2021届天津南开中学高三数学统练1
天津市南开中学2021届高三下学期统练(3)数学(理)试卷 Word版含解析
2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4 9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x ＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．2021年天津市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可推断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查同学把握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于简洁题．2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据逆否命题的等价性推断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）考点：基本不等式．专题：不等式．分析：问题转化为+a ﹣＞0在x＞0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的范围．解答：解：设x＞0，若x+＞1恒成立，则：x2﹣x+a＞0，即+a ﹣＞0，∴a ﹣＞0，解得：a ＞，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题．4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A．2ab ＜＜＜b B．2ab ＜＜＜bC．＜2ab ＜＜b D．2ab ＜＜b ＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞＞a，利用a2+b 2，可得．由＞，可得=．由于﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：∵b＞a＞0，且a+b=1，∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞＞a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b 2=，又＞，∴，即=．﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=2﹣﹣=0，∴＜b．综上可得：2ab ＜＜b．故选：B．点评：本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：依据基本不等式的性质可知．≥排解A ，取，推断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排解C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排解D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A ．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b 则≥恒成立若a≥b ，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了同学对基础学问的把握．6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出不等式对应的方程的两根，并判定两根的大小，从而得出不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a ＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应依据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题．7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D．[﹣2，0]∪[2，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值范围，由于函数是分段函数，故需要在两段分别做分析争辩，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值范围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．依据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，依据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值范围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类争辩的数学思想．要求同学理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．8．当x＜0时，函数的最小值是（）A．B．0 C．2 D． 4考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，留意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x ﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要留意等号成立，属于基础题．9．不等式≥3的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D．{x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由原不等式可得，即1＜|x|≤2，由此求得x的范围．解答：解：不等式≥3，即≤0，∴，∴1＜|x|≤2，解得1＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式、确定值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，）B．（，2）C．（1，）D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|9x＜27x }={x|3＜33x}={x|2x2＜3x}={x|0＜x ＜}，N={x|log（x﹣1）＞0}={x|0＜x﹣1＜1}={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x ＜}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键．11．对于恒成立，则a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再依据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．解答：解：=依据y=在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，故选B．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及依据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x ＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．解答：解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x ＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的应用，留意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a 的取值范围为[，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：依据不等式||＞a的解集为M，且2∉M，可得||≤a，由此即可求a的取值范围．解答：解：∵不等式||＞a的解集为M，且2∉M，∴||≤a，∴|a﹣|≤a∴a2﹣a+≤a2，解得：a≥，∴a的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．点评：本题考查不等式的解法，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值范是（0，）∪（2，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x）的奇偶性及在（﹣∞，0）上的单调性可推断其在（0，+∞）上的单调性，由f（x）的性质可把f（log x2）＜f（1）转化为具体不等式，解出即可．解答：解：由于f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（log x2）＜f（1），则﹣1＜log x2＜0，或0＜log x2＜1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞）所以实数x的取值范围为（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值范围是（0，1）．考点：确定值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，数形结合求得a的范围．解答：解：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0＜a＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查带有确定值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．17．