最新空间向量运算的坐标表示练习题

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空间向量的坐标运算练习

空间向量的坐标运算练习SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#空间向量的坐标运算——11、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点答：a 的__________________________； b 的________________________________2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是___________;在yoz 面上的射影坐标是___________5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若AB 52OC =，则C 点的坐标是______________7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0，2)A ：2D 3C 4B 6ππππ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标：______________=______________=______________=A A''AR_________10、已知A(3,4,4)，B(-2,-1,5)，C(4,5,0)，若D在线段AC上，且三角形ABD的面积是三角形ABC面积的四分之一，（1）求D点的坐标；（2）求向量BD的坐标。

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示3.若向量，，则向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示4.已知向量，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量10.已知点，点和点，则三角形的边上的中线长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量模的运算。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精练）1．（2023甘肃）在空间直角坐标系中，若(1 1 0)A ，，，(6 0 2)AB =，，，则点B 的坐标为（）A ．(5 1 2)--，，B ．(7 1 2)-，，C ．(3 0 1)，，D ．(7 1 2)，，【答案】D【解析】设( )B x y z ，，，则(1 1 )(6 0 2)AB x y z =--= ，，，，，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：7x =，1y =，2z =．所以点B 的坐标为(7 1 2)，，．故选：D 2．（2022·全国·高二专题练习）若(2,4,1)A --，(1,5,1)B -，(3,4,1)C -，则CA CB ⋅=（）A ．-11B ．3C ．4D ．15【答案】C【解析】由已知，(23,4(4),11)(1,0,2)CA =------=--，(13,5(4),11)(4,9,0)CB =-----=- ，∴4004CA CB ⋅=++=.故选：C ．3．（2023春·重庆=）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A ．()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B ．()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C ．()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D ．()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【答案】D【解析】对于A ，设()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B 错误；对于C ，设()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C 错误；对于D ，设()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+，解得12λμ==，所以,,a b c共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D 正确.故选：D4．（2023北京）已知向量()()12,3,4,4,3,2,22a b b c a =-=---=- ,则c =（）A ．()0,3,6-B ．()0,6,20-C ．()0,6,6-D ．()6,6,6-【答案】B【解析】∵向量()()12,3,4,4,3,2,22a b b c a =-=---=-,∴()()()428,12,168,6,40,6,20c a b =+=-+---=- .故选:B.5（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量(1,1,)a x =，(2,2,3)b =-，若(2)1a b b -⋅=，则x =（）A ．3-B ．3C ．1-D ．6【答案】B【解析】由题意知，2(4,0,23)a b x -=- 由(2)1a b b -⋅=，得4(2)02(23)31x ⨯-+⨯+-⨯=，解得3x =.故选：B.6．（2023·河南周口=）已知向量(2,3,3)a = ，向量b满足|2||32|a b a b -=+ ，则a b ⋅= （）A ．22B ．11C ．22-D ．11-【答案】D【解析】因为|2||32|a b a b -=+ ，所以2222449124a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，则21112a b a ⋅=-=- ．故选：D 7．（2023·高二单元测试）若直线12,l l 的方向向量分别为()()0,2,1,1,2,4a b =-=，则（）A ．12l l ∥B ．12l l ⊥C ．12,l l 相交但不垂直D ．12,l l 平行或重合【答案】B【解析】由题意()()0,2,1,1,2,4a b =-=∵()02214440a b ⋅=+⨯+-⨯=-= ，∴a b ⊥，∴12l l ⊥.故选：B.8．（2023·黑龙江黑河·高二校联考阶段练习）（多选）已知()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--，若,a b 为钝角，则实数λ的值可以是（）A ．1B ．3-C ．4-D ．5-【答案】BC【解析】因为()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--，,a b 为钝角，所以0a b ⋅< 且a 与b不共线，由0a b ⋅<，得140λ---<，得5λ>-，当a 与b 时，令a b μ= ，则()()1,2,1,2,1λμ-=--，得11λμ=⎧⎨=-⎩，所以当5λ>-且1λ≠时，,a b为钝角，故选：BC9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =- ，下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥ ，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b上的投影向量为13b ，则4x =D ．若a 与b 夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】对于A ： a b ⊥，∴0a b ⋅=，即：()()2,1,34,2,8230a b x x ⋅=-⋅-=--+=，解得：103x =.故A 选项正确；对于B ： ()32,1,10a b +=-，∴()()()()332,1,34,2,2,1,92,1,10a b x x +=-+-=-+=- ∴910x +=，解得：1x =.故B 选项正确；对于C ：a 在b上的投影向量为：a b b bb ⋅⋅，即13a b b b bb ⋅⋅=，代入坐标化简可得：29500x x -+=，x 无解，故C 选项错误；对于D ： a 与b 夹角为锐角，∴1030a b x ⋅=-+> ，解得：103x >，且a 与b 不共线，即42,2313x x -≠≠-，解得：6x ≠-，所以a 与b 夹角为锐角时，解得：103x >.故D 选项正确；故选：ABD.10．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）（多选）已知向量(),2,2a m m = ，()25,,1b m m =---，则下列结论正确的是（）A ．若//a b r r，则2m =B ．若a b ⊥ ，则25m =-C ．a r的最小值为2D ．