广东中考数学压轴题
广东省汕头市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析
广东省汕头市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析广东省汕头市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020潮南.中考模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x +bx +c 经过点A （3，0）和点B （2，3），过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ， 且tan ∠CAO ＝．（1） 求这条抛物线的表达式及对称轴；（2） 连接AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当S ＝S 时，求点D 的坐标．~~第2题~~(2020龙湖.中考模拟) 如图，抛物线与轴交于A 、B 两点，与 轴交于点C ，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，－2），连接BC 、AD ．（1） 将矩形OBHC 绕点B 按逆时针旋转90°后，再沿轴对折到矩形GBFE （点C 与点E 对应，点O 与点G 对应），求点E 的坐标；（2） 设过点E 的直线交AB 于点P ，交CD 于点Q ．①当四边形PQCB 为平行四边形时，求点P 的坐标；②是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ADCB 的面积为1∶3两部分？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．~~第3题~~(2020澄海.中考模拟) 如图，已知在矩形ABCD 中，AD=10cm ，AB=4cm ，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为 （s ） ．连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、DF ．2△DBC △ADC（1） 求正方形PCEF的面积（用含 的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF 的面积为25 cm 时的值；（2） 设△DEF 的面积为（cm），求与之间的函数关系式，并求当 为何值时？△DEF 的面积取得最小值，这个最小值是多少？（3）求当 为何值时？△DEF 为等腰三角形．~~第4题~~(2020濠江.中考模拟) 如图，抛物线 与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点．（1） 求A ，B ，C 的坐标．（2） 如图2，连接BC ，AC ，在第三象限的抛物线上有一点D ，使∠DCA ＝∠BCO ，求点D 的坐标．（3） 在直线BC 上是否存在一点M 和平面内一点N ，使以N 、M 、B 、A 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第5题~~(2020潮阳.中考模拟) 如图，一次函数y=﹣4x ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别交于A、C 两点，抛物线y=的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B 。
2022中考数学压轴题-广东卷
2022中考数学压轴题-广东卷第22题12分，是道送分的几何题，这最后一道压轴题看着也没有太大的难度，12分，压轴题比较难的地区的同学们，扎心了。
（1）常规求解析式的问题，简单计算一下，就不多解释了；根据A坐标（1,0），以及AB=4可知B（-3,0）由两根之和可知b=2，两根之积可知c=-3则解析式y=x²+2x-3（2）△PCQ中没有一条边是横平竖直的，所以我们要找准三角形的底和高；毕竟有个PQ//BC，那么这个PQ可以当做底，当然如果用AQ当做底其实也行，我们这里选择PQ吧；既然有平行，就有线段比例，所以PQ还是可以用式子来表示的；若PQ为底，则高其实就是BC和PQ之间的距离，计算距离，这里平行线间的距离也就是垂线段，在垂直关系当中，可以想到的方法有勾股定理和三角函数，而这里BC是固定的，那么∠ABC也是固定的，所以借助三角函数还是比较容易想到的。
顶点C（-1，-4）我们假设AP长度为m，则BP=4-m由B和C坐标可知BC=2√5∴PQ/BC=AP/AB=m/4则PQ=√5/2·m而PQ和BC的距离可由BP长度以及∠ABC的三角函数来搞定不难知道tan∠ABC=2则sin∠ABC=2√5/5∴PQ和BC之间的距离h=BP·sin∠ABC=2√5/5·(4-m)则△PCQ的面积=PQ·h/2=√5/2·m·2√5/5·(4-m)·1/2=m（4-m）/2=-0.5（m²-4m）=-0.5（m-2）²+2∴当m=2时，△PCQ面积最大为2此时AP=2，P在AB之间，符合∴P坐标（-1,0），对应△PCQ面积最大值2；。
2024年中考数学终极押题密卷(广东卷)数学试题及答案
广东省（统考新题型）2024年中考（新题型）猜题卷02数 学注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分，考试时间120分钟．2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的考生信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共30分）一、选择题（共（共30分）分） 1．比3−大1的数是（ ） A ．4−B ．2−C ．2D ．42．2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（ ） A ．81.0210×吨B ．101.0210×吨C ．1010210×吨D ．70.10210×吨3．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列计算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．()22242a a a +=++ D ．()235a a −=6．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．347．不等式组426231x x −< +≥ ，的解集是（ ）A ．2x <B ．1x ≥−C ．12x −≤<D ．1x ≤−8．圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O 为圆心，r 为半径的圆，笛卡尔用222x y r +=来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P 连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（ ）A ．整体思想B ．归纳思想C ．换元思想D ．数形结合思想9．