特殊位置平面与直线或平面相交
特殊位置平面与直线或平面相交概要
x e
a
k c
L
§5-2 相交问题
f
一、特殊位置平面与直线或平面相交
界
利用积聚性投影作图 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。
H 投影投
射方向
d' f' b' d k
l’
c'
上,可见
判别可见性：
根据空间位置关系判别。
e' a' x e a
k’
g'
下,不可见。
g o c
k
L
解题完毕
b
§5-2 相交问题
可见性判别：
a' c' k’ d'
方法2： 根据空间位置关系
b'
e' a d e k b o
A
C
D
x
K
E
B
后，不可见
界
前，可见
c
§5-2 相交问题
V 投影投
射方向
k
解题完毕
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。
分析：
平面P 为正垂面，交点的 V 投影已知；根据点在线上 的从属性，可求得交点的H 投影。
x
C
k
f
l
d
a b
c
k
l
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例3 求△ABC 与△DEF 两平面的交线。
判别可见性：
b' a' e' k’ e a f'
l’
根据空间位置关系判别。
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
4.2 相交问题
【例4-5】 (1)求交点，如图4-9(c)所示。
①在铅垂线的水平投影上标出交点的水平投影k。
②在平面内过K点的水平投影k作辅助线ad，并求出它的正面 a′d′。
③a′d′与m′n′的交点即交点的正面投影k′。
4.2 相交问题
【例4-5】
(2)直线的可见性可利用重影点法来判断。因为直线是铅垂线， 水平投影积聚为一点，故不需要判别其可见性，只需判别直线 正面投影的可见性即可。直线以交点K为分界点，在平面前面 的部分可见，在平面后面的部分不可见。如图4-9(c)所示，选 取m′n′与b′c′的重影点1′和2′来判别。1点在MN上，2点在BC上， 从水平投影看，1点在前可见，2点在后不可见。即k′1′在平面 的前面可见，画成粗实线；其余部分不可见，画成虚线。
4.2 相交问题
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
【例4-7】
求一般位置平面ABC与铅垂面P的交线MN及判别平面正面投 影的可见性，如图4-11(a)所示。 【解】分析：如前面所述，把求两个平面交线的问题看成是求 两个共有点的问题。所以欲求图4-11(b)中两个平面的交线，从 对图4-11(a)的分析来看，只要求出交线上的任意两点(如M和N) 即可。因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影 必然位于铅垂面的积聚投影上；交线的正面投影可利用线上定 点的方法求出。 作图步骤如下：
4.1.2 平面与平面平行 条件
若一个平面内的两条相交直线对应 平行于另一个平面内的两条相交直
线，则这两个平面平行。
4.1平行问题
1.两个一般位置平面平行
【例4-3】 过点E作一个平面与平面ABC平行，如图4-6(a)所示。
E ABC 作图步骤如图4-6(b)所示。 (1)过点E作ED∥AB(ed∥ab、e′d′∥a′b′)。 (2)过点E作EF∥AC(ef∥ac、e′f′∥a′c′)，则平面DEF 所求。
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
工程制图 第三章 知识点
第三章一、点的投影两点的相对位置 :X 坐标值大的点在左; Y 坐标值大的点在前; Z 坐标值大的点在上。
二、直线的投影1、各种位置直线的投影特性(1 投影面平行直线:在平行的投影面上的投影,反映实长;投影与投影轴的夹角分别反映直线与另两个投影面的真实倾角; 在另两个投影面上的投影, 平行于相应的投影轴,长度缩短。
(2 投影面垂直直线:在直线垂直的投影面上的投影积聚成一点; 在另两个投影面上的投影,平行于相应的投影轴,反映实长。
(3 一般位置直线:三个投影面上的投影都倾斜于投影轴; 投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角;不反映实长(缩短。
2、直线上点的投影特性及定比关系(1从属性:若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
(2定比性:属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
3、两直线的相对位置关系及投影特性(1平行:三对同面投影分别互相平行。
(2 相交:三对同面投影都分别相交, 且投影的交点符合一点的三面投影特性。
(3交叉:既不符合平行特性也不复合相交特性。
判断两直线相交还是交叉的方法:(1 交点投影法:判断三个投影面的交点是否满足点的投影规则。
(通常需要做出第三投影面的两直线投影来判断(2定比关系法:由投影面的一条直线的交点投影,根据定比关系作出该交点在另一个投影面在该直线上的点的位置, 如果两个投影面上的交点是同一点, 则可判断两直线相交,反之则交叉。
4、直角三角形法 (求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法的作图要领 :用线段在某投影面上的投影长作为一条直角边,以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边, 所作直角三角形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的倾角。
直角边与倾角的对应关系如下表:解题原则:求直线与哪个投影面的倾角, 就用哪个投影面上的投影长作为一条直角边。
5、直角的投影定理相互垂直的两直线, 其中有一条直线平行于投影面时, 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置
