数字信号处理习题集及答案

第一章 数字信号处理概述

判断说明题：

1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。

2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信

号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（ ）

答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础

一、离散时间信号与系统频域分析 计算题：

1．设序列)(n x 的傅氏变换为

)(ω

j e X ，试求序列)2(n x 的傅里叶变换。 解： 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞

-∞

=-=

=n

n

j j e n x e X n x ωω

)()()]([

可以得到

DTFT 2

)()2()]

2([n j n n jn e

n x e

n x n x '

-∞

-∞

='-∑∑'=

=

ωω

为偶数

)()(2

1

)(2

1

)(21)(21)(21)]()1()([2

122)2(2)2

(2

2ωωπω

ωπω

ωωj j j j n j n n jn n j n

n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=

+=-+=++-∞

-∞=∞-∞=--∞

-∞=∑∑∑

2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a ）][2n u n

- （b ）]

2[)41

(+n u n

（c ）]24[n -δ 解：（a ）∑∑-∞

=--∞

-∞

==

-=

2][2)(n n

j n n

j n n

e e

n u X ωωω

ω

ωj n

n j e e 2

111)2

1(0-=

=∑∞

= （b ）∑∑∞

-=--∞

-∞==+=2)4

1(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ ωω

ωj j m m j m e e e -∞

=---==∑4

1116)41(20

)2(2 （c ）ω

ωωδω2]24[][)(j n n j n

j n e e n e

n x X -∞

-∞

=--∞

-∞

==-=

=

∑

∑ 7．计算下列各信号的傅立叶变换。

（1）{})2()3()21

(--+n u n u n （2）

)2sin()718cos(

n n +π

（3）??

???≤≤=其它－04

1)3cos()(n n n x π

【解】（1）{}∑∞

-∞=---+=n kn N j n e n u n u k X π

2)2()3()2

1

()(

∑∑∞=-∞

-=--=2232)21()21(n kn

N j n n kn N j n e

e π

π k N

j k N j k N

j k N j e e

e e

ππππ

222

223

2

114

12

118-----

-=

k N

j k

N j k

N j e e e ππ

π2255232

11)21(18----= （2）假定)718cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2k X ，则 ∑∞

-∞

=??

????

--+--

=k k k N k k N

k X )27182()27182()(1πππδπππ

δπ

∑∞

-∞=??

?

???-++--=

k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ

所以 )()()(21k X k X k X +=

∑∞

-∞=???

??

?-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ

（3）∑-=-=

4

4

23cos )(n k N

jn

ne

k X π

π

∑-=--+=4

423

3)(2

1n k N jn n j n

j e e e

π

π

π

∑∑=++=--+=90

)23()32(490)23()32(42121n n

N j k N j n n k N j k N j e e e e π

πππππππ

)23()23()

3

2(4)23()23()

3

2(4112

1112

1

9

9k N

j k N j k N j k N

j k N j k N j e

e e e

e e πππππππππ

ππ

π+++---+-++-=

第三章 离散傅立叶变换

一、离散傅立叶变换定义 填空题

1．某DFT 的表达式是∑-==1

0)()(N k kl

M W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样

点之间的间隔是（ ）。 解：M π2

2．某序列DFT 的表达式是∑-==1

0)()(N k kl

M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度

是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 解：N M π2 判断说明题：

3．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ）

解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。 计算题

4．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）

（1）)()(n R a n x N n

= （2）)()(n nR n x N = 解：（1）因为)()(n R a n x N n

=，所以

k N

j N N n nk N

j

n ae

a e

a k X ππ

21

211)(--=---=

=∑

（2）由)()(n nR n x N =，得

∑-==1

0)()(N n N nk

N k R nW k X

∑-=+=1

)1()()(N n N k n N k N

k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1

)1(1

)()()1)((N n N k

n N N n nk N

k N

k R nW nW

W k X []

)

())1(()()1)2(2()1(321

1

)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k

N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++= )()(11)1(k NR k R W W N N N

k N k N -=?????

?--+--= 所以

)(1)(k R W N

k X N k

N

--=

5．计算下列序列的N 点DFT ：

()116P

（1）10,)(-≤≤=N n a n x n

（2）=)(n x ??

?

??nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k

N

N

k N NK N N N n nk N

n aW a aW W a W

a k X --=--==∑-=1111)(1

0，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=???

? ??+=??? ??=102221

0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π

π

π

π

????

?

??

--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N j m k j m k N j m k j e e e e π

πππ ????

? ??--+--=++-+-++-+-+-------ππ

ππππππππ)(1

)()()()()(1)()

()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e e

e e ()

()(

)

???

????

?+++

--=++--+-πππ

πππ)(1

)(1

)(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N

N j

m k N

N j

e

N

m k m k e

N m k m k 2

N

, k=m 或k=-m =

0, 其它

6．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X

（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210

k X W k Y k

=，求序列)(n y 解：（1）[]∑∑-==-+==1

9

10)5(2)()()(N n n nk

nk

N

W n n W

n x k X δδ =1+2k

W

510

=1+2k j

e

510

2π-

=1+2k )1(-，9,...,1,0=k

（2）由)()(210

k X W k Y k

=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即 ())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ

7、已知序列：102sin )(-≤≤??

?

??=N n n N n x ，π，求)(n x 的N 点DFT 。 解：)(k X kn

N j N n e

n N π

π21

2sin --=∑??? ??=

∑-=--???? ??-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π

π

π

∑-=+--???

? ??-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π

π

1,2

=-k N

j = 1,2

-=k N

j

0， 其它

8、计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。

（1）n

a n x =)( 10-≤≤N n

（2）{

}1,3,2,1)(--=n x 解：（1）()

∑∑-=-===1

1

)(N n n

k

N N n nk

N

n

aW W

a k X

()

k

N

N

k

N

N

k

N

aW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==3

4)()(n nk W n x k X

k k k k k k W

W W W W W W 34

2

4

342440432132--+=--+=

k k k j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k

三、离散傅立叶变换性质 填空题：

1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列

]

[])2[(4k R k x N -的值（ ）。

解：{}{}3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4=--===-k k x x x x k R k x N

2．已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的

5点循环卷积为（ ）。

解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ

{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x 3．已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。

解：?

?

???

?

??????-=?????????????????????????--------=??????????????????????

???734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]

3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h

证明题：

4．试证N 点序列()n x 的离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式

2

1

2

1

]

[1

][∑∑-=-==N m N k k X N n x

证：

∑∑

-=-==

1

2

1

][*][1

][1

N m N m m X m X N

m X N

2

10

10

*10

1

*

1

0*10

]

[][][][1

]

[)

][]([1∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=-=====N k N k N m mk

N N k N m N k mk N

k x k x k x W

m X N k x W

k x m X N

5．

)()(n X k x 和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：

)()(1

n x k X N

-?