a r的最大值为4【答案】ABC【解析】对于A ，若//a b r r，且(),2,2a m m = ，()25,,1b m m =--- ，则存在唯一实数λ使得a b λ=，即()()(),2,225,,m m m m λλλ=---，则()2522m m m m λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，解得22m λ=⎧⎨=-⎩，故A 正确；对于B ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，即()225220m m m ---=，解得25m =-，故B正确；a ==r，故当0m =时，a r 取得最小值2，无最大值，故C 正确，D 错误.故选：ABC.11．（2022秋·高二单元测试）（多选）已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b = ，则下列结论正确的是（）A ．(2)//a b a+B．5||||a bC ．(56)⊥+ a a b ）D ．a 与b夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】因为2(1,2,7),(2,1,1)a b a +=-=--，且1221-≠--，故A 不正确；因为||a =||b =5||||a b = ，故B 正确；因为56(8,19,35)a b +=，()()()5628119135056a a b a a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=⊥+ ，，故C 正确；由于(2,1,1)a =-- ，(3,4,5)b =，所以cos ,||||a b a b a b ⋅<>==D 正确.故选:BCD.12．（2023秋·高一单元测试）若向量()1,1,2a =--与()1,,2b x = 的夹角为锐角，则实数x 的值可能为（）.A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】CD【解析】因为()1,1,2a =--与()1,,2b x = 的夹角为锐角，所以(1)11(2)250a b x x ⋅=-⨯+⨯+-⨯=->，解得5x >，当a 与b共线时，12112x ==--，解得=1x -，所以实数x 的取值范围是5x >，经检验，选项C 、D 符合题意.故选：CD13．（2023·高三课时练习）若ABCD 为平行四边形，且已知点()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为______．【答案】()1,13,3--【解析】设(),,D x y z ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以()()2,6,23,7,5x y z ---=-----，所以327652x y z --=-⎧⎪-=-⎨⎪--=-⎩，所以1133x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即()1,13,3D --.故答案为：()1,13,3--.14．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB AD ⊥，1224AA AB AD CD ====，E ，F ，G 分别为棱1DD ，11A D ，1BB 的中点.(1)求线段FG 的长度；(2)求CG EF ⋅ .【答案】(2)6【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()1,4,0,0,2,4F G ，故()1,2,4FG =--，所以FG ==即线段FG ；（2）()()2,0,2,2,2,0C E ，则()()2,2,2,1,2,0CG EF =-=-，所以2406CG EF ⋅=++=.15．（2023春·高二课时练习）如图，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，1PO =，M 是PC 的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【解析】由正棱锥的结构特征可知：PO ⊥平面ABCD ，方法一：以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，作z 轴//PO ，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122P ⎛⎫⎪⎝⎭，331,,442M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则2A ⎫⎪⎪⎝⎭，,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0O ，()0,0,1P ，142M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.16．（2022秋·重庆江北·高二校考期末）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，2PA AD ==，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求点C 到平面MND 的距离.【答案】(1)证明见解析【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,0,1,1,1A B C D P M N ，()()()0,1,1,2,2,2,2,0,0MN PC DC ==-=，由0,0,MN PC MN DC MN PC MN DC ⋅=⋅=⇒⊥⊥，又,DC PC C DC PC =Ì 、平面PCD ，∴MN ⊥平面PCD .（2）∵ND ⊂平面PCD ，∴MN ND ⊥，设点C 到平面MND 的距离为h ，()()2220112,1113MN ND =++==-++-=，N CDM C MND V V --=，则有1111221233232h 骣骣琪琪创创=创琪琪桫桫，解得263h =.故点C 到平面MND 的距离为26317．（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E 、F 分别是1DD 、DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求1cos ,EF C G <>；(3)求FH 的长．【答案】(1)证明见解析;3015(3)223.【解析】（1）解：如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则11(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,,0)43D E F C C B G ,因为1(1,1,1),(2,0,2)B E C F -=-=-，所以(1,1,1)(2,0,2)1(2)10(1)(2)0EF BC ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥ ，故1EF B C ⊥；（2）解：因为12(0,,2)3C G =--，所以1||C G =因为||EF = 1224(1,1,1)(0,,2)2333EF C G ⋅=-⋅--=-= ,所以111443cos ,3||||EF C GEF C G EF C G ⋅<>==⋅（3）解：因为H 是1C G 的中点，所以5(0,,1)3H 又因为(1,1,0)F ，所以2(1,,1)3HF =--,||3FH = .即3FH =.18．（2022·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，2AB BC BB '===，AB BC ⊥，D 为AB 的中点，点E 在线段C D '上，点F 在线段BB '上，求线段EF 长的最小值．【解析】依题意，BA 、BC 、BB '两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,2)B '，(2,0,2)C '，则(2,1,2)DC '=- ，(0,0,2)BB '= ，设DE DC λ'=，[0,1]λ∈，则(2,1,2)E λλλ-，设(0,0,)F z ，02z ≤≤，则(2,1,2)EF z λλλ=---．若线段EF 的长最小，则必满足EF BB '⊥，则EF 0BB '⋅=，可得2z λ=，即(2,1,0)EF λλ=-- ，因此，||EF ==≤ 当且仅当15λ=时等号成立，所以线段EF．19．（2023云南）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PBC 为等腰直角三角形，且90CPB ∠=︒，四边形ABCD 为直角梯形，满足//AD BC ，CD AD ⊥，24BC CD AD ===，PD =(1)若点F 为DC 的中点，求cos ,AP BF；(2)若点E 为PB 的中点，点M 为AB 上一点，当EM BF ⊥时，求AM AB的值．【答案】(1)25-(2)34【解析】（1）因为PBC 为等腰直角三角形，90CPB ∠=︒，4BC CD ==，所以PC PB ==，又(2224PD ==，(2222424PC CD +=+=，所以DC PC ⊥．而CD AD ⊥，//CD BC ，故CD BC ⊥，因PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，故CD ⊥平面PBC .