若正数x，y 满足+=2，则xy 的最小值是6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2021•天津校级模拟）已知不等式（a+b ）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依据一元一次不等式的解求出a=3b＜0，利用消参法转化为含有参数b 的一元二次不等式，进行求解即可．解答：解：∵（a+b）x+（2a﹣3b）＜0，∴（a+b）x＜3b﹣2a，∵不等式的解为x＞﹣，∴a+b＜0，且=﹣，解得a=3b＜0，则不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．等价为bx2+（4b﹣2）x+（3b﹣2）＞0．即x2+（4﹣）x+（3﹣）＜0．即（x+1）（x+3﹣）＜0．∵﹣3+≤﹣1．∴不等式的解为﹣3+＜x＜﹣1．即不等式的解集为（﹣3+，﹣1）．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查同学的运算和推理力量．20．（15分）（2021•天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆[1，4]有两种状况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种状况计算a的取值范围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a ≤．…（10分）综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类争辩的数学思想，属于中档题．21．（15分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x 的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类争辩：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．点评：本题主要是应用分类争辩思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对争辩对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当争辩的对象不止一种时，应分层次进行，以避开混乱．依据确定值的意义推断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．22．（15分）（2022•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数争辩函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类争辩，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有微小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，明显A≠∅下面分三种状况争辩：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类争辩．。
天津市南开区2021届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
天津市南开区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣i B．i C ．﹣﹣i D ．﹣+i2．已知实数x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣123．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x 的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D ．x2﹣4y2=15．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是( )A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A ．B ．C．4D．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=( ) A ．B ．C ．D ．或8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．如图是某学校抽取的同学体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的同学人数为__________．10．已知a＞0，（x﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，则（x﹣）6的开放式中各项系数和为__________（用数字作答）．11．假如执行如图所示的程序框图，则输出的数S=__________．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为__________．13．如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为__________．14．已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC 上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•=__________．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．19．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n ，求数列{c n}的前n 项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N *且n≥2，有++…+＜．20．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假如当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．天津市南开区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣i B．i C．﹣﹣i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y 为，由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0﹣2×4=﹣8．故选：C．点评：本题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：集合；简易规律．分析：依据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据集合关系是解决本题的关键．4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x 的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D ．x2﹣4y2=1考点：抛物线的简洁性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．解答：解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2=1．故选：D．点评：本题考查的学问点是抛物线的简洁性质和双曲线的简洁性质，娴熟把握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．5．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是( )A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先通过配方能够得到0，所以依据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．解答：解：；∴有；所以依据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．点评：配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，依据图象求函数的值域的方法．6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A ．B ．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，分析出几何体的外形，进而画出几何体的直观图，进而代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V==，故选：A点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，其中依据已知分析出几何体的外形，是解答的关键．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=( )A ．B ．C ．D ．或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得，而b2=a2+bc，可得c=b，a2=b2，再利用余弦定理即可得出．解答：解：由余弦定理可得=，∵b2=a2+bc，∴=0，解得c=b，a2=b2﹣bc=b2，∴cosC===，∵c＜b，∴C 为锐角，．故选：B．点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：依据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再依据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．解答：解：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，∵0＜n＜1+m，∴，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，从而1＜m＜3，故选：B．