直线的方向向量(空间)测试题

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空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]

空间向量在立体几何中的应用:（1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．（2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ,平面α ，β 的法向量分别是u ,v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ,b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ,显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量，则<m 1，m 2>与该二面角的大小相等或互补．（4）根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题．【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3,OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1,点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A （3，0，0），B (0，4，0)，O 1（0，0，2)，A 1(3，0，2），B 1（0，4，2），E （3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2,2）,R (3，2，0）,⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：（1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1,B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一:设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A （4,0，0），M （2，0，4），N （4，2，4）,B (4，4，0)，E （0，2，4)，F （2，4，4)．取MN 的中点K ,EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O （2,2，0)，K （3,1,4），G （1，3，4）．MN ＝（2,2，0)，EF ＝(2，2,0)，AK ＝（－1,1,4），OG ＝（－1，1，4)， ∴MN ∥EF ,OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3），平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝（2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝（2，－2,1)．∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0)，A (2，0,0），M (2，1，2）,C （0,2，0），N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ,连接B 1P ，B 1Q ，PQ ,PC ．易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角．设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角（锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A （0,0，0），B (0，a ，0），),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0),B (0，a ,0），A 1(0，0，a 2），)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝（p ，q ，r ）, 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0,0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C （0，0，0）,A (1，0，0），B （0，2，0)，P （1,0，1），由D 是PB 的中点,得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二:如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0),)0,1,2(B ，C （0,1，0)，P (0，0,1），).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1,a 2，a 3），平面PBC 的法向量是b ＝（b 1,b 2，b 3）．由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝（0,1，1）．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题： 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是（） (A)2（B ）2（C)5（D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是（ ) (A)30° （B)45° (C)60° （D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（） (A)31 （B ）32 （C)33 (D ）32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ,B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ,AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（）（A)θ ＞ϕ,m ＞n （B ）θ ＞ϕ，m ＜n （C)θ ＜ϕ,m ＜n(D ）θ ＜ϕ,m ＞n二、填空题:5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______．三、解答题：9．如图,正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图,在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点,N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ,A ∈PQ ，B ∈α ,C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．（Ⅰ）证明：BC ⊥PQ ；（Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图 9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2,2，0)，C （0，2，0)，E （0，2，1），A 1（2,0，4）．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A（Ⅰ）∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝（4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ,y ，z 轴建立坐标系．则A （0，0,0)，B (1，0，0），)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0,0，2）,M （0，0，1），⋅-)0,42,421(N （Ⅰ）⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝（x ,y ,z ），则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ．（Ⅱ）设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．（Ⅰ）证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ,α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ．又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ）由（Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点,分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图）．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°,∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z ）是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ．易知n 2＝（1,0,0）是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ,∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。

3.3空间直线的方向向量和平面的法向量-

（1）向量 AA',OC,BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体ABA C 'B 'C D 'D '的棱长 A B 2 ,A D ，4 ,A' A 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
布置作业：见练习册
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？如何表示空间直线的方向？
❖方向向量对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 O A B C O A B C 中，F为棱上的中点，
( 1 )A';( A 2 )B 'C ;(3 )A 'C ;(4 )D ' B
a 例题3：已知所有棱长为的正三棱锥 ABCD，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3, 3,1) ，B(1, 0, 5) ，求线段A B 所在直线的一个
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
ABC DA 1B 1C 1D 1， E , F 分别是
棱
C
D 上，C G
1 4
C D，
H
是
C
1
DD1, DB 中点，G