全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的43．设购进甲种品牌的自行车x 辆，根据题意列出的方程是（ ）A ．300003000050043x x =+ B ．300003000045003x x =×−C ．300003000045003x x =×− D ．300003000050034x x =− 10．某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建1m 宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为5m ，则绿化带的面积为（ ）A ．25mB ．()252πm +C ．()25πm +D ．()26πm +第二部分（非选择题 共75分）二、填空题（共15分） 11．因式分解：2a 2﹣8= ．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +−=的一个根是2，则另一个根的值是 ． 13．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，ABC 与'''A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，且ABC 与'''A B C 为位似图形，则位似中心的坐标为 ．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点,A B 不重合），过点C 作O 的切线交AB的延长线于点D ．若3,4BD CD ==，则O 的直径为 ．15．如图，在正方形ABCD中，4AB=，点E是CD边的中点，ABE∠的平分线交AD于点F，连接EF，则tan DEF∠的值为．三、解答题（共75分）16．（511)2sin605π−−−°+．17．（5分）解方程组：7 22 x yx y−=+=①②18．（5分）如图，已知B C∠=∠，AD平分BAC∠，求证：ABD ACD△≌△．19．（5分）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON．(1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________．20．（5分）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．21．（8分）推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；A组（0.5小时），B组（1小时），C组（1.5小时），D组（2小时）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)本次调查的学生人数是人；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小是；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校九年级有600名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数．22．（8分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意．恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态．如图，A ，B ，C 为该索道的三处支架，且AB BC =，从支架B 处看支架A 的仰角为22°，从支架O 处看支架B 的仰角为30°，支架A 到支架C 的竖直距离AD 为320m ，已知点A ，B ，C ，D 在同一竖直平面内，求CD 的长．（结果精确到1m ；参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.4°≈ 1.7≈）23．（10分）如图，一次函数()1110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()2220k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，C 为AB 的中点，4AOC S = ．(1)求2k 的值；(2)当2OB =，120y y >>时，求x 的取值范围．24．（12分）综合与探究羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．小华从场地左侧点A 距地面1m 处发球，球飞行过程中在点C 处到达最高点，并落在了场地右侧的点B 处，如图1所示（A ，B ，C 三点共线）．通过测量得知，A ，B 两点距离为8m ，A ，C两点距离为3m ．(1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；(2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m ．小明又通过测量得到点A 和点B 距离球场中线l （球网所在位置）的距离分别为4m 和2.4m ，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；(3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为6.7m ，假设小华站在点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．25．（12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD 和正方形AEFG 按如图所示的位置摆放，连接BE 和DG ，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE 上时，若AD =，求BE 的长． 【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形ABCD ∽菱形AEFG ，如图3，5AD =，6AC =，AG 平分DAC ∠，点P 在射线AG 上，在射线AF 上截取AQ ，使得35AQ AP =，连接PQ ，QC ，当4tan 3PQC ∠=时，直接写出AP 的长．广东省（统考新题型）2024年中考（新题型）猜题卷02数 学全解全析一、选择题（共（共30分）分） 1．比3−大1的数是（ ） A ．4− B ．2− C ．2 D ．4【答案】B【分析】本题考查了有理数的加法运算，理解有理数加法运算法则，根据题意列出算式计算即可．【详解】解：比3−大1的数为：312−+=−， 故选：B ．2．2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（ ） A ．81.0210×吨 B ．101.0210×吨 C ．1010210×吨 D ．70.10210×吨【答案】A【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：81.021.0210=×亿， 故选：A ．3．