以点C 为原点，CP ，CD 所在直线分别为x ，z 轴，过点C 作PB 的平行线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示．则()P，()B ，()0,0,2F，)4A，()B ．则)4AP =-，()2BF =--，所以()422cos ,5AP BFAP BF AP BF-+⨯-+-⨯⋅==-⋅．（2）由（1）知()E ，设AM t AB =，而)4AB =-，所以),4AMt =-，所以),44Mt -，所以),44EM t =-，又()2BF =--，因为EM BF ⊥，故0EM BF ⋅=，所以880t --+-=，解得3t 4=，所以34AM AB=．20．（2023天津）如图，已知多面体111ABCA B C ABC ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.证明：1AB ⊥平面111A B C .【答案】证明见解析【解析】证明：如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意知各点坐标如下：()0,A，()1,0,0B ，()10,4A ，()11,0,2B ，()1C ．因此()1AB = ，()112A B =-，()113AC =- ．由1110AB A B ⋅= ，得111AB A B ⊥．由1110AB AC ⋅=，得111AB A C ⊥．又因为11111A B A C A = ，所以1AB ⊥平面111A B C ．1．（2023广西）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】以D 为原点，,DA DC 分别为x 轴、y 轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，设(,,0)M x y ，正方形边长为a ，则()2a P ，则MC MP ==由MC MP ==2x y =，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条直线12y x =的一部分故选：A.2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1AMB M ⊥B ．1//CD 平面1A BPC ．动点P的轨迹长为3D ．AM 与11A B所成角的余弦值为3【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()10,2,2A ，()0,0,0B ，()2,1,0M ，(),,0P x y ，所以()10,2,2A B =-- ，(),,0BP x y = ，()2,1,2AM =- ，由//AM 平面1A BP ，得1AM a A B bBP =+ ，即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，化简可得320x y -=，所以动点P 在直线320x y -=上，A 选项：()2,1,2AM =- ，()12,1,0B M =- ，()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠ ，所以AM 与1B M不垂直，所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ，1A B ⊂平面1A BP ，1CD ⊄平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上，且P 为侧面11BCC B 上的动点，则P 在线段1PB 上，14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1PB ==C 选项正确；D 选项：()110,0,2A B =-，112cos ,3AM A B ==，D 选项错误；故选：BC.3．（2023黑龙江）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B （含边界）内，若1D MCP ⊥.则△BCM 面积的最小值为（）A ．8B．4C ．5D ．5【答案】D【解析】以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()402P ，，，()040C ，，，()1004D ，，，()440B ，，，设()[]()404M a b a b ∈，，，，，则()144D M a b =- ，，，()442CP =-，，，因为1D M CP ⊥，所以1164280D M CP a b ⋅=-+-=，得24b a =-，所以()424M a a -，，，所以BM ==当125a =时，BM ∣∣取最小值易知4BC =，且BC ⊥平面11AA B B ，BM ⊂平面11AA B B 故BC BM ⊥，故12BCM BC BM S =⨯△所以BCM S △142⨯=．故选：D.4.（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =- ，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF ==故选：B.5．（2023内蒙古）如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP ⊥，则点S 与P 距离的最小值是___________．【解析】如图，以O 为原点，OB 为y 轴，OS 为z轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，(S，M ⎛ ⎝⎭，设(),,0P x y ，则2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,,2MP x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AM MP ⊥，∴0AM MP ⋅= ，解得34y =，∴SP =当0x =时，点S 与P 距离的最小，其最小值为4．6．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =- ，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥=>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒== 故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．7．（2023·江苏）（多选）设正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则（）A ．存在点P ，使得A 1P ∥平面11B CD B ．当PC PD ⊥时，|A1P |2的最小值是10-C ．若1APC 的面积为1，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分D ．若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，则动点P 的轨迹围成图形的面积为π【答案】ABD【解析】A 选项，连接11,,A D DB A B ，则BD ∥11B D ，11B D ⊂平面11B CD ，BD ⊄平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ，同理可证：1A D ∥平面11B CD ，而1A D BD D ⋂=，所以平面1A DB ∥平面11B CD ，故点P 在线段BD上时，满足A 1P ∥平面11B CD ，A 正确；B 选项，取CD 中点E ，以E 为圆心，EC 为半径在平面ABCD 中作圆，如图，为圆弧CD ，当P 点在弧CD 上时，能够满足PC PD ⊥，连接AE 交圆弧CD 于点P ，此时AP 的长度最小，则|A 1P |2取得最小值，其中由勾股定理得：AE =1AP =，由勾股定理得：)2222111410A P AP A A =+=-+=-B 正确；连接1AC ，由勾股定理可得：1AC =，若1APC 的面积为1，则动点P 到直线1AC3=，以1AC ABCD 的交线即为P 点的轨迹，由平面知识可知：用平面不垂直于轴去截圆柱，得到的是椭圆的一部分，C 错误；D 选项，若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，设外接球半径为R ，则2414ππ4R =，解得：4R =，设F 球心O 在平面111A B C 上的投影为F ，则F 在线段11AC 的中点，1A F =P 在平面1111D C B A 投影为G ，过点O 作OH ⊥GP 于点H ，连接1OA ，OP ，则OH =FG ，OF =HG ，14OA OP R ===，其中PG =2，则由勾股定理得：34OF ==，则35,244GH PH GH ==-=，则1OH ==，所以1,FG FP ==P 点到FP 的轨迹围成图形是半径为1的圆，面积为π，D 正确.故选：ABD8．（2023·山东枣庄）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为______.