➢5. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若：AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件：
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：
判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
的一切直线。
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d H
c b
f c b
机械制图第3章
一、点在三视图中的投影标记
为了标记空间点及其投影，规定空间点用 大写字母表示，空间点的投影用小写字母表示。 如图3-1所示，空间点用A、B、C 、S表示。 点的主视图也称为正面投影，用 a’ 、b’ 、c’ 、 s’ 表示 。点的俯视图也称为水平投影，用 a、 b、c 、s表示。点的左视图也称为侧面投影， 用 a” 、b” 、c” 、s” 表示。
二、直线的投影 1. 各种位置直线的投影特性：各种位置直线的投影特 性今后进行形体线面分析的基础。 2. 直线上的点：直线上的点具有两个特性：①从属性： 点在直线上，点的投影在直线的同面投影上；②定比 性：点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。 三、平面的投影 1. 平面的表示法：有几何元素表示法和迹线表示法； 2. 各种位置平面的投影特性：各种位置平面的投影特 性今后进行形体线面分析的基础。
第三章 点、直线、面的投影
导读： 本章主要介绍立体上各种点、线、面的投影特 性。介绍它们的投影规律和作图方法，初步建立空 间概念，为进一步学习物体的三视图打下基础。 学习目标： 通过本章学习，读者应掌握立体上各种点、线、 面的投影的投影规律。
第一节 点的投影
点是构成空间形体最基本的要素。空 间两点确定一直线，不在一直线上的三点 确定一平面，若干个面又构成形体。为便 于分析物体三视图中点、线、面的投影关 系，常需要在三视图中标出物体某些特殊 点的投影标记。
投影面平行线的投影特性：
在两端点等距的投影面上（在直线所平 行的投影面上），投影反映线段的实长， 且该投影反映该直线对另外两个投影面 的倾角大小。 在另外两个投影面上，线段的投影为缩 短的线段，且分别平行于两条相应的投 影轴（构成直线所平行的投影面的两条 投影轴）。
3.2.1特殊位置的线与面、面与面相交
直线、平面的相对关系特殊位置的线与面、面与面相交掌握线面相交求交点的方法；掌握面面相交求交线的方法；掌握可见性判别的方法。
目的和要求特殊位置的线与面、面与面相交Ø 直线与平面相交于一点,该点是直线与平面的共有点；Ø平面与平面相交于一直线,它是两平面的共有线；Ø当两个相交的几何元素中，其中一个的投影具有积聚性, 求交点交线时,可从积聚性投影入手，利用积聚性投影直接作图。
特殊位置的线与面、面与面相交1. 一般位置直线与特殊位置平面相交b’ba’acc’ m’mn n’VHP H PA BC acb kNKMkk’特殊位置的线与面、面与面相交1. 一般位置直线与特殊位置平面相交VHP H PA BCacb kN KMb’ba’acc’m’mn’kk’n特殊位置的线与面、面与面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交aba ’(b ’)DEFdefd’e ’f’ABKk(k ’)特殊位置的线与面、面与面相交c d′c′e′eda′b′a(b) (k) k′2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置的线与面、面与面相交3. 一般位置平面与特殊位置平面相交nlm m’l’n’ba cc’a’b’f k f ’ k’VHMmnlPB C acbP H kf FK NL特殊位置的线与面、面与面相交3. 一般位置平面与特殊位置平面相交VHMmnlB C a ck f F KNL b’ba c c’a’n'fk k l’b n lmm’anf ’k’特殊位置的线与面、面与面相交4. 特殊位置平面与特殊位置平面相交a’c’b’a bcp n’m’m(n)课 程 小 结1. 特殊位置的直线与平面、平面与平面相交，求交点交线并判别可见性；2. 求交点交线时,可从积聚性投影入手，利用积聚性投影直接作图。
05 第二章(1) 直线与平面、平面与平面相对位置(平行、相交)
关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
4、属于平面的投影面平行线 V PV
平面上投影面平行线： 既在平面上又平行于投 影面的直线。
P
H
PH
在一个平面上对 V 、H 、 W 投影面分别有三组投影面平行线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与 所属平面保持从属关系。
11
五、平面的最大斜度线
对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚 投影，其交线就在这个积聚投影上。
37
投影面垂直面和一般位置平面相交 m
V M B K F m N C f b n H k a l L P
b
k
c
f n m
l
a
k b f
a l
c
n
38
c PH
可见性的判别 V
M B
c K F m C c N f n k a L
a.判别已知点、线是否属于已知平面；
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
9
2、属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
10
31
平面与平面相交
M
B
K F
N
A
L
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。 交线特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。
