八年级数学平方差因式分解
人教版八年级数学 利用平方差公式因式分解PPT课件
–
+
）（
-
）
问题：观察平方差公式：a2－b2=（a+b） （a－b）的项、指数、符号有什么特点？
【练一练】一： 4a2=（ ）2
0.16a4=（ x4 y2=（ ） ）2
25b2=（ ）2
2
a b =（
2
2
）
2
【练一练】二：
下列多项式可以用平方差公式去分 解因式吗？ 为什么？
(1) 4x2+y2
(2) a b–ab=____________________
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的 代数式（单项式、多项式）．
4
4
3
小结：
平方差公式：
a b
2
2
(a b)(a b)
平方差公式因式分解特征： (1)两部分相减
(2)两部分都可写成某数（式）的平方
(3)结果是两数之和与这两数之差的积
公式法因式分解（一）
1.理解平方差公式的意义，弄清平方差 公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法， 能正确运用平方差公式把多项式分解 因式（直接用公式不超过两次）
情景导入:
1、同学们，你能很快知道992-1是100 b）（a-b）=__________ 3.你能将a2－b2 分解因式吗？ 你是如 何思考的？
注意:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止. 3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
(3) －4x2－y2
(2) 4x2－(－y)2
(4) －4x2+y2
(5) a2－4
八年级上册数学人教版 集体备课 14.3.2因式分解-运用平方差公式
能较熟练地应用平方差公式分解因式
课 堂 教 学 设 计
教学环节
教学过程
二次备课
第一步：
交流预习
环节1：教师提问
问题1：什么叫多项式的因式分解?
问题2：下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？
问题3： 能否被2016整除？
环节2:师友释疑
问题1:什么叫多项式的因式分解?
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
师友反馈
环节1：师友检测
把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
环节2：教师评价
一、本节课最佳师友是…
二、课后作业
必做：
选做：
板书设计
教学后记
初中数学集体备课活页纸
学科
初中数学
主备人
节次
第 15 周
第2 节
课题
14.3.2因式分解-运用平方差公式
课时
1
课型
新授课
教学目标
知识与技能： 1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性. 2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.
整式乘法
特点：是a,b两数的平方差的形式。
平方差公式：
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
环节2：教师讲解
例1 分解因式：
（1） ；（2） .
当场编题，考考你！
人教版八年级上册14.3.2因式分解-平方差公式(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
在小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，能够积极提出自己的观点，并尝试解决实际问题。但我也注意到，部分小组在讨论过程中可能会偏离主题，这需要我在以后的课堂上更加注意引导，确保讨论的内容紧扣教学目标。
此外，对于平方差公式与完全平方公式的混淆问题，我觉得在今后的教学中，我应该设计一些对比练习，帮助同学们明确这两个公式的区别和适用场景。通过具体的练习，让他们在实际操作中感受到这两个公式的不同。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对于平方差公式的理解整体上是积极的，但也存在一些需要我进一步关注和引导的地方。在讲解平方差公式时，我注意到有些同学在推导过程中对(a + b)(a - b) = a² - b²的理解还不够深入，可能需要通过更多的实际例题来加强他们的理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发同学们的兴趣，这种方式似乎收到了不错的效果。大家对于将数学知识应用到实际生活中的讨论非常积极，这让我感到欣慰。然而，我也意识到在接下来的课程中，需要更多地设计这样的环节，让同学们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析《2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》》这一节内容是在学生学习了平方差公式的基础上进行的一个实践活动。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化计算，还可以用来解决一些因式分解的问题。
本节课通过实例讲解，让学生掌握平方差公式的应用，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平方差公式，对公式有一定的理解。
但是，如何将平方差公式应用到实际的因式分解中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解题技巧。
三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，掌握平方差公式的结构。
2.能够将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式，并进行解答。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高他们的数学解题能力。
四. 教学重难点1.掌握平方差公式的结构。
2.如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。
五. 教学方法采用讲解法、实践法、讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握平方差公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关平方差公式的课件和教学素材。
2.准备一些实际的因式分解问题，用于课堂练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的因式分解问题，引导学生回顾平方差公式。
例如：已知多项式x^2 - 4，请将其因式分解。
让学生尝试解答，然后给出解答过程和答案。
2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的含义和结构，让学生理解平方差公式的推导过程。
通过示例，讲解如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际的因式分解问题。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生自主选择一些练习题进行巩固练习，教师个别辅导，解答学生的问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将平方差公式应用到更复杂的问题中，例如多项式的乘法、求解方程等。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方根的基础上进行学习的。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化运算，还可以把一些复杂的代数式进行因式分解。
这一节内容既有理论性，又有实践性，通过学习，让学生体会数学的简洁美，提高他们学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，他们已经学习过了有理数的乘法、平方根等知识，对代数式有一定的认识。
但是，学生对平方差公式的理解和运用还需要加强，因此，在教学过程中，我们需要引导学生理解平方差公式的推导过程，掌握公式的运用方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握平方差公式，学会运用平方差公式进行因式分解。
