Monte_Carlo方法必备知识
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计算物理学_蒙特卡罗方法
第八讲蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo简称MC）方法又称随机抽样法（Random Sampling）、随机模拟（Random Simulation）或统计试验法(Statistic Testing）。
这个方法的起源可以追溯到十七世纪或更早的年代。
Monte Carlo 是摩纳哥（Monaco）的一个著名城市，位于地中海之滨，以旅游赌博闻名。
Von Neumann 等人把计算机随机模拟方法定名为Monte Carlo方法，显然反映了这种方法带有随机的性质。
简单地说，MC方法是一种利用随机统计规律，进行计算和模拟的方法。
它可用于数值计算，也可用于数字仿真。
在数值计算方面，可用于多重积分、线性代数求解、矩阵求逆以及用于方程求解，包括常微分方程、偏微分方程、本征方程、非齐次线性积分方程和非线性方程等。
在数字仿真方面，常用于核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及实验核物理、高能物理、统计物理、真空、地震、生物物理和信息物理等领域。
§8.l蒙特卡罗方法的基础知识8.1.1 基本概念为了对MC方法有一点初步的认识，请先看使用MC方法的几个例子。
蒲丰投针问题：蒲丰（Buffon-法国著名数学家）在1777年发现随机投针的概率与无理数π之间的关系．这个问题是说，若在平面上画有距离为a的平行线束，向平面上投掷长为()<的针，试求针与一平行线相交的概率。
l l a这个问题的解法如下：以M表示落下后针的中点，x表M与最近一平行线的距离，ϕ表针与此线的交角，见上图。
可见，02 0≤≤≤≤/,x a ϕπ这两式决定x ϕ平面上一矩形R ；为了使针与一平行线（这线必定是与针中点M 最近的平行线）相交，充分而且必要条件是2ϕ≤sin lx 这个不等式决定R 中一个子集G 。
因此，我们的问题等价于向R 中均匀分布地掷点而求点落于G 中的概率P.根据概率的几何意义，得222sin ()ld l P a a πϕϕππ==⎰此式提供了求π值的一个方法：可以通过投针事件求得针与平行线相交概率P ，求得π值：2/()l Pa π= （8.1）若投掷次数为m ，针与平行线相交的次数为n ，那么/p n m ≈即 2/()lm an π≈于是，可用投针试验来求无理数π的近似值．下表列举了历史上若干学者投针试验计算π值的结果：射击问题（打靶游戏）：设r 表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，()g r 表示击中r 处相应的得分数（环数），分布密度函数()f r 表示该运动员的弹着点分布，它反映运动员射击水平。
蒙特卡洛方法
(x1 (i),x2 (i), ,xs(i))，得到积分的近似值。
其中Dg s为N区域D N sDiN s的1g体(x积1(i),。x2 (这i), 是,数xs(值i))方法难以作到的。
另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
N
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要 求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确 定出 。
下面给出几个常用的α与的数值：
α 0.5 0.05 0.003
0.674 1.96 3 5
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特
卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法 是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须 使用其估计值
• 对于任意离散型分布：
F(x) Pi xi x
• 其P离2散中，型x…1分，为布x相2，的应直…的接为概抽离率样散，方型根法分据如布前下函述：数直的接跳抽跃样点法，，P有1，
• 间接蒙特卡洛模拟方法。人为地构造出一 个合适的概率模型，依照该模型进行大量 的统计实验，使它的某些统计参量正好是 待求问题的解。
例：布冯(Buffon)投针实验
• 在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向 此桌面随意地投掷长度l=s的细针，那末从 针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。
针与线相交概率
lim P
N
NXNE (X)x 2 1
xet2/2dt
x
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
P X N E (X ) N 2 20 e t2/2 d t1
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
其中Dg s为N区域D N sDiN s的1g体(x积1(i),。x2 (这i), 是,数xs(值i))方法难以作到的。
另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
N
上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要 求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确 定出 。