【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取BC 中点G ，连接11,,AG AD D G ，如图，因E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，则1//EF AD ，而EF ⊂平面BEF ，1AD ⊄平面BEF ，则有1//AD 平面BEF ，因11////BC AD A D ，则1//BG D F ，而1BG D F =，则有四边形1BGD F 为平行四边形，有1//D G BF ，又BF ⊂平面BEF ，1D G ⊄平面BEF ，于是得1//D G 平面BEF ，而111AD D G D ⋂=，11,AD D G ⊂平面1AD G ，因此，平面1//AD G 平面BEF ，即线段AG 是点P 在底面ABCD 内的轨迹，AG ===所以点P9.（2023湖南）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.【答案】2【解析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，)A ，所以()10,1,M n m D =- ，()AM n = ，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-= ，所以1m n n-=，所以1112MAD S M AM D =⋅=△32≥=，当且仅当n m =所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱12AA =.故答案为：2.。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精讲)(解析版).

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）考点一空间向量坐标的表示【例1-1】（2022·广东）在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，则AM 在基底{}1,,AA AD AB 下的坐标为（）A ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题可知，M 为1DC 的中点，∴()()11111112222AM AD DM AD DD DC AD AA AB AA AD AB =+=++=++=++，∴坐标为11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则它在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）．A ．15,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．151,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，可设向量()1,0,0a =，()0,1,0b =，()0,0,1c =，则向量()1,1,0a b +=，()1,1,0a b -=-，又向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+，则()()3,2,1,,x y x y z =+-，即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为51,,122⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.【例1-3】（2022·吉林白山）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，M是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =uuu r uuu r ，3MG GN =，若1AG xAA yAB zAC =++uuu r uuu r uu u r uuu r，则x y z ++=（）A ．78B ．98C ．118D ．138【答案】C【解析】以1A 为坐标原点，1A A ，11A B ，11AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系1A xyz -.不妨令4AB =，则()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,0,0A ，()2,0,2C ，()0,0,1M ，4,4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为3MG GN =uuu r uuuu r ，所以11,3,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,3,4AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，()12,0,0AA =-uuu r ，()0,4,0AB =，()0,0,2AC =，则12,34,12,4x y z ⎧⎪-=-⎪=⎨⎪⎪=⎩解得12x =，34y =，18z =，故118x y z ++=.故选：C【一隅三反】1．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（）A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【解析】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．2．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【解析】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.3．（2022·河北）（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()13,1A B ．()11,0,1C C ．()10,3,1AD =D ．)13,3,1B A =-【答案】ABC【解析】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以AD =()()()111,,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,,1,1AD B A ==.故选：ABC考点二空间向量坐标的运算【例2-1】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量()2,1a =r ，()1,2b =-r ，则3a b -的坐标为（）A ．()1,5--B ．()1,7-C ．()1,5-D ．()1,7【答案】B【解析】()2,1a =r ，()1,2b =-r ，∴()()()()()32,131,22,13,61,7a b -=--=--=-．故选：B ．【例2-2】（2022·四川）已知空间向量()1,2,3a =，(),1,b m n =-，若a b ∥，则m n +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【解析】由1123m n -==，解得13,22m n =-=-，则m n +=2-.故选：A.【例2-3】（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（）A ．3B ．4-C ．3-D ．4【答案】A【解析】由题意可得0a b ⋅=，故322(1)00m ⨯-+-⨯=，则3m =，故选：A【例2-4】（2022·全国·高二）已知空间三点()0,0,0O ，()1,1,0A -，()0,1,1B ，在直线OA 上有一点H 满足BH OA ⊥，则点H 的坐标为.A ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-【答案】B【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1），∴OA =（﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0），则BH =（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH ⊥OA ，∴BH •OA =0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ12=，∴点H （12-，12，0）．故选B ．【一隅三反】1．（2022·黑龙江）已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A 【解析】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A2．（2022·山东淄博·高二期末）已知向量()2,0,1a =，()3,1,4b =，则2a b -=（）A ．()4,2,7-B ．()4,2,7---C ．()4,2,7-D ．()4,2,7-【答案】B【解析】因为()2,0,1a =，()3,1,4b =，所以()()()2,0,16,2,8,724,2a b -=-=---故选：B 3．（2022·全国·高二课时练习）已知()2,3,1a =--，()4,0,8b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（）A ．a c ∥，b c ∥B ．a b ∥，a c ⊥C ．a c ∥，a b ⊥D ．