2017年全国中学生数学能力竞赛(初赛)试题(七年级)
2017年数学竞赛初中初赛答案
伊
1 006 1 007
伊…伊
2 004 2 005
伊
2 005 2 006
……………………………… 2 分
= 2 伊（1 + 2 + 3 + … + 2 005 + 2 006）
4分
= 2 006 伊 2 007
5分
= 4 026 042.
6分
14.（员）设爸爸追上乐乐用了 x 分钟援由题意列方程，得
5分
所以甲说的“801 班得第四”是对的；则丙说“803 班得第三”的对的；乙说“802 班得冠军”是对的.所以 804 班
是亚军.
9分
四、一鼓作气（本大题共 2 道小题，17 题 12 分，18 题 12 分，总计 24 分）
17. 当 a > 1 时，a >
1 a
；
1分
当 a = 1 时，a =
1 a
；当 a = 0 时，1a
不存在，没法比较；当 0 < a
< 1 或 a < -1 时，a <
1 a
.
12 分
18.（1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 y m3.
1分
嗓 由题意，得
12 12
000 000
+ +
20x 15x
= 16 伊 20y， =（16 + 4）伊 15y.
9分
所以 a + b + c + d = 45，俞
11 分
将俞代入虞，愚，舆，余得
a = 3，b = 9，c = 12，d = 21，
13 分
所以 d - a = 21 - 3 = 18.
2017年全国初中数学联合竞赛试题(pdf版,含答案)
D．4．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
若 a ＝2，由 ab 6 可得 b 2 或 3， b 2 时可得 c 4 ， b 3 时可得 c 5 （不是整数）； 2
若 a ＝1，则 bc 2(1 b c) ，于是可得 (b 2)(c 2) 6 ，可求得 (a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，
若 b ＝6，则 (a 9)2 0 ，解得 a 9 ，此时 c 18 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 7 页）
因此， a 9 ， b ＝6， c 18 ，故 a2 b2 c2 ＝441.
5．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 BAD ACB 180，且 BC 3，AD 4 ，
（2）以 a 2,b 3,c 4 为边长可以构成三角形，但以 a2 4,b2 9,c2 16 为边长的三角形不存在；
（3）因为 a b c ，所以 | a b | 1 a b 1,| b c | 1 b c 1,| c a | 1 a c 1 ，故三条边中 | c a | 1 大于或等于其余两边，而（| a b | 1）（| b c | 1）（a b 1）（b c 1）=a c 11 a c 1 | c a | 1 ，故
2
4
2
设 m 是最接近 n 的整数，则| m n | 1 ， m 1. 2
易知：当 m 1时，| m n | 1 (m 1)2 n (m 1)2 m2 m 1 n m2 m 1 .
2017年全国初中数学联合竞赛试题一试a
2017年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）（3月26日上午8﹕30——9﹕30）考生注意：1. 本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.2. 用圆珠笔或钢笔作答.3. 解题书写不要超出装订线.一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．已知实数,,a b c 满足213390a b c ，3972a b c ，则32b c ab＝（）A. 2．B. 1．C. 0．D.1．2．已知△ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下三个结论：（1）以,,a b c 为边长的三角形一定存在；（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1a b b c c a 为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为（）A ．0． B．1． C．2． D．3．3．若正整数,,a b c 满足a bc 且2()abca bc ，则称(,,)a b c 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1． B．2． C ．3． D．4．4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BADACB ，且3BC ，4AD ，5AC ，6AB ，则DO OB ＝（）A.109． B.87． C.65． D.43．得分评卷人市（区、县）学校姓名性别准考证号_________________________（密封装订线内不要答题）一试分二试分总分计分人2017年全国初中数学联合竞赛试题第一试(A) 第1页（共2页）5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足BAF CAE .已知15BC，6BF，3BD，则AE ＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．6．对于正整数n ，设n a 是最接近n 的整数，则1232001111a a a a （）A.1917． B. 1927． C.1937．D.1947．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.1．使得等式311aa 成立的实数a 的值为_______．2．如图，平行四边形ABCD 中，72ABC ，AF BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若2DE AB ，则AED ＝．3．设,m n 是正整数，且mn .若9m 与9n的末两位数字相同，则m n 的最小值为．4．若实数,x y 满足3331xyxy ，则22xy 的最小值为．（密封装订线内不要答题）得分评卷人2017年全国初中数学联合竞赛试题第一试(A) 第2页（共2页）E FCADB。