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形，轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形是绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意，故选：D．4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的方向：从正面看所得到的图形．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选B．5．下列计算正确的是（）A．325+=B．325a a a⋅=a a aC．()22+=++D．()235242a a a−=a a【答案】B【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．利用整式的运算法则计算每一个，根据计算结果得结论．【详解】解：32a a不能合并，故选项A计算错误；,325⋅=，故选项B计算正确；a a a()22+=++，故选项C计算错误；244a a a()236a a −=，故选项D 计算错误；故选：B ．6．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】A【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A 、B 、C 、D 表示，列表如下： 小明小颖A B C DA(),A A (),B A (),C A (),D AB(),A B (),B B (),C B (),D BC(),A C (),B C (),C C (),D CD(),A D (),B D (),B D (),D D由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种， ∴他们选择的诗人相同的概率为41164=， 故选：A ．7．不等式组426231x x −< +≥ ，的解集是（ ）A ．2x <B ．1x ≥−C ．12x −≤<D ．1x ≤−【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：426231x x −< +≥①② 解不等式①得：2x <，解不等式②得：1x ≥−，∴不等式组的解集为12x −≤<，故选：C ．8．圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O 为圆心，r 为半径的圆，笛卡尔用222x y r +=来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P 连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（ ）A ．整体思想B ．归纳思想C ．换元思想D ．数形结合思想【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平面直角坐标系使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，即可确定答案．【详解】解：用代数的方法研究几何问题，可知这种研究方法体现了数形结合思想， 故选：D ．9．全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的43．设购进甲种品牌的自行车x 辆，根据题意列出的方程是（ ）A ．300003000050043x x =+ B ．300003000045003x x =×− C ．300003000045003x x =×− D ．300003000050034x x =− 【答案】D【分析】本题考查了列分式方程；设购进甲种品牌的自行车x 辆，则购进乙种品牌的自行车34x 辆，用总价除以单价表示出购进自行车的数量，根据两种自行车的数量相等列出方程求解即可．【详解】设购进甲种品牌的自行车x 辆，依题意得300003000050034x x =− 故选：D ．10．某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建1m 宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为5m ，则绿化带的面积为（ ）A ．25mB ．()252πm +C ．()25πm +D ．()26πm + 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，首先根据题意得到1m AD BC MC GH GF DE ======，求出扇形ADE ，BCM ，GFH 正好拼成一个半径为1m 的圆，然后利用绿化带的面积2π1ADCB MCGH DEFG S S S +++×矩形矩形矩形求解即可．【详解】如图所示，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，根据题意得，1m ADBC MC GH GF DE ======，四边形ADCB ，DEFG ，GHMC 是矩形 ∴90ADC BCD MCG CGH DGF GDE ∠=∠=∠=∠=∠=∠=° ∴180AEDCDG ∠=°−∠，180BCM DCG ∠=°−∠，180FGH DGC ∠=°−∠ ∵180∠+∠+∠=°CDG DCG DGC∴360BCM ADE HGF∠+∠+∠=° ∴扇形ADE ，BCM ，GFH 正好拼成一个半径为1m 的圆，∴绿化带的面积2π1ADCB MCGH DEFG S S S +++×矩形矩形矩形2π1AD DC MC DC DE DC =⋅+⋅+⋅+×()2215π15πm =×+×=+． 故选：C ．二、填空题（共15分）11．因式分解：2a 2﹣8= ．【答案】2（a +2）（a －2）．【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】2a 2－8=2（a 2－4）=2（a +2）（a －2）．故答案为2（a +2）（a －2）．考点：因式分解．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +−=的一个根是2，则另一个根的值是 ．【答案】3−【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把2x =代入原方程，求出k 的值，进而再将k 的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．【详解】解：∵2x =是方程260x kx +−=的一个根， ∴22260k +−=， 解得：1k =，将1k =代入原方程得：260x x +−=， 解得：122,3x x ==−，∴方程的另一个根为3−．故答案为：3−．13．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，ABC 与'''A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，且ABC 与'''A B C 为位似图形，则位似中心的坐标为 ．