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高等数学知识点总结（公式）第一章 极限 1.常用极限：1||1||0)80)7sin )6)1(,)1()52arctan ,2arctan )4ln ,ln )31(,,0),1(,0,)2;0,1,1,1)1lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim 1lim lim lim lim 01010100000>∞<=>∞<==++++++==+=+-==-∞=+∞=<+∞==>=+∞==-∞=+∞=∞=∞→∞→→→∞→-∞→+∞→→+∞→-∞→+∞→-∞→+∞→∞→→→→+-+q q q nm nm n m b a b x b x b a x a x a k x kxe ax e x ax x x x a a a a a a x xx nn nm nnm m x x axx a x x x x x x x x x x x x x x x x x x xππ9）下列极限不存在也不为无穷：xx x x x x a x x x x 1000lim lim lim lim lim ;1cos ;1sin ;cos ;sin →→→∞→∞→2.常用的等价无穷小（当0→x 时）sinx~x tanx~x 1-cosx~22x arcsinx~x arctanx~xln(1+x)~x 1-x a ~xlnx 第二章 导数 1.导数基本公式2.双曲函数：3.求导法则：2''''''''''')()()())(()(v uv v u v u uv v u uv v u v u Cu Cu -=+=-+=-+=y=f(x)的反函数为x=g(y)则)(1)('y g x f =)0)(('≠y g 复合函数求导 4.高阶导数2''1''2211)(arcsin cos )(sin )0()(0)(ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan x x x x x uxx C ax x aa a x x x x x x x x x x u u a x x -==>==='='⋅-='⋅='-='='-2'2'''222211)cot (11)(arccos 1)(ln )(11)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x xx e e x x arc x x x x x x x x +-=--===+-='+='--='-='xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦xn n x ax n n ax n n n n n n nn n n n n n n a a y a y ab n x e b a y bx e y n x y x y n x y x y a n y x a x a x a a y x n y x y xn y x y nn x n y x y )(ln ,).8arctan ),sin()(,sin ).7)2cos(,cos ).6)2sin(,sin ).5!,).4)1()!1()1(),1ln().3!)1(,1).20)1()1(,).1)(22)()()()(22101)(1)()(===++==+==+===++++=+--=+=-==<≥+--==-+-φφππααααααα5.莱布尼茨公式)()(0)()(k k n nk kn n v u uv C -=∑=三角公式6.基本初等函数的微分公式2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±dxx x arc d dx xx d dxxx d dxxx d dx xx d dx ax x d e e d adx a a d xdx x x d xdx x x d x x d xdx x d xdx x d xdx x d dx ux x d C d a x x x x u u 222222111)cot ()1611)(arctan )1511)(arccos )1411)(arcsin )131)(ln )12ln 1)(log )11)()10ln )()9cot csc )(csc )8tan sec )(sec )7csc )(cot )6sec )(tan )5sin )(cos )4cos )(sin )3)()20)()1+-=+=--=-=====-==-==-====- 第三章 中值定理和导数应用1.费马引理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；洛必达法则。
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第一部分、《基础知识》一、整式运算1. 整式加减法（合并同类项）2. 整式乘法与因式分解（1）法则：nb na mb ma b a n b a m b a n m +++=+++=++)()())(( 如：6)62()3()3)(2(22--=-+-=-+x x x x x x x （2）乘法公式：222222)())((b ab a b a b a b a b a +±=±-=-+ 如：25)5)(5(2-=-+x x x ，96)3(22+-=-x x x ，168)4(22++=+x x x （3）因式分解（实际上是整式乘法的逆运算） A.提取公因式法。
如：)2(22222x xe e x xe x x x -=- B.公式法。
如：)2)(2()2(),1)(1(122+-=--+=-x x x x x xC.十字相乘法，如：)3)(2(652--=+-x x x x 3. 整式除法 (1)整除：61)6)(1(16533)3)(3(3922-=+-+=+---=+-+=+-x x x x x x x x x x x x x （2）带余除法：11111111111222++-=+++-=++-=+x x x x x x x x x 1111223+--=++x x x x x二、分式运算：关键在于通分和约分1. 通分：①同分母分式相加；②异分母分式相加减；③整式与分式相加减； ①同分母分式相加:分母不变，分子相加减。
22221)31()1(13111-=--=--++=--+-+x xx x x x x x x ②异分母分式相加减222222222222)1(4)1(22)1()1(2)1(2212x x x x x x x x +=+-+++=+-++ ③整式与分式相加减232322221111)1(1x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=+-++=+- 2. 约分（主要在分式乘除运算中使用） 三、解方程与解方程组 1.解方程举例:3,1,0)3)(1(,0322,0)2(,0442,2,0)2)(2(,0421********=-==-+=--===-=+-=-==+-=-x x x x x x x x x x x x x x x x2.解方程组举例 （1）代入消元法：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-==-==-+=-+=-+⎩⎨⎧=+-=01,322,2,0)1)(2(021121)2(1)1(1221121222y x y x x x x x x x x x y x x y 方程组的解为：于是，）得：）代入（解：把（ 由此可得，抛物线12-=x y 与直线1=+y x 的交点为（-2，3）和（1，0）。