用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类(80题)(学生版)25学年高二数学(人教A选修一

专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类（80题）题型一求直线的方向向量题型二求平面的法向量题型三用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的平行关系求参数（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行（2）利用向量方法证明线面平行（3）利用向量方法证明面面平行（4）与平行有关的探索性问题题型四利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的垂直关系求参数（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直（2）利用向量方法证明线面垂直（3）利用向量方法证明面面垂直（4）与垂直有关的探索性问题在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 表示.我们把向量OP称为点P 的位置向量.如图.注：线段中点的向量表达式：对于AP → ＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM → ＝12(OA → ＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．2、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①或OP OA t AB =+ ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(,)x y ，使得AP xa yb =+，如图；取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP OA xAB y AC =++ .5.直线的方向向量若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．6.平面的法向量定义：AB l ABl直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a.注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.7.平面法向量的性质（1）平面a 的一个法向量垂直于平面a 内的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．8.平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面a 的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ì×=ïí×=ïî列出方程组解方程组：解方程组00n AB n AC ì×=ïí×=ïî赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.题型一求直线的方向向量解题策略：1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）．2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．1.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点()()2,3,2,1,0,1A B --，下列向量中是该直线的方向向量的为（）A ．()1,1,1a =-B ．()1,1,1a =-C ．()1,1,1a =-D ．()1,1,1a =2．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（）A ．1AAB ．1C EC ．ABD ．1A A3．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．4．（2024·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y = ________.5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．36.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线1l 的方向向量是()2,2,a x =-，直线2l 的方向向量是()2,,2b y =-，若3a = ，且12l l ^，则x y -的值是（）A ．-4或0B ．4或1C ．-4D ．07.（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A ．相交或异面B ．相交C ．异面D ．平行题型二求平面的法向量解题策略:1.求平面法向量的方法①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00{=×=×b n a n ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标．2.求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为08.【多选】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）直线l 的方向向量是(1,2,0)a =，若l a ^，则平面a 的法向量可以是（）A ．()1,2,0n = B ．()2,4,0n =--C ．()2,1,0n =-D ．()2,1,2n =-9.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，已知点()2,0,2A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）．A ．()2,1,2B ．()1,2,1-C ．()2,4,2D ．()2,1,2-10．（2024·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（）A ．()1,1,1B ．C ．111(,,)333D ．11.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为 1，以D 为原点， {}1,,DA DC DD为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面1AB C 的一个法向量是（）A ．(1,1,1)B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-12．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13.（2023春·高二课时练习）已知四边形ABCD 是直角梯形，90ABC ∠= ，SA ^平面ABCD ，1SA AB BC ===，12A D =，求平面SCD 的一个法向量．14．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1111,A D A B 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B 的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量.15．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，=90BDC ∠°，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,016．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ^平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；17.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2,AB PB =与平面xDy 的所成角为4p，E 为PB 中点，则平面ABE 的单位法向量0n =______．（用坐标表示）18．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB =，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是ö÷÷øC ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-19．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面a ，b 的法向量，则平面a ，b 交线的方向向量可以是（）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,120．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面a 内，()3,1,2=n 是平面a 的一个法向量，则下列点P 中，在平面a 内的是（）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P æöç÷èøC ．31,3,2P æö-ç÷èøD ．31,3,4P æö---ç÷èø(1)线线平行的向量表示：设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2.(2)线面平行的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.注：（1）在平面a 内取一个非零向量a ，若存在实数x ，使得u xa =，且l a Ë，则//l a ．（2）在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若存在实数,x y ，使得u xa yb =+，且l a Ë，则//l a ．(3)面面平行的向量表示：设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 .2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．题型三用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系21．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a =，平面α的一个法向量为()111，，u ®=-，则（）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交22．（2024·高二单元测试）若平面a 与b 的法向量分别是()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r，则平面a 与b 的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断23．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面a 与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面a 与平面ABC 的位置关系是________.24．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -¢¢¢¢中，222AA AB AD ¢===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD ¢分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD ¢所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．25．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0m =-，则l //a C ．若两个不同平面a ，b 的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//a bD ．若平面a 经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面a 的法向量，则1u t +=（二）已知直线、平面的平行关系求参数26.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-=，平面a 的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面a 平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-27．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =-，平面a 的法向量()222,,n x x x =+- ，若直线//l 平面a ，则x =______．28．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面a 的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l a ，则实数x =_______．29．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s ®=，平面a 的法向量()21,,n x x x ®=--，若直线l a ∥，则x =___________.30.（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，111B F B D l =，且//EF 平面1ACD ，则实数l 的值为（）A ．15B ．14C ．13D ．1231.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 中点，若直线//EF 平面11A BC ，则点F 的位置可能是（）A ．线段1CC 中点B ．线段BC 中点C ．线段CD 中点D ．线段11C D 中点32．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面a 的一个法向量为()11,2,3n =-，平面b 的一个法向量为()22,4,n k =--，若//a b ，则k 的值为______（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行解题策略：向量法证明两条直线平行的方法：两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面．33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，求证：1PQ BD .34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线PQ ∥直线RS ．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =,12AA =，点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点．(1)求证：1EF BD ^ 且1EF CC ^ ；(2)求证：EF AC ∥．（2）利用向量方法证明线面平行解题策略：1.利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2.利用向量法证明线面平行的三种思路（1）与法向量垂直：设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u , 则要证明l //α,只需证明u a ^,即0=×u a .