以上都不对【答案】C【解析】由题意知：2c a =，24180b a ⋅=-⨯+⨯=，故a c ∥，a b ⊥.故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（）A ．6-B ．a-C ．322-D ．34-b【答案】C【解析】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()2222322a b b⋅=+--.故选：C.5．（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-r且a c ⊥，//b c ，则a b +=（）A ．22B ．23C ．4D ．3【答案】D【解析】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b +=.故选：D.考点三空间向量在几何中运用【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=o ，棱12AA =，M 、N 分别为11A B 、1A A 的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求BN 的模；(2)求11cos ,A B B C <>的值；(3)求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】10(3)证明见解析【解析】(1)解：因为1CC ⊥平面ABC ，90BCA ∠=o ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()1,0,1N ，所以，()1,1,1BN =-，则BN =(2)解：依题意得()11,0,2A 、()0,0,0C 、()10,1,2B 、()0,1,0B ，所以，()11,1,2A B =--uuu r，()10,1,2B C =--，110143A B B C ∴⋅=-+=，又1A B ==，1B C =所以，111111cos ,10A B B C A B B C A B B C⋅<>==⋅.(3)证明：依题意得()11,0,2A 、()10,0,2C 、()0,1,0B 、()1,0,1N 、11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuuu r ，()11,0,1N C =-，()1,1,1BN =-，所以，()1111101022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()11101110C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，则1C M BN ⊥，1C BN N ⊥，即1BN C M ⊥，1BN C N ⊥，又因为111=C MC N C ，所以，BN ⊥平面1C MN .【一隅三反】1．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点()1,1,1A --，()1,2,2B --，()2,4,1C -，则AB 与AC 的夹角θ的大小是______．【答案】3π【解析】因为()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，所以2367A AB C ⋅=-++=所以AB ==AC ==1cos 2AB AB AC ACθ⋅===⋅因为[]0,θπ∈，所以3πθ=故答案为：3π2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1AMB M ⊥B ．1//CD 平面1A BPC．动点P D ．AM 与11A B 【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()10,2,2A ，()0,0,0B ，()2,1,0M ，(),,0P x y ，所以()10,2,2A B =--，(),,0BP x y =，()2,1,2AM =-，由//AM 平面1A BP ，得1AM a A B bBP =+，即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，化简可得320x y -=，所以动点P 在直线320x y -=上，A 选项：()2,1,2AM =-，()12,1,0B M =-，()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠，所以AM 与1B M 不垂直，所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ，1A B ⊂平面1A BP ，1CD ⊄平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上，且P 为侧面11BCC B 上的动点，则P 在线段1PB 上，14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以13PB ==，C 选项正确；D 选项：()110,0,2A B =-，112cos ,3AM A B ==，D 选项错误；故选：BC.3．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．(1)在AB 上是否存在点D ，使得1AC CD ⊥(2)在AB 上是否存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ？【答案】(1)存在(2)存在【解析】(1)直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，则AC 、BC 、1CC 两两垂直如图，以C 为坐标原点，射线CA 、CB 、1CC 分别为,,x y z 轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()10,0,4C ，()0,4,0B ，()10,4,4B ．（1）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，于是()33,4,0CD λλ=-，由于()13,0,4AC =-，且1AC CD ⊥，所以1990AC CD λ⋅=-+=，得1λ=，所以在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合．(2)假设在AB 上存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，()133,44,4B D λλ=---．又()10,4,4B C =--，()13,0,4AC =-，1AC ∥平面1CDB ，所以存在实数,m n ，使111AC mB D nB C =+成立，∴()333m λ-=-，()4440m n λ--=，444m n --=．所以12λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC ∥平面1CDB ，且D 是AB 的中点．考点四空间向量数量积取值范围【例4】（2021·浙江·绍兴一中高二期中）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【一隅三反】1．（2022·江苏南通）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，P 是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且1AB BC CD DE EF AF ======，由正六边形的性质可得，()()130,0,0,1,0,0,,0,,022A B F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，设(),,P x y z ，其中1322x -<<，所以()=1,0,0AB ，(),,AP x y z =，所以AB AP x ⋅=，所以AB AP ⋅的取值范围13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知O 为坐标原点，OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．123,,234⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设OQ OP λ=，则QA ＝OA －OQ ＝OA －λOP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝OB －OQ ＝OB －λOP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA QB ⋅＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2412333λ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以当λ＝43时，QA QB ⋅取得最小值，此时OQ ＝43OP ＝448,,333⎛⎫⎪⎝⎭，即点Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B （含边界）内，若1D M CP ⊥.