大学高数公式大全

中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ( )(b − a) f (b) − f (a) f ( ) 柯西中值定理： = F (b) − F (a) F ( ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds = 1 + y 2 dx, 其中y = tg 平均曲率： K= . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s y d M点的曲率：K = lim = = . s →0 s ds (1 + y 2 ) 3
2 2 2 2 2 2
k a z , c = a b sin .例：线速度：v = w r . bz ay by cy az bz = a b c cos ,为锐角时， cz
ax 向量的混合积： [ a b c ] = ( a b ) c = bx cx 代表平行六面体的体积。

2 n

2
I n = sin xdx = cos n xdx =
0 0
n −1 I n−2 n

sin x =
x 2 a2 x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 − a 2 dx = x − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C 2 2 x a2 x a 2 − x 2 dx = a 2 − x 2 + arcsin + C 2 2 a x 2 + a 2 dx =
2u 1− u 2 x 2du ， cos x = ， u = tg ， dx = 2 1+ u 2 1+ u 2 1+ u 2
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高等数学公式
一些初等函数：
两个重要极限：
e x − e−x 双曲正弦 : shx = 2 x e + e−x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x − e − x 双曲正切 : thx = = chx e x + e − x arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ln( x + x 2 − 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1− x
(arcsin x) =
1
1− x2 1 (arccos x) = − 1− x2 1 (arctgx) = 1+ x2 1 (arcctgx) = − 1+ x2
tgxdx = − ln cos x + C ctgxdx = ln sin x + C sec xdx = ln sec x + tgx + C csc xdx = ln csc x − ctgx + C a
k ( n−k ) ( k ) (uv) ( n ) = C n u v k =0 n
= u ( n ) v + nu ( n−1) v +
n(n − 1) ( n−2 ) n(n − 1)(n − k + 1) ( n−k ) ( k ) u v + + u v + + uv ( n ) 2! k!
sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
dx 1 x = arctg +C 2 +x a a dx 1 x−a x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x a 2 − x 2 = arcsin a + C
2
cos
dx
2
x dx 2 sin 2 x = csc xdx = −ctgx + C
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
2 2 2 ·余弦定理： c = a + b − 2ab cos C

·正弦定理：
·பைடு நூலகம்三角函数性质： arcsin x =

2
− arccos x arctgx =

2
− arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
梯形法： f ( x)
a b
b
抛物线法： f ( x)
a
定积分应用相关公式：
功：W = F s 水压力：F = p A mm 引力：F = k 1 2 2 , k为引力系数 r b 1 函数的平均值： y= f ( x)dx b−a a 1 均方根： f 2 (t )dt b−a a
空间解析几何和向量代数：
b
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 向量在轴上的投影： Pr ju AB = AB cos ,是 AB与u轴的夹角。 Pr ju (a1 + a2 ) = Pr ja1 + Pr ja2 a b = a b cos = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： cos = i c = a b = ax bx j ay by a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z bx + b y + bz
高等数学公式
高等数学公式
导数公式：
(tgx) = sec 2 x (ctgx) = − csc 2 x (sec x) = sec x tgx (csc x) = − csc x ctgx (a x ) = a x ln a 1 (log a x) = x ln a
基本积分表： 三角函数的有理式积分：
直线：K = 0; 1 半径为a的圆：K = . a
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高等数学公式 定积分的近似计算：
矩形法： f ( x)
a
b
b−a ( y0 + y1 + + y n−1 ) n b−a 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + + y n−1 ] n 2 b−a [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + + y n−2 ) + 4( y1 + y3 + + y n−1 )] 3n
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高等数学公式
平面的方程： 1、点法式：A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By 0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2
x = x0 + mt x − x0 y − y 0 z − z 0 空间直线的方程： = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程： y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + = z（ , p, q同号） 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z 2 单叶双曲面： 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 − 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c
三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式：
lim
sin x =1 x →0 x 1 lim (1 + ) x = e = 2.718281828459045... x → x
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高等数学公式 ·倍角公式：
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = 2 cos 2 − 1 = 1 − 2 sin 2 = cos 2 − sin 2 ctg 2 − 1 ctg 2 = 2ctg 2tg tg 2 = 1 − tg 2
sin + sin = 2 sin
+
2 2 + − sin − sin = 2 cos sin 2 2 + − cos + cos = 2 cos cos 2 2 + − cos − cos = 2 sin sin 2 2
cos
−
= sec 2 xdx = tgx + C
sec x tgxdx = sec x + C csc x ctgxdx = − csc x + C
x a dx =
ax +C ln a