下面给出几个常用的α与的数值：
α 0.5 0.05 0.003
0.674 1.96 3 5
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特
卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法 是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须 使用其估计值
• 对于任意离散型分布：
F(x) Pi xi x
• 其P离2散中，型x…1分，为布x相2，的应直…的接为概抽离率样散，方型根法分据如布前下函述：数直的接跳抽跃样点法，，P有1，
• 间接蒙特卡洛模拟方法。人为地构造出一 个合适的概率模型，依照该模型进行大量 的统计实验，使它的某些统计参量正好是 待求问题的解。
例：布冯(Buffon)投针实验
• 在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向 此桌面随意地投掷长度l=s的细针，那末从 针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。
针与线相交概率
lim P
N
NXNE (X)x 2 1
xet2/2dt
x
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
P X N E (X ) N 2 20 e t2/2 d t1
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
Monte Carlo 方法资料
Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo 方法的基本思想是: 为了求解某个问题 ， 建立一个恰 当的概率模型或随机过程 ， 使得其参量（如事件的概率、随机变 量的数学期望等）等于所求问题的解 ， 然后对模型或过程进行反 复多次的随机抽样试验 ， 并对结果进行统计分析 ， 最后计算所求 参量 ， 得到问题的近似解。
③ 收敛速度与问题的维数无关 ， 因此 ， 较适用于求解多维问题。
④ 问题的求解过程取决于所构造的概率模型 ， 而受问题条件限制的 影响较小 ， 因此 ， 对各种问题的适应性很强。
随机数的产生
1 随机数与伪随机数
Monte Carlo 方法的核心是随机抽样。 在该过程中往往需要各种各样分 布的随机变量其中最简单、最基本的是在［０ ，１］区间上均匀分布的 随机变量。 在该随机变量总体中抽取的子样 ξ １ ，ξ ２ ， … ，ξN 称为随 机数序列 ， 其中每个个体称为随机数。 用数学的方法产生随机数是目前广泛使用的方法。 该方法的基本思想 是利用一种递推公式 ：
"quantum" Monte Carlo: random walks are used to compute quantum-mechanical energies and wavefunctions, often to solve electronic structure problems, using Schrödinger’s equation as a formal starting point;
即当 N 充分大时 ， 有 成立的概率等于１ ， 亦即可以用 ξN 作为所求量 x 的估计值。
根据中心极限定理 ， 如果随机变量 ξ的标准差 σ 不为零 ， 那么 Monte Carlo 方法的误差ε为
蒙特卡罗方法
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蒙特卡罗方法的基础知识
1. 连续型分布 2. 离散型分布 3. 概率密度分布
a) 均匀密度分布函数 b) 正态分布 c) 指数分布
蒙特卡罗方法的基础知识
蒙特卡罗方法的基础知识
随机数和随机
02
抽样
随机数和随机抽样
用蒙特卡罗方法在计算机上模拟一个随机过程，就是要产 生满足这个随机过程概率分布的随机变量。最简单和最基础的 随机变量就是[0,1]区间上均匀分布的随机变量，这些随机变 量的抽样值成为随机数。所以以后谈到随机数，如果不加特别 说明，就是指[0,1]区间上均匀分布的随机数。其他分布的随 机变量的抽样值可借助均匀分布的随机数得到。
蒙特卡罗方法的计算过程就是用统计方法模拟实际的物理过程，它主 要是在计算机上产生已知分布的随机变量样本，以代替昂贵的甚至难以实 现的实验。蒙特卡罗方法又被看作是用计算机来完成物理实验的一种方法。
随机数和随机抽样
蒙特卡罗方法可以求解的另一类问题就是确定性问题。在 求解确定性问题时，首先要建立一个有关这个确定性问题的概 率统计模型，是所求的解就是这个模型的概率分布或数学期望； 然后对这个模型做随机抽样；最后用其算数平均值作为求解的 近似值。
因此，用蒙特卡罗方法求解问题时，首先要建立一个随机模型，然后 要构造一系列的随机变量用以摸你这个的基础知识
随机变量及其分布函数 在一定条件下发生的事件分为必然事件（必然发生）、不可能事件
（恒不发生）和随机事件（可能发生也可能不发生）。事件发生的可能性 大小用概率p表示。必然事件发生的概率为1，不可能事件的概率为0；随机 事件发生的概率为0≤p≤1.由于测量的随机误差和物理现象本身的随机性， 一次测量得到的某个值是随机的。因此，实验观测的物理量实随机变量， 被研究的物理问题是一个随机事件。通常，描写随机事件A发生的概率用 p(A)表示，显然，0≤ p(A) ≤ 1。经常碰到的随机变量有两类：一类是离散型 随机变量，这种随机变量只能取有限个数值，能够一一列举出来：另一类 是连续型随机变量，这种随机变量的可能值是连续的分布在某个区间。
Monte-Carlo模拟教程