2017年数学竞赛初中决赛
3分 8分 10 分 12 分 1分
2分 （2） ∵A ， B 所对应的数分别是-8， 7， M， N 所对应的数分别是 m， m + 3.∴A N = （m + 3）-（-8） = m + 11 ， BM = 7 - m . 3分 有 m + 11 ≤ 0， ①当 m ≤ -11 时， 7 - m > 0. 得-m - 11 = 2 （7 - m） ， 解得 m = 25. ∴A N = m + 11 = -m - 11， BM = 7 - m = 7 - m.由 A N = 2BM， 舍去. ∵m ≤ -11， ∴m = 25 不合题意， 5分 有 m + 11 > 0， ②当-11 < m ≤ 7 时， 7 - m ≥ 0.∴A N = m + 11 = m + 11， BM = 7 - m = 7 - m.由 A N 得 m + 11 = 2 （7 - m） ， 解得 m = 1. = 2BM， 7分 有 m + 11 > 0， ③当 m > 7 时， 7 - m < 0.∴A N = m + 11 = m + 11， BM = 7 - m = m - 7.由 A N = 2BM， 得 m + 11 = 2 （m - 7） ， 解得 m = 25. 9分 综上所述： 当 m = 1 或 m = 25 时， 10 分 A N = 2BM. （3） PQ 的值不发生改变. 11 分 设 P， Q 表示的数为 a， b .∵ 点 P 为 A N 的中点， ∴ A P = NP. 点 A， ， ①当点 N 在点 A 右侧时， N 表示的数分别为-8， m + 3.∴A P = a -（-8） NP =（m + 3）- a， ∴a -（-8）= （m + 3）- a， 解得 a = m - 5 .同理可得， b = m + 7 .∴PQ = b - a = m + 7 - m - 5 = 6. 13 分 2 2 2 2 同理可得， ②当点 N 在点 A 左侧时， PQ = 6. 14 分 恒为 6. ∴PQ 是值不发生改变， 15 分 六、 马到成功 （本大题总计 15 分） 因此当只裁剪长为 0.8 m 的用料时， 最多可剪 7 根； 20.（1） ①6 ÷ 0.8 = 7……0.4， 1分 （6 - 2.5）÷ 0.8 = 4……0.3， 因此当先剪下 1 根 2.5 m 的用料时， 余下部分最多能剪 0.8 m 长的用料 4 根； ② 2分 （6 - 2.5 × 2）÷ 0.8 = 1……0.2， 因此当先剪下 2 根 2.5 m 的用料时， 余下部分最多能剪 0.8 m 长的用 料 1 ③ 根. 3分 故答案为 7， ， 4 1. （2） 设用方法②剪 x 根， 方法③裁剪 y 根 6 m 长的钢管， 4分 x + 2y = 32， x = 24， 由题意， 得 解得 6分 4x + y = 100. y = 4. 答： 用方法②剪 24 根， 方法③剪 4 根 6 m 长的钢管. 7分 （3） 设方法①裁剪 m 根， 方法③裁剪 n 根 6 m 长的钢管， 8分 7m + n = 100， m = 12， 由题意， 得 解得 10 分 2n = 32. n = 16. ∴m + n = 28.∵x + y = 24 + 4 = 28， ∴ m + n = x + y. 11 分 设方法①裁剪 a 根， 方法②裁剪 b 根 6 m 长的钢管， 12 分 ， ， 7a + 4b = 100 a = -4 由题意， 得 解得 （无意义） 14 分 b = 32. b = 32. 所需要 6 m 长的钢管与 （2） 中根数相同. 15 分 ∴ 方法①与方法③联合，
2017年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝ ，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。
2017年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2． 设 O是 锐 角 三 角 形 ABC的 外 心 ， D,E分 别 为 线 段 BC,OA的 中 点 ，
,
，则
_________.
3.题目与（A）卷第 3题相同. 4.题目与（A）卷第 4题相同
第二试 （A）
一、（本题满分 20分）已知实数 x,y满足 x+y=3，
，求
的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，AB AC， BAC 45，E是 BAC的 外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F在AB 上且EF AB.已知AF 1，BF
1．已知二次函数 y ax2 bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函
数
y a3x2 b3x c3 的图象与x轴的交点个数为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．不确定．
2．题目与（A）卷第1 题相同.
