空间向量的坐标运算练习
高中数学人教A版(2019)选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习
高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量及运算的坐标表示同步练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）空间直角坐标系中，已知 A(1,−2,3) ， B(3,2,−5) ，则线段 AB 的中点为（ ）A ．(−1,−2,4)B ．(−2,0,1)C ．(2,0,−2)D ．(2,0,−1)2．（2分）已知 a ⃗ =(1,1,0),b ⃗ =(0,1,1),c ⃗ =(1,0,1) ， p ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ,q ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ −c ⃗ ，则 p⃗ ⋅q ⃗ = （ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-23．（2分）已知向量 a ⃗ =(3,5,−1) ， b ⃗ =(2,2,3) ， c ⃗ =(1,−1,2) ，则向量 a ⃗ −b ⃗ +4c ⃗ 的坐标为（ ）.A ．(5,−1,4)B ．(5,1,−4)C ．(−5,1,4)D ．(−5,−1,4)4．（2分）已知向量 a ⃗ =（1，1，0），则与 a⃗ 共线的单位向量 e ⃗ =（ ） A ．(√22,−√22,0)B ．(0, 1， 0)C ．(√22,√22,0)D ．(1, 1， 1)5．（2分）在空间直角坐标系中，向量 a ⃗ =(2,−3,5) ， b ⃗ =(−2,4,5) ，则向量 a ⃗ +b⃗ = （ ） A ．(0,1,10) B ．(−4,7,0) C ．(4,−7,0)D ．(−4,−12,25)6．（2分）已知向量 a ⃗ =(2,3,1) ， b ⃗ =(1,2,0) ，则 |a +b⃗ | 等于（ ） A ．√3 B ．3 C ．√35D ．97．（2分）已如向量 a ⃗ =(1，1，0) ， b ⃗ =(−1，0，1) ，且 ka +b⃗ 与 a ⃗ 互相垂直，则 k = （ ）． A ．13B ．12C ．−13D ．−128．（2分）已知空间向量 m ⃗⃗⃗ =(3,1,3) ， n ⃗ =(−1,λ,−1) ，且 m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数 λ= （ ） A ．−13B ．-3C ．13D ．6二、多选题(共4题；共12分)9．（3分）以下命题正确的是（ ）A ．若 p → 是平面 α 的一个法向量，直线 b 上有不同的两点 A ，B ，则 b//α 的充要条件是 p →⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0B ．已知 A ， B ，C 三点不共线，对于空间任意一点 O ，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面C ．已知 a →=(−1,1,2) ， b →=(0,2,3) ，若 ka →+b →与 2a →−b →垂直，则 k =−34D ．已知 △ABC 的顶点坐标分别为 A(−1,1,2) ， B(4,1,4) ， C(3,−2,2) ，则 AC 边上的高 BD 的长为 √1310．（3分）下列四个结论正确的是（ ）A ．任意向量 a ⃗ ， b →，若 a ⃗ ⋅b ⃗ =0 ，则 a →=0→或 b →=0→或 〈a →,b →〉=π2 B ．若空间中点 O ， A ， B ， C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线C ．空间中任意向量 a →,b →,c →都满足 (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．已知向量 a →=(1,1,x) ， b →=(−2,x,4) ，若 x <25，则 〈a →,b →〉 为钝角 11．（3分）如图，在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =5 ， AD =4 ， AA 1=3 ，以直线 DA ，DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．点B 1 的坐标为 (5,4,3)B ．点C 1 关于点 B 对称的点为 (8,5,−3)C ．点 A 关于直线 BD 1 对称的点为 (0,5,3) D ．点 C 关于平面 ABB 1A 1 对称的点为 (8,−5,0)12．（3分）已知向量 a⃗ =(1,1,0) ，则与 a ⃗ 共线的单位向量 e ⃗ = （ ） A ．(−√22,−√22,0)B ．(0,1,0)C ．(√22,√22,0) D ．(−1,−1,0)三、填空题(共4题；共5分)13．（1分）已知向量 a⃗ =(1,2,3) ， b ⃗ =(x,x 2+y −2,y) ，并且 a ⃗ ， b ⃗ 同向，则 x ， y 的值分别为 ．14．（1分）若向量 a ⃗ = （1，λ，2）， b ⃗ = （﹣2，1，1）， a⃗ ， b ⃗ 夹角的余弦值为 16，则λ= . 15．（2分）已知 a ⃗ =(3，2λ−1，1) ， b ⃗ =(μ+1，0，2μ) ．若 a ⃗ ⊥b ⃗ ，则μ＝ ；若 a ⃗ //b⃗ ，则λ+μ＝ ．16．（1分）已知向量 a ⇀=(0,−1,1),b ⇀=(4,1,0),|λa ⇀+b ⇀|=√29 ，且 λ>0 ，则 λ= ．四、解答题(共4题；共45分)17．（10分）如图，建立空间直角坐标系 Oxyz .单位正方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 顶点A 位于坐标原点，其中点B(1,0,0) ，点 D(0,1,0) ，点 A ′(0,0,1) .（1）（5分）若点E 是棱 B ′C ′ 的中点，点F 是棱 B ′B 的中点，点G 是侧面 CDD ′C ′ 的中心，则分别求出向量 OE⇀,OG ⇀,FG ⇀ 的坐标； （2）（5分）在（1）的条件下，分别求出 (OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ ， |EG ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值. 18．（10分）已知点 A(0,1,2) ， B(1,−1,3) ， C(1,5,−1) ．（1）（5分）若D 为线段 BC 的中点，求线段 AD 的长；（2）（5分）若 AD ⇀=(2,a,1) ，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，求a 的值，并求此时向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值． 19．（20分）已知点 A(0,1,−1) , B(2,2,1) ，向量 a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,计算： （1）（5分）求向量 b ⃗ 的单位向量 b 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）（5分）求 |2a −b ⃗ | ， |−3a | ； （3）（5分）cos <a ,b⃗ > ； （4）（5分）求点 B 到直线 OA 的距离.20．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2， PA ⊥ 平面 ABCD ，且PA=2，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A −xyz ．（Ⅰ）求点 A,B,C,D,P,E 的坐标； （Ⅱ）求 |CE⃗⃗⃗⃗⃗ | ．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】根据中点坐标公式，中点坐标为(2,0,−1).故答案为：D.【分析】由空间直角坐标系中点的公式代入数值计算出结果即可。
