新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测(三十九) 正切函数的性质与图象
课时跟踪检测（三十九） 正切函数的性质与图象
A 级——学考合格性考试达标练
1．当x ∈????－π2，π2时，函数y ＝tan |x |的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于x 轴对称
D ．无法确定
解析：选B 函数y ＝tan |x |，x ∈????－
π2，π2是偶函数．其图象关于y 轴对称．故 选B.
2．函数y ＝ tan x ＋1的定义域为( )
A.?
???k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.?
???k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) C.?
???k π－π3，k π＋π2(k ∈Z ) D ．???
?k π－π4，＋∞(k ∈Z ) 解析：选B 由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得x ∈?
???k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )．
3．已知函数f (x )＝3tan ?
???ωx －π4的最小正周期为π2，则正数ω＝( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选C ∵ω>0，∴T ＝πω＝π2
，∴ω＝2，故选C. 4．函数y ＝tan ????12
x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )
解析：选A 由函数周期T ＝π12
＝2π，排除选项B 、D ． 将x ＝2π3代入函数式中，得tan ????12×2π3－π3＝tan 0＝0.故函数图象与x 轴的一个交点为???
?2π3，0.故选A. 5．与函数y ＝tan ???
?2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2
B ．y ＝π2
C ．x ＝π8
D ．y ＝π8 解析：选C 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8
. 6．函数y ＝tan ???
?π4＋6x 的定义域为________． 解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24
(k ∈Z )． 答案：????
??x ??x ≠k π6＋π24，k ∈Z 7．函数y ＝tan ???
?2x ＋π4的单调递增区间是___________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2
，k ∈Z ， 解得k π2－3π8 ，k ∈Z . 答案：????k π2 －3π8，k π2＋π8，k ∈Z 8．函数y ＝tan ????x 2＋π4，x ∈? ???0，π6的值域是________． 解析：由0 π6得0 ?x 2＋π4≤tan π3， 即1 ?x 2＋π4≤ 3. 故填(1, 3 ]． 答案：(1, 3 ] 9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝tan 2x －tan x 1－tan x ； (2)f (x )＝x tan 2x ＋x 4. 解：(1)由?????x ≠k π＋π2（k ∈Z ），tan x ≠1 得 x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4 (k ∈Z )． 即定义域为??? ? ??x ??x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数定义域为???? ??x ??x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )tan[2(－x )]＋(－x )4＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )，所以函数是偶函数． 10．比较下列两个正切值的大小： (1)tan 167°，tan 173°； (2)tan ????－11π4，tan ? ???－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数． 所以tan 167° (2)因为tan ????－ 11π4＝tan π4， tan ? ???－13π5＝tan 2π5， 且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在? ???0，π2上为增函数， 所以tan π4 ???－13π5. B 级——面向全国卷高考高分练 1．函数y ＝3tan ????12 x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A.??? ?π6，0 B ．????2π3，－33 C.????－2π3，0 D ．(0，0) 解析：选C 因为y ＝tan x 的图象的对称中心为??? ?k π2，0，k ∈Z .由12x ＋π3＝k π2，k ∈Z ， 得x ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以函数y ＝3tan ????12x ＋π3的图象的对称中心是??? ?k π－2π3，0，k ∈Z .令k ＝0，得??? ?－2π3，0. 2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A ．??? ?－π4，π4 B ．????－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对 解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1. 即－tan 1≤tan x ≤tan 1. 3．已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )＝( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3 解析：选A 设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数． ∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0.故选A. 4．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4 ，则f ??? ?π4的值是( ) A ．0 B ．－33 C ．－1 D ． 3 解析：选A 由题意，可知T ＝π4，所以ω＝ππ 4 ＝4，即f (x )＝tan 4x ，所以f ????π4＝tan π＝0. 5．函数y ＝tan x 2 满足下列哪些条件________(填序号)． ①在? ???0，π2上单调递增； ②为奇函数； ③以π为最小正周期； ④定义域为???x ??? ??x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈? ???0，π2，则x 2∈????0，π4， 所以y ＝tan x 2在??? ?0，π2上单调递增正确； tan ????－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2 为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确； 由x 2≠π2 ＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确． 答案：①② 6．若tan x ＞tan π5 且x 在第三象限，则x 的取值范围是________． 解析：∵tan x ＞tan π5＝tan 6π5 ，又x 为第三象限角， ∴2k π＋6π5＜x ＜2k π＋3π2 (k ∈Z )． 答案：? ???2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z ) 7．设函数f (x )＝tan ??? ?x 2－π3. (1)求函数的定义域； (2)求不等式f (x )≤ 3的解集． 解：(1)根据函数f (x )＝tan ??? ?x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3， k ∈Z . 故函数的定义域为???? ??x ??x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式f (x )≤ 3，即tan ??? ?x 2－π3≤ 3， 所以k π－π2 ，k ∈Z ， 求得2k π－π3 ，k ∈Z ， 故不等式的解集为??? ?2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 8．设函数f (x )＝tan ??? ?x 2－π3. (1)求函数f (x )的最小正周期，图象的对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． 解：(1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12 ＝2π. 令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3 (k ∈Z )， ∴f (x )的图象的对称中心是??? ?k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，得x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，得x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，得x ＝－π3 . ∴函数f (x )＝tan ????x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是??? ?2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3 ，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期????－π3 ，5π3内的简图，如图所示． C 级——拓展探索性题目应用练 已知f (x )＝tan ????2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2 的φ值． 解：(1)法一：∵y ＝tan x 的最小正周期是π. ∴y ＝tan ??? ?2x ＋π3的最小正周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ??? ?????2x ＋π3＋π ＝tan ????2? ???x ＋π2＋π3＝tan ????2x ＋π3， 即f ? ???x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的最小正周期是π2 . (2)∵f (x ＋φ)＝tan ??? ?2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2 (k ∈Z )， ∴φ＝k π4－π6 (k ∈Z )． 令????k π4 －π6＜π2(k ∈Z )， 解得－43＜k ＜83 ，k ∈Z . ∴k ＝－1，0，1，2. 从而得φ＝－5π12，－π6，π12，π3 .