【答案】()4,3−−【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接'A A ，'B B 并延长交于一点，交点即为所求．【详解】解：如图，连接'A A ，'B B 并延长交于一点P ，点P 即为所求．由网格图形可知，点P 的坐标为()4,3−−． 故答案为：()4,3−−．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点,A B 不重合），过点C 作O 的切线交AB的延长线于点D ．若3,4BD CD ==，则O 的直径为 ．【答案】73/123【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，如图所示，连接OC ，设O 的半径为r ，则OC OB r ==，3OD r =+，由切线的性质可得90OCD ∠=°，则由勾股定理可得()22234r r +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，设O 的半径为r ，则OCOB r ==， ∴3OD r =+，∵CD 是O 的切线，∴90OCD ∠=°， 在Rt COD 中，由勾股定理得222OD OC CD =+，∴()22234r r +=+， 解得76r =， ∴O 的直径为723r =， 故答案为：73．15．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点，ABE ∠的平分线交AD 于点F ，连接EF ，则tan DEF ∠的值为 ．【答案】33+【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作FG BE ⊥于点G ，由角平分线的性质可得AF FG =，再证Rt BGF ≌()Rt HL BAF ，推出4BG AB ==，AF GF =，设AF GF x ==，用勾股定理解Rt EDF 和Rt EGF ，求出x 的值，再根据tan DF DEF DE∠=即可求解．【详解】解：如图，作FG BE ⊥于点G ， 正方形ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点，∴90A C D ∠=∠=∠=°，4CD BC AD AB ====， 122CE DE CD ===， ∴BEBF 平分ABE ∠，FG BE ⊥，FA AB ⊥，∴AF FG =，在Rt BAF △和Rt BGF 中，AF FG BF BF = =， ∴Rt BGF ≌()Rt HL BAF ，∴4BG AB ==，AF GF =，∴4GE BE BG =−=，设AFGF x ==，则4FD AD AF x =−=−， 在Rt EDF 中，222DE DF EF +=，在Rt EGF 中，222EG FG EF +=， ∴2222EG FG DE DF +=+，即()()2222424x x +=+−， 解得2x =，∴()426FD =−=−∴tan 3DF DEF DE ∠=故答案为：3三、解答题（共75分）16．（5101)2sin 605π− −−°+ ． 【答案】4【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．【详解】解：原式125=−− 4=． 【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．17．（5分）解方程组：722x y x y −=+=①② 【答案】34x y = =− 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：722x y x y −= +=①②， ①+②得39x =，解得3x =．将3x =代入②，得4y =−．所以 34x y = =− ，． 18．（5分）如图，已知B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：ABD ACD △≌△．【答案】见解析【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出BAD CAD ∠=∠，根据AAS 即可证出答案． 【详解】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中B C BAD CAD AD AD ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABD ACD ∴ ≌．19．（5分）如图，点A 是∠MON 边OM 上一点，AE//ON ．(1)尺规作图：作∠MON 的角平分线OB ，交AE 于点B （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若∠MAE=48°，则∠OBE 的大小为________．【答案】（1）见解析；（2）156°【分析】（1）利用基本作图作OB 平分∠MON ；（2）先利用平行线的性质得到∠MON =∠MAE =48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB =24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA 的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE 的度数．【详解】解：（1）如图，OB 为所作；（2）∵AE∥ON，∴∠MON=∠MAE=48°，∵OB平分∠MON，∴∠NOB=12∠MON=24°，∵AB∥ON，∴∠OBA=∠NOB=24°，∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．20．（5分）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元【分析】本题主要考查了分式方程的应用等知识点，首先设第一家网店每支签字笔的单价是x 元，现在每支签字笔的价格是1.5x元，即可根据题意列出方程，解此分式方程即可求得答案，注意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【详解】解：设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是1.5x元，依题意得：606021.5x x=+，解得：10x=，经检验：10x=是原方程的解，答：第一家网店每支签字笔的价格是10元．21．（8分）推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；A组（0.5小时），B组（1小时），C组（1.5小时），D组（2小时）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)本次调查的学生人数是人；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小是；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校九年级有600名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数．