高三数学空间向量基本定理与坐标运算试题
高三数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是() A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0，0，2)，(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离．选D．2.如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点D在平面yOz上，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．∴点D的竖坐标z＝4×sin30°×sin60°＝，纵坐标y＝－(2－4×sin30°×cos60°)＝－1．∴D(0，－1，)．∴|AD|＝＝,选D．3.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高A．1B． 2C． 13D． 26【答案】B【解析】根据tiyi，由于四棱锥中，，，，那么可知设平面ABCD的法向量为,则根据在上投影的绝对值可知得到锥体的高度为,故可知h=2,故选B.【考点】向量的运用点评：主要是考查了向量的数量积的运用，求解距离，属于基础题。
4.已知、、为两两垂直的单位向量，非零向量，若向量与向量、、的夹角分别为、、，则．【答案】1【解析】设、、为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量，故可为长方体体对角线的方向向量，则、、分别为则有5.（理）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．－3或1B．3或－1C．－3D．1【答案】A【解析】则故选A6.点是棱长为1的正方体内一点，且满足，则点到棱的距离为A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_______【答案】60°【解析】略8.已知空间向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略9.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三阶矩阵．分析：此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得直线方程，最后求出一个法向量即可．解：因为得到方程：2+x-2y-1=0化简得：x-2y+1=0其一个方向向量为（2，1）．故它的法向量为：（1，-2）故选A．10.的三个内角的对边分别为，已知，向量，。
人教A版选修2-1第三章第六课时同步练习3-1-5空间向量运算的坐标表示
§3.1. 5空间向量运算的坐标表示一、选择题1．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a 不平行 b ，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°2．已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( )A ．4B ．1C ．10D ．113．下列各组向量中共面的组数为( )①a ＝(1,2,3)，b ＝(3,0,2)，c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)，b (0,2，－4)，c ＝(0，－1,2)③a ＝(1,1,0)，b ＝(1,0,1)，c ＝(0,1，－1)④a ＝(1,1,1)，b (1,1,0)，c ＝(1,0,1)A ．0B ．1C ．2D ．34．下列各组向量不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)5．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]6．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >47．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则BE 1→等于( ) A ．(0，14，－1) B ．(－14，0,1) C ．(0，－14，1) D ．(14，0，－1) 8．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－19．如图AC 1是正方体的一条体对角线，点P 、Q 分别为其所在棱的中点，则PQ 与AC 1所成的角为( )A ．4πB ．12π C.π3 D.π210．已知向量OA →＝(2，－2,3)，向量OB →＝(x,1－y,4z )，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，32，－12)，则(x ，y ，z )＝( ) A ．(－2，－4，－1) B ．(－2，－4,1)C ．(－2,4，－1)D ．(2，－4，－1)二、填空题11．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，则n ＝________.12．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．13．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，－3,0)，c ＝(7，－2，1)，则：(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)(a ＋b )·c ＝________； (3)|a －b ＋c |2＝________.14．已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝__________________.三、解答题15．已知点A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点．求证：(1)AE ⊥D 1F ； (2)AE ⊥平面A 1D 1F .18．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)．(1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．参考答案一、选择题1．[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．2．[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)，∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面，∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ－2＝2λ＋6μ0＝－2λ－8μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－4μ＝1x ＝11. 3．[答案] D[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1. 故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ，∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b .故②③中三个向量共面．4．[答案] D[解析] b ＝－2a ，d ＝－3c ，f ＝0e ，只有D 不存在实数λ，使g ＝λh .5．[答案] B[解析] |AB →|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＝13－12cos θcos α－12sin θsin α ＝13－12cos(θ－α)∈[1,25]，∴1≤|AB →|≤5.6．[答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0.∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝λx 2－x ＝2λx ＝0，此方程组无解，因此选A. 7．[答案] C[解析] B (1,1,0)、E 1(1，34，1)，BE 1→＝(0，－14，1)． 8．[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)，∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝λ(2－x )4＝3λ4－y ＝(－2y －2)λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－4 9．[答案] D[分析] 建立空间直角坐标系，求出AC 1→与PQ →的坐标，转化为求AC 1→与PQ →的夹角．[解析] 设正方体棱长为1，以点A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1D 1、A 1A 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P ⎝⎛⎭⎫12，0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,1)，C 1(1,1,0)，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，12，AC 1→＝(1,1，－1)，故PQ →·AC 1→＝－12×1＋1×1＋12×(－1)＝0， ∴PQ →⊥AC 1→，即PQ 与AC 1所成的角为π2. 10．[答案] A[解析] 由条件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z )＝2⎝⎛⎭⎫0，32，－12， ∴(x ＋2，－1－y,3＋4z )＝(0,3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4z ＝－1.二、填空题11．[答案] ⎝⎛⎭⎫33，33，33 ⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33[解析] 设n ＝(x ，y ，z )，由条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －z ＝0x －y ＝0x 2＋y 2＋z 2＝1，∴x ＝y ＝z ＝33或－33.12．[答案] 120°[解析] AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，AB →·CA →＝－7，|AB →|＝14，|CA →|＝14，∴cos θ＝－714×14＝－12，∴θ＝120°.13．[答案] (5，－3,6) －7 54[解析] (1)a ＋b ＋c ＝(－3,2,5)＋(1，－3,0)＋(7，－2,1)＝(5，－3,6)．(2)a ＋b ＝(－2，－1,5)，(a ＋b )·c ＝(－2，－1,5)·(7，－2,1)＝－7.(3)a －b ＋c ＝(3,3,6)，|a －b ＋c |2＝54.14．[答案] －4[解析] ∵a 、b 、c 不共面，m ∥n ， ∴x ＋23＝－x ＋y 2＝－y －21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－2.三、解答题15．[解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)，AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )，∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0，∴x ＝－9651＝－3217，∴存在实数x ＝－3217， 使AB →与AB →＋xAC →垂直．16．[证明] 设正方体的棱长为1，以DA →、DC →、DD 1→为坐标向量，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．(1)易知A (1,0,0)、E (1,1，12)、F (0，12，0)、D 1(0,0,1)．∵AE →＝(0,1，12)，D 1F →＝(0，12，－1)．又AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，∴AE ⊥D 1F .(2)DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，∴D 1A 1→·AE →＝(1,0,0)·(0,1，12)＝0，∴AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A ∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F .17．[解析] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－2，－1,2)．∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3∴λ＝±1∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)a ＝AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)b ＝AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．∴cos<a ，b >＝a·b|a|·|b| ＝(1，1，0)·(－1，0，2)2×5＝－1010.(3)k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，则(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0，∴k ＝2或k ＝－52. 18．[解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12， ∴sin 〈AB →，AC →〉＝32， ∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)。
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 1一.选择题1.在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确．．的是（ ）A ． 点p 关于x 轴对称的坐标是()1,,p x y z -B ． 点p 关于yoz 平面对称的坐标是()2,,p x y z --C ． 点p 关于y 轴对称点的坐标是()3,,p x y z -D ． 点p 关于原点对称点的坐标是(),,x y z ---2.下列命题是真命题的是（ ）A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.B. 若a b = ，则,a b 的长度相等而方向相同或相反.C. 若向量,AB CD 满足CD AB 〉 ，且AB CD 与同向，则AB CD 〉 .D. 若两个非零向量AB CD 与满足0AB CD ＋＝,则AB ‖CD .3.已知点()1,3,4p --，且该点在三个坐标平面yoz 平面，zox 平面，xoy 平面上的射影的坐标依次为()111,,x y z ，()222,,x y z 和()333,,x y z ，则（ ）A ．2221230x y z ++= B.2222310x y z ++=C. 2223120x y z ++= D.以4.到定点()1,0,0的距离小于或等于1的点集合为（ ）A.()(){}222,,|11x y z x y z -++≤B.()(){}222,,|11x y z x y z -++=C.()(){},,|11x y z x y z -++≤D.(){}222,,|1x y z x y z ++≤5.已知()()3cos ,3sin ,12cos ,2sin ,1P ααββ==和Q ，则PQ 的取值范围是（）A.[]0,5B.[]0,25C.[]1,5D.