立体几何几种常见题型
立体几何几种常见题型
一、求体积，距离型
1．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面
中心, A 1O ⊥平面ABCD
, 1AB AA ==
1
A
(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. 1
2．（2013
年高考福建卷（文）如图,在四棱锥
P ABCD
-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,
60PAD ∠=.
(1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若M 为PA 的中点,求证
://DM PBC 面; (3)求三棱锥
D PBC -的体积. D PBC V -=
3．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠B AC=90°,AB=AC=错误！未找
到引用源。,AA 1=3,D 是BC 的中点,点E 在菱BB 1上运动.
(I) 证明:AD⊥C 1E; (II)
当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积.
3
2
4．（2013
年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱
111
ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. (Ⅰ)证明:1
AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==
,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积.3
C 1
B 1
A
A 1
B C
5．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.
(1) 证明: BC 1//平面A 1CD;
(2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2错误！未找到引用源。,求三棱锥C 一A 1DE 的体积.
6．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P ABCD -的底面
ABCD 是边长为2的菱
形,60BAD ∠=.已知2,PB PD PA === .
(Ⅰ)证明:PC BD ⊥
(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.0.5
【答案】解:
(2) 由(1)BD ⊥面PAC
????==
45sin 32621
21PAC PEC S S △△=32
236=?
? 1111
32322
P BEC B PEC PEC V V S BO --?==
??=??=
7．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=
错误！未找到引用源。,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3
(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 d ==
(2)111111113
A B C E A B C V AA S ?-?三棱锥的体积＝
11111
Rt A D C AC ?在中，, 同
理
,
1EC ，
1EA
因此11A C E S ?=.设点B1到平面11EA C 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积
111
3
A EC V d S ???＝,d == 二、有关折叠型。
8．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC
边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,
得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =
. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2
3
AD =
时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.
图 4
9.如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连接AB ，BE ，设点F 是AB 的中点. (1)求证：DE ⊥平面BCD ；
3
2
(2)若EF ∥平面BDG ，
其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积.
(1)证明 ∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°. ∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°. ∴CD ＝2 3.
∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，
∴DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos 30°＝4， ∴DE ＝2，则CD 2＋DE 2＝EC 2. ∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC .
又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ?平面ACD ，∴DE ⊥平面BCD .
(2)解 ∵EF ∥平面BDG ，EF ?平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ， ∴EF ∥BG .
∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，
∴AE ＝EG ＝CG ＝2.
如图，作BH ⊥CD 于H . ∵平面BCD ⊥平面ACD ， ∴BH ⊥平面ACD . 由条件得BH ＝3
2
，
S △DEG ＝13S △ACD ＝13×1
2AC ·CD ·sin 30°＝3，
∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝1
3S △DEG ·BH
＝13×3×32＝32.
10. (2012·北京)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使
A
1F ⊥CD ，如图(2).
(1)求证：DE ∥平面A 1CB .(2)求证：A 1F ⊥BE . (3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.
(1)证明 因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .
又因为DE ?平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB . (2)证明 由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD . 又A 1D ∩CD ＝D ，所以DE ⊥平面A 1DC . 而A 1F ?平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F . 又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ， 又因为BE ?平面BCDE ，所以A
1F ⊥BE .
(3)解 线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下： 如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC . 又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ . 所以平面DEQ 即为平面DEP .
由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C . 又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，
所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP . 从而A 1C ⊥平面DEQ . 故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ . 三、 线面位置关系中的存在性问题
11、 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的 中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：DP ⊥平面EPC ；
(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP
AP
的值；若不存在，说明理由.
思维启迪 先假设EP 上存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ，然后推证点F 的位置.
(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ， ∴EP ⊥DP .
又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ， 则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC .
∴DP ⊥PC .
∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .
(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，
∵AD ∥BC ，BC ?平面BFC ，AD ?平面BFC ，∴AD ∥平面BFC . ∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .
∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ， ∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角. ∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP . ∴当FP ＝AP ，即FP
AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .
如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝
DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1；
(2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定 点E 位置；若不存在，说明理由.
(1)证明 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ，
∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形，∴DC 1⊥D 1C . 又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ，∴AD ⊥平面DCC 1D 1， 又D 1C ?平面DCC 1D 1，∴AD ⊥D 1C .
∵AD ?平面ADC 1，DC 1?平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ， ∴D 1C ⊥平面ADC 1，又AC 1?平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1.
(2)解 假设存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD . 连接AD 1，AE ，D 1E ，设AD 1∩A 1D ＝M ，
BD ∩AE ＝N ，连接MN ，∵平面AD 1E ∩平面A 1BD ＝MN ， 要使D 1E ∥平面A 1BD ，可使MN ∥D 1E ， 又M 是AD 1的中点，则N 是AE 的中点. 又易知△ABN ≌△EDN ，∴AB ＝DE .
即E 是DC 的中点.综上所述，当E 是DC 的中点时， 可使D 1E ∥平面A 1BD . 四、有关角度问题。
12、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，
D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝
2
π
，2AB =，
AC=2
PA=，求：
-的体积
（1）三棱锥P ABC
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
13、空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
五、共线共面问题。
14、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1
的中点.求证：
(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点.
15、.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示.
(1)求证：AD′∥平面EFG；
(2)求证：A′C⊥平面EFG；
(3)判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由.