倍长中线法(加倍法)课件
全等三角形辅助线之倍长中线法
可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C
初中数学倍长中线法课件模板
方便教师共享和交流：提供一个 可共享的课件模板方便教师之间 进行交流和合作共同提高教学质 量。
倍长中线法介绍
倍长中线的定义
定义：倍长中线法是一种几何证明方法 通过延长给定线段的中线构造新的三角 形并利用中线的性质进行证明。
适用范围：适用于证明与中线有关的线段 比例、角度相等等问题。
步骤：首先找到要证明的三角形中的中线 然后延长该中线构造新的三角形最后利用 中线的性质进行证明。
理解和记忆
总结页作用： 帮助学生回顾 整个课件内容 加深对知识点 的理解和掌握
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课件模板介绍
课件模板内容
课件模板标题：初中数学倍长中线法课件模板
定义：倍长中线法是一种通过延长中线来构造全等三角形的证明方法。
适用范围：适用于证明与中点、中线相关的三角形全等问题。
步骤：首先找到中点然后通过倍长中线来构造全等三角形最后利用全等三 角形的性质进行证明。 注意事项：在倍长中线时需要注意线段的平行性和相等性确保构造的全等 三角形是正确的。
练习题页
练习题目的难度和数量要适中 练习题目要覆盖所有知识点 练习题目要有解题思路和答案 练习题目要注重实际应用和情境模拟
全等三角形辅助线之倍长中线法
全等三角形辅助线之倍长中线法(总20页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，AD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AE举例：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF．F EDCBA 321MA BCD EF1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AE D CB AF EDBAGFE DB AGDAFE DCB A7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） 典型题型 1. 解：（1）如图，（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD21BCDA在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴53<AE <5+3∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC21EDCBA∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CDCB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中321AFG 321MABCDEFFE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG CG=5 =7. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形M2134GFDA在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少G FEAD BC【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（作业）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAEA D CEFA B DCE F？？GG？？FECDBA ？？FE CD B A A B DCE F？？G∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CDD CBAF E DCBAFEB AG FED CBADA的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21ECDB A 21ECDB A DBA相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等． 2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS角2. 证明略DCB A。
倍长中线法
倍长中线法(经典例题)2(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBE AB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠FEA B C DA BFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC于T ，过D 作DE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
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总结回顾
① 边上“中点”，联想倍长中线法作相关辅助线求解 ② 倍长中线法只是解题的第一步，找准全等三角形、平行四边形，注重内错角、同旁内角、对顶
角、等边等角的转化 ③ 掌握三种基本辅助线模型，根据实际已知条件灵活运用，作垂线、平行线是倍长中线法的补充
A
B D
E
多观察
C
B
A
F
DCB来自E多尝试A M
D
C
例三: 已知AD是 △ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°, 试探究线段AD与EF 的位置关系,并加以证明
E
F A
B
D
C
11
实战演练
例三: 已知AD是 △ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°,
试探究线段AD与EF 的位置关系,并加以证明
E
∠BDA +∠EDF=∠ADF 且∠BDA=∠BAD（已知） ，∠ABD=∠EDF（内错角相等） ∴∠ADC=∠ADF
∵ AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DF
∴△ADC≌△ADF（SAS），∠C=∠BAE
解题要点： 延长中线AE，构造平行四边形。利用已知条件，证明全等。
A
B
E
D
F
C
10
实战演练——探究线段位置关系
A E
B
F
D
C
14
实战演练
G
A E
F
D
B
C
小结： 倍长中线法只是解题的第一步！注重把握中点与直角三角形相关定理的 结合，以及等边等角、对顶角相等相互转化的应用。
15
实战演练—— 一题多解
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE A
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D
B
F
C E
16
实战演练
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
解法一: 过点D作DM∥AC，交BC于M ∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB
∠B=∠DMB ∴BD=DM 在△DMF和△ECF中 ∠MDF=∠E DF=EF ∠MFD=∠CFE（对顶角相等） △DMF≌△ECF(ASA） 可得DM=CE ∵BD=DM ∴BD=CE
A
D
B MF
C
E
17
实战演练
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
解法二: 过点E作EG∥AB，交BC的延长线于点G ∵EG∥AB ∴∠B=∠G ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又∵∠ACB=∠ECG ∴∠G=∠ECG，CE=GE 在△BDF和△GEF中 ∠B=∠G ∠BFD=∠EFG DF=EF △BDF≌△GEF(AAS) GE=BD ∵CE=GE ∴BD=CE
C
∵ BM=AF ∠EAF=∠ABM
M
AB=EA
得△EAF≌△ABM
12
实战演练
例三: 已知AD是 △ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°, 试探究线段AD与EF 的位置关系,并加以证明
∠BAD=∠NAF ∠EAN=∠DAC 延长线构造的对顶角相等
∵∠DAC=∠DMB（两直线平行，内错角相等） ∠AEF +∠EAN= ∠ ANF ∠FAN+∠EFA = ∠ANE ∠ ANF+ ∠ANE=180°
解：
倍长中线法
几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。
2024年九年级中考数学项复习：倍长中线模型(1)课件
（2）如图④，在AB上任取一点M，连接MD，延长MD至点N，使DN＝MD，连接CN.
1.[一题多辨]（1）如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AB
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 DE＝2AM ，位置关系是 DE⊥AM .
【探究证明】
（2）将图①中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图
②，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？请说明理由.
解：仍然成立.线段DE与AM之间的数量关系是
DE ＝ 2AM. 线 段 DE 与 AM 之 间 的 位 置 关 系 是
几何部分的常用模型
倍长中线模型
学习目标：
1.梳理全等三角形和相似三角形的判定和性质定理，
选择合适的方法解决问题；
2.理解倍长中线模型，进行过程的推导；
3.总结利用倍长中线模型解决问题的注意事项，发展
几何直观、数学抽象、数学建模核心素养。
模型解读
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中
△ABC的面积是 8 .
2.如图，在△ABC中，D为BC边的中点，分别以AB，AC为
直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE＝∠ACF＝30°，
连接EF，若AD＝2 ，则EF＝
4 .
3.（2021·烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按图①所示放置，点E，
F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N.
线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全