()1,56.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（ ）A. 030B.045C.060D.090二.填空题7.已知{},,i j k 为单位正交基，且3,232a i j k b i j k =-++=-- ，则向量a b + 与 向量2a b - 的坐标分别是______________;_________________.8.若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+ 则同方向的单位向量是_________________.9. 已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--= ，则b a - 的最小值是_______________.10.若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==- ，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________. 11.已知(c o s ,1,s i n ),(s i n ,a b αααα== 则向量a ba b +- 与的夹角是_________. 12.()()(),2,4,1,,3,1,2,,,,a x b y c z a b c =-=-=- 且两两垂直，则_______,x =_________________y z ==13.设1,2,,a b a b == 且的夹角为0120;则2a b + 等于______________.空间向量的坐标运算21．已知▱ABCD ，且A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A ．(72，4，－1) B ．(2,3,1) C ．(－3,1,5) D ．(5,13，－3) 2．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为( )A ．(6，72，3)B ．(4，73，2)C ．(8，143，4)D ．(2，76，1) 3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或－2554． 已知两空间向量a ＝(2，cos θ，sin θ)，b ＝(sin θ，2，cos θ)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题5．与A (－1,2,3)、B (0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为________．6．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影为________．7．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．。
空间向量及其运算的坐标表示(解析版)-高二数学新教材同步题型+能力+素养练
1.3 空间向量及其运算的坐标表示题型一：空间向量的坐标运算1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【点拨】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1- C ．()2,0,1- D ．()2,0,1【答案】B【点拨】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（ ）一维练基础A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【点拨】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．4．已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（ ）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A【点拨】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A5．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（ ） A ．()2,4,1- B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【答案】D【点拨】直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=， 所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=， 故选：D题型二：空间向量模长的坐标表示1．已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ） A ．6-B ．a - C ．32D ．34-b【答案】C【点拨】直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()22122232a b b-⨯⋅==+-. 故选：C.2．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（ ） A ．27B ．5 C 26D ．42【答案】C【点拨】求出2a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(345)A ，，在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则BC →=（ ）A ．5B 34C 41D ．52【答案】C【点拨】写出点A 在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，再计算BC →的值．【详解】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，4，5)在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则(3B ，4，0)，(3C ，0，5)， ∴(0BC →=，4-，5)，||0162541BC →∴++故选：C ．4．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是（ ） A ．1 B 2C 3D 5【答案】B【点拨】利用空间向量坐标的减法求出b a -，然后利用求模公式求出b a -. 【详解】解：()()1,1,0,2,,a t b t t =-= (1,1,)b a t t t -=+-∴2222(1)(1)32b a t t t t ∴-=++-+=+∴当0=t 时，b a -取最小值2故选：B5．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（ ）A 10B 11C ．3D ．5【答案】B【详解】解：因为向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，所以13210x -⨯++=，解得1x =， 所以()3,1,1b =，所以22231111b →=++故选：B题型三：空间向量平行的坐标表示1．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】C【点拨】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为a b ∥，所以221144m m -+==--，解得12m =-， 故选：C.2．已知()1,2,a y =，(),1,2b x =，且//a b ，则x y ⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．2-D ．2【答案】D【点拨】利用空间向量共线的坐标表示可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】因为//a b ，则214x y =⎧⎨=⎩，所以，12x =，4y =，因此，2x y ⋅=.