三角形的内心
三角形的内心
• 1．三角形的内心是
• 2．三角形的内心到三角形
的距离相等．
• 3．已知△ABC的内心为O，∠BOC=110°，则∠BAC=
• • • •
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， 1 ∴∠OBC+∠OCB=180°﹣110°=70°，而∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB） =70°， 2 ∴∠ABC+∠ACB=140° ∴∠BAC=180°﹣140°=40°．
三角形的内心
定义、原理、性质ห้องสมุดไป่ตู้
三角形内心定义
• 1、定义：内心是三角形三个角的角平分线的交点 • 2、原理：经过圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线 的夹角。（原理：角平分线上的点到角两边的距离相等） • 3、得出的结论：三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，即三角形内 切圆的圆心。 • 4、性质：内心到三边距离相等（距离就是内切圆的半径）
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
初中数学 什么是三角形的内心
初中数学什么是三角形的内心三角形的内心是指三角形内部的一个点，它与三角形的每条边的交点构成的三条角平分线相交于一个共同的点。
这个点被称为三角形的内心。
一、三角形的内心的性质1. 三角形的内心到三角形的每条边的距离相等。
2. 三角形的内心到三角形的每个顶点的距离之和等于三角形的周长。
3. 三角形的内心是三角形内接圆的圆心。
4. 三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形的每条边都相切。
二、三角形的内心的计算方法在计算三角形的内心时，我们可以利用以下公式：设三角形的三边分别为a、b、c，三角形的面积为S，内角平分线与对应边的交点到三角形顶点的距离分别为d₁、d₂、d₃，则有以下关系：d₁ = 2S / (b + c - a)d₂ = 2S / (c + a - b)d₃ = 2S / (a + b - c)三、例题解析例1：已知三角形的三边长度分别为5cm、6cm、7cm，求三角形的内心到每条边的距离。
解：首先，我们可以利用海伦公式计算三角形的面积。
s = (a + b + c) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9。
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(9(9-5)(9-6)(9-7)) = √(9*4*3*2) = √(216) ≈ 14.7。
然后，根据公式计算内心到每条边的距离。
d₁ = 2S / (b + c - a) = 2*14.7 / (6 + 7 - 5) = 29.4 / 8 = 3.675。
d₂ = 2S / (c + a - b) = 2*14.7 / (7 + 5 - 6) = 29.4 / 6 = 4.9。
d₃ = 2S / (a + b - c) = 2*14.7 / (5 + 6 - 7) = 29.4 / 4 = 7.35。
所以，三角形的内心到每条边的距离分别约为3.675cm、4.9cm、7.35cm。
例2：已知三角形的周长为20cm，内心到每个顶点的距离分别为3cm、4cm、5cm，求三角形的面积。
理解三角形的内心和外心
理解三角形的内心和外心三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段连接而成。
在三角形的内部，存在着两个重要的点，即内心和外心。
本文将探讨三角形内心和外心的定义、性质以及其在几何学中的应用。
一、内心内心是指三角形内部到三边距离和三角形的角平分线的交点。
我们可以通过以下步骤来求解内心的坐标。
1. 设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)。
2. 计算三个边的长度a, b和c。
a = √[(x2 - x3)² + (y2 - y3)²]b = √[(x3 - x1)² + (y3 - y1)²]c = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]3. 根据内角平分线的性质，可以得出内心的坐标Ix和Iy。
Ix = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)Iy = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)内心在三角形的内部，它与三边的距离相等。
这个性质被广泛应用于三角形的内心定理和内接圆的性质。
例如，三角形的内心是唯一的，且与三条角平分线的交点距离相等。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心。
三角形的外接圆通过三个顶点确定，它的半径等于三角形的外接圆半径。
同样，我们可以通过以下步骤来求解外心的坐标。
1. 设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)。
2. 计算三边的中垂线的斜率。
k1 = - (x2 - x1) / (y2 - y1)k2 = - (x3 - x2) / (y3 - y2)k3 = - (x1 - x3) / (y1 - y3)3. 根据中垂线的性质，可以得出外心的坐标Ox和Oy。
Ox = (k1 * k2 * (y1 - y3) + k2 * k3 * (y2 - y1) + k3 * k1 * (y3 - y2)) / (2 * (k1 - k2 + k3))Oy = (k1 * k2 * (x3 - x1) + k2 * k3 * (x1 - x2) + k3 * k1 * (x2 - x3)) / (2 * (k1 - k2 + k3))外心在三角形的外部，它与三个顶点的距离相等。
三角形五心性质
三角形的五心定理一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 .三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P 为ABC ∆所在平面上任意一点，点O 是ABC ∆内心的充要条件是：向量重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.2、若O 是ABC ∆的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d ，2d ，3d 分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ΔABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F ，求证：CF ⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，G 为△ABC 重心做BG 中点H ，GC 中点I∴HI 为△GBC 的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE 是△ABC 中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE 是平行四边形∴HG=GE又H 为BG 的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形的内心
