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高等数学公式导数公式：(tgx)sec 2x(arcsin x)11x 2 ( ctgx)csc 2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x 2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( a x )a x ln a1 x 2(log a x) 1(arcctgx ) 11x 2x ln a基本积分表：tgxdx ln cosx Cdxsec 2 xdx tgx Cctgxdxln sin xC cos 2 xdx2secxdx ln secx tgx Csin 2 xcsc xdxctgx Ccscxdx ln cscx ctgx Csecx tgxdxsecx Cdx1xcsc x ctgxdx cscx Ca 2 x 2a arctg aCa x dxa x Cdx1 x aln ax 2a 2 2a lnCx ashxdx chx Cdx 1 a xa 2x 22a lnCchxdx shxCa xdx x 2arcsinxCdx ln( x x 2 a 2 ) Ca 2ax 2 a 22 2 n 1 I nsin n xdxcos n xdx I n2 00 nx 2a 2dxx x 2a 2a 2 ln( xx 2a 2) C22x 2a 2 dx x x2a2a 2 ln xx 2 a 2C22a2x 2 dx x a 2x2a 2arcsin xC22 a三角函数的有理式积分：sin x2u ， cos x 1 u 2， u tg x， dx2du1 u2 1 u 22 1 u 2一些初等函数：双曲正弦: shx e x e x2双曲余弦: chx e x e x2双曲正切: thx shx e x e chx e x earshx ln( x x 2 ）1archx ln( x x2 1) arthx 1 ln 1 x2 1 x两个重要极限：lim sin x 1x 0 xlim (1 1 )x e 2.718281828459045...x xxx三角函数公式：·诱导公式：函数sin cos tg ctg角 A-α-sin α cos α -tg α -ctg α90°-αcos α sin α ctg α tg α90° +αcos α -sin α -ctg α -tg α180 °-αsin α -cos α -tg α -ctg α180 ° +α -sin α -cos α tg αctg α270 °-α-cos α -sin α ctg α tg α270 ° +α -cos α sin α -ctg α -tg α360 °-α-sin α cos α -tg α -ctg α360 ° +α sin α cos α tg αctg α·和差角公式：·和差化积公式：sin( ) sin cos cos sin sin sin 2 sin coscos( ) cos cos sin sin2 2tg ( )tg tg sin sin 2 cos sin1 tg tg2 2cos cos 2 cos cos ctg ctg 1ctg ( ) 2 2 ctg ctg cos cos 2 sin sin2 2·倍角公式：sin 2 2 sin coscos2 2 cos2 1 1 2sin 2 cos2 sin2 sin 3 3sin 4sin3ctg 2 ctg 2 1 cos3 4 cos3 3 cos 2ctg 3tg tg 3tg32tg 1 3tg 2tg 21 tg 2·半角公式：sin 1 cos cos 1 cos2 22 2tg 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos 1 cos sin1 cos sin 1 cos 1 cos sin 1 cos2 2·正弦定理： a b c 2R ·余弦定理： c2 a2 b2 2ab cosC sin A sin B sin C·反三角函数性质：arcsin x2 arccos x arctgx2arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：n(uv) ( n) C n k u (n k ) v(k)k 0u ( n) v nu (n 1) v n( n 1) u( n 2 )v n(n 1) ( n k 1) u(n k )v(k ) uv ( n)2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) f (a) f ( )F (a) F ( )当 F( x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
(完整版)高等数学常用公式大全
高数常用公式平方立方：22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2-Sin2A=2SinA•CosA Cos2A =Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin 2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =a acos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -其他非重点三角函数csc(a) =a sin 1sec(a) =acos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -aacosh(a)=2e e -aa +tg h(a)=)cosh()sinh(a a其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1- sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα公式六： 2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotαcot （2π-α）= tanαsin （23π+α）= -cosαcos （23π+α）= sinαtan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= -sinαtan （23π-α）= cotαcot （23π-α）= tanα(以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A特殊角的三角函数值：等价代换：(1) x sinx ～ (2) x tanx ～ (3) x arcsinx ～ (4) x arctanx ～(5) 2x 21cosx 1～- (6) x )x 1(ln ～+ (7) x 1e x～- (8)ax 1)x 1(a ～-+基本求导公式：(1) 0)(='C ，C 是常数 (2) 1)(-='αααx x (3) a a a x x ln )(=' (4) ax x a ln 1)(log =' (5) x x cos )(sin =' (6) x x sin )(cos -=' (7) x x x 22sec cos 1)(tan ==' (8) x xx 22csc sin 1)(cot -=-='(9) x x x tan )(sec )(sec =' (10) x x x cot )(csc )(csc -='(11) =')(arcsin x 211x- (12) 211)(arccos xx --='(13) 211)(arctan xx +=' (14) 21(arccot )1x x '=-+ (15)x21x ='）（ (16) 2x1x 1-=）（基本积分公式：(1) 0dx C =⎰ (2) ()为常数k Ckx kdx +=⎰(3) ()111-≠++=+⎰μμμμC x dx x (4) C x dx x +=⎰||ln 1(5) C aa dx a xx+=⎰ln (6) C e dx e x x +=⎰ (7) C x xdx +=⎰sin cos (8)Cx xdx +-=⎰cos sin (9)⎰⎰+==C x xdx x dx tan sec cos 22(10) ⎰⎰+-==C x xdx x dxcot csc sin 22 (11) C x xdx x +=⎰sec tan sec(12) C x xdx x +-=⎰csc cot csc (13) C x x dx +=+⎰arctan 12 或（C x arc x dx+-=+⎰cot 12）(14) C x xdx +=-⎰arcsin 12或（C x xdx +-=-⎰arccos 12）(15) C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ， (16) C x xdx +=⎰|sin |ln cot ， (17)Cx x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ， (18)C x x dx x c +-=⎰|cot csc |ln sc ，一些初等函数： 两个重要极限：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx xx xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x拉格朗日中值定理。