32
2、直线与平面、平面与平面相交的特殊情况 ① 直线与平面相交的特殊情况： 指线或面之一为特殊位置，其交点的投影可利
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X
b' b
S
a'
c' c
O
作图： 判别可见性：
S
解题完毕
B
§5-2 相交问题
C
a
A
本节结束
§5-2 相交问题
界
d
前，可见
l
b V 面投影
投射方向
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。
d' e' a' f' b' d k b
l
l’
c' g' g o
k’
分析： △EFG 为水平面; 交线的V 投影已知；根据从 属性，求交线的H 投影。
x
C
k
f
l
d
a b
c
k
l
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例3 求△ABC 与△DEF 两平面的交线。
判别可见性：
b' a' e' k’ e a f'
l’
根据空间位置关系判别。
d' c' c o a
A
B E K
解题完毕
F L D
x
CkΒιβλιοθήκη f l后，不可见c k b
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。
a' c' k’ d'
分析： 作图：
A
从属性
b'
e' a d e k b o
D
x
C
K
E
B
c
§5-2 相交问题
k
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。
o
K B
解题完毕
PH
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例3 求两平面△ABC 与△DEF 的交线。
b' a' e' k’ e a b f' l’ d' c' c o
A E K
分析： △DEF 为铅垂面，交线的H
投影已知；根据从属性，求交 线的V 投影。
B F L D
a'
k’ x a PX k
PV b' o b
A K B
PH
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。
H 投影投
射方向
a'
上，可见
可见性判别： H 投影需判别可见性， PV 为界。
PV b' b
k’ x a PX k
界
下，不可见。 A
上,可见
H 投影投
射方向
判别可见性：
QV
根据空间位置关系判别。
b' k'
l’ a' X
界
下,不可见。
b
c'
l
B
Q
L
O A
k
c a
§5-2 相交问题
C
解题完毕
k
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图
例6 求矩形平面与共边两平面△SAB、△SAC 的交线。
S'
分析：
矩形平面为水平面; 其与△SAB、△SAC 的交 线是两水条平线; 交线V 投影已知；求H 投影。
可见性判别：
a' c' k’ d'
方法2： 根据空间位置关系
b'
e' a d e k b o
A
C
D
x
K
E
B
后，不可见
界
前，可见
c
§5-2 相交问题
V 投影投
射方向
k
解题完毕
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。
分析：
平面P 为正垂面，交点的 V 投影已知；根据点在线上 的从属性，可求得交点的H 投影。
相交问题
概述 特殊位置平面与直线或平面相交
§5-2 相交问题
概述
直线和平面、平面和平面若不平行就必相交。
基本问题 1.求交点、交线； 2.判别可见性。
性质 共有点；共有线。 求交点——求直线和平面的共有点； 求交线——求出两个共有点，然后连线。
求共有点的方法 1.利用积聚性，确定交点的已知投影直接作图；
l
f
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例5 求平面Q 与平面△ABC 的交线。
b' a' k' QV l'
分析： Q 面为正垂面; 交线的V 投影已知；根据从 属性，求交线的H 投影。
B Q
L
x
b
c'
l
o A
k
c a
§5-2 相交问题
C
k
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例5 求Q 平面与平面△ABC 的交线。
( 1’ ) a' 2’ c' d' k’
可见性判别： k’b’ 可见，线段描粗； 方法1： 利用重影点 k’2’ 不可见，画细虚线。
A
D
b'
e' a 1 2 k
2在前
x
o d
C
K
E
B
e b k
方法2
c
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
利用积聚性投影作图 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。
2.通过辅助平面作图。
§5-2 相交问题
一、特殊位置平面与直线或平面相交
举例 利用积聚性投影作图 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。 例3 求两平面△ABC 与△DEF 的交线。 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。 例5 求两平面Q 平面与△ABC 的交线。 例6 求一平面与共边两平面△SAB、△SAC 的交线。
x e
a
k c
L
§5-2 相交问题
f
一、特殊位置平面与直线或平面相交
界
利用积聚性投影作图 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。
H 投影投
射方向
d' f' b' d k
l’
c'
上,可见
判别可见性：
根据空间位置关系判别。
e' a' x e a
k’
g'
下,不可见。
g o c
k
L
解题完毕
b
§5-2 相交问题