故选：D.3．已知空间三点()0,1,2A ，()2,3,1B ，()1,2,C m ，若,,A B C 三点共线，则m =（ ）． A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【点拨】求出向量AB 与向量AC 的坐标，根据,,A B C 三点共线，可得向量AB 与向量AC 共线，由此即可求出结果.【详解】因为()2,2,1AB =-，()1,1,2AC m =-，且,,A B C 三点共线， 所以向量AB 与向量AC 共线， 所以1221m -=-，得32m =．故选：C.4．已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（ ） A ．20- B ．17- C ．11 D ．4【答案】B【点拨】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--， 因为AB AC ∥，所以122213y z --==--， 解得3y =-，7z =，故217y z -=-. 故选：B5．已知两个向量()2,1,3a =-，(),2,b s t =，且//a b ，则s t -的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．10D ．-10【答案】C【点拨】根据向量共线可得,s t 满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项. 【详解】因为//a b ，故存在常数λ，使得a b λ=，所以2123s t λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，故4,6s t ==-，所以10s t -=，故选：C.题型四：空间向量垂直的坐标表示1．已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【点拨】解方程2123(6)0x -⨯+⨯-=即得解.【详解】解：因为a b →→⊥，所以2123(6)0,10x x -⨯+⨯-=∴=. 故选：D2．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【点拨】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可． 【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224y c y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=. 故选：A.3．已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l ∥α，则y 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．4D ．14【答案】A【点拨】由l ∥α，可得u v ⊥，再计算即可求解.【详解】由题意可知u v ⊥，所以=0u v ⋅，即12+21202y y ⨯+⨯=⇒=-. 故选：A4．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（ ） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【点拨】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上 对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上 对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上 对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D5．已知()1,1,3a =-，(),,1b x y =，若a b ⊥，则x y +=（ ） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3【答案】D【点拨】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】0303a b a b x y x y ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒+=. 故选：D.题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示1．若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【点拨】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】由题知，22cos ,31414a b a b a bλ⋅<>===+++即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C2．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【答案】B【点拨】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+， 所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为23π，故不符合题意； B ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)1(1)=+-⨯+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为3π，故符合题意； C ：因为向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-夹角为23π，故不符合题意； D ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角的余弦值为222201(1)(1)(1)=+-⨯-+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角为2π，故不符合题意，故选：B4．若()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-【答案】C【点拨】根据8cos ,9a b a b a b⋅==，解得即可得出答案.【详解】解：因为()1,,2a λ=，()2,1,2b =-， 所以2248cos ,935a b a b a bλλ⋅-+===+，解得：=λ2-或255. 故选：C.4．已知空间向量()()2,3,63,1,,4a b ==-，则,a b =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】A【点拨】求得0a b ⋅=，即可得出. 【详解】()()2,3,63,1,,4a b ==-，()2334610a b ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=，a b ∴⊥，,2a b π∴=.故选：A.5．已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（ ） A ．6πB ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π 【答案】B【详解】,13a b a b cos a b n ⋅==+=解得2n =，222,?3n cos a b ⨯+= 代入得32cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π 故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角， 当0λ>时为6π；0λ<时为56π. 故选：B.1．已知向量()(),1,1,1,2,0a k b ==，且a 与b 互相垂直，则k 的值为（ ）二维练能力A ．－2B ．－12C ．12D ．2【答案】A【点拨】由题意0a b ⋅=，由空间向量的数量积运算可得答案. 