空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)
数学人教A版选择性必修第一册13.2空间向量运算的坐标表示课件
2、用向量法解决立体几何问题的一般步骤
①建系，读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ③进行向量的坐标运算，获得几何结论
且 a ⊥b .求x的值 且a //b. 求x+y的值 且a与b的夹角
例题分析
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中 ， 点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点， 求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
பைடு நூலகம்题分折
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁ 中 ， 点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点， 求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
【方法提炼】①建系、读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ⑤进行向量的坐标运算， 获得几何结论
变式1:若点E,F 分别是BB,D₁B₁的中点，求证EF⊥DA.
变式2:G 是 BB₁ 的一个靠近点B 的四等分点，H 为DD₁ 上的一点， 若GH⊥DF, 试确定H点的位置.
演练反馈
减法： a-b=(a₁-a₂,b₁-b₂,c₁c₂)
你能对这些运
算的生标表示
加以证明吗?
数乘： λa=(λa,λb,2c₁)
O
数量积：抓a.住b=根aa₂本+b：₁b₂空+c₁间C₂向量的坐标表示!
探究新知
2、 空间向量平行与垂直的坐标表示
平行：a lIb(b≠0)→a=λb⇔a=λa₂,b₁=λb₂,c₁=λc₂ (λ∈R)
探究新知
在空间直角坐标系中，已知点 A(a,b,c₁),B(a₂,b₂,C₂),
新教材2022版人教A版数学选择性必修第一册学案：1.3.2 空间向量运算的坐标表示(含解析)
1.3.2空间向量运算的坐标表示素养目标·定方向课程标准学法解读1．掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·探新知知识点1 空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋b a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__减法a－b a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__数乘λaλa＝__(λa1，λa2，λa3)__，λ∈R数量积a·b a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．知识点2 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23．知识点3 空间两点间的距离公式设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，则P 1P 2＝|P 1P 2→|＝__(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2__．思考2：已知点A (x ，y ，z )，则点A 到原点的距离是多少？ 提示：OA ＝|OA →|＝x 2＋y 2＋z 2．关键能力·攻重难题型探究题型一 空间向量的坐标运算典例1 已知在空间直角坐标系中，A (1，－2,4)，B (－2，3,0)，C (2，－2，－5)．(1)求AB →＋CA →，CB →－2BA →，AB →·AC →；(2)若点M 满足AM →＝12AB →＋34AC →，求点M 的坐标；(3)若p ＝CA →，q ＝CB →，求(p ＋q )·(p －q )．[分析] 先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解．[解析] (1)因为A (1，－2,4)，B (－2,3,0)，C (2，－2，－5)， 所以AB →＝(－3,5，－4)，CA →＝(－1,0,9)． 所以AB →＋CA →＝(－4,5,5)．又CB →＝(－4,5,5)，BA →＝(3，－5,4)， 所以CB →－2BA →＝(－10,15，－3)． 又AB →＝(－3,5，－4)，AC →＝(1,0，－9)， 所以AB →·AC →＝－3＋0＋36＝33．(2)由(1)知，AM →＝12AB →＋34AC →＝12(－3,5，－4)＋34(1，0，－9)＝⎝⎛⎭⎫－34，52，－354， 若设M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，y ＋2，z －4)，于是⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－34，y ＋2＝52，z －4＝－354，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，z ＝－194，故M ⎝⎛⎭⎫14，12，－194． (3)由(1)知，p ＝CA →＝(－1,0,9)，q ＝CB →＝(－4,5,5)． (方法1)(p ＋q )·(p －q )＝|p |2－|q |2＝82－66＝16． (方法2)p ＋q ＝(－5,5,14)，p －q ＝(3，－5,4)， 所以(p ＋q )(p －q )＝－15－25＋56＝16．[规律方法] 空间向量的坐标运算注意以下几点：(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标．(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2． 【对点训练】❶ 在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →；(3)若点P 在AC 上，且AP →＝12PC →，求点P 的坐标．[解析] (1)设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )． 因为AB →＝(4,1,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以点B 的坐标为(6，－4,5)．因为BC →＝(3，－2,5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以点C 的坐标为(9，－6,10)．(2)因为CA →＝(－7,1，－7)，BC →＝(3，－2,5)， 所以CA →·BC →＝－21－2－35＝－58．(3)设P (x 2，y 2，z 2)，则AP →＝(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)，PC →＝(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，于是有(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)＝12(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2＝12(9－x 2)，y 2＋5＝12(－6－y 2)，z 2－3＝12(10－z 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝133，y 2＝－163，z 2＝163.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫133，－163，163． 题型二 空间向量的平行与垂直典例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →．(1)若|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．[分析] (1)根据c ∥BC →，设c ＝λBC →，则向量c 的坐标可用λ表示，再利用|c |＝3求λ值； (2)把k a ＋b 与k a －2b 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． [解析] (1)∵BC →＝(－2，－1,2)且c ∥BC →， ∴设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0， 即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0， 解得k ＝2或k ＝－52．[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型 (1)平行与垂直的判断．