举例
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮） 为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地 进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准 确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁 伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮．
蒙特卡罗方法的关键步骤在于随机数的产生， 计算机产生的随机数都不是真正的随机数(由算 法确定的缘故)，如果伪随机数能够通过一系列 统计检验，我们也可以将其当作真正的随机数 使用。
rand('seed',0.1);
rand(1) ％每次运ra行nd程('s序tat产e',s生um的(1值00*是clo相ck同)*r的and);
E = P(A0) = P(j=0)P(A0∣j=0) + P(j=1)P(A0∣j=1)
= 1 0 1 1 0.25 2 22
P(A1) = P(j=0)P(A1∣j=0) + P(j=1)P(A1∣j=1)
= 10 11 1 2 23 6
P(A2) = P(j=0)P(A2∣j=0) + P(j=1)P(A2∣j=1)
非常见分布的随机数的产生
• 逆变换方法
由定理 1 ，要产生来自 F(x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1(u) 即 可。具体步骤如下：
(1) 生成 (0,1)上 均匀分布的随机数U。
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和 利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率” 来决定事件的“概率”。19世纪人们用蒲丰投针的方法 来计算圆周率π，上世纪40年代电子计算机的出现，特别 是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算 机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
第七章 蒙特卡罗方法.
x
满足如下关系：
F ( x ) = p(ξ ≤ x ) = ∫
−∞
f ( x )dx
（1）均匀密度分布函数
在区间[a，b] 均匀密度分布定义为
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ x < a, x > b ⎩0
其中重要的特殊情况是 [0，1] 均匀密度分布：
⎧1 f ( x) = ⎨ ⎩0
存在
则函数
f ( x)
描写了
ξ
ξ
取值
x
的概率密度
f ( x )：随机变量
的概率分布密度
-0.6 0.5 f(v) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2 v/vp
2.5
3
3.5
4
概率密度函数的直方图： 处于平衡状态（温度T）N个粒子麦克斯韦速率
¾ 伪随机数（赝随机数）： 是指按照某种算法可以给出的似乎随机地出现的数 具有一定的周期 设其周期为 n，则第 n＋l 个数就等于第一个数，此后均依次重复出现。 当然，如果周期 n 足够大，可使在整个使用过程中不表现出其周期性。 例如：计算机中的伪随机数发出器要求其周期大于计算机的记忆单元数。 具有统计性质是表征随机数品质的另一重要指标。 9 总之，对随机数要求： 随机性+分布均匀
蒙特卡罗方法的基本思想:
A.直接蒙特卡洛模拟方法 • 对求解问题本身就具有随机性（宏观物理规律具有必然性）:
例如： 等离子体放电，中子在介质中的传播，核衰变过程，电子在固体中的散射等 ----按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接抽样试 验，然后计算其统计参数。
直接蒙特卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性 和优越性，因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用 ----“计算机实验”
满足如下关系：
F ( x ) = p(ξ ≤ x ) = ∫
−∞
f ( x )dx
（1）均匀密度分布函数
在区间[a，b] 均匀密度分布定义为
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ x < a, x > b ⎩0
其中重要的特殊情况是 [0，1] 均匀密度分布：
⎧1 f ( x) = ⎨ ⎩0
存在
则函数
f ( x)
描写了
ξ
ξ
取值
x
的概率密度
f ( x )：随机变量
的概率分布密度
-0.6 0.5 f(v) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.5
1
1.5
2 v/vp
2.5
3
3.5
4
概率密度函数的直方图： 处于平衡状态（温度T）N个粒子麦克斯韦速率
¾ 伪随机数（赝随机数）： 是指按照某种算法可以给出的似乎随机地出现的数 具有一定的周期 设其周期为 n，则第 n＋l 个数就等于第一个数，此后均依次重复出现。 当然，如果周期 n 足够大，可使在整个使用过程中不表现出其周期性。 例如：计算机中的伪随机数发出器要求其周期大于计算机的记忆单元数。 具有统计性质是表征随机数品质的另一重要指标。 9 总之，对随机数要求： 随机性+分布均匀
蒙特卡罗方法的基本思想:
A.直接蒙特卡洛模拟方法 • 对求解问题本身就具有随机性（宏观物理规律具有必然性）:
例如： 等离子体放电，中子在介质中的传播，核衰变过程，电子在固体中的散射等 ----按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接抽样试 验，然后计算其统计参数。
直接蒙特卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性 和优越性，因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用 ----“计算机实验”
第六章 M onte-Carlo 方法
具有分布密度函数f(x)的伪随机数变量抽样的基本步骤： • 在[0,1]区间抽取均匀分布的伪随机数列； • 在这伪随机数总体中抽取一个简单子样，使这个简单子 样满足分布密度函数f(x)。
10
1、离散型分布随机变量的直接抽样 对一个可以取两个值的随机变量x，如果它以几率p1取值x1, 而以几率p2取值x2。则：p2=(1-p1)。如果取(0,1)间一个随机数， 若满足： x < p 1 , 则取： x = x 1
第六章 Monte-Carlo 方法 第一节 Monte-carlo 方法概述 Monte-Carlo(蒙特卡罗)是摩纳哥闻名的赌城的名字，其本意具 有“随机”、“机遇”之意，从而Monte-Carlo方法又称为随机 抽样技巧或统计模拟方法(statistical simulation method )。 是利用随机数进行数值模拟的方法。 是由Metropolis在二次世界大战期间提出的,Nouman命名。在 Manhattan计划中，研究与原子弹有关的中子输运过程。 Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一。
由于试验次数不能太少，进行大量模拟就有很大的运算量， 从而只有在计算机出现和发展后，该方法才得到有效应用，所 以说，Monte-Carlo方法是和计算机紧密联系在一起的。
5
三. Monte-Carlo 方法的适用范围非常广泛
由于空间维数的多少对于Monte-Carlo方法的影响不大，且受问 题 的条件限制小，另外用该方法解决问题所编写的程序结构简 单，所以该方法已广泛应用在许多领域。 它可以解决一些典型的数学问题， 如多重积分的计算、线性代 数方程组、线性积分方程求解、齐次线性积分方程本征值的计 算、微分方程边值的计算等； 另外生物、 物理、材料、化学、经济、通讯等 科学方面许多 复杂问题用该方法来解决相对来说比较简单。
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1、离散型分布随机变量的直接抽样 对一个可以取两个值的随机变量x，如果它以几率p1取值x1, 而以几率p2取值x2。则：p2=(1-p1)。如果取(0,1)间一个随机数， 若满足： x < p 1 , 则取： x = x 1
第六章 Monte-Carlo 方法 第一节 Monte-carlo 方法概述 Monte-Carlo(蒙特卡罗)是摩纳哥闻名的赌城的名字，其本意具 有“随机”、“机遇”之意，从而Monte-Carlo方法又称为随机 抽样技巧或统计模拟方法(statistical simulation method )。 是利用随机数进行数值模拟的方法。 是由Metropolis在二次世界大战期间提出的,Nouman命名。在 Manhattan计划中，研究与原子弹有关的中子输运过程。 Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一。
由于试验次数不能太少，进行大量模拟就有很大的运算量， 从而只有在计算机出现和发展后，该方法才得到有效应用，所 以说，Monte-Carlo方法是和计算机紧密联系在一起的。
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三. Monte-Carlo 方法的适用范围非常广泛
由于空间维数的多少对于Monte-Carlo方法的影响不大，且受问 题 的条件限制小，另外用该方法解决问题所编写的程序结构简 单，所以该方法已广泛应用在许多领域。 它可以解决一些典型的数学问题， 如多重积分的计算、线性代 数方程组、线性积分方程求解、齐次线性积分方程本征值的计 算、微分方程边值的计算等； 另外生物、 物理、材料、化学、经济、通讯等 科学方面许多 复杂问题用该方法来解决相对来说比较简单。
蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
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Grain Boundary Dynamics as a Tool for Microstructure Control
Plastic Deformation & Heat Treatment
Motion Motion of of Grain GrainBoundaries Boundaries
different
Recrystallization & Grain Growth Structure
Thermodynamics
Kinetics
Mikrostructure
Control & Analysis
Grain Boundary Dynamics
Material Properties 材料设计优化与生物医用材料研究室
•
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• 研究晶粒长大的目的之一是控制晶粒尺寸。晶粒尺寸既反 映金属材料的微观组织特征，又直接影响材料的性能。例 如低碳钢中晶粒尺寸与材料的机械性能、脆性转变温度有 直接关系。 1.细化晶粒