点评：本题考查函数零点的推断，机敏对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．如图是某学校抽取的同学体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的同学人数为60．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：依据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可．解答：解：第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25；则抽取的同学人数为：=60．故答案为：60．点评：本题考查了读取频率分布直方图中数据的力量，属于基础题．10．已知a＞0，（x ﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，则（x ﹣）6的开放式中各项系数和为1（用数字作答）．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式开放式的各项系数之和．解答：解：∵a＞0，（x﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，∴通项T r+1=C6r（﹣a）r x6﹣3r，当6﹣3r=0时，r=2，常数项是C6r（﹣a ）r=60∴a=2，令x=1，得到二项式开放式中各项的系数之和是1，故答案为：1．点评：本题考查二项式通项和各项系数之和，本题解题的关键是写出通项，这是解这种问题的通法，本题是一个基础题．11．假如执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+3+5+7+…+99==2500．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i＞99，S=4，i=5不满足条件i＞99，S=9，i=7不满足条件i＞99，S=16，i=9…不满足条件i＞99，S=1+3+5+7+…+99，i=101满足条件i＞99，退出循环，输出S=1+3+5+7+…+99==2500．故答案为：2500．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和，属于基本学问的考查．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为．考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出圆心到直线的距离，进一步利用勾股定理求出结果．解答：解：平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2=4，直线l的方程：cosθ﹣sinθ=0，转化成直角坐标方程为：，所以：圆心（0，2）到直线的距离d=1，所以：圆被直线所截得弦长：=2．故答案为：．点评：本题考查的学问要点：参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，点到直线的距离，勾股定理的应用．13．如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD 的长为2．考点：平行截割定理．专题：选作题；立体几何．分析：利用割线定理，求出PC，再证明AC∥OB，∠2=∠D，∠AOB=∠BOD，即可得出结论．解答：解：设PC=x ，则利用割线定理可得2×4=x（x+8﹣x+8﹣x），∴x=4，连接OA，OB，AC ，则∵A，C 分别为PB ，PO的中点，∴AC∥OB，∴∠1=∠2，∵∠1=LD ，∴∠2=∠D，∴∠AOB=∠BOD，∴BD=AB=2．故答案为：2．点评：本题考查割线定理，考查圆的内接四边形的性质，考查同学的计算力量，比较基础．14．已知正三角形ABC的边长为2，点D ，E分别在边AB ，AC 上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•=0．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图，依据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用、表示、，再依据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可．解答：解：连AO 并延长交DE于G ，如图，∵O 是△ADE的重心，∴DG=GE ，∴，∴==，又=λ，=λ，∴=（），明显，，又==（1﹣）﹣，==﹣（+）=﹣（+﹣）=（）=﹣+，∴=（1﹣）+，∵=﹣，=﹣=（λ﹣1），∴=[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的边长为2，∴||2=||2=4，∴，∴=[（1﹣）+]•[+（λ﹣2）]={（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}====0．（本题还可以用特殊值法或建立坐标系的方法来解决）点评：本题考查平面对量的数量积的计算，解题时要留意等价转化思想的合理运用，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得函数的单调减区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）先求得g（x），由0≤x ≤，可求﹣≤2x ﹣≤，从而可得≤cos（2x ﹣）+1≤2，即可求出f（x）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+）+2cos2x=﹣+1+cos2x…2分=cos2x ﹣sin2x+1=cos（2x+）+1…4分所以函数f（x）的最小正周期为π…5分由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得k≤x≤kπ+，所以单调减区间是：[k，kπ+]，k∈Z…8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x ﹣）+）+1=cos（2x ﹣）+1．…由于0≤x ≤，所以﹣≤2x ﹣≤，所以﹣≤cos（2x ﹣）≤1，…因此≤cos（2x ﹣）+1≤2，即f（x）的取值范围为[，2]．…点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换，综合性较强，属于中档题．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，直接求解即可．（Ⅱ）ξ=1，2，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，P==．…（Ⅱ）ξ=1，2，…P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为…ξ 1 2Pξ的数学期望E（ξ）=1×+2×=．…点评：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算力量．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C 为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C 为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC 的法向量，则•=•=0，即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos ＜，＞|===，则a=2．…于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==，即直线PA与平面EAC 所成角的正弦值为．…点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象力量以及计算力量．18．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA 的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），原点O到直线FA 的距离为b，列出方程，即可求解椭圆的离心率．（Ⅱ）求出椭圆方程，联立方程组，通过韦达定理，设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），求出MB方程，NA方程，求出交点坐标，推出结果．解答：解：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），依题意有bc=ab，∴椭圆C的离心率e==．…（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴椭圆方程为．…联立方程组化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，由△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞由韦达定理得：x M+x N =…①，x M x N =…②…设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），MB方程为：y=x﹣2，…③NA方程为：y=x+2，…④…由③④解得：y=…===1即y G=1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简洁性质方程的求法，考查分析问题解决问题的力量．19．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）推断a n}是等比数列，求出通项公式，推断{b n}是等比数列，求出通项公式为b n．（Ⅱ）化简c n的表达式，利用错位相减法求解T n即可．