则△BCM 面积的最小值为（）A ．8B ．4CD 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()402P ，，，()040C ，，，()1004D ，，，()440B ，，，设()[]()404M a b a b ∈，，，，，则()144D M a b =-，，，()442CP =-，，，因为1D M CP ⊥，所以1164280D M CP a b ⋅=-+-=，得24b a =-，所以()424M a a -，，，所以BM当125a =时，BM ∣∣取最小值5，易知4BC =，且BC ⊥平面11AA B B ，BM ⊂平面11AA B B 故BC BM ⊥，故12BCM BC BM S =⨯△所以BCM S △的最小值为451854525⨯⨯=．故选：D.考点五空间几何中的轨迹问题【例5-1】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF ==故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP ⊥，则点S 与P 距离的最小值是___________．574【解析】如图，以O 为原点，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，(3S ，32M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),,0P x y ，则32AM ⎛= ⎝⎭，3,,2MP x y ⎛=- ⎝⎭，∵AM MP ⊥，∴0AM MP ⋅=，解得34y =，∴SP =当0x =时，点S 与P ．．2．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．3．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．。

空间向量运算的坐标表示习题

空间向量运算的坐标表示习题1. 向量a ⃗ =(2,4,−4),b ⃗ =(−2,x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值为( )A. −3B. 1C. −1D. 32. 在空间坐标系中，点P(1,−2,5)到坐标平面xOz 的距离为( )A. 2B. 1C. 5D. 33. 若向量a ⃗ =(1,λ,1),b ⃗ =(2,−1,−2)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦为√26，则λ等于( )A. −√2B. √2C. −√2或√2D. 24. (理)若点A(2,3，2)关于xoz 平面的对称点为A′，点B(−2,1，4)关于y 轴对称点为B′，点M 为线段A′B′的中点，则|MA|=( )A. √30B. 3√6C. 5D. √215. 在空间直角坐标系中，点B 是A(2,3，4)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB|等于( )A. 2√3B. √13C. 2√5D. 56. 向量a ⃗ =(2,4,x)，b ⃗ =(2,y,2)，若|a ⃗ |=6，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x +y 的值为( )A. −3B. 1C. 3或1D. −3或17. 已知a ⃗ =(cosα,1sinα)，b ⃗ =(sinα,1,cosα)，则a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是( )A. 90∘B. 60∘C. 30∘D. 0∘8. 若向量a ⃗ =(x,4，5)，b ⃗ =(1,−2,2)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的余弦值为√26，则x =( )A. 3B. −3C. −11D. 3或−119. 已知a ⃗ =(3,−2,−3)，b ⃗ =(−1,x −1,1)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A. (−2,+∞)B. (−2,53)∪(53,+∞) C. (−∞,−2)D. (53,+∞)10. 如图，F 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有A. B 1E =EBB. B 1E =2EBC. DE ⊥ACD. DE ⊥AF11. 已知a →=(2,−1,0)，b →=(k,0,1)，若<a ⃗ ,b ⃗ >=60°，则k =________．12. 已知A(1,0,0)，B(0,−1,1)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为，则λ=______．13. 已知a ⃗ =(4,2,−4)，b ⃗ =(6,−3,3)，则|a ⃗ −b⃗ |=______． 14. 若a ⃗ =(2,−3,1)，b ⃗ =(2,0,3)，c ⃗ =(3,4,2)，则|a ⃗ +b ⃗ |=_______________a ⃗ ⋅(b⃗ +c⃗ )=_____． 15. 已知A(2,−5,1)，B(2,−4,2)，C(1,−4,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为________． 16. 已知a ⃗ =(2,3，1)，b ⃗ =(−4,2，x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=________． 17. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=√2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为________．18. 已知A(1,−2,1)，B(2,2，2)，点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|，则点P 的坐标为________． 19. 已知向量a ⃗ =(1,2,−2)，b ⃗ =(4,−2,4)，c⃗ =(3,m,n)． (1)求a ⃗ −b ⃗ ；(2)若a ⃗ //c ⃗ ，求m ，n ； (3)求cos <a ⃗ ,b ⃗ >.20. 已知向量a ⃗ =(−4,2,4),b ⃗ =(−6,3,−2)(1)求|a ⃗ |；(2)求向量a ⃗ 与b⃗ 夹角的余弦值．答案和解析1. 解：∵向量a ⃗ =(2,4,−4),b ⃗ =(−2,x,2)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−4+4x −8=0，解得x =3．故选：D ．2.解：在空间坐标系中，点P(1,−2,5)到坐标平面xOz 的距离为：d =√(1−1)2+(−2−0)2+(5−5)2=2．故选：A ．3.解：∵向量a ⃗ =(1,λ,1),b ⃗ =(2,−1,−2)，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦为√26，∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−λ√2+λ2⋅√9=√26，解得λ=−√2．故选：A ．4.解：∵点A(2,3，2)关于xoz 平面的对称点为A′，∴A′(2,−3,2)，∵点B(−2,1，4)关于y 轴对称点为B′，∴B′(2,1，−4)， ∵点M 为线段A′B′的中点，∴M(2,−1,−1)，∴|MA|=√(2−2)2+(−1−3)2+(−1−2)2=5．故选：C ．5.解：空间直角坐标系中，则点A(2,3，4)在yOz 坐标平面内的射影是B(0,3，4)，所以|OB|=√02+32+42=5．故选：D ．6.解：∵|a ⃗ |=6，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴√22+42+x 2=6，4+4y +2x =0，解得{x =4y =−3，或{x =−4y =1．则x +y =−3或1．故选D ． 7.解：因为a →=(cosα,1sinα)，b →=(sinα,1,cosα)，所以a →+b →=(cosα+sinα,2,sinα+cosα)，a →−b →=(cosα−sinα,0,sinα−cosα)．设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，故cosθ=(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ +b ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=cos 2α−sin 2α+0+sin 2α−cos 2α√(cosα+sinα)2+4+(sinα+cosα)2√(cosα−sinα)2+4+(sinα−cosα)2=0．所以夹角为90°，故选A ．8.解：∵a ⃗ ⋅b ⃗ =x −8+10=x +2，|a ⃗ |=√x 2+41，|b ⃗ |=√1+4+4=3．∴√26=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=x+23√x 2+41，则x +2>0，即x >−2，则方程整理得x 2+8x −33=0，解得x =−11或3．