（2）与平面内一个向量平行：在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.（3）用平面内两个不共线向量线性表示：证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.注：证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算．36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114A C =.证明：//DE 平面11ACC A ；38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体A BCD -中，AD ^平面BCD ，BC CD ^，2AD =，BD =．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．证明：PQ 平面BCD ；39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ^===^平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ^底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ^底面ABC ，90BAC ∠=°．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ^，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；43.（2024·高二课时练习）如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ∥，AP AB ^，122AB BC AP ===，D 是AP 的中点，,,E F G 分别为,,PC PD CB 的中点，将PCD V 沿CD 折起，使得PD ^平面ABCD ，试用向量方法证明AP 平面EFG .（3）利用向量方法证明面面平行解题策略：(1)由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可；(2)若能求出平面b a ，的法向量υm ，,则要证明b a //,只需证明υm //.值得注意的是，虽然空间向量的坐标运算比线性运算更为简单，但法向量的求解有时比较烦琐，有时在平面内找与直线平行的向量也不直观，因此求解时，需要灵活选择解题方法.44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD ^平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG 平面PBC ．47.（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点．求证：平面//AMN 平面BDEF ．（4）与平行有关的探索性问题解题策略：平行关系中的探究性问题探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标．48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体P ABCD -的底面ABCD 是一个直角梯形，其中90BAD ∠=,//AD BC ,BA BC a ==,2AD a =，且PA ^底面ABCD ，PD 与底面成30 角．(1)若8BC PD ×= ，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE PD ^；(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点F ，使得//EF BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱111ABC A B C - 中，已知ABC ∆为正三角形，四边形11ACC A 是菱形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11ACC A ⊥平面ABC .(1)求证：1A C ^平面BDE ；(2)若160C CA ∠= ，在线段1DB 上是否存在点M ，使得//AM 平面BDE ？若存在，求1DM DB 的值，若不存在，请说明理由．50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =.(1)求证：1AC BC ^；(2)在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点．在棱1CC 上是否存在一点Q ，使得平面1//D BQ 平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(1)线线垂直的向量表示：设 u 1，u 2 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，则l 1⊥l 2⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.(2)线面垂直的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .注：在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若0a u b u ×=×= .则l a ^．(3)面面垂直的向量表示：设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.2.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下：①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系．②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标．③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立．④得出结论，由运算结果说明原问题得证．题型四利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--= ，则（）A ．12l l ^B ．1l ∥2lC ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面a 的法向量为311,,22n æö=--ç÷èø ，则直线l 和平面a 位置关系是（）A ．l a ^B ．//l a C ．l a ÌD ．不确定54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v 为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面a ,b 的法向量（a ,b 不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A ．12n n a bÛ∥∥ B ．12n n a b ^Û^ C ．1v n l Û a ∥∥D ．1v n l ^Û^ a55.（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（）A ．1AB 和1AC B ．1A B 和1CD C ．1C D 和1B C D ．1A B 和11B C 56．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=-- ，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面a 的法向量是()6,4,1u =- ，则l a^C ．两个不同的平面,a b 的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=- ，则a b^D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0u =- ，则l a∥57．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b æö=-ç÷èør 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n æö=ç÷èø ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=r n u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1（二）已知直线、平面的垂直关系求参数58.（2023·全国·高三专题练习）设直线12,l l 的方向向量分别为(1,2,2),(2,3,)a b m =-=- ，若12l l ^，则实数m等于（）A ．1B ．2C ．3D ．459．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面a 的法向量为()1,2,0n = ，直线l的方向向量为v ，则下列选项中使得l a ^的是（）A ．()2,1,0v =- B ．()2,1,0v = C ．()2,4,0v = D ．()1,2,0v =- 60．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =- ，平面a 的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+ÎR .若l a ^，则3a b +的值为（）A ．5-B ．2-C ．1D ．461．（2024·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+Î 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r 是平面a 的法向量．若l a ^，则ab =______．62．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面a 的法向量为11,,22æöç÷èø，且l a ^，则m 为（）A ．1B ．2C ．4D ．54-63.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,,)(,)=-+-Î m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=- n 是平面a 的法向量．若l a ^，则下列选项正确的是（）A ．340a b --=B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-64．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC 中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO l =uuu r uuu r ，若PA ^平面PBC ，则实数l =（）A ．12B ．13-C D 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一点，且1(01)DG DA l l =££ ,若1A C ^平面EFG ，则l =（）A ．14B ．13C D ．1266.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ^平面ABCD ，O ，M 分别为AD ，DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ^．点N 在直线AD 上，若平面BMN ^平面ABE ，则线段AN 的长为_________．（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直解题策略：利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11CDD C 及其边界上运动，并保持1BP A C ^，若正方体边长为，则1A P 的可能取值是（）A B C D 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ^．69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，π2BAC ∠=，,,D E F 分别是11A B ，1CC ，BC 的中点．求证：AE DF ^；70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D ，E ，F 分别是所在棱的中点．则满足直线AD EF ^的图形个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）利用向量方法证明线面垂直解题策略：向量法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．求证：1AB ^平面1A BD .73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是等腰三角形，且π,26ACB AB AC ∠===，又侧棱1BB =面对角线116A C A B ==，点,D F 分别是棱11,A B CB 的中点，11344AE AC AC =+ .证明：1B E ^平面AEF ；74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2AD =，11111DD D A A A ===.求证：1AD ^平面11CDD C .（3）利用向量方法证明面面垂直解题策略：证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ^平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．求证：平面MAC ^平面PCD ；76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD .求证：平面DEA ⊥平面ECA .77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，点E 在BC 上，,,22248AD BC AB AD BC AB AD AP BE ^=====∥．求证：平面PDE ^平面PAC ；（4）与垂直有关的探索性问题解题策略：解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP → ＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体ABCDE 中，ABC V ，BCD △，CDE V 都是边长为2的等边三角形，平面ABC ^平面BCD ，平面CDE ^平面BCD ．(1)判断A ，B ，D ，E 四点是否共面，并说明理由；(2)在ABC V 中，试在边BC 的中线上确定一点Q ，使得DQ ^平面BCE ．79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 是PA 的中点．(1)求证：//PC 平面BDE ．(2)若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说明理由．80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=^ 于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ^，如图2．(1)求证：1A E ^平面BCDE ；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ^平面1A BD ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，说明理由．。