2.过程与方法：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的探究能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的简洁美，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的理解和运用，以及因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中发现问题、解决问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、平方根等知识，为学生引入平方差公式。
2.探究：让学生自主探究平方差公式的推导过程，引导学生发现公式的特点。
3.讲解：讲解平方差公式的运用方法，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
4.练习：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出平方差公式的特点和运用方法。
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式是数学中常用的公式，在因式分解中起到了重要作用。
以下是这两个公式的介绍和因式分解方法：
1. 平方差公式：
平方差公式用于因式分解具有平方项的差的平方。
其公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
利用此公式，我们可以将一个差的平方写成两个因数的乘积。
2. 完全平方公式：
完全平方公式用于因式分解一个二次多项式。
其公式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式写成一个完全平方的形式。
因式分解示范：
1. 平方差公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 - 9。
根据平方差公式，我们有：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)。
2. 完全平方公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 + 6x + 9。
根据完全平方公式，我们有：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
通过使用平方差公式和完全平方公式，我们可以将一个多项式因式分解为乘积的形式。
这两个公式在代数中的应用非常广泛，帮助我们简化表达式，解决方程和证明数学性质等问题。
需要注意的是，因式分解可能会涉及到更复杂的多项式和多步操作。
理解和熟练运用这些公式，可以在数学问题求解中提高效率和准确性。
初中八年级因式分解常用方法
初中八年级因式分解常用方法因式分解是初中数学中的一个重要概念，对于解决一些数学问题非常有帮助。
以下是初中八年级因式分解的一些常用方法：1. 提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成积的形式。
例如：$3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$2. 公式法：利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 和完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ 进行因式分解。
例如：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$3. 十字相乘法：对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程，如果 $ac <0$，则该方程有两个不相等的实根。
此时，可以将二次项和常数项的乘积与一次项的系数进行十字相乘，从而得到两个一次因式的乘积。
例如：$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$4. 分组分解法：对于一些比较复杂的多项式，可以先分组，然后分别提取各组中的公因式。
例如：$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$5. 双十字相乘法：对于形如 $ax^4 + bx^2 + c = 0$ 的四次方程，如果$ac < 0$，则该方程有两个不相等的实根。
此时，可以将四次项和常数项的乘积与二次项的系数进行双十字相乘，从而得到两个二次因式的乘积。
例如：$x^4 + x^2 - 6 = (x^2 - 3)(x^2 + 2)$以上是初中八年级因式分解的一些常用方法。
通过这些方法，可以有效地将多项式化简，从而更好地解决一些数学问题。
八年级数学利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解是数学中的一种常见方法。
平方差公式指的是两个平方数的差可以表示为一组因式的乘积。
在本文中，我将详细介绍如何使用平方差公式进行因式分解，并给出一些具体的例子。
首先，让我们回顾一下平方差公式的基本形式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式告诉我们，一个平方数的差可以表示为两个数的乘积。
例如，9-4=(3+2)(3-2)=5接下来，我们来看一些具体的例子。
例子1：因式分解x^2-25要将x^2-25进行因式分解，我们可以使用平方差公式。
注意到25是一个平方数，所以我们可以将这个式子看作是两个平方数的差。
根据平方差公式，我们有：x^2-25=(x+5)(x-5)例子2：因式分解4y^2-9将4y^2-9进行因式分解，同样可以使用平方差公式。
注意到4y^2和9都是平方数，所以我们可以将这个式子看作是两个平方数的差。
根据平方差公式，我们有：4y^2-9=(2y+3)(2y-3)例子3：因式分解x^2+16这个例子略微不同，因为16是一个平方数，但是x^2不是。
但是，我们可以将x^2+16看作是一个平方数和一个平方数的和。
虽然这不是标准的平方差形式，但我们可以通过类似的思路来分解它。
具体步骤如下：x^2+16=(x+4i)(x-4i)这里i是虚数单位，满足i^2=-1、如果你对虚数单位不熟悉，可以将x^2+16留在这个形式中。
除了上述具体的例子，平方差公式还可以应用到更复杂的因式分解问题中。
例如，可以使用它来分解三次方程的差平方形式。
另外，注意到平方差公式还有一个类似的形式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这些公式也可以在解决数学问题中发挥作用。
在使用平方差公式进行因式分解时，有一些常见的技巧可以帮助你更好地理解和应用公式。
首先，我们需要识别问题中是否存在平方数，以便确定是否可以使用平方差公式。
其次，了解平方差公式的不同形式和变形形式，可以帮助你更灵活地应用这个公式。
数学人教版八年级上册14.3.2 因式分解 公式法(第一课时)
14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。
平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。
二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。
（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。
知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。
达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。
三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。
学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。
因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。
四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。
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2019/8/26
1
2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
两个数的平 方差，等于 这两个数的 和与这两个 数的差的积
平方差公式因式分解特征：
2019/8/26
1
(1)两部分相减
(2)两部分都可写成 某数（式）的平方 3
例1.下列多项式可以用平方差公式去 分解因式吗？ 为什么？
如皋初级中学初二备课组
2019/8/26
1
1
问题: 什么叫多项式的因式分解?