【答案】(1)40，54°(2)画图见解析(3)不少于1.5小时的学生有330人【分析】(1)根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数；根据A组的学生人数以及总人数即可求得A组对应的圆心角的度数；(2)求出C组的学生人数，补全条形统计图即可；(3)利用用样本估计总体的计算方法列式计算即可求得．【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：1230%=40÷(人)；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小为：6360=54°×°，40故答案为：40，54°；（2）解：C 组的人数为：40-6-12-8=14(人)， 补全条形统计图如下：（3）解：14860033040+×=（人） 答：估计该校九年级每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数有330人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．（8分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意．恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态．如图，A ，B ，C 为该索道的三处支架，且AB BC =，从支架B 处看支架A 的仰角为22°，从支架O 处看支架B 的仰角为30°，支架A 到支架C 的竖直距离AD 为320m ，已知点A ，B ，C ，D 在同一竖直平面内，求CD 的长．（结果精确到1m ；参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.4°≈ 1.7≈）【答案】653m【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B 作BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，则四边形BEDF 是矩形，可得BF DE DF BE ==，，设m AE x =，则()320m BF DE x ==−，解Rt ABE △得到 2.7m AB x ≈，解Rt BCF 得到()6402m BC x =−，进而得到2.76402x x =−，解方程得到136m 184m AE BF ==，，再解直角三角形求出BE CF ，的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B 作BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，则四边形BEDF 是矩形，∴BF DEDF BE ==，， 设m AE x =，则()320m BF DE AD AE x ==−=−， 在Rt ABE △中， 2.7m sin AEABx ABE =≈∠，在Rt BCF 中，()6402m sin BF BC x C==−，∵AB BC =，∴2.76402x x =−， 解得136x ≈，∴136m184m AE BF ==，， 在Rt ABE △中，136340m tan 0.4AE BE ABE =≈=∠，在Rt BCF 中，313m tan BFCF C=≈， ∴653m CD DF CF =+=， ∴CD 的长约为653m ．23．（10分）如图，一次函数()1110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()2220k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，C 为AB 的中点，4AOC S = ．(1)求2k 的值；(2)当2OB =，120y y >>时，求x 的取值范围．【答案】(1)216k = (2)2x >【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，（1）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，证明ADC BOC ≌进而求出结论； （2）先求出()2,8A ，根据图象写出结论即可． 【详解】（1）解：过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ．点C 为AB 的中点，BC AC ∴=，又90BOC ADC ∠=∠=°；BCO ACD ∠=∠， ∴ADC BOC ≌， ∴DC OC =，设(),A x y ，点A 在第一象限， 则111142222x y x y ⋅=⋅=，即16xy =， ∴216k =．（2）因为2OB =， 所以()2,0B −，由ADC BOC ≌，得2ADOB ==， 所以，()2,8A ．当120y y >>时，x 的取值范围是：2x >． 24．（12分）综合与探究羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．小华从场地左侧点A 距地面1m 处发球，球飞行过程中在点C 处到达最高点，并落在了场地右侧的点B 处，如图1所示（A ，B ，C 三点共线）．通过测量得知，A ，B 两点距离为8m ，A ，C 两点距离为3m ．(1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；(2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m ．小明又通过测量得到点A 和点B 距离球场中线l （球网所在位置）的距离分别为4m 和2.4m ，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；(3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为6.7m ，假设小华站在点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．【答案】(1)()212531616y x =−−+ (2)小华此次击球不能飞过球网 (3)小华击球高度取值范围大于1916m 小于12731024m【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可；（2）连接AB ，交直线l 于点M ，分别过点A ，B 向直线l 作垂线，垂足分别为N ，P ，由ANM BPM △△∽求得M 的坐标为()5,0，再代入函数解析式即可；（3）设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为()21316y x k =−−+，直线AB 与场地右侧边线的交点为Q ，可求67,08Q，将()5,1.5，67,08分别代入，得到174k =，218491024k =，再将将0x =分别代入即可．【详解】（1）解：根据题意，得()0,1D ，()3,C b ，()8,0B ， 设此抛物线的解析式为()23y a x b =−+， 将点()0,1D ，()8,0B 代入，得19,025,a b a b =+=+解得1,1625.16a b=−=所以此抛物线的解析式为()212531616y x =−−+． （2）解：连接AB ，交直线l 于点M ，分别过点A ，B 向直线l 作垂线，垂足分别为N ，P ，如图所示．