（Ⅲ）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n﹣1．…∵2b n﹣b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1﹣b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．…∴当n＞1时，b n=S n﹣S n﹣1=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n﹣1．…（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，…T n=0•20+1•21+2•22+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①2T n=0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②①﹣②得：﹣T n=0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n =2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n∴T n=（n﹣2）2n+2．…（Ⅲ）===≤+++…+＜++…+==（1﹣）＜．…点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，错位相减法以及放缩法的应用，考查计算力量．20．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假如当x≠0时，f（2x ）＜，求实数k的取值范围．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：分类争辩；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x ）＜⇔[xe x ﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x ﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k争辩，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，推断函数的单调性，即可得到k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔[xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设冲突，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当1＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设冲突．综上可得，k的取值范围是[0，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类争辩的思想方法和正确求导是解题的关键．。
2021年天津南开中学高三月考文科数学卷
2021年天津南开中学高三月考文科数学卷2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（这道大题有8道小题，每个小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。
请在答题纸上填写答案！）1．设集合a={2，5}，集合b={1，2}，集合c={1，2，5，7}，则（a∪b）∩c为（）a．{1，2，5}b．{1，2，5}c．{2，5，7}d．{7，2，5}2.假设a和B是实数，那么“a>B”是（）a.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件3。
不平等的解集是（）二2a、 d。
b．c。
4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）a、 4b.11c.125．函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a．0b．1c．26.已知函数f（x）=sin（2xa）7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，（）＜φ＜b．d、 14d．3)，如果有∈ （0，π），所以f（x+a）=f（x+3a）是常数，那么a=（）c．d。
）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是第1页，共16页a．b、疾病控制中心。
8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的值范围为（）a．（1，10）b．（5，6）c．（10，15）d．（20，24）二、填空：（这个大问题有6个小问题，每个小问题5分，总共30分。
请在答题纸上填写答案！）9.如果向量=（2,5），=（，y）和⊥ （+2），那么Y的值是。
10.设置向量，，然后βα=。
11．已知12.已知正数A.B满足4A+B=30，因此13．若函数（fx）（x∈r）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为（fx）=，取最小值时，则实数对（a，b）是．哪里，则cosα=．其中0＜α＜β＜π。
如果则f（）+f（）=．14.有四个主张：（1）“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题．二（3）“若q≤1，则x+2x+q=0有实根”的逆否命题；（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的是．三、答：（本答案共有6个小问题，15-18个小问题得13分，19-20个小问题得14分，共80分。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2021-2021学年天津市南开中学高三(下)第三次月考数学试卷(理
2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 2762．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①④D． 300D．②④3．已知三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（） A．B．C．的正三角形，D．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（） A． 2B． 1C．D．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（） A．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x=2py2B． C． D． 2（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x=7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C12y B． x=2y C． x=8y2D． x=16y2于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（） A．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于B．C．D．A、B两点．若AB的中点坐标为（1，��1），则E的方程为（） A．B．C． D．二、填空题：（每小题0分，共30分．）*015春?天津校级月考）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1（n∈N），且a1=1，则通项公式an= ．1015春?天津校级月考）圆心在直线x��2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（��2，0）、B（��4，0），则圆C的方程为．1015春?天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则?= ．1015春?天津校级月考）已知cos（x��3）=��，则cosx+cos（x��）= ．1015春?天津校级月考）已知函数y=x��3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是．1015春?天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春?天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．1013?铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；2（Ⅱ）求2sinA+cos（A��C）的范围．1014?东莞二模）如图，在四棱锥P��ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C��PD��G的余弦值为？说明理由．1014?河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．1014?天津三模）已知数列{an}的前n项和Sn=��an��bn=2an．（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{n+2（n∈N），数列{bn}满足*an}的前n项和为Tn，证明：n∈N且n≥3时，Tn＞nn��1**；（3）设数列{cn}满足an（cn��3）=（��1）*λ，使得对任意n∈N，都有cn+1＞cn．λn（λ为非零常数，n∈N），问是否存在整数2021?和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（��4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求的取值范围．?22021-2021学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4×故选B．×4=240．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①④ D．②④考点：的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．解答：解：①若α∩β=m，n?α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假．故选B．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．3．已知三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（） A．B．C．D．的正三角形，考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC��A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．即可感谢您的阅读，祝您生活愉快。
