空间向量坐标表示及运算
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是指具有大小和方向的箭头，用于描述空间中的物理量。
为了方便表示和计算，我们需要将空间向量转化为坐标形式。
本文将介绍空间向量的坐标表示与计算方法。
一、空间向量的坐标表示在三维空间中，我们通常使用直角坐标系来表示空间向量。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别记作x轴、y轴和z轴。
一个空间向量可以表示为一个三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，假设有一个空间向量a，它的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)。
我们可以通过计算两点坐标的差值，得到向量a 的坐标表示：a = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)二、空间向量的计算1. 加法运算空间向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的和向量c可以计算如下：c = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)2. 减法运算空间向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的差向量c可以计算如下：c = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)3. 数乘运算空间向量的数乘运算是指将向量的每个坐标分量与一个标量相乘得到一个新向量。
设有一个向量a和一个标量k，其坐标表示为(a1, a2, a3)，则它们的数乘结果向量b可以计算如下：b = (k * a1, k * a2, k * a3)4. 内积运算空间向量的内积运算是指将两个向量的对应坐标分量相乘后相加得到一个标量。
设有两个向量a和b，其坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的内积结果为一个标量c，计算如下：c = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b35. 外积运算空间向量的外积运算是指将两个向量进行叉乘得到一个新向量。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
空间向量的运算的坐标表示
三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根 空 向 运 的 标 示有 据 间 量 算 坐 表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、 知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判 下 向 是 平 或 直 习 断 列 量 否 行 垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2
空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
空间向量的坐标表示及其运算(同步课件)高二(人教A版2019选修一)
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去 起点坐标．
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当b 0时, a // b a b a1 b1, a2 b2,a3 b3( R);
0,
1 4
,1
,
17
17
BE1 4 , DF1 4 .
所以BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
15
所以cos BE1 , DF1
BE1 DF1 BE1 DF1
16
15 ,
17 17 17
44
所以,
BE1与DF1所成角的余弦值为
15 17
.
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ),
a (a1, a2 , a3 ), R
a b a1b1 a2b2 a3b3 .
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．其他运算的坐标 表示可以类似证明，请同学们自己完成．
设{i, j, k}为空间的一个单位正交基底,
z
k
j
iO
y
x 图1.3-2
探究 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐 标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表 示呢？
在空间直角坐标系Oxyz中, i, j, k为坐标向量, 对空间任意一点A, 对应
一个向量OA, 且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,
同理, 点C的坐标是(0, 4, 0).
点A在x轴、y轴和z轴上的射影分别为
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧空间向量是解析几何中的重要内容，它涉及到向量的坐标表示和运算，具有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的坐标表示以及相关的运算技巧。
一、坐标表示在三维空间中，任意向量可以用其在坐标系中的坐标表示。
一般来说，我们使用笛卡尔坐标系来表示空间向量。
在笛卡尔坐标系中，我们可以使用三个坐标轴x、y和z来表示向量的三个分量。
假设有一个向量A，其在坐标系中的坐标表示为A=(x, y, z)。
其中，x表示向量A在x轴上的分量，y表示向量A在y轴上的分量，z表示向量A在z轴上的分量。
二、向量的加法与减法空间向量的加法与减法与二维向量的加法与减法类似。
对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的和向量C=A+B的坐标表示为C=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)；它们的差向量D=A-B的坐标表示为D=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
向量的加法与减法可以通过将各个分量相加或相减得到。
这一点十分重要，因为在解析几何的问题中，我们经常需要对向量进行加法和减法运算。
三、数量积与向量积空间向量的数量积和向量积是解析几何中的两个重要运算，其定义如下：1. 数量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的数量积为AB=x1*x2+y1*y2+z1*z2。
2. 向量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积为C=A×B=(y1*z2-y2*z1, z1*x2-z2*x1, x1*y2-x2*y1)。
数量积和向量积在解析几何的求解中具有重要的作用。
数量积可以用来求解两个向量的夹角，向量积可以用来求解平面的法向量以及计算平行四边形的面积。
四、向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，它可以通过向量的坐标表示进行计算。
对于一个向量A=(x, y, z)，它的模长表示为|A|=√(x²+y²+z²)。
向量的坐标表示与运算
向量的坐标表示与运算向量是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域。
向量具有大小和方向两个属性，可以通过坐标表示和进行运算。
本文将介绍向量的坐标表示方法，并讨论常见的向量运算。
一、向量的坐标表示向量可以通过坐标表示为一个有序数对或者有序数组。
一般来说，我们采用n维空间中的坐标系表示向量，其中n表示向量的维度。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对(x, y)，在三维空间中，向量可以表示为一个有序数组(x, y, z)。
在n维空间中，向量可以表示为一个有序数组(x1, x2, ..., xn)。
向量的坐标表示可以简洁地表示向量的大小和方向。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置的分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量A和B，它们的坐标表示分别为(A1, A2, ..., An)和(B1,B2, ..., Bn)，则它们的和向量C的坐标表示为(A1+B1, A2+B2, ...,An+Bn)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相应位置的分量相减得到一个新的向量。
假设有两个向量A和B，它们的坐标表示分别为(A1, A2, ..., An)和(B1,B2, ..., Bn)，则它们的差向量D的坐标表示为(A1-B1, A2-B2, ..., An-Bn)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量得到一个新的向量。
假设有一个向量A，它的坐标表示为(A1, A2, ..., An)，如果乘以一个标量c，那么得到的数乘向量E的坐标表示为(cA1, cA2, ..., cAn)。
三、向量的运算性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即A + B = B + A。
这意味着两个向量相加的结果与它们的顺序无关，只与各个向量的分量有关。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
这意味着多个向量相加的结果与它们的加法顺序无关，只与各个向量的分量有关。
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(3) 零 向 量 a b a b 0 a1b1 a 2b 2 a 3b 3 0 非 (4) a | ____ a a2 a3 | a (5)cos a,b _______
2 2 1 2 2
1.平 面 向 量 基 本 定 理 内 容 的
(6)dA B __________ __
104 2 442 ∴sin<a，b>＝ ＝ ， 51 3 17 104 ∴S▱＝2S△＝|a|· |b|sin<a，b>＝3× 17× ＝ 3 17 104.