x =−11舍去，∴x =3故选：A ．9.解：∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ ><0，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ <0，且(3,−2,−3)≠λ(−1,x −1,1)，，且x ≠53，解得x > −2，且x ≠53，∴x 的取值范围是．故选B ．10.解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形的棱长为2，则D(0,0，0)，F(0,1，0)，D 1(0,0，2)，A(2,0，0)，C(0,2，0)．设点E(2,2，z)，故有D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,z)， ∵D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×2+1×2−2z =0，∴z =1，∴B 1E =EB. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×2+2×2+1×0=0，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC ⊥DE ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×2+1×2+1×0=−2，可知DE 与AF 不垂直．故选AC ．11.解：∵a ⃗ =(2,−1,0)，b ⃗ =(k,0，1)，<a ⃗ ，b ⃗ >=60°，∵cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |， ∴cos60°=2k√5(k 2+1)=12，解得k =√5511，k =−√5511(舍去)故答案为√5511． 12.解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)+λ(0,−1,1)=(1,−λ,λ)， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，∴cos120∘=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2λ√1+2λ2√2，化为λ2=16， ∵λ<0，∴λ=−√66．故答案为−√66．13.解：∵a ⃗ =(4,2,−4)，b ⃗ =(6,−3,3)，∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,5，−7)， ∴|a ⃗ −b ⃗ |=√(−2)2+52+(−7)2=√78．故答案为：√78．14.解：由题意得：b ⃗ +c ⃗ =(5,4,5)，，∴a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )=2⋅5−3⋅4+1⋅5=3，故答案为√41;3．15.解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,4)−(2,−5,1)=(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,1)−(2,−5,1)=(−1,1，0)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)⋅(−1，1，0)=0+3+0=3．再由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3√2⋅√2 cosθ=6cosθ．故有3=6cosθ，∴cosθ=12．再由0≤θ≤π，可得θ=π3．故答案为π3．16.解：根据题意得，a ⃗ ·b ⃗ =−8+6+x =0，解得x =2，所以|b ⃗ |=√(−4)2+22+22=2√6，故答案为2√6．17.解：以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在方向为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，由题意知E(1,1，√2)，F (1,2,√22)，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22)，∴E 、F 两点间的距离为|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√0+1+12=√62，故答案为√62． 18.解：设P(0,0，c)，由题意得√(0−1)2+(0+2)2+(c −1)2=√(0−2)2+(0−2)2+(c −2)2 解得c =3，∴点P 的坐标为(0,0，3)． 19.解：(1)因为a ⃗ =(1,2,−2)，b ⃗ =(4,−2,4) 所以a ⃗ −b ⃗ =(1−4,2+2,−2−4)=(−3,4，−6)； (2)由a ⃗ =(1,2,−2)，c ⃗ =(3,m,n)，当a ⃗ //c ⃗ 时，31=m 2=n−2，解得m =6，n =−6；(3)因为a ⃗ =(1,2,−2)，b ⃗ =(4,−2,4)，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =1×4+2×(−2)+(−2)×4=−8， |a ⃗ |=√12+22+(−2)2=3，|b ⃗ |=√42+(−2)2+42=6，所以cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |×|b⃗ |=−83×6=−49．20.【答案】解：(1)由题意得：|a →|=√(−4)2+22+42=6；=6×√(−6)2+32+(−2)2=1121，∴向量a →与b →夹角的余弦值为1121．。

高考数学专题复习题：空间向量运算的坐标表示

高考数学专题复习题：空间向量运算的坐标表示一、单项选择题（共8小题）1．已知两平行直线的方向向量分别为(42,1,1)a m m m =−−−，(4,22,22)b m m =−−，则实数m 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确 2．已知空间中两点(,1,2)A x，(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（） A ．6−B ．2−或6C ．4−D ．4−或23．如果点(3,1,4)A −，(7,1,0)B ，那么线段AB 的中点M 在yOz 平面上的射影点的坐标一定是（） A ．(0,1,2)B ．(2,1,2)C ．(2,1,2)−D ．(2,1,2)−−4．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A 、B 两点的对称是（） A ．关于xOz 平面对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称5．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（）A ．14B ．12C ．34D ．136．已知()4,2,5a =−，()2,1,b x =−，且a b ⊥，则x =（） A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y ∈R ，如果向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =−，且a b ⊥，//b c ，那么a b +等于（） A ．B C ．3D ．48．已知向量()1,,2AB a =−与()2,4,AC b =−共线，则a b +=（） A ．2−B ．0C ．2D ．6二、填空题（共3小题）9．已知()()2,3,0,,0,3,,120=−==a b k a b ，则k =________．10．若正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则AB 在1AC uuu r上的投影向量的模为________． 11．在空间直角坐标系中，已知()1,2,2A t ，(),0,31B t t −，则AB的最小值是________．三、解答题（共2小题）12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O xyz −.（1）若点P 在线段1BD 上，且满足13BP BD =，试写出点P 的坐标，并写出点P 关于y 轴的对称点P '的坐标．（2）在线段1C D 上找一点M ，使得点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标.13．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==−．（1）若2a kb a b ++（）∥（），求实数k ．（2）若向量a kb +rr与2a b +所成角为锐角，求实数k 的范围．。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示-基础练(原卷版) 附答案.pdf

a
(1,
3,
2)
,
b
(2,
m,
4)
,若
rr a//b
,则实数
m
的值是________.若
a
b
,则实数
m
的值是________.