(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．【对点训练】❷ 已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且a 与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a ． [解析] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k (2m －1)，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴λ＝15，m ＝3．(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)2＋12＋(2λ)2＝5，(λ＋1，1，2λ)·(2，－2λ，－λ)＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1．因此，a ＝(0,1，－2)．题型三 空间向量夹角及长度的计算 角度1 向量法求夹角典例3 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求cos 〈EF →，C 1G →〉．[解析] (1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0． EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12， B 1C →＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．所以EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0，所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． (2)因为C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1． 所以|C 1G →|＝174．又EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， 所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117．角度2 向量法求模典例4 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是AA 1，CB 1的中点．(1)求BM ，BN 的长；(2)求△BMN 的面积．[分析] 建立空间直角坐标系，写出B ，M ，N 等点的坐标，从而得出BM →，BN →的坐标．然后利用模的公式求得BM ，BN 的长度．对于(2)，可利用夹角公式求得cos ∠MBN ，再求出sin ∠MBN 的值，然后套用面积公式计算．[解析] 以C 为原点，以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)．则B (0,1,0)，M (1,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫0，12，1． (1)∵BM →＝(1，－1,1)， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1， ∴|BM →|＝12＋(－1)2＋12＝3， |BN →|＝02＋⎝⎛⎭⎫－122＋12＝52． 故BM 的长为3，BN 的长为52． (2)S △BMN ＝12·|BM |·|BN |·sin ∠MBN ．∵cos ∠MBN ＝cos 〈BM →，BN →〉＝BM →·BN →|BM →||BN →|＝323×52＝155，∴sin ∠MBN ＝1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，故S △BMN ＝12×3×52×105＝64．即△BMN 的面积为64．[规律方法] 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤【对点训练】❸ 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解析] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝(3－1)2＋(2－0)2＋(1－5)2＝26， 所以线段MN 的长度为26．(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立： (x －3)2＋(y －2)2＋(z －1)2 ＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0．易错警示混淆两向量平行与两向量同向典例5 已知向量a ＝(1,2，－1)，b ＝(m ，m 2＋3m －6，n )，若向量a ，b 同向，求实数m ，n 的值．[错解] 由题意可知a ∥b ，所以m 1＝m 2＋3m －62＝n－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m －6＝2m ，n ＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－2. 故m ＝－3，n ＝3或m ＝2，n ＝－2．[辨析] “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解中错认为“同向”就是“平行”，从而导致错误．[正解] 由题意可知a ∥b ，所以m 1＝m 2＋3m －62＝n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －6＝2m ，n ＝－m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－2.当m ＝－3，n ＝3时，b ＝(－3，－6,3)＝－3a ，向量a ，b 反向，不符合题意，舍去； 当m ＝2，n ＝－2时，b ＝(2,4，－2)＝2a ，向量a ，b 同向，符合题意． 综上，m ＝2，n ＝－2．。
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(同步课件)-【优选组合】2021-2022学年高二(人教A版20
∴ || =
22 + 12 + (−3)2 = 14, || =
32 + (−2)2 + (−1)2 = 14, ⋅
= 2 × 3 + 1 × (−2) + (−3) × (−1) = 7,
∴ cos = cos＜, ＞ =
=
−4
3×2 5
=
2 5
−
15
.
12 + 22 + (−2)2 = 3, || =
探究点三 空间向量坐标运算的运用
例 [2021山东师大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中
,(0,2,3),(−2,1,6),(1, −1,5).
（1） 若点在直线上,且 ⊥ ,求点的坐标;
= (4,2,0), = (−1,2, −1),所以 ⋅ = −4 + 4 + 0 = 0,所以 ⊥ ,
即 ⊥ ,故B中结论正确;
易知 = − = (2,3,4) ,若 // ,则存在实数 ,使得 =
−1 = 2,
,即 ቐ 2 = 3, 此方程组无解,故 不平行于 ,故C中结论错误;
读 式.
标运算解决立体几何问题.
3.能用空间向量的坐标运算解决
平行、垂直、夹角、长度等问题.
要点一 空间向量运算的坐标表示
设 = (1 , 2 , 3 ), = (1 , 2 , 3 )，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
加法
减法
数乘
数量积
坐标表示
1 1 + 2 2 + 3 3
2. 已知 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,0,1), = − , = + 2 − ,则 ⋅
空间向量及其运算的坐标表示高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
【解析】如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，
则(3,0,0)，(0,3,0)，
又由 = 2，所以(1,2,0)，
因为(3,3,0)，′(0,3,3)， = 2 ′ ，所以(1,3,2),
所以 = 1,3,2 − 1,2,0 = (0,1,2)，即 = 02 + 12 + 22 = 5，
③ 2 ⋅ − , ④ + ⋅ − .
【解析】 + = 2, −1 − 2 + 0, −1,4 = 2, −2,2
⋅ = 2, −1, −2 ⋅ 0, −1,4 = 2 × 0 + −1 × −1 + −2 × 4 = −7
2 ⋅ − = −2 ⋅ = −2 × −7 = 14
1
2
1− +0
3∙
15
15
.
5
4
=
15
15
.