3.题目与（A）卷第3 题相同.
4．已知正整数a,b,c满足 a2 6b 3c 9 0， 6a b2 c 0，则a2 b2 c2
CB的延长线上， 满足
.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE＝ （ ）
A.
B.
C.
D.
6．对于正整数 n，设 an是最接近 的整数，则
A.191/7
B．192/7
C．193/7
（） D．194/7
二、填空题（本题满分 28分，每小题 7分） (本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1．使得等式
2017 年全国初中数学联合竞赛试题
2017年3月26日（星期日）上午8：30－11：30
第一试(A)
一、选择题（本题满分 42分，每小题 7分） (本题共有 6个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案，其中有且仅
2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝ （ ）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解 在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分 所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解 显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解 设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++＝ （ ）A. 2．B. 1．C. 0．D. 1-． 【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90a b b c +++=，3(2)(3)72a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以32b ca b+=+ 1.2．已知△ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下三个结论：（1 （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3． 【答】C.不妨设a b c ≥≥，则有b c a +>.（1）因为b c a +>，所以b c a ++，即22>>边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4a b c ===为边长可以构成三角形，但以2224,9,16a b c ===为边长的三角形不存在； （3）因为a b c ≥≥，所以||11,||11,||11a b a b b c b c c a a c -+=-+-+=-+-+=-+，故三条边中||1c a -+大于或等于其余两边，而||1||111a b b c a b b c -++-+=-++-+（）（）（）（）111||1a c a c c a -++>-+=-+=，故以||1a b -+，||1b c -+，||1c a -+为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且2()abc a b c =++，则称(,,)a b c 为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1． B ．2． C ．3． D ．4． 【答】C.若(,,)a b c 为好数组，则2()6abc a b c c =++≤，所以6ab ≤.显然，a 只能为1或2. 若a ＝2，由6ab ≤可得2b =或3，2b =时可得4c =，3b =时可得52c =（不是整数）； 若a ＝1，则2(1)bc b c =++，于是可得(2)(2)6b c --=，可求得(,,)a b c ＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）. 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ） A. 109． B. 87． C. 65． D. 43．【答】A.过B 作//BE AD ，交AC 的延长线于点E ，则180ABE BAD ∠=︒-∠ACB =∠，所以△ABC ∽△AEB ，所以AC BCAB EB=，所以 631855AB BC EB AC ⋅⨯===. 再由//BE AD ，得4101895DO AD OB BE ===.5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知15BC =，6BF =，3BD =，则AE ＝ （ ）A.B.C.．D.【答】B. 如图，因为BAF CAE ∠=∠，所以BAF BAE CAE BAE ∠+∠=∠+∠，即90FAE BAC ∠=∠=︒.又因为AD BC ⊥，故2AD DE DF DB DC =⋅=⋅.而639DF BF BD =+=+=，15312DC BC BD =-=-=，所以29312AD DE =⋅=⋅，所以6AD =，4DE =.从而AE ==6．对于正整数n ，设n a1232001111a a a a ++++= （ ） A.1917． B. 1927． C. 1937． D. 1947．【答】A.对于任意自然数k ，2211()24k k k +=++不是整数，所以，对于正整数n12一定不是整数.设m1|2m <，1m ≥. 易知：当1m ≥时，1|2m <⇔2211()()22m n m -<<+⇔221144m m n m m -+<<++.于是可知：对确定的正整数m ，当正整数n 满足221m m n m m -+≤≤+时，m即n a m =.所以，使得n a ＝m 的正整数n 的个数为2m .注意到2213131822001414210+=<<+=，因此，12200,,,a a a 中，有：2个1，4个2，6个3，8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147a a a a ++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．