根据题意，得8AB =，4AN =， 2.4BP ． ∵,BP l AN l ⊥⊥， ∴BP AN ， ∴ANM BPM △△∽，452.43AM AN BM BP ∴===， 558AM AB ∴， 即点M 的坐标为()5,0．将点()5,0M 代入()212531616y x =−−+，得2116y =．2124 1.51616<=， ∴小华此次击球不能飞过球网．（3）解：∵小华仍从点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，∴设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为()21316y x k =−−+，直线AB 与场地右侧边线的交点为Q ．场地内边线距离场地中线的距离为6.7m，∴由（2）同理可得67,08Q．要求球越过球网且落在球场内边线内，∴将()5,1.5，67,08分别代入()21316y x k =−−+，得174k =，218491024k =．将0x =分别代入()211316y x k =−−+，()221316y x k =−−+， 得11916y =，212731024y =． ∴小华击球高度取值范围大于19m 16小于1273m 1024． 25．（12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD 和正方形AEFG 按如图所示的位置摆放，连接BE 和DG ，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE 上时，若AD =，求BE 的长． 【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形。
2024广东中考数学压轴题
2024广东中考数学压轴题一、在直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)，且与y 轴交于点C(0,3)。
下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 抛物线的对称轴是直线x = -1（答案：D）二、已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2 + b2 + c2 = 10a + 6b + 8c - 50。
则下列判断三角形ABC的形状中，正确的是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案：D）三、函数y = (x - 1)/(x + 2)中，当x的值增大时，y的值会：A. 一直增大B. 一直减小C. 在某个区间内增大，在另一个区间内减小D. 保持不变（答案：C）四、已知四边形ABCD是平行四边形，且AB = 6，BC = 8，对角线AC与BD相交于点O，则下列关于O点到AB和BC的距离d1和d2的说法正确的是：A. d1 + d2 = 14B. d1 × d2 = 24C. d1/d2 = AB/BCD. d12 + d22 = AB2 + BC2（答案：B）五、圆O的半径为5，点P在圆O外，且OP = 8。
过点P作圆O的两条切线，分别与圆O 相切于点A和B。
则弦AB的长度为：A. 6B. 4√3C. 5√2D. 2√15（答案：A）六、在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3。
若点C表示的数为x，且满足AC + BC = 8，则x的值为：A. -3或4B. -4或3C. -3或-1D. 2或-5（答案：B）七、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)。
下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 函数的顶点在x轴上（答案：A）八、正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且AE = 1。
广东省历年中考数学压轴题
广东省历年中考数学压轴题（1） 姓名：1．(2010年)阅读下列材料：)210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯,)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯，)432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，由以上三个等式相加,可得2054331433221=⨯⨯=⨯+⨯+⨯．读完以上材料，请你计算下各题:(1)1110433221⨯++⨯+⨯+⨯ （写出过程)； (2)=+⨯++⨯+⨯+⨯)1(433221n n ；（3)=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯987543432321 ．2．（2009年9分)小明用下面的方法求出方程032=-x 的解，请你仿照他的方法求出下面两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格，3．（2010年9分)某学校组织340名师生进行长途考察活动,带有行礼170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共有10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？A 2A A 1 BB 1B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7A 3A 4A 5 A 6A 7 O广东省历年中考数学压轴题（2） 姓名：4．(2007年9分)已知等边OAB ∆的边长为a ，以AB 边上的高1OA 为边，按逆时针方向作等边11B OA ∆,11B A 与OB 相交于点2A ．(1）求线段2OA 的长；(2)若再以2OA 为边按逆时针方向作等边22B OA ∆，22B A 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33B OA ∆，44B OA ∆，…,n n B OA ∆ （如图)。
求66B OA ∆的周长．5．(2005年9分）如图，已知半圆O的直径AB=4,将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点,连接AD、BC交于点E。
广州中考数学压轴题(学生版)
1．如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线1交x 轴于点B 。
P 为线段上一动点，作直线⊥，交直线1于点C 。
过P 点作直线平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线1于点N 。