空间向量单元测试题及答案

空间向量单元测试题及答案# 空间向量单元测试题及答案一、选择题1. 空间向量$ \overrightarrow{AB} $与$ \overrightarrow{CD} $平行，那么$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} $与$ \overrightarrow{AB} $的关系是什么？A. 垂直B. 平行C. 共线D. 无法确定答案：B. 平行2. 已知空间向量$ \overrightarrow{a} = (2, 3, 1) $，$ \overrightarrow{b} = (1, -1, 2) $，求$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $的模。

A. 0B. 3C. 5D. 6答案：C. 53. 空间中任意两点A和B，它们之间的向量$ \overrightarrow{AB} $的模长是两点间的距离，这个说法：A. 正确B. 错误答案：A. 正确二、填空题4. 若空间向量$ \overrightarrow{a} $与$ \overrightarrow{b} $的夹角为90°，则$ \overrightarrow{a} $与$ \overrightarrow{b} $的点积$ \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} $等于______。

答案：05. 空间向量$ \overrightarrow{a} = (x, y, z) $，若$ \overrightarrow{a} $的模长为1，则\( x^2 + y^2 + z^2 =______。

答案：1三、简答题6. 解释空间向量的基本性质，并给出两个例子。

答案：空间向量的基本性质包括：- 向量加法满足交换律和结合律。

- 向量的数乘满足分配律。

高中数学 321空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量规范训练苏教版选修21

3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量双基达标 (限时20分钟)1．在空间直角坐标系O －xyz 中，下列向量中不是y 轴方向向量的序号是________． ①(0，1，0)；②(0，－1，0)；③(0，2，0)；④(0，1，1)．解析 y 轴方向向量可以表示为(0，k ，0)(k ≠0)，所以只有④(0，1，1)不是y 轴方向向量．答案 ④2．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 解析 α∥β⇒(－2，－4，k )＝λ(1，2，－2)，∴λ＝－2，k ＝4.答案 43．在空间直角坐标系O －xyz 中，平面xOy 的一个法向量是________．解析答案不唯一，只要与向量(0，0，1)平行的非零向量都可以．答案 (0，0，1)4．在空间直角坐标系O －xyz 中，法向量(1，0，0)对应的坐标平面是________．解析因为向量(1，0，0)平行于x 轴，所以对应的坐标平面是垂直于x 轴的平面．答案 yOz 平面5．在空间直角坐标系O －xyz 中，设平面α经过点P (1，0，0)，平面α的法向量为e ＝(1，0，0)，M (x ，y ，z )为平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系是________．解析由题意可知e ·PM →＝0，代入坐标计算即可得x ＝1.答案 x ＝16．已知平面α经过三点A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A (1，2，3)，B (2，0，－1)，C (3，－2，0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2，1，0)．综合提高（限时25分钟）7．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________．解析设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，y －x ＝0，z －x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33，y ＝33，z ＝33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，z ＝－33.答案 (33，33，33)或(－33，－33，－33) 8．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0，1，0)、(－1，0，1)、(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________．解析 ∵A (0，1，0)，B (－1，0，1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，∴AB →＝(－1，－1，1)，AC →＝(2，0，1)，P A →＝(－x ，1，－z )．∴P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，∴P A →·AB →＝(－x ，1，－z )·(－1，－1，1)＝0，P A →·AC →＝(－x ，1，－z )·(2，0，1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝13，z ＝－23，∴点P 的坐标为(13，0，－23)．答案 (13，0，－23) 9．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1，1，1)，则这两个平面的位置关系是________．解析因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以这两个平面平行．答案平行10．不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(2，3，－1)，b ＝(－6，－9，3)，则l 1，l 2的位置关系是________．解析因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.答案平行11．△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点．(1)求平面ABC 的一个法向量；(2)求x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )，∵AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b. 故可取n ＝(－3，2，2)．∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)．(2)∵点M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点，∴－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0.∴3x －2y －2z －1＝0.这就是所求的x 、y 、z 满足的关系式．12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)．所以AC 1→＝(－1，1，1)，D 1B 1→＝(1，1，0)，CB 1→＝(1，0，1)，所以AC 1→·D 1B 1→＝(－1，1，1)·(1，1，0)＝0， AC 1→·CB 1→＝(－1，1，1)·(1，0，1)＝0，所以AC 1→⊥D 1B 1→，AC 1→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，所以AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．13．(创新拓展)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，求证：OA 1⊥AM .证明如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1个单位，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M (0，0，12)，O (12，12，0)．所以OA 1→＝(12，－12，1)，AM →＝(－1，0，12)，因为OA 1→·AM →＝12×(－1)＋(－12)×0＋1×12＝0，所以OA 1→⊥AM →，所以OA 1⊥AM .。

方向向量练习题

方向向量练习题方向向量是解析几何中非常重要的概念之一，它可以帮助我们描述直线、平面以及其他几何对象的方向和位置关系。

下面是一些关于方向向量的练习题，通过解答这些题目，希望能够加深对方向向量的理解和应用。

题目一：求方向向量已知直线L过点A(1, 2, 3)和点B(4, -1, 6)，求直线L的方向向量。

解析：直线的方向向量可以由两个不同点之间的坐标差得到。

设直线L的方向向量为$$\vec{AB} = \begin{pmatrix}4-1 \\-1-2 \\6-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\-3 \\3\end{pmatrix}$$题目二：平面方向向量已知平面P通过点A(1, 2, -1)、点B(2, 3, 4)和点C(-1, 0, 3)，求平面P的方向向量。

解析：平面的方向向量可以由平面上的两个不共线向量的叉乘得到。

设平面P的方向向量为$\vec{n}$，则由叉乘的定义可知：$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$$其中，$\vec{AB}$为点A到点B的向量，$\vec{AC}$为点A到点C的向量。

对于叉乘，我们可以使用行列式的形式来进行计算：$$\vec{n} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\2-1 & 3-2 & 4-(-1) \\-1-1 & 0-2 & 3-(-1)\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\-3 \\-2\end{pmatrix}$$因此，平面P的方向向量为$\vec{n} = \begin{pmatrix}1 \\-3 \\-2\end{pmatrix}$题目三：判断共线性已知向量$\vec{a} = \begin{pmatrix}2 \\-3 \\4\end{pmatrix}$，$\vec{b} = \begin{pmatrix}4 \\-6 \\8\end{pmatrix}$，$\vec{c} = \begin{pmatrix}6 \\-9 \\12\end{pmatrix}$，判断向量$\vec{a}$、$\vec{b}$和$\vec{c}$是否共线。