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lim[ f ( x) g ( x)]
两个重要极限
lim
sin
x
1, lim
sin
x
0; lim(1
1)x
e
lim(1
1
x) x
x0 x
x x
x
x
x0
常用等价无穷小:
1 cos x ~ 1 x2; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 x 1 ~ 1 x;
lim n0
n i 1
f(i)1 nn
F (b) F (a) F (x)
b a
,
(F(x) f (x))
连续可积; 有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函数存在
(x) x f (t)dt (x) f (x) a
d (x) f (t)dt f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 x
n0
3、
弧微分公式：ds 1 y2 dx x(t) y(t)2 dt 2 2 d
平均曲率：K从点到点.(， 切: 线M斜率的M倾 角变化量；: s
弧长)
s MM
M点的曲率：K lim d s0 s ds
y
(t) (t) (t) (t)
= (1 y2 )3
Байду номын сангаас
3
[2 (t) 2 (t)]2
x2 a2 2a x a
a2 x2 2a a x
dx ln(x x2 a2 ) C;
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C;
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
高等数学公式手册(word版)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
成人高考 专升本 高等数学公式大全WORD版
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα-cosα -tgα-ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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( f o g )=f[g(x)].
1.3.4 函数的运算 设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为 D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数 的下列运算：
(1)和(差) f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD； (2)积 f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；
tan
-tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα
cot
-cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα
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映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射.
1.3 函数 1.3.1 函数 设数集 DÌ ¡ ，则称映射 f：D® ¡ 为定义在 D 上的函数，记为 y=f(x)，xÎD， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 Df=D. 1.3.2 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数 f（x）的定义域为 D，数集 X Ì D. 如果存在正数 M，使对任 一 xÎX，有|f(x)|£M，则称函数 f(x)在 X 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M，总存在 x1ÎX，使|f(x)|>M. (2)函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间 IÌD.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称.如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=f(x) 恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 xÎD 有 (x±l)ÎD，且 f(x+l)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期. 1.3.3 反函数与复合函数
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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高等数学公式定理整理1.01版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。
蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式：两角和差tan αanα·ta+tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta-(1tan βa +(tan α=β)+tan(αcos αosα·s±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(•-•=+和差化积]2β)-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β)-(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α]2β)-(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α]2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α积化和差β)]-cos(α-β)+[cos(α21-=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21=cos αosα·c β)]-sin(α-β)+[sin(α21=cos αosα·s β)]-sin(α+β)+[sin(α21=sin αinα·c倍角公式（部分）：很重要！αtan -1αtan 2=tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2=2sin αsinα·=sin2α22222一、函数 函数的特性： 1.有界性：假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。
则称f （x ）是D 的有界函数。
如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。
2.单调性设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。
X1，x2∈I ，那么，如果x1<x2,那么就是单调增加函数；如果x1>x2,那么就是单调减少函数。
3.奇偶性如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。
4.周期性设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D 有（x±T）∈D，且f（x±T）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如sin x，cos x，它们就是以2π为周期的周期函数。