天津市天津南开中学等六校2021届高三数学上学期期初检测试题.doc
优质资料\word 可编辑15 x 天津市天津南开中学等六校2021届高三数学上学期期初检测试题一、选择题（每题 5 分，共 45 分）1. 设全集为 R ，集合 A =x R |0 x 2 ， B =x N | x 1 ，则 A (C R B )7. 在ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c 。
已知ABC 的面积为3 ， 3sin A2 sin C ， cos B 1 ，则cos2 A的值为2. 命题“ x R ， 2x 2 3x ”的否定是 8. 已知 F ， F 分别为双曲线3x 2 y 23a 2a 0 的左右焦点， P 是抛物线 y 28ax 与1 23. 已知a ln ， blg125 ， c 1.3，则a , b , c 的大小关系是双曲线的一个交点，若| PF 1 | | PF 2| 18 ，则抛物线的准线方程为4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队,教练将二人最近6 次篮球比赛的得分数进行统计,甲乙两人的平均得分分别是,则下列说法9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： f (x ) f (x ) e 2 x ， f ln 2 4 ，则不等式 f (x ) e 2 x 的解集为A . , ln 2B . ,2C . ln 2，D . 2，二、填空题（每题 5 分，共 30 分）正确的是10. 二项式 253x 的展开式的常数项是A . ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛B . ,甲比乙稳定,应选甲参加比赛C .,甲比乙稳定,应选甲参加比赛D .,乙比甲稳定,应选乙参加比赛5. 已知直线m , n ，平面α ， n ，那么“ m // ”是“ m // n ”A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6．函数 f (x )A sin(ωxφ) ，（其中 A 0, ω0,| φ | π）2的一部分图像如图所示，将函数上的每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2 倍，得到的图像表示的函数可以为11. i 是虚数单位，则 3 4i (1 i)=1 i12．如图，在三棱柱的侧棱 A 1 A 和 B 1B 上各有一动点 P , Q 且满足 A 1PBQ ， 过 P , Q , C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C ABQP与三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积比为13. 如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE 2EA ， AD与CE 交于点O 。
天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案解析)
天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市南开中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）1 设集合，集合，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案解析】 B分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为，，，故选：B．2 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案解析】 A分析：画出每个函数的图象，即得解.解答：y＝＝，y＝＝，y＝，y＝，它们的图象如图所示:由图象知，只有y＝在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3 函数，图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项.由排除选项.由，排除C选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4 已知公差不为0的等差数列{an}的首项，若，，成等比数列，则{an}的前5项之和为（）A. －23B. －25C. －43D. －45【答案解析】 D分析：首先根据题意得到，解得，再计算即可.解答：根据题意，，，成等比数列，即，则有，解可得或（舍，则的前5项之和.故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5 设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 B分析：分别判断，和，再代入计算，可得.解答：因为，所以；又因为，所以；又，所以，所以.故选：B.6 椭圆的焦距为4，则m的值为（）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11【答案解析】 D分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得的值. 解答：在椭圆中，由已知可得，解得.若椭圆的焦点在轴上，可得，解得；若椭圆的焦点在轴上，可得，解得.因此，或.故选：D.7 以下命题正确的是（）A. 命题“任意，”的否定为“存在，”B. 设等比数列的前n项和为，则“”是“公比”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有，则向量，不共线D. “直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件【答案解析】 D分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A选项；举反例判断B选项；若对于任意实数λ，非零向量满足，则向量，不共线，C错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意，”的否定为“存在，”，A错误；，当，n为奇数时有，B错误；若，为零向量，对于任意实数λ，有，但共线，C错误；两直线平行则，解得或1，当时两直线重合不满足条件，所以；由两直线垂直可得，解得或1. 所以“直线与平行”是直线与垂直”的充分非必要条件，D正确.故选：D8 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②点是曲线的对称中心；③把函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像.其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.解答：①：函数的最小正周期，①正确；②：，即，则曲线的对称中心为，点不是曲线的对称中心，②错误；③：函数的图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，因为，所以③正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数向左平移个单位，得到，然后横坐标缩小倍，得到，再然后向上平移个单位，可以得到，考查推理能力，是中档题.9 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案解析】 D分析：先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.10 i是虚数单位，纯虚数z满足，则实数m的值为________.【答案解析】 2分析：利用复数的除法运算将复数z整理为的形式，再根据z为纯虚数则实部为零求解m. 解答：为纯虚数，，解得.故答案为：211 在的展开式中，常数项是________.【答案解析】 60分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令，运算即可得解.解答：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的二项展开式中，常数项为.故答案为：12 已知点和圆C：，则P在圆C________(填内､外或上)，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为________________.【答案解析】外；分析：根据点P距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径. 解答：，P在圆C外，设以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为，即，以P为圆心且和圆C内切的圆的方程为.故答案为：外；13 已知向量和的夹角为60°，，，则的值为________.【答案解析】分析：由已知求得，又由，求得，，从而利用，代入可求得答案．