在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，经常需要确定一个点到一条直线的距离，如果这个点位于一个三角形内部，那么可以通过作这个 三角形的内心，然后测量内心到直线的距离来解决问题。
工程问题
在工程问题中，经常需要确定一个点到三个点的距离之和最小，这个点就是这三个点构成的三角形的内心。例如 ，在通信网络中，为了最小化信号传输的延迟和能量消耗，可以选择将信号发射器放置在三角形的内心位置。
通过内心到三角形一边的垂线与该边 构成的直角三角形，可以求出内心的 坐标。
其他特殊三角形内心求解方法
对于等边三角形，内心即为重心、外心、垂心，可以通过等边三角形的性质直接求 出。
对于直角三角形，内心位于斜边中点与直角顶点连线的中点上，可以通过直角三角 形的性质求出。
对于等腰三角形，内心位于底边中点与顶点连线的中点上，可以通过等腰三角形的 性质求出。
03
三角形内心性质探究
内心到三边距离相等定理
内心到三角形三边的距离相等，这个距离称为内切圆半径。
若三角形三边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形 面积S=(a+b+c)r/2。
内心与外接圆关系定理
三角形的内心与外接圆的圆心（外心）的连线垂直于经过 内心的三角形的一边，且等于这边所对的顶点到内心的距 离的2倍。
在数学竞赛中应用
求解最值问题
在数学竞赛中，经常遇到求解最值问 题，如求一个点到三角形三个顶点的 距离之和的最小值。这类问题可以通 过作三角形的内心并应用内心的性质 来求解。
证明不等式
在数学竞赛中，有时需要证明与三角 形相关的不等式。通过引入三角形的 内心并应用内心的性质，可以简化证 明过程并找到解决问题的突破口。
多边形内心应用前景展望
2020高考数学备考：三角形的“内心”知识点总结
.
A
c b
O
B
a
C
【证明】连接 OA、OB、OC，过点 O 分别作 AB、BC、AC 的垂线，分别交 AB、 BC、AC 于点 D、E、F，如图所示：
A
D c
F b
O
B
a
E
C
是
的内切圆，
，
性质 6、直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差除以 2（或等于两 直角边的乘积除以该三角形的周长）.
【问题】如图所示，在
， 的内心.
性质 3、若点 O 为
的内心，则
.
【问题】如图所示在
中，已知点 O 为
的内心，求证：
.
A
O
C
B
【证明】 点 O 为
的内心， OB、OC 分别是
4
的角平分线，
性质 4、在
中，若
.
【问题】如图所示，已知 是
求证：
A
，三角形内切圆切边 BC 于点 D，则 的内切圆，在边 AB 上的切点为 D，
2020高考数学备考：三角形的“内心”知识点总结
内心
1、内心的概念：三角形三条内角平分线的交点即是三角形的内心，也是该三角 形内切圆的圆心，如图所示：
AA
A
O
C
B
钝角三角形的内心
O O
C
BC
B
直角三角形的内心
锐角三角形的内心
AA
A
O
C
B
钝角三角形的内切圆
O
O
OO
C
BC
B
直角三角形的内切圆
锐角三角形的内切圆
1
A
H E
F
三角形的内心与外心
三角形的内心与外心在我们探索三角形的奇妙世界时，内心和外心是两个非常重要的概念。
它们就像是三角形的两个神秘“心脏”，各自有着独特的性质和作用。
首先，咱们来聊聊三角形的内心。
内心，简单来说，就是三角形内角平分线的交点。
想象一下，我们把三角形的三个角分别对折，那么对折后的这些折线会交汇于一点，这个点就是内心。
内心有一个特别重要的性质，那就是它到三角形三边的距离相等。
这意味着，如果我们以内心为圆心，以内心到边的距离为半径画一个圆，这个圆就会与三角形的三边都相切，这个圆被称为三角形的内切圆。
为什么内心会有这样的性质呢？咱们可以通过角平分线的性质来理解。
角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。
因为内心是三条角平分线的交点，所以它到三角形三边的距离自然也就相等了。
在实际生活中，内心的概念也有不少应用。
比如说，在一块三角形的土地上要建造一个仓库，为了使仓库到三条边界的距离都最短，从而节省运输成本，那么仓库就应该建在这块土地三角形的内心位置。
接下来，再说说三角形的外心。
外心是三角形三边中垂线的交点。
如果我们把三角形三边的垂直平分线都画出来，它们会相交于一点，这一点就是外心。
外心有一个关键的特点，那就是它到三角形三个顶点的距离相等。
基于这个性质，我们以三角形的外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径画一个圆，这个圆会经过三角形的三个顶点，所以被称为外接圆。
那为什么外心到三角形三个顶点的距离相等呢？这是因为中垂线上的任意一点到线段的两个端点距离相等。
由于外心是三边中垂线的交点，所以它到三个顶点的距离必然相等。
外心在实际中也有实用价值。
比如要在一个三角形的区域内设置一个信号塔，使得信号能够均匀地覆盖三角形的三个顶点，那么信号塔就应该建在外心的位置。
为了更直观地理解内心和外心的区别，咱们可以通过一些具体的例子来感受一下。
比如一个等边三角形，它的内心和外心是重合的。
但对于一般的三角形，内心和外心通常是不同的点。
从计算的角度来看，如果我们知道三角形的三个顶点的坐标，要计算内心和外心的坐标，就需要运用一些数学公式和方法。
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驶向胜利 的彼岸
试一试
1
梦想成真
1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的 两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有 几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距 离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
A B C
老师提示: 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的傍心.这样点有三个.
思
析 基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 A 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到 ND M 的逆定理. P F 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B C E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. 驶向胜利 ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 的彼岸 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