反函数：就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：幂函数（x a）,指数函数（a x），对数函数（log a x，lg x【log10x】，ln x【log e x】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为arcsinx，arccosx，arctanx）复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。
二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用lim x→x0 f（x）=A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。
并且左右极限相等。
极限运算法则lim x →x0 [f （x ）±g(x)]=lim x →x0 f （x ）±lim x →x0 g （x ）=A ±Blim x →x0 [cf （x ）]=clim x →x0 f （x ）=cAlim x →x0 f （x ）·lim x →x0 g （x ）=lim x →x0 f （x ）·g （x ）=A ·B)(lim )(lim)()(lim 000x g x x x f x x x g x f x x →→=→=BA （B ≠0）n 0)](lim [)]([lim A x f x x x f x x n n=→=→n nnA x f x x n f x x =→=→)(lim)(lim 0重要！：两个重要极限 1.夹逼准则如果x n ，y n ，z n 满足x n ≤y n ≤z n那么a x n limz n lim y n lim n n n =∞→=∞→=∞→这就是夹逼准则。
2.1x1x1sin x lim x sin x 0x lim =∞→→或者图 1如图1，∠AOC=x （0<x<2/π），由于|BD|=x ，弧BC=x ，|CA|=tan x 且△OBC 面积＜扇形OBC 面积＜△AOC 面积，于是有：x x x tan 2121sin 21<< 化简x x tan sinx << 两边同时除以sinx 1sin cosx cos sin 1sin tan sin 1<<<<<<xxx x x x x x x 即即 根据夹逼准则得出10lim sin 0lim cos 0lim =→=→=→x x x x x x 所以1xsinx 0x lim =→3.e x11x lim e x 10x lim xx1=+∞→=+→）（或）（（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可）4.无穷大量和无穷小量（1）性质1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 （2）性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量 （3）性质3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量 定理1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。
定理2，b 与a 是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o （a ） 定理3,设a~a’,b~b’，且limb’/a’存在，则lima/b=lima’/b’。
无穷小量的比较：高阶无穷小0a blim=低阶无穷小∞=ablim同阶无穷小0ablim≠=C 等价无穷小1a blim = 其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x 趋于0）等价公式：当x →0时，sinx~x ，tanx~x ， arcsinx~x ， arctanx~x ，1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx -1，（a^x ）-1~x*lna (（a^x -1)/x~lna)， （e^x ）-1~x ，ln(1+x)~x ，(1+Bx)a -1~aBx ，[(1+x)1/n ]-1~（1/n ）*x ，loga(1+x)~x/lna ，（1+x)a -1~ax(a ≠0)， 5.连续定义 设函数f （x ）在x 0的某个去心邻域内有定义，若lim（△x →0）△y=0，则称函数f （x ）在x0这个点连续。
条件：（1）f （x0）有定义，有数值；（2）lim （x →x0）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。
左右连续和左右极限相同，如图：)()(x x lim )()(x x lim 00x f x f x f x f +-=+→=-→就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。
（1）间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。
可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。
跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。
震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。
无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。
闭区间连续函数的性质：1、[a,b]区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、函数f （x ）在[a,b]区间连续，则在[a,b]必定有界；3、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B,又A ≠B ，C 是介于A ，B 的一个值，则必定存在一个点ξ，使得f （ξ）=C ；4、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)，f(b)异号，则一定存在一个x0∈（a ，b ），使得f （x0）=0；三、导数导数的几何意义就是f(x)在x 点函数的切线的斜率；求某一点的导数00)()(lim)('x x x f x f x x x f --→=连续不一定可导，可导一定连续； 导数的求导公式： 1.y=c(c 为常数) y'=0 2.y=x ny'=nx(n-1)3.y=a x y'=a xlnay=e xy'=e xy=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos 2x 8.y=cotx y'=-1/sin 2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x 210.y=arccosx y'=-1/√1-x 2 11.y=arctanx y'=1/1+x 212.y=arccotx y'=-1/1+x 2函数的求导法则：2)]([)]()[()()]'([]')()([)]()[()()]'([)]'()([)]'([)]'([)]'()([x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=+=±=±复合函数求导法则：链式法则：依次循环dxdu·du dy dx dy = 例：111)(')'1()(')(+++=+•==x x x ex f x e x f ex f隐函数求导法： （1）两端同时求导yx dx dy x dx dy y dx dyy x y dxd x dx d dx d y x dx d y x -=-==+=+=+=+220222525)(25222222求导整理 （2）等式两端取对数1.先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导； 参数方程求导法：罗尔定理：[a,b]连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b),则有一个数ξ，使得f ’(ξ)=0。
拉格朗日定理：[a,b]连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点ξ，使得f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a)即)ξ(')()(f ab a f b f =-- 罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如00或者∞∞的未定式，可以直接对分子分母求导运算。
如果是 0·∞时可通过∞=∞=∞·011·0·0来求。
如果是0-0或∞-∞可以通分来求。
函数的单调性和极值：四步走：1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。