初二数学因式分解讲解
人教版初二数学讲义《因式分解的概念和基本方法》
定 义示例剖析定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式． ()21a a a a +=+；()2324222x x x x +=+()()232236332131a b a b ab ab a a ab a ++=++=+实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．()ma mb mc m a b c −−−−→++++←−−−−因式分解整式乘法多项式−−−−→←−−−−因式分解整式乘法整式乘积 模块一 因式分解的概念知识导航知识互联网6因式分解的概念 和基本方法分解因式的注意事项：1、结果一定是乘积的形式；2、每一个因式都是整式；3、相同的因式的积要写成幂的形式.4、没有大括号和中括号；5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；6、单项式因式写在多项式因式的前面；7、每个因式第一项系数一般不为负；8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止.如：111x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭不是因式分解21(1)(1)x x x -=+-是因式分解()()22x y x y x y +-=-不是因式分解()23232x x x x +-=+-不是因式分解【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A. 223()33ab a b a b ab +=+B. 2222421x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C. 224(2)(2)a b a b a b -=+-D. 23633(2)x xy x x x y -+=-⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是（ ） A. ()321x x x x -=- B. ()2222x xy y x y -+=- C. ()22x y xy xy x y -=- D. ()()22x y x y x y -=+-【解析】 ⑴C. 其中A 是整式乘法不是因式分解；B 中的因式不是整式；D 不是恒等变形.⑵A. ()()()32111x x x x x x x -=-=-+【点评】 因式分解实质是一种恒等变形，是一种化和为积．．．．的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．因式分解的结果：每个因式都必须是整式．．，分解到不能再分解为止．【例2】 ⑴一个多项式分解因式的结果是33(2)(2)b b +-，那么这个多项式是（ ） A ．64b - B ．64b - C ．64b + D ．64b --⑵如果多项式235x mx --分解因式为()()57x x -+，则m 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、12D 、12- ⑶若多项式2x ax b ++可因式分解为()()12x x +-，求a b +的值 .【解析】 ⑴ B.⑵ A ⑶ 3-.由题意()()22122x ax b x x x x ++=+-=--，故12a b =-=-，，3a b +=-. 夯实基础定 义示例剖析如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因式分解。
初二数学因式分解超级经典专题讲解
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）1 基本方法1.1提公因式法☆☆☆各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式1.2 公式法☆☆☆如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
补充公式:立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)；完全立方公式：a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3=(a ±b) 3．公式：a 3+b 3+c 3+3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例如：a 2 +4ab+4b 2 =(a+2b) 2。
八年级数学因式分解12种常见方法整理
八年级数学因式分解12种常见方法整理1.提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方3.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)4.十字相乘法（经常使用）对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
7.换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
8.求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )9.图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )10.主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
11.利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
12.待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
八年级因式分解法的四种方法
八年级因式分解法的四种方法在八年级数学课程中，因式分解是一个重要的内容。
下面我将介绍四种常见的因式分解方法，希望能够满足你的需求。
1. 公因式提取法：公因式提取法是最常见的因式分解方法之一。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
首先，找出多项式中的公因式，然后将这个公因式提取出来，剩下的部分进行简化。
例如，对于多项式2x^2 + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 完全平方公式：完全平方公式是因式分解中常用的方法之一，适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 2ab + b^2的多项式。
利用完全平方公式，我们可以将这些多项式分解成两个平方的和或差。
例如，对于多项式x^2 + 6x + 9，可以将其分解为(x + 3)^2。
3. 分组分解法：分组分解法适用于四项式中存在两对互补的项的情况。
首先，将四项式中的项进行分组，然后在每个组内进行因式分解，最后再进行合并。
例如，对于多项式x^3 + 2x^2 + 3x + 6，可以将其分组为(x^3 + 2x^2) + (3x + 6)，然后在每个组内进行因式分解，得到x^2(x + 2) + 3(x + 2)，最后合并得到(x^2 + 3)(x + 2)。
4. 平方法：平方法适用于三项式中存在平方项和线性项的情况。
它的思路是将三项式中平方项的系数和线性项的系数相乘，然后找到一个数使得它的平方等于这个乘积，然后利用这个数进行分解。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，我们可以将5乘以6得到30，找到一个数使得它的平方等于30，即5，然后将多项式分解为(x + 2)(x + 3)。