高等数学下册总复习word
总复习（三重积分、曲线曲面积分） （注：教材中带*号的内容不考）一， 各种积分：重积分（一重积分即定积分，二重积分，三重积分）， 曲线积分（第一类，第二类；平面，空间），曲面积分（第一类，第二类）怎样识别：根据积分区域。
另外对第一、第二类线、面积分还要看微元字符。
二， 重点：1,重积分重点主要是定限和计算，其次是几何应用（体积，曲面面积）与物理应用（质量，质心，做功，引力）2,曲线曲面积分重点主要是计算，其次是几何与物理应用3,各种积分的关系（主要用于通过互化来计算）：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式*，两类曲线曲面积分互化三，三重积分的计算： 1. “2+1”公式：21(,)(,)(,,) (1)xyz x y z x y D f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（，，）此公式可导出“1+1+1”公式，柱坐标，球坐标* 2. “1+2”公式”：(,,) (2)(,,)zd cD z f x y z dxdydz dz f x y z dxdy D z f x y z z Ω=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰（，，）其中为用垂直于 轴的平面去截割积分区域所得到的平面区域.此公式常用于当仅含时.2211()(,)()(,)2223. (,,) (3)12, , by x z x y a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz x y z r c Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰化为三次积分：（，，）4. 化为柱坐标：当公式（），（）中的二重积分用极坐标时即为柱坐标。
5*. 化为球坐标：当被积函数含有积分区域的边界曲面是球坐标曲 面（球面圆锥, c c ϕθ==面半平面）时，常使用球坐标。
公式（3）定限方法：穿越法:1212(,) (,) () () z z x y z z x y y y x y y x ====为入口面，为出口面，为入口线，为出口线.要领：内限是外积分变量的函数。
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x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
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高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
数学期末知识点总复习资料(word文档物超所值)
v b
av
⑵加法结合律：
(av
r b
)
cv
av
v (b
cv)
⑶数乘分配律：
(av
v b)
av
v b
3 奎奎 共线向量 奎奎奎 奎奎
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．
r a
平行于
r b
记作
av //
r b
．
rr
rr
rr
当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是
数学期末知识点总复习 简易逻辑 知识要点
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单 命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；非 p(记
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则 S 侧 cos =S 底；
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, , , 因此有
cos2 +cos2 +cos2 =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
, , , 则有 cos2 +cos2 +cos2 =2;
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． （二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离 7.直线和平面所成的角与二面角 ⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角． ⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离 ⑴点到平面的距离． ⑵直线到与它平行平面的距离． ⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段． （四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ⑴多面体． ⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质． ⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质． ⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10.多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式． ⑵正多面体． 11.球 ⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．
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高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。
2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。
且：有假为假，全真为真。
非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。
常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R ， 都 有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 ：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