=a 的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(1a =.令x =，则0x ≥，且21a x =-，于是有322(1)(1)x x +=-，整理后因式分解得2(3)(1)0x x x -+=，解得10x =，23x =，31x =-（舍去），所以1a =-或8a =. 验证可知：1a =-是原方程的增根，8a =是原方程的根. 所以，8a =.2．如图，平行四边形ABCD 中，72ABC ∠=︒，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若2DE AB =，则AED ∠＝_______．【答】66︒.取DE 的中点M ，在Rt △ADE 中，有12AM EM DE AB ===.设AED α∠=，则1802AME α∠=︒-，18ABM α∠=-︒. 又ABM AMB ∠=∠，所以180218αα︒-=-︒，解得66α=︒.3．设,m n 是正整数，且m n >.若9m与9n的末两位数字相同，则m n -的最小值为 ． 【答】10.由题意知，999(91)mnnm n--=⋅-是100的倍数，所以91m n --是100的倍数，所以9m n -的末两位数字是01，显然，m n -是偶数，设2m n t -=（t 是正整数），则29981m nt t -==.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t 的最小值为5，从而可得m n -的最小值为10.4．若实数,x y 满足3331x y xy ++=，则22x y +的最小值为 ． 【答】12. 因为333322031()(1)333x y xy x y x y xy xy =++-=++---+ 22(1)[()()(1)(1)]3(1)x y x y x y xy x y =+-+-+⋅-+--+-B22(1)(1)x y x y xy x y =+-+-+++2221(1)[()(1)(1)]2x y x y x y =+--++++，所以1x y ==-或1x y +=. 若1x y ==-，则22x y +＝2. 若1x y +=，则22222111[()()][1()]222x y x y x y x y +=++-=+-≥，当且仅当12x y ==时等号成立.所以，22x y +的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)y ax bx c c =++≠的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数3233y a x b x c =++的图象与x 轴的交点个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定． 【答】C.因为二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有唯一交点，所以2140b ac ∆=-=，所以240b ac =≠.故二次函数3233y a x b x c =++的判别式323363623211()4(4)()1616b a c b ac b b ∆=-=-=-61516b = 0>，所以，二次函数3233y a x b xc =++的图象与x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4．已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++＝ （ ） A. 424． B. 430． C. 441． D. 460． 【答】C.由已知等式消去c 整理得22(9)3(1)75a b -+-=，所以23(1)75b -≤，又b 为正整数，所以16b ≤≤. 若b ＝1，则2(9)75a -=，无正整数解； 若b ＝2，则2(9)72a -=，无正整数解； 若b ＝3，则2(9)63a -=，无正整数解； 若b ＝4，则2(9)48a -=，无正整数解； 若b ＝5，则2(9)27a -=，无正整数解；若b ＝6，则2(9)0a -=，解得9a =，此时18c =.因此，9a =，b ＝6，18c =，故222a b c ++=＝441.5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝ （ ） A. 43． B. 65． C. 87． D. 109．【答】D.解答过程与（A ）卷第4题相同. 6．题目和解答与（A ）卷第5题相同. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，,D E 分别为线段,BC OA 的中点，7ACB OED ∠=∠，5ABC OED ∠=∠，则OED ∠＝_________. 【答】10︒.如图，设OED x ∠=，则5A B C x ∠=，7ACB x ∠=，DOC ∠=18012BAC x ∠=︒-，10AOC x ∠=，所以1802AOD x ∠=︒-，180(1802)ODE x x x ∠=︒--︒-=，所以1122OD OE OA OC ===，所以60DOC ∠=︒，从而可得10x =︒.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4. 题目和解答与（A ）卷第4题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知实数,x y 满足3x y +=，221112x y x y +=++，求55x y +的值. 解 由221112x y x y +=++可得2233222()x y x y x y x y xy +++=+++. 设xy t =，则222()292x y x y xy t +=+-=-，332()[()3]3(93)x y x y x y xy t +=++-=-，代入上式可得22(392)3(93)t t t t +-=-++，解得1t =或3t =. ……………………10分当3t =时，3xy =，又3x y +=，故,x y 是一元二次方程2330m m -+=的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意. ……………………15分当1t =时，1xy =，又3x y +=，故,x y 是一元二次方程2310m m -+=的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123x y x y x y x y x y t t t +=++-+=-⋅--=.