这些是八年级常见的因式分解方法，每种方法都适用于不同的多项式形式。
在实际应用中，可以根据多项式的特点选择合适的因式分解方法。
希望这些解释能够帮助你更好地理解因式分解的方法。
初中八年级上册数学因式分解
初中八年级上册数学因式分解一、因式分解的概念1. 定义- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如：x^2-4=(x + 2)(x-2)，这里就是把多项式x^2-4分解成了(x + 2)与(x - 2)这两个整式的积的形式。
2. 因式分解与整式乘法的关系- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的基本方法1. 提公因式法- 公因式的确定- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式法的步骤- 第一步，确定公因式。
- 第二步，将公因式提出，用原多项式除以公因式得到另一个因式。
例如，对于6x^2+9x = 3x(2x + 3)。
2. 公式法- 平方差公式- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式是两项式，并且这两项能写成平方差的形式。
例如，9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x + 4)(3x-4)。
- 完全平方公式- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2。
- 完全平方差公式：a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。
例如，x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2；x^2-4x + 4=x^2-2×2x+2^2=(x - 2)^2。
初中数学初中二年级因式分解
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（完整版）初二数学因式分解技巧
（完整版）初⼆数学因式分解技巧因式分解技巧⽅法第⼀部分：⽅法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有⼒⼯具．因式分解⽅法灵活，技巧性强，学习这些⽅法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，⽽且对于培养学⽣的解题技能，发展学⽣的思维能⼒，都有着⼗分独特的作⽤．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法．本讲及下⼀讲在中学数学教材基础上，对因式分解的⽅法、技巧和应⽤作进⼀步的介绍．⼀、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)⼆、运⽤公式法.在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下⾯再补充两个常⽤的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（）A.直⾓三⾓形 B 等腰三⾓形 C 等边三⾓形 D 等腰直⾓三⾓形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法.（⼀）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运⽤公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为⼀组，后两项分为⼀组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
初二数学知识点归纳：因式分解
初二数学知识点归纳：因式分解初二数学知识点归纳：因式分解(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法()提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式(8)运用公式法：如果把乘法公式反过，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式②其中有两项是某两数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)(1)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式(16)具备什么条的多项式可以用分组分解法进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法分解因式(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
初二数学分解因式的方法
初二数学分解因式的方法初二数学中，分解因式是一个重要的内容。
分解因式是指将一个多项式拆分为多个因式的乘积的过程。
在初二数学中，我们通常使用以下几种方法来进行分解因式。
一、公因式提取法公因式提取法是最基本和最常用的一种分解因式的方法。
它的基本思想是找出多项式中的一个公因式，然后将公因式提取出来，再将剩下的部分进行分解。
例如，对于多项式3x+6，我们可以提取出公因式3，得到3(x+2)。
二、配方法配方法是指通过添加适当的项来使一个多项式能够被分解为两个因式的乘积。
配方法通常用于二次三项式的分解因式。
例如，对于多项式x^2+5x+6，我们希望将其分解为两个一次因式的乘积。
我们可以通过配方法来完成这个过程。
具体步骤是：首先将x^2+5x+6写成(x+a)(x+b)的形式，然后展开得到x^2+(a+b)x+ab，通过比较系数可以得到a+b=5，ab=6。
我们可以找到两个数a和b，使得它们的和等于5，积等于6。
通过解方程组，我们可以得到a=2，b=3，因此x^2+5x+6可以分解为(x+2)(x+3)。
三、公式法公式法是指利用一些特定的公式来分解因式。
在初二数学中，我们通常使用平方差公式和完全平方公式来进行分解因式。
平方差公式是指a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)，完全平方公式是指a^2+2ab+b^2可以分解为(a+b)^2。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以使用平方差公式将其分解为(x+2)(x-2)。
四、因式分解公式法在初二数学中，我们还可以使用一些特定的因式分解公式来进行分解因式。
例如，二次三项式(ax+by)^2可以分解为(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)。
这个公式可以帮助我们快速地将一个二次三项式进行因式分解。
以上是初二数学中常用的一些分解因式的方法。
通过掌握这些方法，我们可以更加灵活地进行因式分解，解决各种与因式分解相关的问题。
在实际应用中，我们还可以结合不同的方法，根据具体情况选择最合适的方法进行因式分解。
初二数学因式分解法解一元一次方程
初二数学因式分解法解一元一次方程解一元一次方程是初中数学中的基础内容，它是代数学习中的重要一环。
在学习解一元一次方程时，我们经常会使用到因式分解法。
本文将详细介绍初二数学中使用因式分解法解一元一次方程的步骤和方法。
一、因式分解法解一元一次方程的基本思路因式分解法解一元一次方程的基本思路是将方程中的未知数的各个项根据特定的因式分解公式进行分解，使得方程变成方便求解的等式，从而得到未知数的解。