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高等数学总复习练习题（1）一．判断题1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=limlim ()()∆∆∆∆∆∆t t st s t t s t t→→=+-0000与 t 有关. ( ) 2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 5 函数f(x)在点x 0处的导数f(x 0)=,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( )6 周期函数的导数仍是周期函数. ( )7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( )8 若对任意x(a,b),都有f(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( )9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f(e)=0. ( )10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224321'=-=- ( )11 已知y= 3x 3+3x 2+x+1,求x=2时的二阶导数: y =9x 2+6x+1 , y|x=2=49所以 y"=(y )=(49)=0. ( ) 二．填空题1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 x=_______,函数增量y=________.2 设物体运动方程为s(t)=at 2+bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a时, 物体的速度为____________,加速度为________________.3 反函数的导数,等于原来函数___________.4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________.5 若 lim()()x af x f a x a→-- 存在,则lim ()x a f x →=______________.6 若y=f(x)在点x 0处的导数f(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有__________的切线.若f(x)= ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线.7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________.8 函数f x x x x x (),,ln ,,=-+≤>⎧⎨⎩2111在其定义域上不可导点是____________. 9 若y=3e x +e -x ,则在y =0时,x=_________.10 抛物线y=x 2及y=2-x 2 在两个交点处的夹角是___________. 11 (x 2sinx 2) =__________=2xsinx 2+2 x 3cosx 212 当f(x)= (2x+6)6时,在f (x)中x 3的系数是__________. 三．选择题1 若函数f(x)在x 处可导,则f (x)等于 ( )A f x x f x xC f x x f x xB f x x f x x D f x x f x x x x x x x .lim()().lim()().lim ()().lim ()()∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→→→→-------+--000022 在平均变化率y/x 取极限lim∆∆∆x yx→0 的过程中,x 与x 的状态分别是 ( )A. x 与x 都是常量. C. x 是变量而x 是常量.B. x 与x 都是变量. D. x 是常量而x 是变量. 3 在抛物线y= x 2上切线与OX 轴构成45度角的交点是( )A. (-1/2,1/4)B. (1/4,1/2)C. (-1/2,-1/4)D. (1/2,1/4)4 设函数y=f(x)在点x 0 处可导, 且f (x 0)>0,则曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线与x 轴正向( )A. 平行B. 垂直C. 成钝角D. 成锐角 5 双曲线xy=1在点(1,1)处的切线与法线方程分别为( )A. x+y-2=0,x-y=0B. y-x-2=0,x+y=0C. x-y-2=0,x-y=0D. x+y-2=0,x+y=06 下列导函数错误的是( )A x xB x xC x x xD x x x.(sin )'sec .(cos )'csc .(sin cos )'cos .(cos sin )'sin ==-=-=-1111227 若偶函数f(x)在x=0处的导数存在,则f (0)的值( )A. 等于0B. 大于0C. 小于0D. 不能确定.8 若直线y=3x+b 为曲线 y=x 2+5x+4的切线,则 ( ) A. b=3 B. b=-3 C. b=-4 D. b=4. 9 已知f(x)=sin(ax 2),则f (a)等于( )A. cosax 2B. 2a 2cosa 3C. x 2cosax 2D. a 2cosa 2 10 设f(x)= x 2/3,则f (0)=( )A. 0B. +C. -D. 不存在 11 设y=arctg((x+1)/(x-1)),y =( )222211.11.11.11.x x D x C x B x A ++--++- 12 设y=12+ln x ,则y=( )A x xB x x xC x x xD x x x.ln ln .ln ln .ln ln .ln ln 21211212222+-+++13 已知y=xe x ,则y (n)= ( )A. xe nx C. x(e x -n)B. ne x D. e x (x+n) 四．综合计算题1 求y=e at sin t 的二阶导数, (a, 为常数)2 求y=sin(x+y)的微分.3 如果y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线,求常数a.4设函数)()13()(x x f x ϕ-=，（1）当2)(x x =ϕ时，求)0(f '；（2）当⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0)1(0)(2x x x ex xϕ时，求)0(f '.