【名师点评】 向量的数量积运算常用的处理 思路有两种，一是先求坐标再求点乘；另一个 是先利用多项式的乘法展开，再代入坐标求 解．在解题时应注意适当地选择求解方法．
例3
自我挑战 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱长为 2， 建立直角坐标系， 求正方体各顶点的 坐标及向量BD1及 A1C的坐标． → →
例4
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)， 求： (1)(2a＋b)·a－2b)； ( (2)以a，b为邻边的平行四边形的面积． 【思路点拨】 (1)利用向量的坐标运算求出 2a＋b和a－2b的坐标，再利用向量的数量积求 解．(2)由a，b的坐标求出cos<a，b>后，转化 为sin<a，b>，再利用三，－2)＋(0，－1,4)
＝(4，－3,0)，
a－2b＝(2，－1，－2)－2(0，－1,4)＝(2,1，－
10)，
∴(2a＋b)· (a－2b)＝(4，－3,0)· (2,1，－10)
＝4×2＋(－3)×1＋0×(－10)＝5.
(2)∵a· b＝(2，－1，－2)· (0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7， |a|＝ 22＋－1 2＋－2 2＝3， |b|＝ 02＋－1 2＋42＝ 17， －7 a· b 7 17 ∴cos<a，b>＝ ＝ ＝－ . 51 |a||b| 3 17
例2
【思路点拨】 利用重心 的概念，再结合图形求得 结果．
→ → → → 2→ → 【解】 ∵OG＝OA＋AG ，而AG ＝ AD ， ＝ AD 3 → → OD－OA， → 1 → → 又 D 为 BC 中点，∴OD＝ (OB＋OC)， 2 → → 2→ → 2 → → → 2 ∴OG＝OA＋ AD ＝OA ＋ (OD －OA)＝OA ＋ 3 3 3 1 → → 2→ 1 → → → 1 × (OB ＋OC )－ OA ＝ (OA ＋OB ＋OC )＝ (a 2 3 3 3 ＋b＋c)．
课堂互动讲练
考点突破
空间向量基本定理及应用
应用空间向量基本定理时， (1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的 运算律进行． (2)若没给定基时，首先选择基．选择时，要尽 量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再 就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
1 1 1 → → 1 1 ∴EF· ＝ × ＋(－ )× ＋ －2 ×0＝0. CF 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－1， )， 2 → ∴|CE|＝
1 2＝ 5. 0 ＋－1 ＋ 2 2
2 2
例5：在正方体ABC A 1B1C1D1中，点E，F1 D 1 分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求B1与 E DF1所成角余弦 例6：正方体ABCD A 1B1C1D1中，点E，F分别 是BB1，D1B1的中点，求证：EF DA1
D1
F1 E1
C1
D1
F
A1
C1
A1
B1
B1
E D A B C A D B C
如图，在棱长为1的正方体ABCD- 1B1C1D1中， A E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长．
7
【思路点拨】
建系
→ 确定所需点的坐标 → 求出相关向量的坐标 → 利用向量的夹角、距离公式求解 → 结论
【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 标系 Dxyz， 0，0，1 ，C(0,1,0)， 则 D(0,0,0)，E 2 1，1，0 ，G1，1，1 . F2 2 2 1 → 1 1 ∴EF＝ 2，2，－2 ， 1 → 1 CF＝ 2，－2，0 .
5．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 → (1)AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)dAB＝ 2 2 2 x2－x1 ＋ y2－y1 ＋ z2－z1 . (3)线段 AB 的中点坐标为
x1＋x2， y1＋y2， z1＋z2 . 2 2 2
→ → → → 2→ 21 → 而GH＝OH －OG ，又∵OH＝ OD ＝ · (OB ＋ 3 32 1 → OC)＝ (b＋c)， 3 1 1 → 1 ∴GH＝ (b＋c)－ (a＋b＋c)＝－ a. 3 3 3
已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心， 底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中 点，如图所示，以O为坐标原点，分别以射线DA， DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空 间直角坐标系．分别写出点A，B，C，D，E，F的 坐标． 【思路点拨】 通过特殊点(中点、轴上的点)来 求其他点的坐标．
例1：如图M，N分别 是四面体OABC的边 OA，BC 的中点，P，Q是MN 的三等分点，用向量 ,OB OA OC表示OP和OQ
O
M
A
Q
P
C
N
B
如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别 → → → 是△ABC、△OBC 的重心，设OA＝a，OB＝b ，OC＝c ， → → 试用向量 a、b、c 表示OG和GH.