北师大版八上1 探索勾股定理课时导 配套学案.docx
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过拼贴正方形来验证勾股定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-掌握勾股定理的证明方法，包括几何拼贴法和代数推导法，使学生能够从多角度理解定理的本质。
-学会运用勾股定理解决实际问题，如给定直角三角形两边长度，计算第三边的长度。
举例解释：
-通过具体的直角三角形图形，强调a²+b²=c²的关系，确保学生能够记住并理解这一核心公式。
-以图形为例，演示几何拼贴法，如何通过拼接正方形来证明勾股定理。
-给出实际例子，如房屋建筑中的直角三角形问题，引导学生运用勾股定理进行计算。
2.教学难点
-理解和掌握勾股定理的证明过程，尤其是代数推导过程中涉及到的平方概念和代数运算。
-在实际问题中识别和应用勾股定理，特别是在非标准直角三角形情况下，如何将问题转化为勾股定理的应用。
-对于空间想象力较弱的学生，理解直角三角形的几何性质和证明过程中的图形变换。
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理（教案）
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理 》教案
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教案一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容是八年级数学上册的开篇，主要让学生了解勾股定理的证明过程，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
教材通过引入古希腊人证明勾股定理的故事，引导学生学习运用几何图形和数学逻辑来证明这个重要的数学定理。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对几何图形的认知和推理能力有所提高。
但勾股定理的证明过程涉及到较复杂的逻辑推理，对学生来说是一个较大的挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习反馈，适时给予引导和帮助。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的证明过程，理解并掌握勾股定理的证明方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和探索精神，提高学生运用几何图形和数学逻辑解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探究的学习态度。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程及证明方法的掌握。
2.逻辑推理能力的培养，如何将问题转化为几何图形进行证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生思考和探索勾股定理的证明过程。
2.运用几何图形和数学逻辑，进行直观演示和推理，帮助学生理解和掌握勾股定理。
3.分组讨论和合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、几何图形等。
2.设计好教学问题和活动，准备好相关的解答和反馈。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入古希腊人证明勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣，引导学生思考和探索勾股定理的证明过程。
2.呈现（10分钟）呈现勾股定理的证明过程，运用几何图形和数学逻辑进行直观演示和推理。
在此过程中，关注学生的学习反馈，适时给予引导和帮助。
3.操练（10分钟）学生分组讨论和合作探究，运用几何图形和数学逻辑尝试证明勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的问题，并提供反馈。
4.巩固（10分钟）针对学生的证明过程，进行总结和点评，帮助学生巩固所学内容。
1.1探索勾股定理(第1课时)教学设计.doc
第一章勾股定理1.探索勾股定理（第1课时）一、学生起点分析二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是:1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系.4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：创设情境，弓I入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:第1页第2页会标中央的图案是一个与 勾股定理”有关的图形，数学家曾建议 用 勾股定理”的图来作为与 外星人”联系的信号.今天我们就来一同 探索勾股定理.（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1. 探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察，归纳发现:结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 长的正方形的面积.意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过 对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2•通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望 .2. 探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢? （1）观察下面两幅图:等于以斜边为边（2）填表:师应给予充分肯定.）学生的方法可能有:方法一: A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 去四个直角三角形的面积, （学生可能会做出多种方法，教如图1 ,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，第4页效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 3. 议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗? （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .如果用a ，b ，c 分别表示 直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2+b 2=c 2.数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形 中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定 理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三 角形三边关系，得到勾股定理.效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力; 过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容:例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处.大树在折断之前高多少?（教师板演解题过程） 练习:1基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2.生活中的应用:2.通2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a 2 +b 2 =c 2 ?小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什 么吗?意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活, 意在培养学生用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容第四环节：课堂小结内容: 教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上，师生共同总结:1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 +b 2 =c 22.方法：（1）观察一探索一猜想一验证一归纳一应用;(2) 割、补、拼、接”法.3.思想：（1） 特殊一一般一特殊; 意图: 效果: 结的意识.数形结合思想.鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总 第五环节：布置作业内容：布置作业：1.教科书习题1.1.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进步认识勾股定理的前提条件.效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思（一）设计理念依据学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时, 进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理.少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，贝恫胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。
