高二数学平面向量及其应用练习试题 百度文库
一、多选题
1．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??
=-
???
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．若a →，b →，c →
是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→
=，则a b →→
= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→
= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →
→
→
→
+=-，则a b →→
⊥ 3．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0?=?=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 4．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ??=??
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2
6．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
7．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =?
9．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11
22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+
10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ?=
D ．AB AC AB AC +=-
11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ?=?=?，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=
12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）
A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
14．如图，46?的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ?=的格点B 共有4个 15．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
17．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ?的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．()()
a b a b +⊥-
18．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（ ） A ．
23
π B ．
43
π C ．
6
π D ．
3
π
19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C
所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π??
∈ ???
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
21．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形
ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
22．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =
，c =45B =?，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D
．
41
23．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
24．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?
??
且1
2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
25．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）
A ．12
33AB AC -+ B ．
21
33
AB AC - C ．1233
AB AC -
D ．21
33
AB AC -
+ 27．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为
（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
28．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
4
5
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
29．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?
?-- ??
?
C ．31,2?? ???
D ．(8，－1)
30．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得
45BDC ∠=?，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）
A ．2
B ．106
C ．103
D ．10
31．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为
A ．33
)2
B ．3
(
3)2 C ．3(3]2
D ．3
(3)2
32．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
33．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ） A ．0
B 83
C ．-4
D ．4
34．如图，在ABC 中，14AD AB →
→=，12
AE AC →→
=，BE 和CD 相交于点F ，则向量
AF →
等于（ ）
A ．1277A
B A
C →→+
B ．1377AB A
C →→
+
C ．121414
AB AC →→
+ D ．131414
AB AC →→
+ 35．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）
A ．33A
B A
C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=-
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一、多选题 1．ACD 【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ?+=+?=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===
+?∣， 而向量的夹角范围为[]0,180??， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
2．ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同
解析：ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
3．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都
解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ?=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++?=
+，
(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b -=
-=+-?=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
4．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断
【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，
解析：BCD 【分析】
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180?，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ?
D ．由23CD CB =得22
33CD AB AC =-，
则23λ=，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
5．CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(
解析：CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】
对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ?=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2
2
a b b
?=
，错误；
对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=
(2m ?n )12
≤ (
22m n +)2
=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
6．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92
c B b c =?==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC.
【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
7．AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
8．AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
解析：AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=，即0a b ?=，可得a b ⊥，故A
正确；
()2
22
22a b a b a b +=++?=，可得2a b +=，故B 错误； ()
2
2
2
22a b a b a b -=+-?=，可得2a b -=，故C 正确；
由0a b ?=可得,90a b =?，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
9．ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三
解析：ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
10．BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故
解析：BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；
对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
?=??∠=??
=?=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
11．AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量
解析：AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ?=?，得0PB CA ?=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；
对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
12．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
13．ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，
解析：ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
14．BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以
解析：BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ?=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
15．AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =?-，解得：A B =或90A B +=? 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 17．D 【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算
()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得
1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.
对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，(
)()
2
2
220a b a b a b a b +?-=-=-=，所以，()()
a b a b +⊥-，D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 18．A 【分析】 根据题意得出
tan tan tan A B C
a b c
==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ?为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧
长. 【详解】
0a OA b OB c OC ?+?+?=，a b
OC OA OB c c
∴=--，
同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C
b B
c C ?-=-??∴??-=-??，
tan tan tan A B C
a b c
∴
==， 由正弦定理得
tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111
cos cos cos A B C
==， cos cos cos A B C ∴==，
由于余弦函数cos y x =在区间()0,π
上单调递减，所以，3
A B C π
===
， 设ABC ?的外接圆半径为R ，则22
sin a
R A
=
==，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133
R A ππ?=?=.
故选：A. 【点睛】
本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．C 【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin a B c ∴==0,2B π??∈ ???，
4
B π
∴=
.
由正弦定理，得
sin sin a A c C ==
，
3
sin cos sin 422C A C C C π???
∴==-=+? ?????
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 20．B 【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．B 【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】
2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.
设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 22．B 【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，42c =45B =?，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin b c
B C =求解. 【详解】
在三角形ABC 中， 1a =，42c =45B =?， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
2
1322142252
=+-??=， 所以5b =， 由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=， 所以
2
42sin 42sin 55
c B
C b
=
==， 故选：B 【点睛】