空间几何中的直线方程模拟试题

空间几何中的直线方程模拟试题本文将模拟一道空间几何中的直线方程试题，通过解题过程帮助读者更好地理解和应用直线方程。

假设有一条直线L，通过已知点A(1, 2, 3)和向量 v = (2, -1, 3)。

我们的目标是确定直线L的方程。

解题步骤如下：步骤一：确定直线L的方向向量根据已知，直线L通过点A(1, 2, 3)，即直线L上存在一点A(1, 2, 3)。

另外，向量v = (2, -1, 3)是直线L的方向向量。

因此，直线L的方向向量为v = (2, -1, 3)。

步骤二：列方程我们可以假设直线L上任意一点P的坐标为(x, y, z)。

由于直线L通过点A(1, 2, 3)，所以直线L上的点P也满足以下关系式：P - A = tv其中，t为实数。

将点A(1, 2, 3)和向量v = (2, -1, 3)代入上述关系式，得到：(x, y, z) - (1, 2, 3) = t(2, -1, 3)化简得：(x-1, y-2, z-3) = t(2, -1, 3)步骤三：提取方程由于(x-1, y-2, z-3) = t(2, -1, 3)，我们可以分别提取 x, y, z 各自的方程：x - 1 = 2t --> x = 2t + 1y - 2 = -t --> y = -t + 2z - 3 = 3t --> z = 3t + 3因此，直线L的方程为：x = 2t + 1y = -t + 2z = 3t + 3通过解题过程，我们确定了直线L的方程为x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t + 3。

这个方程可以描述直线L上的任意一点P的坐标。

读者可以通过取不同的t值来得到直线L上的多个点，并进一步探究直线L的性质。

本文通过模拟试题的方式介绍了空间几何中直线方程的求解过程。

希望读者通过这个例子，加深对直线方程的理解，并能够灵活运用直线方程解决问题。

湘教版高中数学选择性必修第一册课后习题第2章平面解析几何初步直线的方向向量与法向量 (2)

