识点的掌握。
理解和应用
通过互动讨论和实践练习，加深学生对二倍角的理 解和应用能力。
补充练习
问题一 问题二
根据已知角度的一半，求解对应的正弦值。 利用二倍角公式，计算给定角度的正切值。
二倍角的正弦、余弦和正切公式
正弦公式
通过二倍角公式，推导出正弦 二倍角的公式，解释其意义和 应用。
余弦公式
通过二倍角公式，推导出余弦 二倍角的公式，展示其用途和 几何意义。
正切公式
通过二倍角公式，推导出正切 二倍角的公式，帮助学生理解 其特点和使用方法。
二倍角的应用
1
三角函数求解题目
介绍二倍角公式在解决三角函数题目时
人教A版数学必修四《二 倍角的正弦、余弦和正切 公式课件》
本课件将详细介绍二倍角的概念、推导二倍角公式，并展示二倍角的正弦、 余弦和正切公式的几何意义和应用。
二倍角的定义
1 概念介绍
解释二倍角是何种角度的介绍如何得出二倍角公式，让学生理解其产生的原因。
和灵活地运用三角函数求解各种问题。
二倍角正弦、余弦、正切公式说课一等奖
1 sin 2 cos2
（3）求函数 f x cos 2x 4cos x 的最大值
巴蜀好教育联盟
巴蜀好教育联盟
巴蜀好教育联盟
由于新课改的核心理念是以学生发展为本，所以在本 节课的设计中我以学生活动为主线，创设情境，生成 问题，解决问题，不断渗透学科素养，在教学环节中 我重视过程引导，注重思维培养，让学生体会数学学 习的乐趣。
人教A版数学 必修4第三章 第一节第三 课时
巴蜀好教育联盟
教材分析 学情分析 目标分析 教学重难点 教法学法分析
教学内容
两角和与差的正弦、余 弦、正切公式的延续和 拓展
为后面研究简单的三角 恒等变换奠定了基础
巴蜀好教育联盟
教材分析 学情分析 目标分析 教学重难点 教法学法分析
1、知识储备： 学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正 切公式，这对本节内容的学习起了铺垫作用。 2、能力素养： 大部分学生对数学的学习有兴趣，并且具备一 定的自学能力，但分析、解决问题的能力还比 较薄弱。
8
8
tan 22.5 (2) 1 tan2 22.5
_______
巴蜀好教育联盟
课堂小结法上：特殊与一般、化归与转化、整体思想
巴蜀好教育联盟
课后检测评价
1、书面作业（A） P135练习：1-4
2、研究性作业（B） （1）求 cos 20 cos 40 cos80 的值
巴蜀好教育联盟
绿水青山就是金山银山
巴活蜀动好元一教：育心联动盟入境，情境引入
巴活蜀动好元一教：育心联动盟入境，情境引入
在半径为1的半圆上截一个一条边在直
径上的内接矩形，设BOC ,当
人教A版必修四3.1二倍角的正弦·余弦·正切公式 教案
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计教学内容：《普通高中课程标准实验教书（数学）》必修4（人教A版），第三章3.1.3节、第132－135页。
教学目标：1.知识与技能目标：能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。
2.过程与方法目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3.情感态度价值观目标：通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
教学重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式成立的条件。
教学难点：灵活应用二倍角公式变形，熟练解三角综合题。
教学过程：一、复习启发、设置情景、引出正题1、（复习性提问）请同学回顾两角和的公式（学生回答，白板展示）2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系=时，公式变为什么形式？3、引导学生观察其结构，并指名回答观察结果。
（学生回答左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）4、引入正题（板书课题）二、引导探究、深化认识1、对： 中的平方联想到，有无其他变式？（学生探索、总结得出两种变式）2、二倍角公式是和角公式的特殊情形，知道二者之间的联系，二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。
3、 有了这组二倍角公式，我们是否可以放心的应用呢？引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件【设计意图： 引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】三、例题讲解例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 引导：本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角（注意角的范围）,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，让学生自己独立探究完成。
高中数学必修4人教新课标a版3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+tan 2α=-（四）课堂练习：详见学案（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（六）作业：15034.P T T -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二倍角的正弦、余弦、正切公式说课稿
