空间向量的坐标表示及其运算
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
空间向量的坐标表示与几何应用
空间向量的坐标表示与几何应用在三维空间中，空间向量是研究物体运动和位置的重要工具。
为了准确地描述和计算空间向量，我们需要用坐标来表示它们。
本文将详细介绍空间向量的坐标表示方法，并探讨其在几何应用中的重要性。
一、坐标表示方法1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的表示空间向量的方法。
在直角坐标系中，我们以三个相互垂直的坐标轴为基准，分别表示x、y、z三个方向。
一个空间向量可以通过三个坐标值(x,y,z)来表示，分别表示它在x轴、y 轴和z轴上的投影长度。
例如，对于一个空间向量v，在直角坐标系中，我们可以表示为v=(x,y,z)。
2. 球坐标系球坐标系是另一种表示空间向量的方法，它是通过一个原点、一个偏离原点的距离、一个与z轴的夹角和一个与x轴的投影角来确定一个空间向量的位置。
在球坐标系中，一个空间向量的坐标通常表示为(r,θ,φ)，其中r表示向量到原点的距离，θ表示向量与z轴的夹角，φ表示向量在x-y平面上的投影与x轴的夹角。
二、坐标表示的几何应用1. 向量的加法与减法通过坐标表示，我们可以方便地对空间向量进行加法与减法运算。
只需将对应坐标相加或相减即可得到结果。
例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的和可以表示为v+w=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
2. 向量的数量积与夹角坐标表示还可以用于计算向量的数量积和夹角。
向量的数量积可以通过坐标之间的乘积运算得到。
例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为v·w=x1x2+y1y2+z1z2。
夹角可以通过向量的数量积公式求解：cosθ = (v·w) / (|v| |w|)其中，|v|和|w|分别表示向量v和w的模长。
3. 点与直线的相对位置通过点和直线的坐标表示，我们可以判断一个点与直线的相对位置关系。
以直线的方程和点的坐标为基础，我们可以计算点到直线的距离，从而判断点在直线上方、下方还是与直线相交。
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧空间向量是解析几何中的重要内容，它涉及到向量的坐标表示和运算，具有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的坐标表示以及相关的运算技巧。
一、坐标表示在三维空间中，任意向量可以用其在坐标系中的坐标表示。
一般来说，我们使用笛卡尔坐标系来表示空间向量。
在笛卡尔坐标系中，我们可以使用三个坐标轴x、y和z来表示向量的三个分量。
假设有一个向量A，其在坐标系中的坐标表示为A=(x, y, z)。
其中，x表示向量A在x轴上的分量，y表示向量A在y轴上的分量，z表示向量A在z轴上的分量。
二、向量的加法与减法空间向量的加法与减法与二维向量的加法与减法类似。
对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的和向量C=A+B的坐标表示为C=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)；它们的差向量D=A-B的坐标表示为D=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
向量的加法与减法可以通过将各个分量相加或相减得到。
这一点十分重要，因为在解析几何的问题中，我们经常需要对向量进行加法和减法运算。
三、数量积与向量积空间向量的数量积和向量积是解析几何中的两个重要运算，其定义如下：1. 数量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的数量积为AB=x1*x2+y1*y2+z1*z2。
2. 向量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积为C=A×B=(y1*z2-y2*z1, z1*x2-z2*x1, x1*y2-x2*y1)。
数量积和向量积在解析几何的求解中具有重要的作用。
数量积可以用来求解两个向量的夹角，向量积可以用来求解平面的法向量以及计算平行四边形的面积。
四、向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，它可以通过向量的坐标表示进行计算。
对于一个向量A=(x, y, z)，它的模长表示为|A|=√(x²+y²+z²)。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
空间向量运算的坐标表示
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
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的值分别为
()
A.
B.
C.5,2
D.－5，Leabharlann 2r r 练习.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则（ ）
A若.p＝a3，q＝2b，则，B满.p＝足 2，q什 ＝3 么条件？
C.p＝－3，q＝－2
D.p＝－2，q＝－3
例2.已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则
(1)求正三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AM与BC所成的角.
练习3 -1.在正方体ABCD A1B1C1D1中，M , N分别 是棱A1D1、棱B1C1的中点，则异面直线AN与BM 所 成角的余弦值为 ___________ .
D1
M A1
N C1 B1
D C
A
B
练习3-2.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝ 5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值.
空间向量的坐标 表示及其运算
复习回顾
已知A(1，1), B(2，3), C(1，2)，则
uuur
uuur
(1) AB ______, AC ________;
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则D的坐
标为__________;
uuur uuur (3) AC BC _______；
uuur uuur
uuur
(4)若BD与AC垂直，且|BD|= 13，则D的坐
标为_________
问题：若P1(x1, y1, z1u)u,uPur2 (x2, y2, z2 ),你能类比平面 向量的方法，求出|P1P2|？
空间向量的坐标表示及其运算法则与平面向量完全相同
例1.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ
与 的夹角θ 的大小是
.
向量的夹角公式
求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标
向量m和n用该组基底表示出来，再求他们的数量积及自
身长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝
.
例3.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2， AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC、A1C1的中点，M是BC1 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.