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
(4)
4x2-
1 9y2
=(2x+
1 3y
)(2x- 1 )
=( a )2－( 1 )2
=( x2y )2－( 2 )2 =( 3 x)2－(0.1y )2
7 =( 0.01 )2－( 11x )2
2019/8/26
写成( )2-( )2 公式：(ab)n=anbn
(am)n=amn
1
5
例2.因式分解：(1) x2 – 4= x2 – 22 = (x + 2) ( x – 2)
1） 20032 – 9
2）（1 - 1 ）（1 - 1 ）（1- 1 ）×···×（1- 1 ）（1- 1 ）
22
32
42
92
102
2、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25 能被4整除。
3、若a、b、c是三角形的三边长且满足
(a+b)2-(a+c)2=0，则此三角形是（ ）
A、等腰三角形
a2 – b2 = ( a + b) ( a – b )
(2) 4x2 – 9y2 =( 2x)2–( 3y)2 =( 2x +3y)(2x –3y)
练一练
(3)16a2－1= (4a)2 －(1 )2 = (4a + 1 )( 4a － 1)
a2 － b2 = ( a + b )( a － b )
B、等边三角形
C2、019/8直/26 角三角形
D1、不能确定
11
小结:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止.
3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
2019/8/26
1
12
2019/8/26
1
13
作业:因式分解
(1)x2-25;
(2)9x2-y2
(3)25-16x2;
(4)9a2- 1 b2
4
(5)9(m+n)2-(m-n)2; (6)(a+b)2-1
(7)2x3-8x;
(8)(a-1)+b2(1-a)
(9) 1 xy3 Байду номын сангаас 0.09 4
(10)a5-a
2019/8/26
1
14
观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12,
9-25=-16, 16-36= -20 ······ （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数） 的等式表示出来。
幂、积乘方公式逆用 即：公式：
(ab)n=anbn
2019/8/26
1
(am)n=amn
7
练习:
因式分解：
１、 – a4 + 16
2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2
3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
4、 (a-b)n+2 - (a-b)n
2019/8/26
1
8
例4：分解因式: (1) x5－x3 (2) 2x4-32y4
(1) 4x2+y2
不可以
(2) 4x2－(－y)2 可 以
(3) －4x2－y2 不可以
(4) －4x2+y2 (5) a2－4
可以 可以
(6)a2＋3
不可以
2019/8/26
1
4
2.下列各式可分别看成哪两式的平方差？
(1)a2－1 (2)x4y2－4 (3) x2－0.01y2
9 (4)04.09001－121x2
=( 3 5
x
+
1 4
y2 )(
3 5
x－
1 4
y2 )
(2) －9x2+4=4 － 9x2= 22 – ( 3x )2=(2+3x)(2－3x) （加法交换律）
(3) (x+z)2 –(y+z)2 = [( x+z)+( y+z)][( x+z )－(y+z )]
=(x+y+2z)(x－y) （公式中的a、b可表示多项式）
1
9
练习: 分解因式：
(1)
1 8
x2 － 2y2
(2)x2n+1-100x
解：
(1)
1 8
x2 －2y2=
1 8
(x2－16y2)=
1 8
(x+4y)(x－4y)
(2)x2n+1－100x= x(x2n－100) = x(xn+10)(xn－10)
2019/8/26
1
10
1、运用简便方法计算：
（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。
2019/8/26
1
15
解：(1) x5－x3 =x3(x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
结论：1、先提出公因式，再考虑平方差公式. 2、分解因式分解到不能分解为止.
(2)2x4-32y4=2(x4-16y4) =2(x2+4y2)(x2-4y2) = 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
2019/8/26
(4)4L2－m2n2 =( 2L)2－(mn)2 = ( 2L+ mn) ( 2L－mn)
2019/8/26
1
6
例3：把下列各式分解因式
(1) 解：
9 25
x2 ＿
1 16
y4
(2) –9x2+4
(3) (x+z)2－(y+z)2
(1)
9 25
x2 ＿
1 16
y4
=(
3 5
x )2 －(
1 4
y2 )2