……………………20分二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC >，45BAC ∠=︒，E 是BAC ∠的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB ⊥.已知1AF =，5BF =，求△ABC 的面积.解 在FB 上取点D ，使FD ＝AF ，连接ED 并延长，交△ABC 的外接圆于点G.由EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝1802︒-∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10分所以 AG BC =，所以 AC BG=，所以AC ＝BG. ……………………15分 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以BG ＝BD ，所以AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20分 △ABC 的AB边上的高sin 45h AC =︒=所以，△ABC的面积11622S AB h =⋅⋅=⨯⨯= ……………………25分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)a b ，使得34938ba =⨯+. 解 显然， 4938b⨯+为奇数，所以a 为奇数.又因为33493849385b a =⨯+≥⨯+>，所以5a >. ……………………5分 由34938b a =⨯+可得38493b a -=⨯，即22(2)(24)73ba a a -++=⨯. ……………………10分 设2(2,24)a a a d -++=，则d 为奇数.注意到224(2)(4)12a a a a ++=-++，所以|12d ，所以d ＝1或3. ……………………15分若d ＝1，则有2227,243,b a a a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩或2223,247,b a a a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩均无正整数解. ……………………20分若d ＝3，则有221237,243,b a a a -⎧-=⨯⎪⎨++=⎪⎩或12223,2437,b a a a -⎧-=⎪⎨++=⨯⎪⎩解得11a =，3b =.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，22211284a b c abc +++=，求c 的值.解 设a b x +=，ab y =，依题意有2212(16)(16)1284x y x y x -+-+-=，整理得 21(8)(8)8x y x -=-， 所以8x =或8(8)y x =-. ……………………10分（1）若8x =，则8a b +=，此时c ＝8.（2）若8(8)y x =-，即8(8)ab a b =+-，则(8)(8)0a b --=，所以8a =或8b =.当8a =时，结合a b c ≤≤可得24a b c ++≥，与16a b c ++=矛盾. 当8b =时，结合a b c ≤≤及16a b c ++=可得0a =，8c =.综合可知：8c =. ……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m ，使得21221m m --+是完全平方数.解 当m ＝1时，212211m m --+=是完全平方数. ……………………5分当1m >时，设212221m m n --+=（n 为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)m m m m m m ------+=⋅-⋅+=-+，故可得12122(21)(2)m m n ---+=， ……………………10分所以22212112(21)(21)(21)m m m m n n n ----=--=+--+. ……………………15分设121m x n -=-+，121m y n -=+-，则x y <，222m xy -=，所以,x y 均为2的方幂.……………………20分又22m y x -=-被4除余数为2，所以，只可能2x =，2m y =，故22222m m -⨯=，解得3m =.综上可知：满足条件的正整数m 有两个，分别为1和3. ……………………25分 三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.证明 由题设条件可知90AOD BOC ∠=∠=︒，又O A D O C B ∠=∠，所以△AOD ∽△COB ， ……………………5分所以OD AO OB CO =，从而OC AO OB OD=. ……………………10分 又AOC AOB BOC AOB AOD DOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以△AOC ∽△DOB ，所以OAC ODB ∠=∠. ……………………15分设AC 和BD 交于点P ，则90APD AOD ∠=∠=︒，所以AC DB ⊥， ……………………20分所以222222222222()()()()AB CD AP PB PD PC AP PD PB PC AD BC +=+++=+++=+. ……………………25分B。
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2017年全国中学生数学能力竞赛（初赛）试题
七年级（初一）组
（试题总分120分；答题时间120分钟）
一、画龙点晴 (本大题共8小题，每小题3分，总计24分) 1.假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出两滴水，每滴水约0.05毫升。