高等数学总复习练习题（2）一、选择题 1 函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是（ ） A 、（-1，+∞） B 、[-1，+∞] C 、（1，+∞） D 、[ 1，+∞] 2 设)()(a x x a x f -=-（a 为大于零的常数），则=)(x f A 、 x （x-a ） B 、x （x+a ） C 、（x-a ）（x+a ） D 、2)(a x -3 函数xx f 1cos )(=是定义域内的A 、周期函数B 、单调函数C 、有界函数D 、无界函数4∞→x lim =+x x )21( A 、e 2 B 、e C 、e D 、∞ 5 0lim→x =xx2tan A 、0 B 、1 C 、21D 、2 6 0lim→x =xx4sin 3tan A 、0 B 、∞ C 、43 D 、34 7 0lim→x =--1cos 12x e x A 、∞ B 、2 C 、0 D 、-28函数434)(2---=x x x x f 的间断点的个数为A 、0B 、1C 、2D 、39设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2sin )(x a x x x x f 在x=0处连续，则a 等于A 、-1B 、1C 、2D 、310 设函数f （x ）在x=x 0处可导，并且,2)(0='x f 则0lim→h hx f h x f )()(00-- 等于A 、21 B 、2 C 、21- D 、-2 11设)0(f '=1，则在x=x 0处，当0→∆x 时y ∆与x ∆相比较为A 、 低阶无穷小量B 、高阶无穷小量C 、 同阶但不等价D 、等价无穷小量12设且0)0(=f 0lim →x x x f ）（存在，则0lim →x xx f ）（=A 、)(x f 'B 、)0(f 'C 、)0(fD 、)0(21f '13设函数f （x ）在x=a 处可导，则0lim →x =--+xx a f x a f )()(A 、0B 、)(a f 'C 、2)(a f 'D 、)2(a f ' 14设='=y y x ，则cos 2A 、2ln 2cos •xB 、x x sin 2cos •-C 、-2cosx x sin 2ln ••D 、-x x sin 21cos •-15 下列函数在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的是A 、x ln lnB 、x lnC 、x ln 1D 、）（x -2ln 16 设）（则x f x x x f ,ln )(=A 、在（0，e 1）内单调减少B 、在（+∞,1e）内单调减少C 、在（0，+∞）内单调减少D 、（0，+∞）在内单调增加 17 函数)1ln(2x y +=的单调增加区间为A 、（-5，5）B 、（∞-，0）C 、（0，∞+）D 、（-+∞∞,） 18 以下结论正确的是A 、函数)(x f 的导数不存在的点，一定不是)(x f 的极值点B 、若x 0为)(x f 的驻点，则x 0必为)(x f 的极值点C 、若)(x f 在x 0处有极值，且)(0x f '存在，则必有)(0x f '=0D 、若)(x f 在x 0处连续，则)(0x f '一定存在 19 x 是（ ）的一个原函数 A 、x 21 B 、x21 C 、x ln D 、332x 20 （ ）是函数x21的一个原函数A 、x 2lnB 、221x -C 、）（x +1lnD 、x 3ln 21 21下列等式中（ ）是正确的 A 、)()(x f dx x f ='⎰ B 、c e f dx e f x x +='⎰)()( C 、c x f x dx x f +='⎰)(2)( D 、c x f dx x f x +--=-'⎰)1(21)1(22 22若=+=⎰⎰--dx e f e c x F dx x f x x ）（，则）（)(A 、c e F x+--）（ B 、c e F x+-）（ C 、c xe F x +-）（ D 、c e F x +）（ 23 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则dt t f dx x f bab a⎰⎰-)()(=A 、小于零B 、等于零C 、大于零D 、不确定24设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于A 、dx x f ba⎰)( B 、⎰badx x f )( C 、dx x f ba⎰)( D 、))((a b f -'ξ25 设==⎰）（为连续函数，则x f x f a dt t f x x a)(,)(2 A 、x a 22 B 、a a x ln 2 C 、122-x xa D 、a a x ln 22 26设函数)(x f 在[]a a ,-上连续，则定积分A 、0B 、dx x f a⎰0)(2 C 、-dx x f aa⎰-)( D 、dx x f aa⎰-)(27 设则,sin 21,cos ,sin 222202202⎰⎰⎰-===ππππxdx r xdx q xdx pA 、r q p ==B 、p q r =<C 、p q r <<D 、p q r >>28 极限0lim→x =⎰⎰x xtdttdtsinA 、-1B 、0C 、1D 、2二、填空题1设53)1(2++=+x x x f ，则=）（x f 2 函数12)(1-=-x x f 的反函数=-)(1x f3函数x x xx f cos 11)(2+--=的定义域是 4若2lim 22-+-→x ax x x =3 ， 则a=5设==⎩⎨⎧≥+<-=-A x x x A x e x f x 处连续，则常数在点0,0,0,1)(6 设函数x x arc y 22cot 2++=则=dxdy7设='=-）（则0,cos y e y x 8 曲线方程321xy =在点（1，1）处的切线方程为 法线方程为9 函数)(x y y =由方程022=+-xy e xy 确定，则='y 10设函数则,ln )(3x x x f =='')1(f 11函数22x y =的单调增加区间为12 函数的最大值为)41(3223≤≤--=x x x y 最小值点为 13曲线x x x y 6323+-= 的拐点为14设2332x x y -= ，则y 的极大点为 极小点为 15函数x x f 3)(=的一个原函数是 16设,11)(dx xx f ⎰-=则=')0(f 17 ⎰=-dx e d x 218若c e x dx x f x +=⎰22)(则=)(x f 19设='+=⎰）（则x f dt t t x f x ,1)(2220定积分=+⎰-dx x 9921)12(21 设函数，则）（，）（具有连续导数，且53)(==b f a f x f ='⎰dx x f ba）（ 三、计算解答题1 设函数2,1,1,2)2)(1()(4≠≠⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=x x x x x b ax x x f 在点x=1处连续，试确定常数a 、b 的值2 确定A 的值，使函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-=,0,tan 3sin ,0,cos 5)( x Axx x x e x f x 在点x=0处连续3 设函数x x xx f 2log sin 1)(--=，求)(πf '4 设函数x xy -+=11arctan ，求y '5 设函数）（求x f x x f '=,ln )2(6 由方程221x y e xy =-+确定隐函数)(x y ，求dy7 设函数y e y x ''=求,28 设曲线方程为191622=+y x ，求在点P （2，233）处的切线方程9求极限 0lim→x 2cos ln xx10求极限 x x x ln lim 0+→11求极限0lim →x （111--xe x ） 12求极限x x x +→0lim13 求函数)1ln(x x y +-=的单调区间、极值及曲线的凹凸区间 14 若)(x f =dx x f x x x ⎰'>+）（求2),0(15 已知曲线)(x f y =在点x 处切线的斜率为x 2，且曲线经过点 （1，0），求该曲线的方程。