高等数学公式定理整理
全部高等数学计算公式
全部高等数学计算公式高等数学是数学的一个分支，包括微积分、线性代数、数理方程、概率论、复分析等多个内容。
每个分支都有大量的计算公式，下面将分别介绍这些分支中一些经典的计算公式。
一、微积分公式1.极限公式：(1)函数极限公式：$lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)$$lim(f(x)g(x))=limf(x)·limg(x)$$lim\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{limf(x)}}{{limg(x)}}$(2)常见函数极限：$lim\frac{{sinx}}{{x}}=1$$lim(1+\frac{1}{{n}})^n=e$$lim(1+\frac{1}{{n}})^{n(p-q)}=e^{(p-q)}$2.导数公式：(1)基本导数公式：$(c)'=0$$(x^n)'=nx^{n-1}$$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^xlna$$(lnx)'=\frac{1}{{x}}$$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$$(tanx)'=sec^2x$(2)导数的四则运算：$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$(3)链式法则：$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$3.积分公式：(1)基本积分公式：$\int{cx^n}dx=\frac{{cx^{n+1}}}{{n+1}}+C$$\int{e^x}dx=e^x+C$$\int{a^x}dx=\frac{{a^x}}{{lna}}+C$$\int{\frac{{1}}{{x}}}dx=ln，x，+C$$\int{sinx}dx=-cosx+C$$\int{cosx}dx=sinx+C$$\int{sec^2x}dx=tanx+C$(2)常用积分公式：$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$\int{sin^2x}dx=\frac{{x}}{2}-\frac{{sin2x}}{4}+C$$\int{cos^2x}dx=\frac{{x}}{2}+\frac{{sin2x}}{4}+C$4.泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2+...+\frac{{f^{(n)}}}{{n!}}(x-a)^n+R_n(x)$二、线性代数公式1.行列式公式：(1)二阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$(2)三阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+c dh-ceg-afh-bdi$2.矩阵运算公式：(1)两个矩阵的和：$A+B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix }+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{2 2}\end{bmatrix}$(2)两个矩阵的乘积：$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{ 21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$3.特征值与特征向量公式：$A-\lambda I=0$其中，A为矩阵，$\lambda$为特征值，I为单位矩阵。
成考专升本高数公式大全
成考专升本高数公式大全高等数学是考研和专升本考试中必备的一门科目，掌握好高等数学的公式和定理对于高分通过考试非常重要。
下面是一些常用的高等数学公式和定理的汇总，供参考。
1.数列的常用公式：-等差数列通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$-等差数列前n项和公式：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$-等比数列通项公式：$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$-等比数列前n项和公式：$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$2.三角函数的基本公式：- 正弦函数的基本公式：$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta$- 余弦函数的基本公式：$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$- 正切函数的基本公式：$\tan(\alpha \pm \beta)=\frac{\tan\alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta}$3.极限的常用公式：- 求和的极限公式：$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k = \lim_{n \to \infty}(a_1+a_2+...+a_n) = \lim_{n \to \infty}S_n$- 积分的定义公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$4.微分的常用公式：- 导数的定义公式：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$- 常见函数的导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=-\sin x$，$(\tan x)'=\sec^2 x$，$(e^x)'=e^x$，$(\lnx)'=\frac{1}{x}$- 导数的四则运算公式：$(u \pm v)'=u' \pm v'$，$(cu)'=cu'$，$(uv)'=u'v+uv'$，$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$5.积分的常用公式：- 基本积分公式：$\int{x^n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，$\int{\frac{1}{x}}dx=\ln，x，+C$，$\int{e^x}dx=e^x+C$- 三角函数的积分公式：$\int{\sin x}dx=-\cos x + C$，$\int{\cos x}dx=\sin x+C$，$\int{\tan x}dx=\ln，\sec x，+C$ - 分部积分公式：$\int{uv}dx=uv-\int{u'v}dx$。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
高等数学公式定理全集(完整编辑版)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
常用高数定理