10 【参考答案】 6 ; 3
rr
【解析】 a (1, 3, 2) , b (2, m, 4) ,若 a//b ,则 (1, 3, 2) (2, m, 4) ,
(2)在(1)的条件下,分别求出 (OE
OG) FG
；
EG
的值.
12．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中, | AB || BC | 2, | D1D | 3 ,点 N 是 AB 的中点,点 M 是 B1C1 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点 D, N , M 的坐标；（2）求线段 MD, MN 的长度；（3）判断直线 DN 与直线 MN 是否互相垂直,说明理由．
A．若
a
b ,则
x1x2
y1 y2
z1z2
0
r r x1 y1 z1 B．若 a//b ,则 x2 y2 z2
cos a,b
C．
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ,则
a
为单位向量
【参考答案】BD
【解析】对于
5．（多选题）（2020 福建省高二期末）如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 5 , AD 4 , AA1 3 ,以直线 DA , DC , DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角

2025高二上数学专题第3讲空间向量及其运算的坐标表示(解析版)

第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；(2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；(3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )；(4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则：(1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是()A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为()A ．(1-，2-，4)-B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)2025高二上数学专题第3讲空间向量及其运算的坐标表示（解析版）知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a = ，2，1)，(2b = ，4-，1)，则2a b +等于()A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；(3)设|c |＝3，c ∥BC →，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ；(2)2a －3b ；(3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.66B ．－66C ．±66D ．±6知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为()A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为，||OM =．名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(()A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为()A ．(3-，2-，1)-B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为()A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =-- 及(4,2,0)b =- 则a b + 等于()A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a xb yc z a b c xyz =-==+= 则的值为)A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB = ，3，1)，(4AC = ，5，3)，那么向量(BC = )A ．(2-，2-，2)-B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b +=．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''=．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是；||OM =．11．（兴庆区校级期末）已知(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(1c = ，0，2)，则68a b c +-= ．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =- ，(1,2,4)b =- ，则a b +=．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a = ，4，12)-，若2AB a = ，则点B 的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=- ，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''= ，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2)（1）求向量AB AC与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a = ，5，4)-，(2b = ，0，3)，(0c = ，0，2)，求：()a b c -+ 、68a b c +- ．（Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =- ，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a同向，且．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b + ，a b - ，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b + ，a b - ，c 下的坐标为()A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,22D ．51(,,1)222.（安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；(2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

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课时作业(十七)
[学业水平层次]
一、选择题
1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)
D ．(2,1，－3)
【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 A
2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( )
A.534
B.532
C.532
D.132
【解析】 ∵AB 的中点M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，32，3，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |
＝|CM →
|＝
22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋32＝532.
【答案】 C
3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )
A ．－6
B ．－23 C.2
3 D ．14
【解析】由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2
3.
【答案】 C
4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( )
图3-1-32
A ．1 B.52 C.62 D.32
【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
E (1,1，2)，
F ⎝
⎛⎭⎪⎫
2，1，22，所以|EF |＝
(1－2)2
＋(1－1)2
＋⎝
⎛⎭⎪
⎫2－222
＝6
2，故选C.
【答案】 C 二、填空题
5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．
【解析】设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →
＝
(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →
＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐
标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，43，83.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43，83
6．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →
，a ⊥AC →
，则a ＝________.
【解析】设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·AB →＝0，
a ·AC →
＝0，|a |＝1，代入坐标
可解得：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝313，
y ＝4
13，
z ＝1213
，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－313，
y ＝－413，z ＝－1213
.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
13，413，1213或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－313，－413，－1213
7．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.
【解析】因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →
＝(2，－2,6)，由
题意得AB →∥AC →
，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.
【答案】 0 三、解答题
8．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →
⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝
02＋(－5)2＋52＝5 2.
(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →
＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，
若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，
所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫－6
5，－145，25.
9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心．
求证：OA 1→⊥AM →
.
【证明】建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为
1个单位，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，12，0.
∴OA 1→＝⎝
⎛⎭
⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
－1，0，12.
∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝
⎛⎭
⎪⎫－12×0＋1×1
2＝0，
∴OA 1→⊥AM →.
[能力提升层次]
1．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3
【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A
2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，
∴(a ＋b )⊥(a －b )．
【答案】 A
3．(2014·玉溪高二检测)设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1P D 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，则
λ的取值范围是________．
【解析】由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，则D 1B →
＝(1,1，－1)，得
D 1P →＝λD 1B →
＝(λ，λ，－λ)，所以
P A →＝PD 1→＋D 1A →
＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，
PC →＝PD 1→＋D 1C →
＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于P A →·PC →＜0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2
＜0，即(λ－1)(3λ－1)＜0，解得1
3＜λ＜1，因
此λ的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1
4. 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？
图3-1-33
【解】以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由
题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32，0. 又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，
则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1
2，m ，
所以|AB 1→|＝22，|MN →
|＝m 2
＋1，AB 1→·MN →
＝2m －1.
如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →
的夹角等于45°或135°.
又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN
→
|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1.
所以
2m －1
22×m 2
＋1
＝±22，解得m ＝－3
4，这与0≤m ≤2矛盾．
所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°.。