八年级数学上册 1.1.1 探索勾股定理教 精品导学案 北师大版
探索勾股定理学科数学课题 1.1.1探索勾股定理授课教师教学目标1、探索直角三角形的三边的关系，发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
2 、经历用自然界现象以及数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，培养主动探索的思想。
重点了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
德育目标培养数形结合的思想，体会数学与现实生活的紧密联系，感受其价值。
难点领会勾股定理的内涵一、自主学习1、观察课本图1一2，并完成下列填空正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形 B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形 C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
思考：1、你是怎样得出上面结果的？2、图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？1一1中A、B、C的关系呢？图1一 3中，A 、B、C之间有什么关系？图1 一 4中，A 、 B 、C 之间有什么关系？从图 1一l 、 1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？教学过程课堂笔记二、互动导学一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：出示引例，让学生思考,如何把实际问题转换成数学问题？（引导学生画出数学图形）再发问：要求树的高，只要求出什么就可以了?导课：对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
二、出示学习目标1、能探索出勾股定理2、能用勾股定理解决简单的问题。
三、探究勾股定理：探究活动一：让每个同学在自己的练习本上画一个直角三角形，分别量出三边的长，看一看三边的平方之间有何关系？（四人一组进行讨论）以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
四、议一议你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
北师大版初二上册第一章探索勾股定理(导学案)
北师大版初二上册第一章探索勾股定理(导学案）学习目的：知识与技艺：1、阅历用数格子的方法探求勾股定理的进程，进一步开展先生的合情推力看法，自动探求的习气，进一步体会数学与理想生活的严密联络。
2、探求并了解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步开展先生的说理和复杂的推理的看法及才干。
进程与方法：让先生阅历〝观察—猜想—归结—验证〞的数学思想，并体会数形结合和特殊到普通的思想方法．情感态度与价值观：在探求勾股定理的进程中，体验取得成功的快乐；经过引见勾股定理在中国现代的研讨，激起先生热爱祖国，热爱祖国悠久文明的思想，鼓舞先生奋发学习教学重难点重点：了解勾股定理的由来，并能用它来处置一些复杂的效果。
难点：了解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系学习进程：一、情形导入2021年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与〝勾股定理〞有关的图形，数学家曾建议用〝勾股定理〞的图来作为与〝外星人〞联络的信号．明天我们就来一同探求勾股定理．二、自主学习探求活动一：〔1〕引导先生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．探求活动二：由结论1我们自然发生联想：普通的直角三角形〔3〕你是怎样失掉正方形C的面积的？与同伴交流．（4）剖析填表的数据，你发现了什么？结论2：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．三、构建新知〔1〕你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？〔2〕你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 〔3〕区分以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形依然成立吗？勾股定理：假设直角三角形两直角边长区分为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 例 如下图，一棵大树在一次剧烈台风中于离空中10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？四、课堂练习1、基础稳固练习：〔口答〕求以下图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的运用： 小明妈妈买了一部29英寸〔74厘米〕的电视机. 小明量了电弦股勾?225100x 17视机的屏幕后，发现屏幕只要58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你赞同他的想法吗？你能解释这是为什吗？五、归结总结1．这一节课我们一同窗习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？知识：勾股定理：假设直角三角形两直角边长区分为a、b，斜边长为c，那么22c2+.ba=方法：①观察—探求—猜想—验证—归结—运用；②面积法；③〝割、补、拼、接〞法.思想：特殊—普通—特殊；六、布置作业1．为迎接新年的到来，同窗们做了许多拉花布置教室，预备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，预备把拉花挂到2.4米的墙上，那么梯脚与墙角的距离应为__________米．2．如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，那么A，B两点间的距离为__________m．3．如图，阴影局部是一个半圆，那么阴影局部的面积为_____________．〔π不取近似值〕7254．底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为_______。
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理学案.docx
1.1探索勾股定理导学案【学习目标】1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
3、【学习重点】了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
【自学探究】阅读课本2-5页回答下列问题1、鱼角三角形的两条直角边的长度分别为a=3 cm, b=4 cm和a=6 cm, b=8 cm(1) (2)②、进行有关的计算。
(l)a2+b2= c2=(2)a2+b2= c2=③、得出结论：2、思考:（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1-1中三个正方形A, B, C的面积之间有什么关系吗？图1-2中的呢?（3）你能发现图1 — 1中三个正方形A, B, C围成的直角三角形三边的关系吗？（4）你能发现课本图1 — 3中三个正方形A, B, C围成的直角三角形三边的关系吗？（5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。
3、解决实际问题：例：已知一旗杆长为16m,由于台风，在C处折断,测得.旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，求旗杆折断处离地面的高度（BC）的长。