驶向胜利 的彼岸
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一 这个交点叫做三角形的内心.
随堂练习 1 如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
挑战自我
A
E C B
D
老师期望:
B
C
D
F
E
驶向胜利 的彼岸
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
独立作业
3
习题1.9
A C O D B
3.已知:如图,P是∠AOB平分 线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别C,D. 求证: (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.
P
老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
• •
严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
小结
拓展
回味无穷
A D 1 2 E B P C
定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. 角的两边距离相等. 在一个角的内部, 逆定理 在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点, 到角的两边距离相等的点,在 O 这个角的平分线上. 这个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线 相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等(这个交点叫做 三角形的内心). 三角形一个内角和与它不相 邻的两个外角的平分线交于 一点, 这个的点叫做三角形 的傍心.这样点有三个.
利用尺规作出三角形 三条边的垂直平分线. 三条边的垂直平分线. 再观察这三条垂直平分线,你 又发现了什么?与同伴交流. . 结论:三角形三条边的垂直平 分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
咋证三条直线交于一点
考 分
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
做一做
1
几何的三种语言 几何的三种语言
老师提示: 老师提示:
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一 点到三边的距离相等. 如图,在△ABC中, A ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条 角平分线,且 ND M P F PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且 B C PD=PE=PF(三角形的三条角平分 E 线相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等).
独立 作业
知识的升华 P9习题1.5 1,2,3题.
祝你成功！
独立作业
1
习题1.9
A
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的 角平分线. 求证:BD=2CD.
B D
C
你能写出规范的证明过程.
老师期望:
驶向胜利 的彼岸
独立作业
2
习题1.9
A
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角 平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上.
D
B
3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB ∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. ∠AOB的
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握.
驶向胜利 的彼岸
回顾
思考
角平分线的性质
A D 1 2 E B P C
角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 如图, 如图, ∵OC是 AOB的平分线,P是 的平分线,P ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) D,E(已知 垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这 ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 个角的两边距离相等).
——三角形的内心 三角形的内心
谢谢
做一做
1
用尺规作角的平分线. 用尺规作角的平分线.
尺规作图 角平分线的作法 A
E C
已知:∠AOB ∠AOB,如图. ∠AOB 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC ∠AOC=∠BOC. 作法: 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. O 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. AOB内
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
回顾
思考
在一个角的内部, 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上. 等的点,在这个角的平分线上. 如图, 如图, A PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), D,E(已知 分别是D,E(已知), 1 P AOB的平分线上.(在一 的平分线上.( ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 个角的内部, 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). 等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 驶向胜利 点)的根据之一. 的彼岸 从这个结果出发,你还能联想到什么?
角平分线性质定理的 逆定理
C
做一做
ห้องสมุดไป่ตู้
1
亲历知识的发生和 发展
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
做一做
2
亲历知识的发生和 发展