高一数学人教A版必修二 课件 第四章 圆与方程 4.2.3
合集下载
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高一数学人教版A版必修二课件：第四章 圆与方程
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
第四章 圆与方程
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解 圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.
要点归纳
题型探究
达标检测
要点归纳
主干梳理 点点落实
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_(_x_－__a_)2_＋__(_y－__b_)_2_＝__r_2 _. (2)圆的一般方程：__x_2_＋__y2_＋__D__x＋__E__y_＋__F_＝__0_(D__2_＋__E_2－__4_F__>_0_)_.
解析答案
类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且 被圆C截得的线段长为 4 3 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ 3 y＝0 相切于点Q(3，－ 3 )，求圆C的方程. 解 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心 C(a，b)与 Q(3，－ 3)的连线垂直于直线 x＋ 3y＝0，且斜率为 3.
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
第四章 圆与方程
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解 圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.
要点归纳
题型探究
达标检测
要点归纳
主干梳理 点点落实
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_(_x_－__a_)2_＋__(_y－__b_)_2_＝__r_2 _. (2)圆的一般方程：__x_2_＋__y2_＋__D__x＋__E__y_＋__F_＝__0_(D__2_＋__E_2－__4_F__>_0_)_.
解析答案
类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且 被圆C截得的线段长为 4 3 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ 3 y＝0 相切于点Q(3，－ 3 )，求圆C的方程. 解 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心 C(a，b)与 Q(3，－ 3)的连线垂直于直线 x＋ 3y＝0，且斜率为 3.
高中数学人教版必修2第四章圆的方程全章公开课课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
例1. 已知线段AB的端点B的坐标为（4,3），端点A在圆 (x+1)2+y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
相关点法：又叫代入法. 在直角坐标系中,一个点
的运动变化引起另外一些点的运动变化（这些点具有 相关性）,把它们的坐标用一个表示另外一个,再代入 已知轨迹方程,就可求出未知的轨迹方程.
（2）没有xy这样的项。
探究：当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2y2D xE yF0 的位置分别 有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原__点_(_0_,0_) (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
(2) x2y22axya0 是圆的方程的充要条件是( D )
(A)a 1 2
(B)a 1 (C )a 1
2
2
(D)a 1 2
x (3)圆 x2y28x10yF0与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A )
( A)6 (B )5 (C )4
(D )3
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
人教A版高中双数学必修二课件第四章圆与方程(共26张PPT)
4.一动点在圆x2＋y2＝1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点
轨迹是()
A.(x＋3)2＋y2＝4B.(x-3)2＋y2＝1
C.(x+)32＋y2＝1D.(2x-3)2＋4y2＝1
2
【解析】选D.设圆上任意一点为A(x′,y′),AB的中点为
P(x,y),则即x由于3 A2(xx,′,y′x)在2x圆 x3,2＋
数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考 查的思想,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化 为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量 关系的问题去研究,简而言之,就是“数形结合取长补短”.
【典例4】圆x2＋2x＋y2＋4y-3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距 离为的2点共有() A.1个B.2个C.3个D.4个 【解析】选C.圆x2＋2x＋y2＋4y-3＝0 的圆心C的坐标为(-1,-2),半径r＝ 2 2, 如图所示,圆心C到直线x＋y＋1＝0的 距离为故2过, 圆心C与直线x＋y＋1＝0 平行的直线l与圆的两个交点A，B到直 线x＋y＋1＝0的距离为又2圆. 的半径r＝故过2圆2心, C作
(3)直线与圆相切.常见的问题有:求切线方程或已知直线与圆 相切求一些参数的值,这些问题一般都利用圆心到直线的距离 等于半径进行解题,可以直接解三角形,也可以利用d=r解方程, 确定待定系数. (4)直线与圆相交.常见的问题有:①求交点;②求弦长,圆的弦 长公式l=(2R表R示2 圆d2的半径，d表示弦心距)，利用这 一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式 l=要方(1便k.2［) (x1 x2 )2 4x1x2］
【典例1】(1)过点A(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程 为( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25 B.(x-1)2+(y-3)2=2 C.(x-5)2+(y-5)2=25 D.(x-1)2+(y-1)2=1 (2)求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长为6的 圆的方程.
高中数学人教A版必修2第四章4.圆的标准方程ppt课件
4.1圆的方程
圆的标准方程
教学目标：
掌握圆的标准方程，并能 根据条件写出圆的标准方程.
上一章，我们学习了直线的方程.知道在直角坐 标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研 究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上，在直角坐标系中建立 圆的方程.通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的 位置关系.另外，我们还要学习空间直角坐标系的有 关知识，它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答 ： 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的
垂直平分线l上.又圆心C在直线ll上，因此圆心C是 直线l与直线l的交点，y半径长等于CA或CB.
A l
O
C
B
x
练习：
4、已知圆经过P(5、1)，圆心为C(8、3)， 求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习：
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直 径的圆的方程.
3. 已知：一个圆的直径端点是：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
圆的标准方程
教学目标：
掌握圆的标准方程，并能 根据条件写出圆的标准方程.
上一章，我们学习了直线的方程.知道在直角坐 标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研 究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题.
本章在上一章的基础上，在直角坐标系中建立 圆的方程.通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的 位置关系.另外，我们还要学习空间直角坐标系的有 关知识，它是用解析方法研究空间几何对象的基础.
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答 ： 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的
垂直平分线l上.又圆心C在直线ll上，因此圆心C是 直线l与直线l的交点，y半径长等于CA或CB.
A l
O
C
B
x
练习：
4、已知圆经过P(5、1)，圆心为C(8、3)， 求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习：
5、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直 径的圆的方程.
3. 已知：一个圆的直径端点是：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套PPT
港口
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程， 当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切， 当Δ<0时，两圆外离或内含.
答案
解析答案
1 23 4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
解析答案
1 23 4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( D )
解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 3－－1
1－m ＝－1，得 m＝5， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线x－y＋c＝0上. ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
返回
题型探究
重点难点 个个击破
高一数学人教版A版必修二课件：第4章4-3空间直线坐标系
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于( A )
A.xOz平面内
B.yOz平面内
C.y轴上
D.z轴上
解析 因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内.
解析答案
类型三 空间中点的对称问题 例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标. 解 过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1). 过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B， 使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)， ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)， 关于x轴对称的点为B(1，－2,1).
2.求空间对称点的规律方法 (1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
返回
4.3.2 空间两点间的距离公式
学习目标
1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程； 2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、
BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ 1 4
|CD|，H为C1G的中点，试建立适
当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.
解析答案
类型二 已知点的坐标确定点的位置 例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6). 解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位， 第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位， 第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P. 方法二 以O为顶点构造长方体， 使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上， 且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.