2.2.4 直线的方向向量与法向量A级必备知识基础练1.直线l:x+2y-3=0的一个方向向量为( )A.(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)2.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是( )A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0C.x-2y+1=0D.x+2y-3=03.若直线l经过点A(-1,4),B(3,2),则直线l的一个法向量n=( )A.(1,-2)B.(4,-2)C.(4,2)D.(1,2)4.过点A(2,3),且法向量为向量a=(2,1)的直线方程为( )A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=05.已知点P(2,3),Q(5,t)在直线l上,且直线l的一个方向向量是v=(1,2),则t= .,则直线l的一个方向向量d可以是6.若直线l的倾斜角为3π4(只需填写一个).7.已知直线m的一个方向向量为v=(3,√3),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程.(1)过点P(3,-4);(2)与y轴的交点为(0,-3).B级关键能力提升练8.已知直线l:m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为( )A.-1B.1C.2D.-1或29.(多选题)下列说法正确的是( )A.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线l的斜率为vuB.若直线的斜率为vu,则直线l的一个方向向量为d=(u,v)C.若直线的斜率为k,则直线l的一个方向向量为d=(k,k2)D.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线的一个法向量为t=(-v,u)10.(多选题)已知直线l的一个方向向量为u=(-√36,12),且直线l经过点(1,-2),则下列结论正确的是( )A.直线l的倾斜角等于120°B.直线l与x轴的交点坐标为(2√33,0)C.直线l与直线y=√3x+2垂直D.直线l与直线y=-√3x+2平行11.已知△ABC的顶点C的坐标为(1,1),AC所在直线的方向向量为(1,2),AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则点A的坐标为( )A.(13,-13)B.(23,-13)C.(23,-23)D.(13,-23)12.若一条直线的斜率为k,则该直线的一个方向向量是,一个法向量是.13.已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若直线l1的一个法向量恰为直线l2的一个方向向量,则a= .14.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,-1),C(6,5).求:(1)AB边所在直线的一个方向向量与一个法向量;(2)AB边的中垂线的一般式方程.15.已知直线l:(a2-2a+4)x-ay-3=0.(1)若直线l过点A(1,0),试写出直线l的一个方向向量;(2)若实数a≠0,求直线l斜率的取值范围.C级学科素养创新练16.(多选题)已知经过坐标平面内A(1,2),B(-2,2m-1)两点的直线的方向向量为(1,sin α),则实数m的值可以为( )A.-1B.0C.2D.32.2.4 直线的方向向量与法向量1.A 由题知,直线l 的斜率为k=-12,设直线l 的方向向量为(x,y),则yx=-12,只有A 项满足.2.A ∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2.∴直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选A.3.D 因为A(-1,4),B(3,2),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2). 若n=(1,-2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=4+4=8≠0,不满足; 若n=(4,-2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=16+4=20≠0,不满足; 若n=(4,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=16-4=12≠0,不满足; 若n=(1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=4-4=0,满足. 