【详解】由a 与b 互相垂直，则20a b k ⋅=+=，解得2k =- 故选：A2．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A 485B ．485C ．0D ．1【答案】B【点拨】利用空间向量的夹角余弦值公式cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可求得.【详解】解：(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，40485cos ,||||1725a b a b a b ⋅+-∴<>===⋅⋅故选：B.3．已知向量()1,0,a m =，(2,0,23b =-，若a b ∥，则a =（ ） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【点拨】由空间平行向量，先求出m 的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由//a b ，则λa b ，即(1,0,)(2,0,23)m λ=-， 有1223m λλ==-，， 所以1123322m λ==-=-， 所以(1,0,3a =-，则()2221032a =++-故选：D4．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【点拨】A 选项，0a b ⋅=也可以是0,0a b ≠≠，a b ⊥；B 选项，利用向量线性运算得到2AC CB =，从而得到三点共线；C 选项可以举出反例；D 选项，求出,a b 为钝角时x 的取值范围，从而得到答案. 【详解】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。
人教A版高中数学选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 经典例题及配套练习题
C1D1 上，
B1E1
1 4
A1B1 ，
D1F1
1 4
C1D1 ．
图 1.3-9
（1）求 AM 长．
的 （2）求BE1与 DF1所成角的余弦值．
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式
求出 AM 的长．（2）BE1 与 DF1 所成的角就是 BE1 ，DF1 所成的角或它的补角．因此，可以通过 BE1 ，
（2）写出点 P 2,3, 4 在三个坐标平面内的射影的坐标． （3）写出点 P 1,3,5 关于原点成中心对称的点的坐标． 【答案】（1）平面 yoz 与 x 轴垂直,平面 xoz 与 y 轴垂直,平面 xoy 与 z 轴垂直；（2）点 P 2,3, 4 在平面 yoz 的射影的坐标 P0,3, 4 ,点 P 2,3, 4 在平面 xoy 的射影的坐标 P2,3,0 ；点 P 2, 3, 4 在平面 xoz 的射影的坐标 P2, 0, 4 ；（3）点 P 1, 3, 5 关于原点对称点的坐标是 P1, 3, 5 ．
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系 例 1 如图 1.3-6，在长方体 OABC DABC 中， OA 3， OC 4 ， OD 2 ，以
1 3
OA,
1 4
OC,
1 2
OD
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz
．
图 1.3-6
（1）写出 D¢，C， A ， B 四点的坐标； （2）写出向量 AB ， BB ， AC ， AC 坐标．
图 1.3-8
分析：要证明 EF DA1 ，只要证明 EF DA1 ，即证 EF DA1 0 ．我们只要用坐标表示 EF ，DA1 ，
空间向量运算的坐标表示 专题训练
空间向量运算的坐标表示 专题训练[A 基础达标]1．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，则|3a ＋b |为( ) A.15 B ．4C ．5 D.17解析：选D.3a ＋b ＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.2．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1解析：选A.因为c －a ＝(0，0，1－x )，2b ＝(2，4，2)， 所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.3．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10C ．2 5D ．±10解析：选D.CB→＝(－6，1，2k )， CA→＝(－3，2，－k )， 则CB→·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0，所以k ＝±10.4．已知a ＝(x ，1，2)，b ＝(1，2，－y )，且(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1解析：选B.2a ＋b ＝(2x ＋1，4，4－y )，－a ＋2b ＝(2－x ，3，－2y －2)，因为(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则存在非零实数λ，使得2a ＋b ＝λ(－a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝（2－x ）λ，4＝3λ，4－y ＝（－2y －2）λ，所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－4. 5．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，则当|AB→|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：选C.因为AB→＝(1－x ，2x －3，3－3x )， 所以|AB →|＝ （1－x ）2＋（2x －3）2＋（3－3x ）2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB→|有最小值． 6．已知a ＝(1，m ，3)，b ＝(－2，4，n )，若a ∥b ，则m －n ＝________． 解析：因为a ∥b ，所以b ＝λa .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m λ＝4，3λ＝n .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－2，n ＝－6.所以m －n ＝4.答案：47．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．解析：由题意，得|c |＝3，(2a ＋b )·c ＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，所以2a ·c ＋b ·c ＝－10.又a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°. 答案：120°8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(6，－3，2)，b ＝(4，－2，－4)．求：(1)|a |；(2)(3a ＋2b )·(－2a ＋b )．解：(1)|a |＝a 2＝62＋（－3）2＋22＝7.(2)因为|b |＝b 2＝42＋（－2）2＋（－4）2＝6，a ·b ＝6×4＋(－3)×(－2)＋2×(－4)＝22，所以(3a ＋2b )·(－2a ＋b )＝－6a 2＋3a ·b －4a ·b ＋2b 2＝－244.10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB→＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)， CD→＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)， 且－24＝3－6＝－36，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .又因为AD→＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)， BC→＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)， 且0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．[B 能力提升]1．已知a ＝(1，2，3)，b ＝(2，1，2)，c ＝(1，1，2)，且向量p ∥c ，则当(p －a )·(p －b )取得最小值时，向量p 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 解析：选C.设p ＝λc ，则p －a ＝λc －a ＝(λ－1，λ－2，2λ－3)，p －b ＝λc －b ＝(λ－2，λ－1，2λ－2)，所以(p －a )·(p －b )＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－13，所以当λ＝43时，(p －a )·(p －b )取得最小值，此时p ＝λc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 2．若a ＝(1，t ，2)，b ＝(－2，t ，1)，则a 与b 夹角θ的范围为________．解析：cos θ＝t 2t 2＋5·t 2＋5＝t 2t 2＋5， 当t ＝0时，cos θ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝11＋5t 2＜1，所以0≤cos θ＜1.因为θ∈[0，π]，所以0＜θ≤π2.答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 3．若a ＝(2，3，－1)，b ＝(－2，1，3)，求以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．解：|a |＝|b |＝14，a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，得cos a ，b ＝－27，故sin a ，b ＝357，所求平行四边形的面积为|a ||b |sin a ，b ＝14×14×357＝6 5.4．(选做题)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)若AP→∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标； (2)求以AB→，AC →为邻边的平行四边形的面积． 解：(1)因为AP→∥BC →，所以可设AP →＝λBC →(λ∈R )． 因为BC→＝(3，－2，－1)，所以AP →＝(3λ，－2λ，－λ)． 又|AP→|＝214， 所以（3λ）2＋（－2λ）2＋（－λ）2＝214，解得λ＝±2.所以AP→＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6，4，2)． 设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP→＝(x ，y －2，z －3)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y －2＝4，z －3＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.故所求点P 的坐标为(6，－2，1)或(－6，6，5)．(2)因为AB→＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12. 所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.故以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.。
空间向量例题及解答
C空间向量及其坐标运算例1：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+- B ．++2121C ．1122a b c -- D ．+--2121练习：已知长方体ABCD-A'B'C'D'，设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的点，且BN ∶NC'=3∶1，并且MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ例2 ：已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b求y x ,的值.练习1：点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，=＋＋xOM OA OB OC , 则x =练习2：下面命题正确的个数是 （ ）①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； A.1 B. 2 C.3 D.4练习3：如图,已知空间四边形ABCD 中,向量AB a =,AC b =,AD c =若M 为BC 的中点,G 为BCD △ 的重心，GM xa yb zc =++， 则(),,x y z =练习4：一正方体1111ABCD A BC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA AD =++-，那么点M 一定在 平面内例3：已知4,135,λ===⊥a b m =a +b,n =a +b,a,b m n ，则λ=练习1：若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°，则|OA -OB +2OC |＝C1练习2：若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b的夹角为____________。
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空间向量的坐标运算练
习
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
空间向量的坐标运算——1
1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________
2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________
4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是
___________;
在yoz 面上的射影坐标是___________
5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐
标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________
6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若
AB 5
2OC =，则C 点的坐标是______________
7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________
8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0，
2)
A ：2
D 3C 4B 6ππππ
：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标：
______________=
______________=______________=A A'
'A
R
_________
10、已知A(3,4,4)，B(-2,-1,5)，C(4,5,0)，若D在线段AC上，且三角形ABD的面积是三角形ABC面积的四分之一，（1）求D点的坐标；（2）求向量BD的坐标。