五、课堂小结
1、向量坐标运算一些技巧
2
2
(1)相关公式的运用：如 + ⋅ − = − =
或者 + ⋅ + = +
2
(2)可以直接代入坐标运算，也可先化简再带入坐标运算
2
−
2
2、空间向量垂直、平行问题
1.3 空间向量及其运算的
坐标表示提升课
学业要求
学科素养
1.能够运用空间向量坐标法解决一
1．通过空间直角坐标系的研究，培
些简单的实际问题．
养直观想象的核心素养.
2.能够理解空间向量坐标运算和作
2．通过空间向量的坐标运算，培养
空间向量及其运算的坐标表示高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育 现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与 空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体 系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形 式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我 想不出有什么好的办法…….”
空间几何“代数化”
类比平面直角坐标系，如何建立空间直角坐标系？
类比平面向量，我们能利用空间向量的坐标解决哪些问题？ 应用4 判定垂直
a b a b 0. a b a1b1 a2b2 a3b3 0
例 1 如图,在直三棱柱 ABC-A B C 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA =2,M,N
111
1
分别是 AA ,CB 的中点.（4）求 BM 在 BN 上投影向量的坐标. 11
空间向量坐标表示 空间向量四大应用：平行、垂直、角度、模长
则 x, y, z 是OP的坐标，即OP= x, y, z x, y, z也是点P的坐标，即P x, y, z .
（横，纵，竖）
例 1 如图,在直三棱柱 ABC-A B C 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA =2,M,N
111
1
分别是 AA ,CB 的中点.（1）求三棱柱各顶点及 M,N 点的坐标； MN 的坐标. 11
1.建立空间直角坐标系的叙述规范
以…为原点，以…所在直线为x、y、z轴，
建立如图空间直角坐标系.（图上务必标出）
2.建立空间直角坐标系的原则 有垂直用垂直，无垂直作垂直； 使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
类比平面向量，我们能利用空间向量的坐标解决哪些问题？
向量的坐标运算法则
设a a1, a2 , a3 , b b1, b2 , b3 ,则容易得到
人教A版高中数学选修2-1课件-空间向量运算的坐标表示
＝12a2－12a2cos
60°＋a2cos
60°－12a2cos
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22．
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22．
∴cos θ＝23．
∴向量
A→N
②设P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
x－2＝3， ∵A→P＝12(A→B－A→C)＝3，32，－2，∴y＋1＝32，
z－2＝－2，
解得x＝5，y＝21，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减 去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量 积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法 公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
m＋1＝3λ，
∴n－2＝－λ， －2＝λ，
解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－ 2，2， 3)，b＝(3 2，6,0)，则|a|＝________， a与b夹角的余弦值等于________．
3
6 9
[|a|＝ － 22＋22＋ 32＝ 9＝3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3× －36＋2122＋62＝ 96．]
(4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.5 空间向量运算的坐标表示含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.5 空间向量运算的坐标表示含解析A级基础巩固一、选择题1．设M（5，－1,2），A(4,2，－1)．若错误!＝错误!,则点B的坐标为（）A．（－1，3，－3）B．（9，1，1)C．（1，－3，3) D．（－9，－1，－1）解析：错误!＝（5，－1，2）,错误!＝（4，2,－1）．又错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝（9，1，1)。
答案：B2．已知错误!＝(2，4，5)，错误!＝（3，x，y),若错误!∥错误!,则() A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝错误!C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝错误!答案：D3．点P(x，2，1）到点Q(1，1，2），R（2，1,1)的距离相等，则x的值为()A。
12B．1C.错误!D．2答案：B4.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝14A1B1，则错误!等于（）A．(0，14,－1）B．(－错误!,0,1)C．(0,－错误!，1)D．(错误!，0，－1）解析：因为B（1，1,0），A1（1，0，1），B1(1，1,1）．所以E1错误!，所以错误!＝错误!.答案：C5．若a＝（x，2，0），b＝（3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是（）A．x〈－4 B．－4<x〈0C．0<x<4 D．x〉4解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0所以3x＋2(2－x)＜0，解得x＜－4.若a与b的夹角为180°,则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，即(x,2,0)＝λ（3，2－x,x2）所以错误!此方程组无解，即a与b不可能共线．答案：A二、填空题6．已知a＝（1，－1，1），则与向量a共线的单位向量是________．答案：±错误!7．已知向量a＝(－1，0，1）,b＝（1，2，3)，k∈R，若ka －b与b垂直，则k＝________．解析:因为（ka－b）⊥b,所以(ka－b）·b＝0，所以ka·b－｜b｜2＝0,所以k（－1×1＋0×2＋1×3）－（错误!)2＝0，解得k＝7.答案：78．若a＝（2，2，0），b＝（1，3,z)，<a，b〉＝错误!,则z等于________．解析：cos<a，b〉＝cos错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
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空间向量的坐标运算（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示
2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示
3.若向量，，则向量的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示
4.已知向量，，则=( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示
5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义
6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组
基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义
7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量
8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量
9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量
10.已知点，点和点，则三角形的边上的中线长为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量模的运算。