故选D.4.A 设P(x,y)是所求直线上除点A 外任一点,则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥a, ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-3),∴2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.经检验,点A 在直线2x+y-7=0上,故直线方程为2x+y-7=0.5.9 由直线l 的一个方向向量是v=(1,2),可知直线l 的斜率为k=2,因此t -35-2=2,解得t=9.6.(1,-1)(答案不唯一) 设直线l 的一个方向向量d=(x,y),因为直线l 的倾斜角为3π4,所以直线l 的斜率k=tan 3π4=-1,故yx=-1.令的一个方向向量为v=(3,√3),∴直线m的斜率为√33,则直线m的倾斜角为30°,则直线l的倾斜角为60°,即直线l的斜率为tan60°=√3.∵直线l过点P(3,-4),∴直线l的点斜式方程为y-(-4)=√3(x-3).(2)由(1)知直线l的斜率为√3.∵直线l与y轴的交点为(0,-3),∴直线l的点斜式方程为y-(-3)=√3(=-1或m=2.9.BD 当u=0时,斜率不存在,故A错误;由方向向量与斜率的关系,可知B 正确;当k=0时,方向向量为零向量,故C错误;由于d·t=-uv+uv=0,故D正确.故选BD.10.AD 因为直线l的一个方向向量为u=(-√36,12),所以直线l的斜率k=12-√36=-√3,则得直线l的倾斜角为120°,故A正确;直线l的方程为y+2=-√3(x-1),当y=0时,x=1-2√33,即直线l与x轴交于点(1-2√33,0),故B不正确;直线y=√3x+2的一个法向量为(√3,-1),则√3×(-√36)+(-1)×12=-1≠0,即直线l 与直线y=√3x+2不垂直,故C 不正确;直线y=-√3x+2的斜率为-√3,直线l 的斜率为-√3,且两条直线在y 轴上的截距不相等,则直线l 与直线y=-√3x+2平行,故D 正确.11.A 设点A 的坐标为(x 0,y 0),AC 所在直线的方向向量为(1,2),则AC 所在直线的斜率k=1-y 01-x 0=21,即1×(1-y 0)-2(1-x 0)=0,整理得y 0=2x 0-1.所以A(x 0,2x 0-1),则线段AC 的中点坐标为(1+x 02,x 0).因为AC 边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则线段AC 的中点(1+x 02,x 0)在直线x+y-1=0上,即1+x 02+x 0-1=0,解得x 0=13,所以点A 的坐标为(13,-13).12.(1,k) (k,-1)(答案不唯一) 因为直线的斜率为k,所以它的一个方向向量为(1,k),设直线的一个法向量为(x,y),则(x,y)·(1,k)=x+ky=0,不妨取x=k,y=-1,则它的一个法向量是(k,-1).13.3 因为直线l 1:ax-2y-3=0的一个法向量恰为直线l 2:4x+6y-3=0的一个方向向量,所以l 1⊥l 2.直线l 1的一个法向量为(a,-2),直线l 2的一个法向量为(4,6),所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.14.解(1)由A(1,2),B(4,-1)知,AB 边所在直线的一个方向向量是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-3).故AB 边所在直线的一个法向量为(3,3).(答案不唯一) (2)设线段AB 的中点为M,则点M (52,12).设AB 边的中垂线的一个方向向量为d,则d ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-3),所以取d=(1,1),则中垂线斜率为k=1,则可得中垂线的方程为y-12=1×(x -52).整理得AB 边的中垂线的一般式方程是x-y-2=0.15.解(1)把A(1,0)的坐标代入直线l 的方程得a 2-2a+1=0,解得a=1,此时直线l 的方程为3x-y-3=0,故直线l 的一个方向向量为(1,3).(答案不唯一)(2)设直线l 的斜率为k,因为a≠0,所以直线l 的斜率k=a 2-2a+4a=a+4a-2,所以当a>0时,k=a+4a-2≥2√a ·4a-2=2,当且仅当a=2时,等号成立; 当a<0时,k=-[(-a )+(-4a )]-2≤-2√(-a )·(-4a )-2=-6,当且仅当a=-2时,等号成立.综上,直线l 斜率的取值范围为(-∞,-6]∪[2,+∞).16.BCD 由题意知直线的斜率一定存在,设直线AB 的斜率为k,由A(1,2),B(-2,2m-1)两点知k=2m -1-2-2-1=3-2m 3,由直线的方向向量为(1,sinα),可得k=sinα.因为-1≤sinα≤1,所以k∈[-1,1],即-1≤3-2m≤1,解得0≤m≤3.则实3数m的值可以为0,2,3,故选BCD.第11页共11页。

