三角形的外心内心垂心重心

三角形的外心内心垂心重心三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心. 一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 表示. 【性质】1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21.二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC ∆的内心一般用字母I 表示. 【性质】1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半.4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 .三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 表示. 【性质】1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B .四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 表示. 【性质】1.顶点与重心G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31.三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心.结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(31OC OB OA OG ++=，则点G 为ABC ∆的重心.结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心.结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心.结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC ACAB ABAP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心.向量和“心”一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'GAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心. 【解析】 由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.ABC图⑴图⑵MPCBAH FEMAP【命题4】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，由于 0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C ⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， 图⑶ 图⑷图⑸ 图⑹BOPacIACO C A B∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸. 【命题6】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．【解析】 若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺.【命题7】 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的图⑺M O B C A P 图⑻轨迹一定通过ABC △的外心. 【解析】 由于2OB OC+过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻.练习：1.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 ,则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。