（1）当点C 在第一象限时，求证：△≌△；（2）当点C 在第一象限时，设长为m ，四边形的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段上移动时，点C 也随之在直线1上移动，△是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。
说明：●考查字母运算能力 ● 分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ●2.关于x 的二次函数y ＝2＋(k 2-4)x ＋22以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．(1)求此抛物线的解析式(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作垂直x 轴于点B，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作垂直x 轴于点C, 得到矩形．设矩形的周长为C ，点A 的横坐标为x ，试求C 关于x 的函数关系式；(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．x 第1题图 第2题图说明：●考查字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性3.如图所示, 在平面直角坐标系中, 矩形的边长、分别为12、6, 点A、C 分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线2经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿边以1的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿边以2的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如第3题图果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.说明：●图形必须准确，存在性问题如果不会做，可通过画图判断（答存在得分的机会大得多）4．已知二次函数2＋＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.（3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？说明：●考查画图能力和字母运算能力 ●分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ● 方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性5．如图示已知点M 的坐标为（4，0），以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象（2）过C 点作⊙M 的切线，求直线的解析式．说明：●图形必须准确，画切线后巧妙解法是利用两直线平行，K 相等 ●易错点为漏解（过圆外一点作圆的切线有两条） ● 两直线垂直，K 互为负倒数可以使用6.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆的面积;第5题图（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式；（3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式；（4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？说明：●考查画图能力和字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，在设未知数或用字母表示未知量时，要充分发挥“勾股、相似、锐角三角函数”的作用，挖掘题目中的特殊角（特殊比值）来巧妙运算7.在△中，∠Ａ＝90°，＝４，3，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作∥交于点N. 以为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形，令. 当x为何值时，⊙O与直线相切？8.如图，直线334y x=+和x轴y轴分别交与点B、A，点C是的中点，过点C向左方作射线⊥y轴，点D是线段上一动点，不和B重合，⊥于点P，⊥于点E，连接。
广东中考数学2023压轴题
广东中考数学2023压轴题
题目
一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后，又以每小时80公里的速度行驶了2小时。
求这段行程的平均速度是多少？
一个长方形花坛的长是12米，宽是8米。
现在要在花坛四周围上一圈砖，每块砖的边长是0.5米。
问需要多少块砖？
一条绳子长120米，现在要将其分成3段，第一段比第二段长10米，第二段比第三段长20米。
求每段绳子的长度。
甲、乙两个水果摊位上的苹果和橙子的价格比例是3:2。
现在甲摊位上苹果的价格是每斤6元，乙摊位上橙子的价格是每斤4元。
问甲、乙两个摊位上苹果和橙子的价格分别是多少？
一个三角形的两边长分别是5厘米和8厘米，夹角的正弦值是0.6。
求这个三角形的面积。
挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)
03挑战压轴题（解答题一）(1)尺规作图：将法）；(2)在（1）所作的图中，连接V①求证：ABD②若tan BAC∠2．（2022·广东广州·统考中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD = 1.6m，BC =5CD．(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE = 1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设PAO V 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围；（3）作PAO V 的外接圆C e ，延长PC 交C e 于点Q ，当POQ △的面积最小时，求C e 的半径．(1)沿AC BC 、剪下ABC V ，则ABC V 是_______三角形（填“锐角______．(2)分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；2．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A ，B 重合），以CD 为边作等边EDC △，AC 与DE 交于点F ，连接AE ．(1)求证：ADF BCD △∽△；(2)若:5:2AB BD =，且20AB =，求ADF △的面积．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，9AB =，E 为AC 上一点，以AE 为直角边构造等腰直角AEF △（点F 在AB 左侧），分别延长FB ，DE 交于点H ，DH 交线段BC 于点M ，AB 与EF 交于点G ，连结BE ．