高中常用高数定理1.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续可导，则至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<c<b)初等作法：形如丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(或者≥），求k取值范围。
解：丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨≤k当x2→x1时，丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨=f'(x1)≤k<=>丨f'(x)丨≤k i丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+kx1令h1(x）=f(x)-kx h2(x)=f(x)+kx由i知h1'(x）=f'(x)-k≤0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-k^2〕/h1'(x）≥0=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+k x1=>k≥丨f'(x)丨max例题：06年四川高考理数21已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx,f(x）的导数为f'(x),对任意两个不相等的正数x1、x2证明：当a<4时，丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x1-x2丨解：丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨>1当x2→x1时，丨〔f’(x2)-f’(x1)〕／（x2-x1)丨=丨f'(x1)丨>1<=>丨f''(x1)丨>1 i =>a<4/x+x^2<4丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f'(x2)≥f'(x1)时，f'(x2)-x2>f'(x1)-x1 ii当f'(x1)≥f'(x2)时，f'(x2)+kx2<f'(x1)+kx1 iii令h1(x）=f'(x)-x h2(x)=f'(x)+x由i知h1'(x）=f'(x)-1>0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-1〕/h1'(x）-1<0=>ii、iii成立=>丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨（当a<4时)2：单调有界原理若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。
高等数学公式、定理最全版
高等数学公式导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
关于高等数学公式大全几乎包含了所有
关于高等数学公式大全几乎包含了所有一、微分学公式1. 线性函数的导数：(kx)' = k2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)3.e^x的导数：(e^x)'=e^x4. sinx 的导数：(sinx)' = cosx5. cosx 的导数：(cosx)' = -sinx6. tanx 的导数：(tanx)' = sec^2x7. cotx 的导数：(cotx)' = -csc^2x8. ln(x) 的导数：(ln(x))' = 1/x9. a^x 的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x二、积分学公式1. 线性函数的积分：∫(kx)dx = (k/2)x^2 + C2. 幂函数的积分：∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C, (n≠-1)3. e^x 的积分：∫e^xdx = e^x + C4. sinx 的积分：∫sinxdx = -cosx + C5. cosx 的积分：∫cosxdx = sinx + C6. tanx 的积分：∫tanxdx = -ln，cosx， + C7. cotx 的积分：∫cotxdx = l n，sinx， + C8. 1/(x+a) 的积分：∫(1/(x+a))dx = ln，x+a， + C9. 1/(x^2+a^2) 的积分：∫(1/(x^2+a^2))dx = (1/a)arctan(x/a) + C三、级数和序列的公式1.等差数列的前n项和：Sn = n(a1+an)/22.等比数列的前n项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3.等差级数的和：S = (n/2)(a1+an)4.等比级数的和：S=a1/(1-q),，q，<15.幂级数的和：S=a/(1-r),，r，<16.泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)/1!+(x-a)^2f''(a)/2!+...四、微分方程的公式1. 一阶常微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = C∫(e^(-∫P(x)dx))Q(x)dx2. 二阶常系数非齐次线性微分方程：ay''+by'+cy=g(x)，其中非齐次解为 y = yc + yp3. 欧拉方程：x^n*d^n(y)/dx^n + a_(n-1)*x^(n-1)*d^(n-1)(y)/dx^(n-1) +...+ a_1*x*d(y)/dx + a_0*y = 0以上只是高等数学公式的一部分，包括微分学、积分学、级数和序列以及微分方程等方面的公式。
高等数学十大定理公式
高等数学十大定理公式高等数学十大定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。
1、有界性|f(x)|≤K2、最值定理m≤f(x)≤M3、介值定理若m≤μ≤M，∃ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ4、零点定理若f(a)⋅f(b)<0∃ξ∈(a,b) ，使f(ξ)=05、费马定理设f(x)在x0处：1，可导2，取极值，则f′(x0)=06、罗尔定理若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且f(a)=f(b) ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f′(ξ)=07、拉格朗日中值定理若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)8、柯西中值定理若f(x)、g(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且g′(x)≠0 ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)9、泰勒定理（泰勒公式）n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$ n阶带拉格朗日余项：条件为n+1阶可导$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0 )^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$10、积分中值定理（平均值定理）若f(x)在[a,b] 连续，则∃ξ∈(a,b)，使得∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学公式定理整理1.01 版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。
蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式：两角和差cos(a ® cos a ?cos B sin a ?sin B COS (a - [3 )cos a os a +°s C a in a*s sin( a±3 ) sin a in a±cos a os a ・stan( a + 、(tan a +tan 3 a3)(1-tan a an a ・ tatan( a - | 和差化积3 ) (tan a -tan 3 an 3tan a an a ・ taa^icosgsin a -sin 3= 2cos[ cos a -cos 3= -2sin[(a + 3)in[( a - 3) 2 2(a + 2 3)in [号) cos a + cos 3= 2cos[(a + 2积化和差1 •sin a in a = c[sin( a+ B ) sin( a- B )] cos a os a=~Ssin( a+ B -sin( a- B )]1cos a os a = c[cos( a+ B + COS(a- B )]1sin a in a=,-s[cos( a+ B - cos( a- B )]倍角公式(部分)：很重要！sin2 a =22sin a sin a= •(tan a+ cot aocos2 a ==cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2sin2atan2 a=2ta n a 1-tan2a、函数函数的特性：1. 有界性：假设函数在D上有定义，如果存在正数M使得对于任何的x € D都满足|f(x)| < M。
则称f (x)是D的有界函数。
如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。
2. 单调性设f (x)的定义域为D,区间I Do X1, x2 € I，那么，如果x1vx2,那么就是单调增加函数；如果x1>x2,那么就是单调减少函数o3. 奇偶性如果f(-x)=f(x), 那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x) ，那就是奇函数。
4. 周期性设函数的定义域为D若存在不为零的数T,使得任一x € D有(x ± T)€ D且f (x ± T) =f (x )总是成立，就称该函数为周期函数，如sin x , cos x，它们就是以2 n为周期的周期函数。
反函数：就是用自变量X来表示原函数Y如下列式子:原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f( x)=x-5 ;复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：幕函数f x a),指数函数f a x),对数函数f log a x, lg x 【log io x】，In x [log e x】)，三角函数f sinx , cosx, tanx , ctnx , secx , cscx)，反三角函数(常见反三角函数为arcsinx , arccosx , arctanx )复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。
二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用lim x T xo f f x) =A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。
并且左右极限相等。
极限运算法则lim x T x0 [f f x) ±g(x)]=lim x T x0 f f x) ±lim X T x0 g f x) =A± B2.x x那么lim nlimlimY nZ nxna 这就是夹逼准则lim沁或者x 0 xlim sin - 亍1lim x i xo [cf (x ) ]=clim x xo f (x ) =cA limX Txo f (x ) • lim x xo g (x ) =lim x ^xo f (x ) • g (x )=A ・B重要！：两个重要极限1. 夹逼准则如果 X n , y n , Z n 满足 X n W 旳二 Z nlimf ( x )xxog ( x )limf ( x)xx olim=△ (B Zg ( x ) Bxx 0o )limX 。
[f(x)]nlim [ f(x)]xx oA nlim xXnf (n)nAx )xx如图 1, / AOC=x( 0<x<2/ n),由于 |BD|=x ,弧 BC=x, |CA|=ta n x 且厶 OBC 面积v 扇形 OBC 面积<△ AOC 面积，于是有：1 1 1 sinx x tanx2 2 2化简 sinx x tanx所以lim沁x 0 x题目有类似的把它转换成标准公式即可）两边同时除以sinx 1tanx即x cosx 即卩 cosxisin xsin xX 根据夹逼准则得出limcosxsin xlim1lim3・x 0(1lim(1（这是标准公式，x sin x lim1 -cosx 〜(1/2)* (x A 2)〜secx-1,4. 无穷大量和无穷小量(1) 性质1,无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 (2) 性质2,两个无穷小量之积仍为无穷小量 (3) 性质3,两个无穷小量的代数和仍为无穷小量 定理1,在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件 是函数可写成常数和无穷小量的和。
定理2， b 与a 是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o (a )定理 3,设 a 〜a ' ,b 〜b '且 limb ' /存在，则 lima/b=lima ' /b ' 无穷小量的比较：lim b0高阶无穷小alim —低阶无穷小lim — C0同阶无穷小aalim b1等价无穷小a其中等价无穷小可运用到极限运算中(加减关系不能用，乘 除关系可以用，且X 趋于0)等价公式：当 X T 0时，sinx 〜x , tanx 〜x ,arcsinx 〜x ,arctanx〜x ,(a A x) -1〜x*lna ( (a A x-1)/x〜Ina) , ( e A x) -1〜x , ln(1+x)〜x ,(1 +Bx)a-1~aBx ，[(1+x)1/n]-1~( 1/n ) *x，loga(1+x)~x/lna ，(1+x)a-1〜ax(a^ 0),5. 连续定义设函数f (x)在X o的某个去心邻域内有定义，若lim (△ X T0 ) △ y=0,则称函数f (x)在x0这个点连续。
条件：( (1) f (x0)有定义，有数值；(2) lim (x^xO )有极限，( 3)且左右极限相等；才连续。