现在一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现未拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）毫升。
（用科学记数法表示，结果保留两个有效数字）
2.定义a *b ＝ab ＋a ＋b ，如3*5＝3×5＋3＋5＝23。
若3*x ＝27，则x 的值是（ ）。
3.如果a ，b 是互为相反数，c ，d 是互为倒数，x 的绝对值等于2，那么x 4＋cdx 2－a －b 的值是（ ）。
4.已知x ＝－1时，3ax 5－2bx 3＋cx 2－2＝10，其中a ：b ：c ＝2：3：6，那么a 2c
b 2＝（ ）。
5.盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的1
3，丙
再取走5个，这时还剩下3个。
则盒子里原有（ ）个小球。
6.方程x 2＋x 6＋x 12＋…＋x 2016×2017＝2016的解是x ＝（ ）。
7.如图所示是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上
的整式的值相等，则z＋y－x值是（）。
第7题图
如图，是一个正方体的展开图，标注字母“a”的面是正方体的正面。
如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，试求代数式的值。
8.下图完成后，每相邻的三个格子内中间的数是它左右两边数的平均数。
请问最右边的数是（）。
二、一锤定音（本大题共4道小题，每小题3分，总计12分）
9.设a<0，在代数式|a|，－a，a2017，a2018，|－a|，（a2
a
＋a），（a
2
a
－
a）中，负数的个数是（）。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－
1]＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则以下结论中正确的是（）。
A.[a]＋[－a]＝0
B.[a]＋[－a]等于0或－1
C.[a]＋[－a]≠0
D.[a]＋[－a]等于0或1
11.一片牧场上所有的草每天按相同的速度生长（即每天新长的草数量相同），已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完。
那么，若在120天里将草吃完，则需要（）头牛。
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
12.韩老师特制了4个同样的正方体，并将它们如图①放置，然后又如图②所示放置，则图②中四个正方体底面中的点数之和为（）。
A. 11
B. 13
C. 14
D. 16
第12题图
三、妙笔生花（本大题共4道小题，13题6分，14题7分，15题8分，16题9分，总计30分）
13. 计算：
1＋2＋3＋⋯＋2005＋2006
(1−
1
1004)(1−
1
1005)(1−
1
1006)(1−
1
1007)⋯(1−
1
2005)(1−
1
2006)
14. 乐乐每天早晨在7：30前赶到离家1千米的学校上学。
一天，乐乐以80米/分的速度从家出发去学校，5分钟后，乐乐的爸爸发现他忘记带语文书了，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追，并在途中追上了乐乐。
问：
(1) 爸爸追上乐乐用了多长时间？(请用列方程的方法解)
(2) 追上乐乐时，距离学校还有多远？
15. 若a，b，c为整数，且|a－b|19＋|c－a|99＝1，试计算|c－a|＋|a－b|＋|b－c|的值。
16.如果(2 x－1)6＝a0＋a1 x＋a2 x2＋a3 x3＋a4 x4＋a5 x5＋a6 x6，求下列两式的值。
（1）a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6；
（2）a0＋a2＋a4＋a6
四、一鼓作气（本大题共2题，17题12分，18题12分，总24分）
17.某租赁公司拥有100辆汽车，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一
辆，租出的车每辆每月公司需要维护费150元，未租出的车每辆每月公司需要维护费50元。
(1) 已知2月份每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
(2) 已知1月份的维护费开支为12900元，问该月租出了多少辆车？
(3) 请你比较1，2两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？
18.(1)按照规律填上第100组的数。
{1，－5，10}，{2，－10，20}，{3，－15，30}，…，{()，()，()}；
(2)将1，2，3，4，5，6填入下面表格内，使得每一行右边的数大于左边的数，且每一列下边的数大于上边的数，那么共有多少种填法？分别怎么填?
五、再接再厉（本大题总计15分）
19.有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17岁，则这四人中最大年龄比最小年龄大多少岁？
六、马到成功（本大题总计15分）
20.用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体。
（1）如图①所示，在顶面中心位置处，从上到下打一个边长为1厘米
的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为多少平方厘米？
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面的中心位置处（如图②所示），从前到后打一个边长为1厘米的正方形通孔，那么，打孔后橡皮泥的表面积为多少平方厘米？
（3）如果把第（2）题中，从前到后所打的正方形通孔扩成一个长x 厘米、宽1厘米的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为130平方厘米？如果能，请求出x；如果不能，请说明理由。