(1)求证：AFB AED≅V V (2)当62AE =时，求sin MBH ∠的值．(3)若BEH △与DEC V 的面积相等，记△(1)当点D 与圆心O 重合时，如图2所示，求DE 的长．(2)当CEF △与ABC V 相似时，求cos BDE ∠的值．6．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）如图，矩形ABCD 中，8AB =厘米，12BC =厘米，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点，若点P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度沿AB 方向运动，同时，点Q 从点B 出发以2厘米/秒的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．(1)设PBQ V 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与BDC V 相似？7．（2021下·湖北随州·七年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程0x y -=的一个解11x y =⎧⎨=⎩可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程0x y -=的解为坐标的点的全体叫作方程0x y -=的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程0x y -=的图象称为直线0x y -=．直线x －y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x －y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x －y ＝0的上方区域内。
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（2017广东中考24）24.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=43,点E 为线段OB 上一点（不与O 、B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连结CB.
（1）求证：CB 是的平分线；
（2）求证：CF=CE;
（3）当43 CP
CF 时，求劣弧的长度（结果保留π）.
（2017广东中考24）25．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A 、C 的坐标分别是A(0,1)和C （23,0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连结BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE 、DB 为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B 的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不
存在，请说明理由；
（3）①求证：；
②设，矩形BDEF的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并求出的最
小值
（2016广东中考24）如图11，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO
的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC
（1）求证：△ACF ∽△DAE ；
（2）若=
4AOC S △，求DE 的长； （3）连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线.
图11
（2016广东中考25）如图12，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC=2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA 、OP.
（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？
（2）请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y =OPB S ，BP=x （0≤x ≤2），求y 与x 之间的函数D B A D
关系式，并求出y的最大值.
图12（1）图12（2）
（2015广东中考24）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O 的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B.
(1) 如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2) 如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC
是平行四边形；
(3) 如题24﹣3图；取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥A B.
（2015广东中考25）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 与Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC =∠ADC =90°，∠CAD =30°，AB =BC =4cm .
(1) 填空：AD = (cm )，DC = (cm )；
(2) 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 的方向运动，当N 点运动 到B 点时，M ，N 两点同时停止运动，连结MN ，求当M ，N 点运动了x 秒时，点N 到AD 的距离(用含x 的式子表示)；
(3) 在(2)的条件下，取DC 中点P ，连结MP ，NP ，设△PMN 的面积为y (cm 2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出这个最大值.
(参考数据：sin 75°=62+，sin 15°=62-)
（2014广东中考24）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）PF是⊙O的切线。
题24图
（2014广东中考25）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于
E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）。
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由。
B
题25—1图题25备用图。