结构钢： 改善韧性同时提高强度 变形铝合金：提高强度，改善产品表面粗糙度和提高变形能力 超塑性合金：提高其常温强度而降低其高温强度，实现超塑性的关键
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NN考虑单元的6个最近邻格点与12个次近邻格点以及8个第三近邻的格点。
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界面能由描述原子相互作用的哈密尔顿算子来定义。下式中J>0可以理解 为相邻原子间的相互作用能。对于任意格点 i，其界面能Ei为：
Ei J (1 Si S j ), Si S j
•
晶粒长大：无应变多晶体材料在退火过程中系统平均晶粒尺寸逐渐增 大的现象。晶粒长大可以是初次再结晶的后继过程，即发生于形变试 样初次再结晶完成以后的继续退火过程中，也可以发生在无原始形变 试样的退火处理过程中。晶粒长大可以分为正常晶粒长大和异常晶粒 长大。 正常晶粒长大的特点是长大速度比较均匀，在长大过程中晶粒的尺寸 分布和形状分布几乎不变。异常晶粒长大是组织中少数晶粒吞并基体 中其他较小的晶粒而长大。 某种意义上讲，晶粒长大研究是一个金属学理论问题，但就这一研究 的起源和最终服务目的而言，晶粒长大研究是与材料性能密切相关 的。随着人们对材料的组织、结构与性能之间相互关系认识的深入， 越来越显出晶粒长大研究对控制和改善材料性能的重要性。
j 1
NN
1, Si S j 0, S i S j
H J
i 1
N
(
j 1
NN
Si S j
1), Si S j
1, Si S j 0, Si S j
其中，J是正的常数，正比于晶界能，为相邻单元对晶界能所做的贡献。 Si、Sj分别对应于单元i和j的取向（1≤Si≤Q）
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• 蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学，生物医 学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计 算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 • Monte Carlo方法在材料学中的应用主要涉及到表面 与界面、扩散、相变、聚合物、外延生长及结构、异 相界面、晶体生长、断裂及材料热力学性质等方面。
2.避免晶粒过细
高温合金、某些镁铝合金（防止产生应变痕迹）等
3.控制材料的织构组态
深冲加工的板材：为防止产生制耳，需防止过分强烈的单一织构 硅钢片：为获得高的磁导率，降低能耗，需控制织构组态
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3D晶粒长大动画 MCS=100~5000, step=100
作者：秦湘阁博士
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1777年 比丰针问题
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从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千 计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率，还是达不到公元5世纪祖冲 之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原 因。 计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法得到快速的普及。现代的蒙特 卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能 力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。 它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题
S S 是Kronecker delta函数，当S 和S 取向相同时，等于1，反之则 i j 等于0。
i j
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ΔE=2-4＝-2<0
E0=4 E1=2
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• • •
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随机地选取一个单元i,计算该单元的界面能Ｅ0 从其他Ｑ-1个可能的取向中随机地选取一个赋给该单元，并且计算其自 由能Ｅ1 比较单元取向改变前后的能量差ΔＥ(ΔＥ=Ｅ1-Ｅ0) 如果ΔＥ≤0,则新取向被接受,即晶界迁移的驱动力为晶界能的减小； 否则，新取向以概率Ｗ=exp(-ΔE/kT)被接受。 用公式表示，单元成功再取向的概率为：
(Qin X. PhD Dissertation, USTB, Beijing2003, p.113)
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1、标准Potts Monte Carlo模拟的原理及方法