二、步骤详解因式分解法解一元一次方程的步骤如下：1. 将一元一次方程按照等号两边的项进行整理，使其符合标准形式，即将未知数项放在等式左边，常数项放在等式右边。
2. 观察方程左边的未知数项，寻找可以因式分解的公式或规律。
常见的因式分解公式包括乘法公式、平方公式、差平方公式等。
3. 使用找到的因式分解公式，将未知数项进行因式分解，得到一个或多个因式。
4. 将方程右边的常数项做同样的因式分解。
5. 将未知数项和常数项的因式分解式以乘法的形式相乘，得到一个或多个等式。
6. 对得到的等式中的每个因式进行去括号操作，得到最简形式的等式。
7. 根据最简形式的等式，得到未知数的解。
这是因式分解法解一元一次方程的基本步骤，在具体的例子中，可能需要根据题目的要求进行适当的调整和变化。
三、举例说明为了更好地理解因式分解法解一元一次方程的应用，我们举一个例子进行详细说明。
例：解方程3x + 9 = 0按照步骤，首先将未知数项和常数项分开，得到3x = -9。
然后，观察未知数项3x，可以发现它可以因式分解为3乘以x。
同时，常数项-9可以因式分解为-3乘以3。
接下来，将方程左边的未知数项和右边的常数项的因式进行乘法运算，得到3x × (-3) = -9 × 3。
然后，对乘法运算结果进行去括号操作，得到-9x = -27。
最后，将等式进行化简，得到x = -27 ÷ -9，即x = 3。
因此，方程3x + 9 = 0的解为x = 3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
十字相乘法
一、导入
二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).
课前练习：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；
3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。
答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；
3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课
例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 ×
3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）
=5 =7 = -5 =-7
经过观察，第四种情况是正确有。
这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1c1
a2×c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。
像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2把6x2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
中的一种
2 1
3 ×-5
2×（-5）+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。
解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
1 × 5
1×5+1×（-3）=2
所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。
例3把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
5 ×-4
1×（-4）+5×2=6
解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。
解（x-y）（2x-2y-3）-2
=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2
=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 ×+1
=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］1×1+2×（-2）=-3
=（x-y-2）（2x-2y+1）。
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
三、课堂练习
1．用十字相乘法因式分解：
（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；
（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。
2．把下列各式因式分解：
（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；
（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。
答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；
（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；
（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。
2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；
（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。
四、小结
1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1c1
在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜
a2c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。
”
（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。
（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。
五、作业
1．用十字相乘法分解因式：
（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；
（5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2；（7）10x2-21xy+2y2；
（8）8m2-22mn+15n2。
2．把下列各式分解因式：
（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；
（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；
（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。
答案：
1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；
（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。
2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；(3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；
（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。