教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时
一、教材分析
(一)本节教材的地位和作用：
教材的地位主要体现在以下几点：
1、本节内容是三角函数中最基础的知识之一。
它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。
2、本节在本章中处于承上启下的地位。
3、三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。
它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。
本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。
(二)、教学内容
本节课是在学生初步掌握了同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式及两角和与差的公式等内容的基础上而安排的，主要内容是二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用。
（三）、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特
征，我制定了如下教学目标：
1
1.知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。
2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。
（四）、教学重点、难点
重点：理解并掌握二倍角公式；灵活运用二倍角公式解决有关问题。
难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。
二、教法分析
在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
充分体现学生学习的主体地位。
教学手段：本节课使用了多媒体辅助教学，不仅可集中学生的注意力而且便于教学过程的调控与信息的及时反馈，提高了课堂的教学效率。
三、学法指导
学生的学是中心，会学、学活是目的，因而在教学中要特别重视学法
的指导。
根据本节课的特点，我认为本节课注重的是引导、启发学生采用“动脑想，动手做，多训练，勤钻研，善总结”的学习方法，这样做能使学生真正成为课2
堂教学的主体；能使学生“学有所思，思有所得，练有所获，逐层提高”，学生才会逐步感受到数学的美，并产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。
四、教学过程
1、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误，激发学生新的求知欲，引出课题。
2、复习回顾两角和的三角公式，为探索二倍角公式做好铺垫。
?????costansin?公式，
3、启发学生利用自行推导出、、、、TSC??????)((?)(?)?在推导过程中教师主要起引导作用，让学生作为学习的主体。
4、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式。
并由练习3引出公式的变形，而C?2对于公式的变形主要是引导学生利用同角三角函数关系自行推导，体现学生的主体地位。
5、课堂练习：给时间让学生独立完成课本135页第5题并回答，然后点评。
目的是边讲边练，使学生加深对公式的认识，培养学生灵活运用公式的能力。
课堂上锻炼学生的动手解决问题的能力。
6、例题5的讲解：启发学生先分析条件与求解目标之间的差异，然后选择适当的公式，明确解题思路，严格规范解答过程，培养逻辑思
维能力。
通过一题多解，训练学生发散性思维，培养创新意识，提高数学素养。
7、课堂练习：通过设置多重练习，让学生能更深刻的认识公式特点，感受公式的各种形式运用，提高灵活运用公式的能力。
当然，通过本节的学习，学生能够容易地完成相应练习，使学生获得探索成功感，增强学习数学的信心。
8、归纳小结：引导学生进行小结，教师加以补充。
这样设计的目的
是使学生对本节课所学的知识结构有一个完整的印象，使知识系统化、条理化，便于抓住重点进行课后复习，同时培养学生归纳概括能力。
3
9、布置作业：在作业中我设计了必做题和选做题两类题，其中，必
做题要求全体学生独立完成，选做题留给部分优生思考完成。
这样布置作业具有弹性，避免一刀切，使学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥，体现了分层教学、因材施教的教学原则。
五、评价分析
通过教师课前的精心准备及教学环节的层层落实，必能完成本节课所制定的教学目标。
根据学生对旧知识的复习巩固、对新知识的“发现形成”的探索、对例题及不同层次的练习的掌握，相信我的学生们一定能学有所思，思有所得，练有所获，逐层提高。
通过课堂练习和课后作业，也将让我及时得到学生的反馈信息，解决存在的问题。
课堂气氛的活跃、重点的突出、难点的突破，学生参与的积极，学生分析问题、解决问题能力的提高，同时又培养了学生化归、及问题转化的
数学思想，我相信这将是一堂成功的课堂教学。
2010年3月
4。