• 晶粒组织的晶界在本质上是取向不同的晶粒之间的界面，而晶粒又是 处于晶格点阵位置上的原子所组成的。如果将原子所处晶格点阵的取 向（即原子所属晶粒的取向）称为该原子的“取向属性”，则晶粒组织 中的晶界可理解为是由取向属性不同的原子之间的交界点连接构成 的。
第三章 介观尺度Monte Carlo方法
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目录
Monte Carlo方法简介 Potts模型Monte Carlo方法的应用 课堂思考题
材料设计优化与生物医用材料研究室
材料设计优化与生物医用材料研究室 （Raabe D，计算材料学， 北京，化学工业出版社，2002
退火过程中晶界的移动即晶粒长大过程可理解为晶界附近原子按一 定规律改变其取向属性所引起的“宏观”效应。
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假设模拟系统中有N个原子（点阵位置），点阵的排列有几种，在 二维模拟中可采用简单正方点阵或三角点阵，三维模拟大都采用简单立 方点阵，也有一部分采用面心立方点阵、体心立方点阵或密排六方点 阵。 取向属性总共有Q个（Q>2）,则在模拟时首先对每个原子随机赋予 一个取向属性值S（1<S<Q）。 Q值一般取32、48、64等值。 然后将所有取向取向相同的相邻原子组合成晶粒，由此构造原始的 模拟晶粒组织。
Exner H E. Practical Metallography,1999;36(3):115-137 材料设计优化与生物医用材料研究室
材料设计优化与生物医用材料研究室
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• 显微组织形态
a
b
图1 Radhakrishnan改进Monte Carlo算法晶粒长大过程不同阶段的两个多晶体组织三 维组织模型 晶粒数目分别为a)10085和b)2009
1 , E 0 W exp(E / kT ) , E 0
其中，k为Boltzman常数;T为温度。
当晶界附近某原子的取向属性从Si转为Sj时，晶界相应的向i原子原来的 晶粒一侧移动了一个原子间距。 • Ｎ个这样的再取向尝试就构成一个Monte Carol Step (ＭＣＳ),这样，晶界 处一系列单元取向的转变就构成了晶界的迁移。 采用周期性边界条件。
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（3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟 实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问 题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当 于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的 解。
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一般步骤 将所研究的物理问题演变为类似的概率或 统计模型 通过数值随机抽样实验对概率模型进行求 解，其中包括大量的算术运算和逻辑操作 用统计方法对得到的 结论进行分析处理
.
（Raabe D，计算材料学， 北京，化学工业出版社，2002
）
蒙特卡罗方法概述： 一种随机模拟(random simulation)方法,有时也称作随 机抽样(random sampling)技术或统计实验(statistical testing)方法。以概率和统计理论方法为基础的一种计算 方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多 计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联 系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近 似解。
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一 Monte Carlo方法简介
• 1.蒙特卡罗（Monte Carlo）方法
这一方法作为一种模拟工具，其系统发展始于1944年。冯.诺伊曼 (J.von.Neumann)、N. Metropolis、乌拉姆(S.Ulam) 在其参加的“曼哈顿计 划”研究时引入了蒙特卡罗方法，他们用其模拟了中子在可裂变材料中 的无相关空间扩散(即无规行走问题)。同时迈耶（J.E.Mayer）也独立的 提出了一种类似的数值方法，通过非权重随机抽样过程用其计算积分问 题。人们认识到确定性问题可以通过恰当的概率模型来很容易的解决。 Monte Carlo模拟通常是采用无相关随机数进行大量的计算机实验。 鉴于大量运用随机抽样， Monte Carlo方法的发展是与计算机技术的进 步密切相关的。
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• 由于不透明材料3D微观组织的不直接可视性，导致许多重要的 3D组织表征参量无法直接测量，许多涉及3D显微组织演变的材 料理论模型无法得到验证。 • 采用Potts模型Monte Carlo方法研究晶粒长大，则可以有效避 免上述缺点。利用这种既遵从材料显微组织形成和演变规律， 又已数字化且可视化的显微组织仿真的静态或动态模型，可以 进行晶粒或任何组织组成物及其动态演变过程的直观分析和定 量研究（Exner教授将其称为“虚拟金相学”），获得若干真实金 相学所无法获得的组织表征信息和含时间变量的动力学显微组 织数据，将有助于我们对真实材料显微组织及其各种演变过程 的进一步了解。