【练习】1、平静的湖面有一支红莲，高出水面Im,阵阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面, 已知红莲移动的水平距离为2m,问：此处水有多深？2、如图，滑杆在机械槽内运动，ZACB 为直角，底端B 到C 点的距离为0.7m,,若滑杆上端下滑0.4m 至点E,则底端沿水 平方向外滑0.8m 至点D,求滑杆的长度【随堂练习】1、 P5随堂练习1、22、 求出下列直角三角形中未知边的长度。
3、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积【巩固练习】1. 在AABC 中，ZC = 90° , (1)若 a=5, b = 12,贝U c =2. 等腰AABC 的腰长AB = 10cm,底BC 为16cm,则底边上的高为 ____ ,面积为3. A ABC 中，AB=15, AC=13,高 AD = 12,则 AABC 的周长为（）A. 42B. 32C. 42 & 32D. 37 & 334. 一个抽屉的长为24cm,宽为7cm,在抽屉里放铁条，铁条最长能是多少？ 6(2)若 c=41, a=9,贝b8(1)【延伸拓展】1、.已知四边形ABCD中，AD〃BC, ZA=90° , AB=8, AD=4, BC = 6,则以DC为边的正方形面积为—2、.在AABC 中，ZACB = 90° , AC=12, CB=5, M、N 在AB 上且AM=AC, BN=BC 则MN 的长为（）A. 2B. 26C. 3D. 4 3、在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只爬下树走到离树20m处的池「塘A处，另一只爬到树顶D后直接沿AD跃到池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高？4、如图，A ABC 中，AD 丄BC 于D, AB=13, BC=14, AC=15,求AD的长5、数学理解3。
北师大版初中数学八年级上册《1探索勾股定理探索勾股定理》赛课导学案_3
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理 1.1 探索勾股定理（第 2 课时）一、教学目标1. 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题。
2. 在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。
3. 在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。
二、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题。
教学难点：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，自然渗透德育教育。
三、教学方法（1）启发探究（2）结合教学内容自然渗透德育教育四、教学用具多媒体课件，8 个全等的直角三角形五、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）毕达哥拉斯树展示，激趣引入；（二）历史回顾，增强爱国情感；（三）小组活动，拼图验证；（四）例题讲解，初步应用；（五）追溯历史，激发情感；；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸. 第一环节：毕达哥拉斯树展示，激趣引入给出并展示毕达哥拉斯树动态演示意图：通过漂亮的毕达哥拉斯树动态演示，展现给学生不一样的数学之美，让学生学会用发现美的眼光在数学的海洋里发现美、创造美、感受美。
第二环节：历史回顾，增强爱国情感国内调查组报告：用图2 验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周小组讨论得到两个图形:髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！ICM 2OQ2 Satvllile ConrsEBiicBM神呦和£加皿阳口f伽if 出也30 耘p. 2r 200?意图：介绍与勾股定理有关的历史，了解中国古代灿烂的文化，培养爱国主义情感和增强民族自豪感。
北师大版-数学-八年级上册-数学1.1探索勾股定理 导学案
1.1探索勾股定理学习目标、重点、难点【学习目标】1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程．2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系．【重点难点】1、 了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题．2、 勾股定理的发现．知识概览图勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2a 2=c 2-b 2 b 2=c 2-a 2新课导引【问题链接】 如右图所示的是正方形瓷砖拼成的地面的示意图，观察图中阴影部分，很显然，两个小正方形P ，Q 的面积之和等于大正方形R的面积，即AC 2+BC 2＝AB 2，这说明在等腰直角三角形ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方．在一般直角三角形中，两条直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?【点拨】 对于任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这就是本节要学习的．教材精华知识点1 勾股定理如图1-l 所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系：C 的面积＝B 的面积+A 的面积．现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2＝c 2．拓展 (1)由勾股定理的基本关系式a 2+b 2＝c 2还可得到一些变形关系式，如：a 2＝c 2-b 2＝(c +b )(c -b )，b 2＝c 2-a 2＝(c +a )(c -a )等．(2)在方格中，利用数格子计算面积的方法判断：①在钝角三角形中，三边长分别为a ，b ,c ，c 为最大边长，则a 2+b 2＜c 2；②在锐角三角形中，三边长分别为a ,b ,c ，则a 2+b 2＞c 2．直角三角形→勾股定理 变式知识点2 勾股定理的证明如图1-2所示，将四个全等的直角三角形拼成正方形．(1)如图l-2(1)所示，S正方形ABCD＝(a+b)2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．(2)如图l-2(2)所示，S正方形EFGH＝c2＝(a-b)2+4×12ab，所以c2＝a2+b2．如图1-3所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形．S梯形ABCD＝()2a b a b ++（）＝2×12ab+12c2，所以a2+b2＝c2．规律方法小结(1)数形结合思想：把问题中有关数的关系转化为图形的关系来解决．(2)方程思想：列方程解决问题．(3)割补方法：由图形的分割或补充，寻找题目中条件与结论的联系，进一步得出结论，．课堂检测基础知识应用题1、在△ABC中，∠C＝90°．(1)若a＝8，b＝6，求c；(2)若c＝41，b＝40，求a．2、如图1-4所示，某人欲横渡一条河，由于水流影响，实际上到达的地点C偏离欲到达地点B24 m，结果他在水中实际游了40 m，求该河流的宽度．综合应用题3、有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗?4、如图1-9所示，A，B两点都与平面镜相距4米，即AC＝BD＝4米，且A，B两点相距6米，即AB＝6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点的距离．5、如图1-10所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么买这块地毯需花多少元?探索创新题6、在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1-12（1）所示，根据勾股定理，得a2+b2=c2；若△ABC不是直角三角形，如图1-12（2）(3)所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2大小关系，并说明你的结论．体验中考1、已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为．2、如图l-13所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高线，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝cm．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查勾股定理及其变式的简单应用．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2．(1)∵a2+b2＝c2，∴c2＝a2+b2＝82+62＝64+36＝100，∴c＝10．(2)∵a2+b2＝c2，∴a2＝c2-b2＝412-402＝(41+40)(41-40)＝81，∴a＝9，规律．方法已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是弄清已知什么边长，求什么边长，用平方和还是用平方差．若用平方差，则注意运用平方差公式，使计算简便．2、解：如图1-4所示，∵∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得AB2＝AC2-BC2，即AB2＝402-242＝1024，∴AB＝32，∴该河流的宽度为32 m．3、分析由于木棒长为70 cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．理由如下：如图l-6所示，连接A1C1，AC1，在Rt△A1B l C l中，A1C12＝A1B l2+B1C12＝502+302＝3400．在Rt△AA1C1中，AC l2＝AA l2+A l C12＝402+3400＝5000，∵5000＞702，∴AC1＞70(cm)．∴70cm长的木棒能放入这个木箱中．【解题策略】解决此题的关键在于明确AC l的长即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力．4、分析解决此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解．解：作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于O点，则O点就是光的入射点，连接OB．∵AC＝BD，∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD＝12AB＝3米．在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，∴OB2＝32+42＝25，∴OB＝5(米)．即B点与入射点的距离是5米．【解题策略】勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用．5、分析从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC的长，竖直方向的长度和为BC的长，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC的长，再求AC+BC即可．解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝AB2-BC2＝52-32＝16，∴AC＝4(米)．∴地毯长度为AC+BC＝4+3＝7(米)，∴地毯的总面积为7×2＝14(平方米)，∴需花30×14＝420(元)．6、解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；若△ABC为钝角三角形(∠C为钝角)，则有a2+b2＜c2．理由如下：(1)当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a-x.根据勾股定理，得b2-x2＝c2-(a-x)2，即b2-x2＝c2-a2+2ax-x2,∴a2+b2＝c2+2ax．∵d＞0，x＞O，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．(2)当△ABC是钝角三角形时(∠C为钝角)，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设CD＝x，则BD2＝a2-x2．根据勾股定理，得(b+x)2+a2-x2=c2，即b2+2bx+x2+a2-x2＝c2，∴a2+b2+2bx＝c2．∵b＞0,x＞0,∴2bx＞0．∴a2+b2＜c2．【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列方程，休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想．体验中考1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长，显然要用勾股定理，不过第三边不一定是斜边，所以要分情况讨论．①当第三边为斜边时，32+42＝52，第三边长为5；②当4为斜边长时，42-32＝7故填52、分析在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝12BC＝12×6＝3(cm)．在Rt△ABD中，AD2＝AB2-BD2＝52-32＝16，∴AD＝4(cm)．故填4．规律·方法解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形，然后利用勾股定理求解．。
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1.1探索勾股定理（第一课时）
【学习目标】
1. 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形 的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.
2. 让学生经历“观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形•结合和特殊到一般的思想方法.
3. 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步•体会数学与现实生活的紧密联系.
4. 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学 生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.
【学习重点】探索勾股定理的来历
【学习难点】会应用勾股定理来进行解决简单问题
【学习过程】
第一环节：创设情境，引入新课
.内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大
会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股 定
理”的图来作为与“外星人”“联系的信号.今天我们就來一同探索勾股定理.
第二环节：探索发现勾股定理
1. 探究活动一
（1） 分别以3cm. 4cm 为直角边，做直角三角形，试图量出斜边的长度。
（2） 分别算出每条边边长的平方，你发现了什么规律？
结论1
2. 探究活动二
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢?
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流.（学生可能会
A 的面积 （单位面积）
B 的面积 （单位面积）
C 的面积 （单位
面积）
左图
右图
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/ C/ 、/ /
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/ \、/ / 、X / C/ 、、/ /
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做出多种方法，教师应给予充分肯
3…议一议
内容：（1）你能用直角三角形的边长d, b, c来表示上图中正方.形的而积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关.系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：
小组讨论：你发现哪些整数能构成勾股数?
第三环节：勾股定理的简单应用
例题如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树
•顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？
练习：
1.基础巩固练习：
求下列图形中未知止方形的而积或未知边的长度（口答）：
2.生活中的应用：
小明妈妈买了一部29 i.n （74 .cm）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm长和
46 CH宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
第四环节：布置作业
内容：布置作业：1.教科书习题1.1
2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a2^b2=c2。