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直线的方向向量（空间）测试题
1. 已知直线l 的一个方向向量m ⃗⃗⃗ =(2,−1,3)，且直线l 过A(0,y ，
3)和B(−1,2，z)两点，则y −z =( )
A. 0
B. 1
C. 3
2
D. 3
2. 设A(2,2，3)，B(4,0，1)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )
A. (1,2，5)
B. (3,−2,−2)
C. (1,−1,−1)
D. (−1,1，−1)
3. 设l 1的方向向量为a ⃗ =(1,2，−2)，l 2的方向向量为b ⃗ =(−2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m
等于( )
A. 1
B. 2
C. 1
2
D. 3
4. 若点A (−1
2,0,1
2)，B (1
2,2,7
2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )
A. (13,2
3,1)
B. (13,1,2
3)
C. (23,1
3,1)
D. (1,23,1
3)
5. 若两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为ν1⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，
ν2⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，则l 1和l 2的位置关系是( )
A. 平行
B. 相交
C. 垂直
D. 不确定
6. 已知向量a ⃗ =(2,4，5)，b ⃗ =(3,x ，y)，分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1//l 2，
则( )
A. x =6，y =15
B. x =3，y =15
C. x =83，y =10
3
D. x =6，y =15
2
7. 直线2x −3y +1=0的一个方向向量是( )
A. (2,−3)
B. (2,3)
C. (−3,2)
D. (3,2)
8. 已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则不正确的有( )
A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量
B. AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量是(1,1,0) C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值是√5511 D. 直线AC 的一个方向向量是(2,−4,−2) 9. 已知直线l 的一个方向向量为u →
=(−
√36,1
2
)，且l 经过点(1,−2)，则下列结论中正
确的是( )
A. l 的倾斜角等于150°
B. l 在x 轴上的截距等于2√33
C. l 与直线√3x −3y +2=0垂直
D. l 与直线√3x +y +2=0平行
10. 已知向量A (−1,0，1)，B (1,2，0)，请写出直线AB 的一个单位方向向量________．
答案和解析
1. 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2−y,z −3)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k m ⃗⃗⃗ ．∴−1=2k ，2−y =−k ，z −3=3k ．解得k =−1
2，y =3
2=z ．∴y −z =0．故选：A ．
2.解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,1)−(2,2,3)=(2,−2,−2)，因为(2,−2,−2)=2(1,−1,−1) 故选C ．
3.B
4.解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，3)，而(13,2
3,1)=1
3(1,2，3)=1
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(13,2
3,1)是直线l 的一个方向向量．故选A ．
5.解：∵两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为ν1⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，ν2⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， ∴v 2⃗⃗⃗⃗ =−2v 1⃗⃗⃗⃗ ，即ν2⃗⃗⃗ 与v 1⃗⃗⃗⃗ 共线，∴l 1和l 2的位置关系是直线l 1//l 2，故选：A ．
6.解：∵l 1//l 2，∴存在实数k 使得b ⃗ =k a
⃗ ,∴{3=2k
x =4k y =5k
，解得x =6，y =15
2．故选D ． 7.解：由题意可得：直线2x −3y +1=0的斜率为k =2
3，
所以直线2x −3y +1=0的一个方向向量d ⃗ =(1,23
)，或(3,2)故选D ． 8.解：A.根据题意两个向量的坐标表示，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以A 错误； B .结合题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量为：(2√55
,√5
5
,0)，所以B 错误；
C .AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1)，所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√55
11
，所以C 错误; D .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,1)，故直线AC 的一个方向向量是，所以D 正确．
故选ABC ．
9.解：∵直线l 的一个方向向量为u ⃗ =
(−√36,1
2)，∴直线
l 的斜率为k =
12−√36
=−√3，故倾
斜角为120°，故A 错误；
又过点(1,−2)，故直线l 的方程为y +2=−√3(x −1)，即√3x +y +2−√3=0，令y =0，解得x =1−
2√3
3
，故l 在x 轴上截距为1−2√33
，故B 错误；
∵直线√3x −3y +2=0的斜率为k 1=√3
3，∴k ·k 1=−√3×√3
3=−1，∴l 与直线√3x −
3y +2=0垂直，故C 正确；
∵直线√3x +y +2=0的斜率为k 2=−√3，与直线l 的斜率相等，但纵截距不等，∴l 与直线√3x +y +2=0平行，故D 正确．故选CD ．
10.解：因为A (−1,0，1)，B (1,2，0)，
则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−1)，所以|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9=3，所以直线AB 的单位方向向量是±1
3(2,2,−1)=±(23,2
3,−1
3)，故答案为
．。