解答：因为，所以，又，所以，又向量和的夹角为，所以，得，所以，故答案为：．14 已知，，且，则的最小值为________.【答案解析】分析：利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设，，所以．故，当且仅当时取等号，即时取等号．故答案为：．点拨：本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．15 已知.设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________.【答案解析】分析：欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围.解答：（1）当时，，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减①当时，在上单调递增.此时的值域为，恒成立②当时，在时，取得最小值当时，，则恒成立当时，.此时若即时，，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，.时在上为增函数，值域为要有意义，则此时，.,故因此，恒成立综上所述，故答案为：点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.16 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求角C的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案解析】（1）30°；（2）；（3）.分析：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算，从而得到，，再计算的值即可.解答：（1）由余弦定理，得，又因为，所以.（2）由（1），有，由正弦定理，得.（3）解：由，知A为锐角，故，进而，，所以.17 如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）设点M为棱的中点，求证：平面；（2）求异面直线和所成角的余弦值；（3）棱SB上是否存在点N，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明从而证明线面平行；（2）求出向量、的坐标，代入即可求解；（3）设，用表示出点N的坐标，求出平面SBC、平面ANC的法向量，由题意知则，即可带入坐标求得从而求得.解答：（1）证明：以点A为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，，，，，，.设点P为中点，则有，，，又因为平面，平面，所以平面.（2）由，，得.所以，异面直线和所成角的余弦值为.（3）由（1）中知，设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得，易知分别为平面ABCD、平面ABS的法向量，，平面ABCD与平面SBC不垂直，，平面ABS与平面SBC不垂直，所以点N不在棱SB的端点处，依题意，设，()，可得.设平面的法向量为，有，进而，不妨设，得.由题意知，，则，解得.此时，.18 设数列{an}是公比为正整数的等比数列，满足，.设数列{bn}满足，.（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，并求{bn}的通项公式；（3）记，.求证：.【答案解析】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析.分析：（1）由，解得首项和公比可得答案；（2）由，可得进而求得答案；（3），用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列的公比为q，有解得所以.（2）证明：，又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，进而，.（3）由（1）、（2）知，，所以，所以.点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19 已知椭圆C：()的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆位于x轴上方的部分，直线AB与y 轴交于点D，点E是y轴上一点，满足，直线与椭圆C交于点G.若的面积为，求直线AB的方程.【答案解析】（1）；（2）.分析：（1）由离心率及过的点和之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得的坐标，由题意得点的坐标，再由题意得的坐标，表示出面积，求得的值，得到直线的方程.解答：（1）由已知，有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知，，.设直线的方程为()，其与椭圆C的交点满足方程组消去y得到，解得.在直线的方程中，令，解得，即得.设，由题意，有，解得. 进而得到直线的方程为，其与椭圆C的交点满足方程组消去x得到，解得，进而.由上述过程可得，，点G到直线的距离为.因此，，化简得，解得，所以直线的方程为.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20 已知函数，.（1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.【答案解析】（1）0；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）当时，，求导.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数的最大值.（2）（i）记.设切点，求得过点P处的切线方程为.由已知解得，代入可得其切线方程；（ii）构造函数，求导，令，求导得，可得单调递增.又由，得出单调性，从而可得证.解答：解：（1）当时，，.当时，有，则单调递增；当时，有，则单调递减.因此，存在极大值，也即函数的最大值，所以函数的最大值为.（2）（i）记.取曲线上一点，则P处的切线方程为.由题意，有，即，变形后得到方程.记函数，由，知为增函数，故.将其代入切线方程，故所求切线方程.（ii）构造函数，则，令，则.有，故单调递增.又，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，.由题意，.不妨设，由前述知，，即.所以.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。
2021届南开中学高三校模拟数学试卷
面积等于 ( )
A. 81π 8
B. 81π 2
C. 121π 8
D. 121π 2
7. 已知抛物线 y2 = 2px (p > 0) 上一点 M (1, m) (m > 0) 到其焦点的距离为 5，双曲线 x2 − y2 = 1 的左顶点 a
为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是 ( )
所( 以直线 DQ 的方)程为
(
−12m 3m2 + 4
−
4 m
(2) 求直线 BC1 与平面 A1BE 所成角的正弦值；
(3) 在棱 CC1 上是否存在一点 P ，使得平面 P AB 与平面 A1BE 所成二面角为 60◦?若存在，求出线段 CP 的长；若不存在，请说明理由．
18. 已知 A1B
A1，A2 分别为椭圆 C : √
x2 a2
+
y2 b(2
的距离为 4 7b ，椭圆 C 过点
使得 f (s) = f (t)，且 s ̸= t．
（1）若 m = −2，b = （2）若关于 x 的方程
|f
(x)|
=
；( f
m
)
有
4
个不相等的实数根，则
a
的取值范围是
．
3
16. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 cos B = − b ．
cos C
2a + c
3x
（用数字作答）．
12. 已知过点 P (0, 1) 的直线 l 与直线 4x − 3y = 0 垂直，l 与圆 x2 + y2 + 2x − 6y + 6 = 0 相交于 A，B 两点，则
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天津市南开中学2021届高三数学统练
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天津市南开中学2021届高三数学统练1（假期作业检测）
一、选择题（每题4分，共36分）
1．设1i ,1i z +=- 则z =（ ）. A ．0 B ．1
C D ． 3
2．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，则()sin πα-等于（ ）.
A ．45-
B ．45
C ．35-
D ． 35
3．已知向量()()2,,3,1,m ==a b 若a
b ，则实数m 的值为（ ）. A ．14 B ．13
C ．23
D ． 12 4．若,a b c >>则以下不等式一定成立的是（ ）.
A ．ab bc >
B ．22a b >
C ．33a c >
D ．22ab cb >
5．“3101
x +-≥”是“()()210x x +-≥”的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．若1,a
b >> ()1lg lg ,lg ,22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
则（ ）. A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q <<
7．已知ABC △的三边为,,,a b c 且16,b c +=ABC △面积为S ，且222,S b c a
=+-则面积S
的最大值为（ ）.
A
B
C
D 8
．如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,AB DC AD BC ====E 是DC 得中点，F 是线段BC 上的动点，则EF BF ⋅的最小值是（ ）.
A ．0
B ．1。