limf (x) f (x)x x0 左右连续和左右极限相同，如图：limf (x) f (x)x x0就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。
( 1 )间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。
可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。
跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有(无)定义1.y=c(c 为常数)y'=0震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。
1.y=c(c 为常数)y'=0无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。
闭区间连续函数的性质:1、 ［a,b ］区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、 函数f (x )在［a,b ］区间连续，则在［a,b ］必定有界;3、若函数f(x)在［a,b ］连续，且f(a)=A,f(b)=B,又AT, C 是介于A , B 的一个值，则必定存在一个点E,使得 f (E) =C ;4、若函数f(x)在［a,b ］连续，且f(a) , f(b)异号，则一定存在 一个 x0€( a , b )，使得 f (x0 ) =0 ;三、导数导数的几何意义就是f(x)在x 点函数的切线的斜率;连续不一定可导，可导一定连续; 导数的求导公式：求某一点的导数f '(x)limf(x) f(X o )x x o x x o2.y=x n y'=nx (n-1)3.y=a x y'=a xlnaxxy=e y'=ey=lnx y'=1/x5. y=sinx y'=cosx6. y=cosx y'=-sinx27. y=tanx y'=1/cos x28. y=cotx y'=-1/sin x29. y=arcsinx y'=1/ V 1-x10.y=arccosx y'=-1/ V1-x11.y=arctanx y'=1/1+x 12.y=arccotx y'=-1/1+x函数的求导法则:[f(x)g(x)]' [f(x)]' [g(x)]'[f(x)g(x)]' [f(x)]'g(x) f(x)[g(x)][f(x)]'[f(x)]'g(x) f(x)[g(x)]g(x)[g(x)]2复合函数求导法则：f(x) e x1f'(x) e x 1?(x 1)'例:f'(x) e x1链式法则:dy鱼臾依次循环 dx du dx隐函数求导法:(1)两端同时求导x2 y225d / 2 2、d(x y ) 25dx dxd x2 d y225整理dx dx 2x 2y矽0求导dx2y dy 2xdxdy xdx y(2)等式两端取对数1. 先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导；参数方程求导法：罗尔定理：［a,b］连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b), 则有一个数E,使得f' ( E )=0。
拉格朗日定理：［a,b］连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点E,使得f(b)-f(a)=f ' ( E )(b-a)即f(bL_L(a) Eb a罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如°或者-的未定式，可以直接对分子分母求导运算。
如果是0时可通过o・0丄1•来求。
如果是0-0如-"以通分来求函数的单调性和极值：四步走： 1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。
二阶导为正数则是凹，为负数则是凸；四、不定积分不定积分和导数是逆运算关系；不定积分求法分三种：直接积分（直接使用基本公式求）；第一类换元积分（用一cos2xdx个字母代替变量，女口：cos2xd2x）；第二类换元积分法（当sin 2x c被积函数中有诸如：ax bx这样的根式，可令根式为u，然后依次往下，带入原式）；分部积分法：udv uv vdu五、定积分1. 求定积分上限函数和下限函数上限函数x i2tdt 2x （ X ）'下限函数1x 2tdt [2x （x'）]就是求下限积分时，把符号倒过来变成上限积分；2. 牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数 c ）3. 广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分）（1）积分区间的无穷区间 即求广义积分的敛散性，如果aa axdx & xdx lim xdx lim xdxxxe x dx lim e x dx lim [ e x ]0 [ e x 1] 1 0 xx所以这个积分是收敛的；（2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分） 11讨论广义积分当dx 勺敛散性；1x这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f （0）外连续，在f（0）处无定义lim 4 ，所以x=0是被积函数的无穷间断X 0X点；于是:1 1 01 1 -12dx — dx （因为函数—是偶函数） 1 x1 x xxdx如果他们极限存在，则 可以称为收敛，反之,则是发散；如例题:0 1 1 1 lim 2dx lim [ ] 1lim [ 1]x 0 1 x2x 0 x 1x 0所以，该函数是发散的；六、微分方程1. 可分离变量的通解，直接计算2. 齐次方程通解，用u代替址x3. 一阶线性非齐次方程的通解形女口y' p(x)y q(x)备注q(x) 0p(x)dx p(x)dxy e [ q(x)?e c]附：一阶线性齐次方程的通解p(x)dxy e c4. 可降解二阶微分方程通解y'' (x)连续积分两次，注意，要有两个常数c1, c2 y'' (y',x)令y' u，y'' u',依次降阶计算y'' (y',y)令y' u，y'' u dU，依次计算dx5. 二阶线性齐次方程通解形如y'' p(x)y' q(x)y 02r p(x)r q(x) 0参数方程求法 解一元二次方程组，得 r1，r2;如果 r1 ，r2 是不相同的两个实数根(单根)，那么y C1e r1x C2e r2x如果 r1 ，r2 是两个相同的实数根(重根)，那么y (C1 C2x)e rx如果 r1 ，r2 是两个非实数根(共轭复数根)，那么r a biy e ax (C1cosbx C2sinbx)二阶线性非齐次微分方程的通解二阶线性非齐次方程的通解等于 对应二阶线性齐次方程的 通解加上二阶线性废非弃次方程的特解yYy二阶线性非齐次方程的特解： 自由项f(x) P n (X )的特解P n*(x)=x k Q(x)eQ（ x）:看他是多少次的，例如二次就是A X2+B X+C,—次就是Ax+B；A的数值和参数方程的根r对应，如果只有一个数对应（单根），那么k 取1，, 如果是重根（两个数都对应，即r1=r2 ），则k 取2；如果没有相同的，则k 取1；。